+Q - Uni Kassel

Elektrizität und Magnetismus
Elektrizität: Mit elektrischen Ladungen und elektrischen Strömen verknüpfte
Effekte und Phänomene.
Maxwell erkannte: Elektrische und magnetische
Erscheinungen hängen zusammen.
Theorie des Elektromagnetismus: Elektrodynamik
r r 1
∫ E ⋅ dA = Q ,
OF
ε0
r r
∫ B ⋅ dA = 0,
r ρ
div E =
ε0
r
div B = 0
James Clerk Maxwell
(1831-1879)
OF
r r d r r
∫ E ⋅ dl = dt ∫ B ⋅ dA,
LINIE
OF
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r r
d r r
∫ B ⋅ dl = µ 0 I + µ 0ε 0 dt ∫ E ⋅ dA,
LINIE
OF
r
r
r
∂E
rot B = µ 0 j + µ 0ε 0
∂t
Elektrische Ladung
Antike: Bernstein zieht nach Reibung mit Wolle Federn und Stroh an. elektron: griech. Bernstein
Erfahrungstatsache: Haare kämmen
• Reiben: Plastikstäbe an Fell
Plastikstäbe stoßen sich ab.
• Reiben: Glasstäbe an Seide
Glasstäbe stoßen sich ab.
• Aber: Plastikstäbe und Glasstäbe ziehen sich an
Modellvorstellung: Reibungs- oder Berührungselektrizität
e-
e+
neutrales
Atom
+
ein Elektron entfernt
Restatom ist positiv
geladen
+++++++
-------
+++++++
-------
Negative Ladung: Elektronenüberschuss
Positive Ladung: Elektronenmangel
Bei einem Blitz entladen sich hohe, durch Reibung in
den Gewitterwolken aufgebaute elektrostatische
Ladungen.
Eigenschaften der elektrischen Ladung:
• Ladungen können positiv oder negativ sein.
• Ladung ist an Masse gekoppelt.
• Positive und negative Ladungen können sich
kompensieren.
• Ladung kann nicht erzeugt oder vernichtet
werden
• Einheit der Ladung ist das Coulomb (C)
−19
• Ladung ist gequantelt: Elementarladung e = 1,6022 ⋅10 C
• Ladungen üben Kräfte aufeinander aus:
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab
Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an
+
+
+
-
Das Coulomb Gesetz (Charles Augustin de Coulomb, 1736 – 1806):
r
F=
r
1 Q1Q2 r
1 Q1Q2 r
er =
2
4πε 0 r
4πε 0 r 2 r
r
F
Q1
r
-|Q1| F
Q2
r
F
r
F Q
2
Dielektrizitätskonstante: ε 0 = 8,854 ⋅10 −12 C 2 N −1m − 2
r
F=
r r
Q1Q2 r2 − r1
r r
4πε 0 rr2 − rr1 2 r2 − r1
Beispiel: Vergleich von Gravitationskraft und
elektrostatischer Kraft für zwei Protonen.
1
−19
Elementarladung: e = 1,6022 ⋅10 C
− 27
Masse eines Protons: m = 1,67 ⋅ 10 kg
−11
2
2
Gravitationskonstante: γ = 6,67 ⋅10 Nm /kg
y
Q1
r
r1
r r
r2 − r1
r
r2
Q2
r
F
x
1 e2
Fel =
,
2
4πε 0 r
m2
FG = γ 2
r
Fel
1
e2
=
⋅ 2 = 1,24 ⋅10 36
FG 4πε 0γ m
Elektrische Feldstärke
Eine Ladung erzeugt ein elektrisches Feld im ganzen Raum.
y
Q1
r
r1
r
E=
r r
r − r1
r
r
r r
Q1 r − r1
r r
4πε 0 rr − rr 2 r − r1
1
1
r
E
x
r
Auf eine (Probe)ladung QP, die sich in einem elektrischen Feld E befindet
wirkt die Kraft:
r r
r
r
r
− r1
1 Q1QP
F = QP ⋅ E =
r r
4πε 0 rr − rr 2 r − r1
1
r
Definition: Das elektrische
Feld E , das am Ort einer Probeladung herrscht, ist
r
definiert als die Kraft F , die auf die Probeladung wirkt, dividiert durch die
r
Größe der Probeladung .
r F
E=
QP
Wichtig: Das Eigenfeld einer Probeladung darf mit dem auszumessenden
Feld nicht überlagert gedacht werden weil das Eigenfeld der Probeladung auf
diese selbst keine Kraft ausübt!
Überlagerung von elektrischen Feldern:
r r r
r
F = F1 + F2 + F3
r
F2
r
F3
+
r
F1
q
+
+
Q1
+
Q3
Q2
r
r
Fi = qEi =
r 3 r
qQi r r
q 3 Qi
r r
(
r
−
r
)
⇒
F
=
q
E
=
(
r
∑ i
∑ r r 3 − ri )
i
r
r
3
4πε 0 r − ri
4πε 0 i =1 r − ri
i =1
1
Beispiel:
Die Ladung Q1= 8 nC befindet sich im Ursprung und die Ladung
Q2= 12 nC befindet sich auf der x-Achse eines kartesischen
Koordinatensystems im Abstand a = 4 m von der Ladung Q1 entfernt. Wie
groß ist das elektrische Feld in einem Punkt auf der x-Achse bei x = 7 m?
Q2
Q1
x
4m
r r r
E = E1 + E 2 =
Q2 r
1
Nr
r
e
+
e
=
13
,
5
ex
2 x
2 x
4πε 0 x − 0
4πε 0 x − a
C
1
Q1
x = 7m
Feldliniendarstellung:
• Feldlinien liefern ein anschauliches Bild von einem elektrischen Feld.
• Feldlinien zeigen in allen Punkten des Raumes in die Richtung des
elektrischen Feldes.
• Sie zeigen in die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung, d.h. von
positiven Ladungen weg und zu negativen Ladungen hin.
• In der Nähe einzelner Ladungen verlaufen die Feldlinien geradlinig radial.
positive Punktladung
negative Punktladung
• Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen
Ladungen (oder im Unendlichen), ihre Anzahl ist proportional zur jeweiligen
Ladung.
• Auf Leiteroberflächen stehen Feldlinien eines elektrostatischen Feldes stets
senkrecht.
• Feldlinien durchkreuzen sich niemals.
Beispiele:
+
-
ungleichnamige Ladungen
+
+
gleichnamige Ladungen
1
2
ungleichnamige Ladungen
Q1 < Q2
Übung:
Wie groß ist das Verhältnis der
Ladungsmengen zueinander?
•
•
•
24:8
4:1
1:4
Welches Vorzeichen haben die Ladungen?
•
•
•
•
Minus Plus
Plus Minus
Plus Plus
Minus Minus
Wo ist das elektrische Feld stark, wo ist es
schwach?
Influenz:
Änderung der Ladungsverteilung auf einem Körper durch Annäherung eines
geladenen Körpers.
+
-
-
----
----
Metallplatte
+
-
„Spiegelladung
oder Bildladung“
Q
- +
Feldverzerrung, hervorgerufen durch influenzierte Ladungen auf der kleinen
insgesamt ungeladenen Kugel
Übung:
Wie ist das Verhältnis der
Ladungsmengen der beiden
Kugeln?
• 11:5
• 1:1
• 14:8
Der elektrische Fluss:
∆AN
Q
∆A
r
E
∆A
α
α
r
E
r
EN
• Hüllfläche um Punktladung Q
• Zerlegung in kleine Flächenelemente ∆A
r
• Elektrisches Feld am Ort von ∆A ist E
r
∆AN E N
∆AN : Projektion von ∆A senkrecht zu E . Es gilt:
bzw.: E N ⋅ ∆A = E ⋅ ∆AN
=
∆A
E
Elektrischer Fluss Ψ durch das Flächenelement ∆A : Ψ = ε 0 ⋅ E N ⋅ ∆A
Elektrischer Fluss durch die gesamte Hüllfläche: Ψ = ε 0 ⋅ ∑ E N ⋅ ∆A = ε 0 ⋅ ∑ E ⋅ ∆A N
r r
Bzw.: Ψ = ε 0 ∫ E ⋅ dA
Wie groß ist der elektrische Fluss durch eine beliebige Hüllfläche?
ρ
∆AN
∆AK
Q
r
Hüllfläche
Jedem Flächenelement ∆AN der Hüllfläche
kann ein Flächenelement der Kugeloberfläche ∆AK zugeordnet werden.
∆AN r 2
r2
und somit Ψ = ε 0 ⋅ ∑ E ⋅ ∆A N = ε 0 ⋅ ∑ E ⋅ 2 ⋅ ∆AK ⇒
=
Es gilt:
∆AK ρ 2
ρ
Q r2
Q
Ψ = ε0 ⋅∑
⋅
∆
A
=
⋅ ∆AK = Q
K
2
2
2 ∑
4πε 0 r ρ
4πρ
1
r r
Maxwell Gleichung: Ψ = ε 0 ∫ E ⋅ dA = Q
Der elektrische Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche ist gleich der
eingeschlossenen Ladung.“
Beispiel: Kugelkonduktor
Q
Metallische Hohlkugel mit dem
• Im Gleichgewicht ist die Ladung
gleichmäßig auf der Oberfläche
Radius R, die die Ladung Q trägt:
verteilt.
Wie groß ist die elektrische
• Um die geladene Kugel befindet
Feldstärke im Abstand r vom
sich ein radiales
Kugelmittelpunkt?
kugelsymmetrisches elektrisches
Feld.
1. Fall: r > R
Wir legen eine Kugelfläche mit r > R um die Konduktorkugel. Für den elektrischen
Fluss gilt:
r r
Ψ = ε 0 ∫ E ⋅ dA = ε 0 ⋅ E ⋅ ∫ dA =ε 0 ⋅ E ⋅ 4πr 2 = Q
⇒
E=
1
Q
4πε 0 r 2
Das Feld entspricht dem einer Punktladung, die im Kugelmittelpunkt sitzt.
2.Fall: 0 < r < R
Feldlinien stehen senkrecht auf metallischen Flächen und dürfen sich nicht
schneiden. Im Inneren der Kugel ist kein elektrisches Feld vorhanden.
Das elektrische Feld auf der geladenen Kugeloberfläche ist : E =
Q : Flächenladungsdichte
A
Beispiel: Plattenkondensator
+
+
+
+
+
Hüllfläche
+
+
+
+
+
-
-
Plattenabstand < Plattendurchmesser
homogenes elektrisches Feld
1
Q
1 Q
=
4πε 0 R 2 ε 0 A
r r
r
E ⊥ Kondensatorplatte E || A
Elektrischer Fluss:
r r
Ψ = ε 0 ∫ E ⋅ dA = ε 0 ⋅ E ⋅ A = Q
⇒ E=
1 Q
⋅
ε0 A
Allgemein gilt: Für beliebige Leiteranordnungen gilt für die Feldstärke E am Ort des
Flächenstückes ∆A .
E=
1 ∆Q
⋅
ε 0 ∆A
Der elektrische Dipol
+Q
l
-Q
Elektrische Feldstärke in einem beliebigen Punkt P:
r
E1
P
r
r1
+Q
l
-Q
r
r2
r
E2
r
E Dipol
r
+ Q r1
⋅
⋅
4πε 0 r12 r1
r
r
1 − Q r2
E2 =
⋅
⋅
4πε 0 r2 2 r2
r
E1 =
1
r
r r
E Dipol = E1 + E 2
Sonderfall: Elektrische Feldstärke in einem Punkt P, der auf der Verlängerung
der Dipolachse (y-Achse) liegt:
y
r1 = y − l / 2
P
r2 = y + l / 2
r1 r2
+Q
ll
x
EDipol =
1 1
⋅  2 − 2  ⇒
4πε 0  r1 r2 
Q
-Q
2
2




l
l





 y +  − y −  
1
1
Q 
Q 
2 
2 
 ⇒ E
=
⋅
⇒ E Dipol =
−
Dipol
2
2
2
2
4πε 0  
4πε 0  
l 
l 
l 
l 
 y −   y +  
  y −  ⋅ y +  
2 
2 
2 
2 


⇒ E Dipol =
Q
⋅
2 yl
4πε 0  2 l 2  2
 y − 
4

2
2
In größerer Entfernung: y >> l / 4
y
⇒ EDipol =
Q
2πε 0
⋅
l
y3
P
r
E Dipol
Elektrische Feldstärke in einem Punkt P, der auf der x-Achse liegt:
r
E2
y
P x
l
E Dipol =
Q
l
Q
l
Q
l
=
⋅
=
⋅
r1 4πε 0 r12 r1 4πε 0 r13
⋅
l
4πε 0 (l 2 / 4 + x
Q
l
⇒ E Dipol =
⋅ 3
4πε 0 x
r1 = r2 und
r
r2
-Q
⇒ E Dipol = E1 ⋅
r
E Dipol
r
r1
+Q
P
)
2 3/ 2
r
E1
x
EDipol
E1
=
l
r1
2
2
2
mit (l / 2) + x = r1 folgt:
In größerer Entfernung: x 2 >> l 2 / 4
Allgemein:
Q
l
E Dipol =
⋅ 3 3 cos 2 α + 1
4πε 0 r
r
r
+Q
α
-Q
Übung:
An den Enden eines dünnen Plexiglasstabes von
l = 12 cm Länge sind zwei Metallkugeln befestigt. Die Kugeln werden
entgegengesetzt gleich aufgeladen, es ist Q = 1,12 . 10-10 C. Dieser
Dipol wird in einen flüssigen Isolator getaucht.
Wie ändert sich bei dem Eintauchen der elektrische Fluss durch eine
den Dipol umfassende Hüllfläche?
• Der elektrische Fluss nimmt zu.
• Der elektrische Fluss nimmt ab.
• Der elektrische Fluss bleibt unverändert.
Dipol in einem elektrischen Feld
Der Dipol liegt in Feldrichtung:
r
r
F2 = −QE 2 -Q
r r r
Gesamtkraft: F = F1 + F2 ⇒
r
r
F1 = QE1
+Q
F = F1 − F2
Der Dipol wird in das Feld hineingezogen.
Übung:
1. Was passiert wenn ein ungeladener Pingpong- Ball mit leitender
Oberfläche in ein inhomogenes elektrisches Feld gebracht wird?
•
•
•
•
•
Nichts.
Er wird in Richtung größerer Feldstärke beschleunigt.
Er wird in Richtung kleinerer Feldstärke beschleunigt.
Er bewegt sich gleichmäßig senkrecht zu den Feldlinien des elektrischen
Feldes.
2. Was passiert wenn ein ungeladener Pingpong- Ball mit leitender
Oberfläche in ein homogenes elektrisches Feld gebracht wird?
•
•
•
Nichts, es findet keine Ladungstrennung statt.
Nichts, die resultierende Kraft ist Null.
Keine von den beiden obigen Antworten stimmt.
Der Dipol liegt nicht in Feldrichtung eines homogenen Feldes:
−Q
sin α ⋅
l
2
r
r
F2 = −QE
α
α
r
r
F1 = QE
+Q
Es gilt: F1 = F2 = F
l
2
Drehmoment mit dem Betrag: M = F ⋅ 2 ⋅ ⋅ sin α = Q ⋅ E ⋅ l ⋅ sin α
r
r
r
Elektrisches Moment des Dipols: p = Ql , wobei l von –Q zu +Q zeigt.
r r r
M = p × E und M = p ⋅ E ⋅ sin α