3. ¨Ubungswoche

Übungsaufgaben, Statistik
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3. Übungswoche
Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten
[4]
Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007: ,, Immer
wieder werden der Dalai Lama und Papst Benedikt als Vorbilder für Jugendliche genannt. Wer
wäre für Sie ein Vorbild?” Von 1 000 Befragten nannten 44% den Dalai Lama und 42% Papst
Benedikt (14% gaben keine Antwort auf diese Frage). Wir fassen diese Zahlen als geschätzte
Wahrscheinlichkeiten auf und schreiben:
P (Dalei Lama) = 0.44
P (Papst Benedikt) = 0.42
Unter den Anhängern bestimmter Parteien sahen die Anworten in Prozent so aus:
CDU/CSU
SPD
FDP
Linke
B’90/Grüne
Dalai Lama
32
51
62
44
86
Papst Benedikt
58
36
28
39
8
Keine Antwort
10
13
10
17
6
Wir fassen diese Zahlen als bedingte Wahrscheinlichkeiten auf, gegeben die Parteianhängerschaft,
z.B. ist
P ( Dalei Lama | CDU/CSU ) = 0.32
P ( Papst Benedikt | CDU/CSU ) = 0.58
Wir wollen jetzt die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass jemand den Dalai Lama als Vorbild hat
und gleichzeitig Anhänger der CDU/CSU ist.
P ( Dalai Lama und CDU/CSU ) = P ( Dalai Lama | CDU/CSU ) · P ( CDU/CSU )
Dazu brauchen wir die Wahrscheinlichkeit P ( CDU/CSU ), die uns durch eine Umfrage etwa zur
gleichen Zeit (28.06. - 10.07.2007) gegeben ist. Das Institut für Demoskopie (Allensbach) stellte
die Sonntagsfrage: ,, Wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahlen wären ...”. Es wurden etwa
2 000 Personen befragt, wobei sich die folgenden Antworten in Prozent ergaben:
CDU/CSU
SPD
FDP
Linke
B’90/Grüne
Sonstige
37.0
28.3
9.4
12.5
9.7
3.1
Wir fassen diese Zahlen als Wahrscheinlichkeiten auf:
P ( CDU/CSU ) = 0.37
Damit erhalten wir
P ( SPD ) = 0.283
...
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P ( Dalai Lama und CDU/CSU ) = P ( Dalai Lama | CDU/CSU )·P ( CDU/CSU ) = 0.32·0.37 =
0.1184 = 11.84% und
P ( Papst Benedikt und CDU/CSU ) = P ( Papst Benedikt | CDU/CSU )·P ( CDU/CSU ) = 0.32·
0.37 = 0.2146 = 21.46%
Vervollständigen Sie die folgende Tabelle der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten in Prozent:
CDU/CSU
Dalai Lama
11.84
Papst Benedikt
21.46
SPD
FDP
Linke
B’90/Grüne
Jetzt interessieren uns die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Anhänger des Dalai Lama bzw. des
Papstes Benedikt eine bestimmte Partei wählt, d.h. z.B, die bedingte Wahrscheinlichkeit:
P ( CDU/CSU | Dalai Lama) =
P ( CDU/CSU und Dalai Lama )
0.1184
=
= 0.2691 = 26.91%
P ( Dalai Lama )
0.44
P ( CDU/CSU | Papst Benedikt) =
P ( CDU/CSU und Papst Bendikt )
0.2146
=
= 0.5110 = 51.10%
P ( Papst Bendikt )
0.42
Vervollständigen Sie die folgende Tabelle der bedingten Wahrscheinlichkeiten, dass eine Person,
die den Dalai Lama bzw. den Papst als Vorbild betrachtet, die gegebenen Parteien wählt:
CDU/CSU
Dalai Lama
26.91
Papst Benedikt
51.10
SPD
FDP
Linke
B’90/Grüne
[ 5 ] Unabhängigkeit
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
(
)
b) Zwei Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig, wenn P (A|B) = P (A).
(
)
c) P (A ∩ Ω) = P (A) = P (A) · 1 = P (A) · P (Ω), d.h. die Ereignisse A und Ω sind (
unabhängig.
)
d) P (A ∩ B) = P (A) · P (B), falls P (A|B) = P (A)
(
)
e) Wenn P (A|B) = P (A), so sind die Ereignisse A und B unabhängig.
(
)
f) Die Umkehrung der Aussage im vorangehenden Punkt gilt nicht.
(
)
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[ 6 ] Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
P (A)
P (A ∩ B)
≤
P (B)
P (B)
(
)
b) P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B)
(
)
c) P (A ∩ B) = P (A) · P (B), falls P (A|B) = P (A)
(
)
(
)
(
)
a) Absolute Häufigkeiten sind stets kleiner als 1.
(
)
b) Die relative Häufigkeit für das sichere Ereignis Ω ist meistens 1.
(
)
gilt immer: (
)
d) Relative Häufigkeiten pendeln sich mit wachsendem Stichprobenumfang auf einen fe- (
sten endgültigen Wert ein.
)
e) Beim Wurf einer fairen Münze ist der in d) genannte endgültige Wert für das Eintreten (
von Zahl meistens kleiner als 0.5.
)
f) Absolute Häufigkeiten erfüllen die Axiome einer Wahrscheinlichkeit.
(
)
g) 0 ≤ hn (A) < 1.
(
)
a) P (A|B) =
P (B)
P (A ∩ B) + P (Ā ∩ B)
=
=1
P (B)
P (B)
e) P (A ∩ B) = P (A|B) · P (A)
d) P (A|B) + P (Ā|B) =
[ 7 ] Häufigkeiten
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
c) Für die relative Häufigkeit von zwei disjunkten Mengen A und B
hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B).
Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzeichen
[ 1 ] Für welchen Wert der Konstanten a ist
f (x) =


ax4

0
0<x<1
sonst
die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X? Führen Sie die folgenden Berechnungen dann mit
diesem Wert von a durch.
Z
1
xa+1 (a 6= −1)
Hinweis: Beachten Sie die Potenzregel der Integration: xa dx =
a+1
a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Dichtefunktion:
P (X < 0.5)
P (X > 0.7)
P (0.2 < X < 0.4)
P (0.1 ≤ X ≤ 0.9)
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FX (t).
c) Berechnen Sie die obigen Wahrscheinlichkeiten erneut mit Hilfe der Verteilungsfunktion.
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[ 2 ] Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen X.
0.30
P(X = x)
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
a) Schreiben Sie so genau wie möglich die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X (mit zwei Stellen
nach dem Dezimalpunkt) auf.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X und stellen Sie diese graphisch dar.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
i) P (X ≥ a) für a = 2, 4, 6,
ii) P (X > b) für b = 2, 4, 6,
iii) P (a < X < b) für a = 2 und b = 6,
iv) P (a ≤ X ≤ b) für a = 2 und b = 6,
v) P (a < X ≤ b) für a = 2 und b = 6,
vi) P (a ≤ X < b) für a = 2 und b = 6.
d) Die folgende R-Ausgabe zeigt die Werte der Verteilungsfunktion an den Stellen 0, 1, 2, . . . , 8.
0.06 0.26 0.55 0.81 0.94 0.99 1.00 1.00 1.00
Überprüfen Sie damit noch einmal alle in dieser Aufgabe berechneten Wahrscheinlichkeiten.
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[ 3 ] Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen gilt immer für alle (
x: 0 ≤ P (x) ≤ 1
)
b) Für
X die Wahrscheinlichkeitsfunktion PX (x) einer diskreten Zufallsvariablen X gilt (
PX (x) = 1.
)
x
c) P (X = x) > 0 für alle reellen Zahlen x.
(
)
d) Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen kann durch eine Dichtefunktion be- (
schrieben werden.
)
e) Die Verteilungsfunktion F (t) einer Zufallsvariablen kann mit wachsendem t nicht klei- (
ner werden.
)
f) Für alle Zufallsvariablen gilt P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
(
)
g) Es gibt nur vier diskrete Verteilungen.
(
)
h) Die Begriffe Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion werden synonym verwen- (
det, da man mit beiden Wahrscheinlichkeiten berechnen kann.
)
i) Die Werte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion und auch einer Dichtefunktion dürfen (
nicht größer als Eins sein.
)
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[ 4 ] Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsex- (
periments die Wahrscheinlichkeit zuweist.
)
b) Die Fläche unterhalb der Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen kann nicht (
größer sein als 1.
)
c)
Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen wird durch ihre Dichtefunktion oder ihre (
Verteilungsfunktion beschrieben.
)
d) Dichte- und Verteilungsfunktion können nur Werte aus dem Intervall [0, 1] annehmen. (
)
e)
Für stetige Zufallsvariablen erhält man Wahrscheinlichkeiten, indem man Flächen un- (
terhalb der Verteilungsfunktion berechnet.
)
f)
Bezeichnet X eine stetige Zufallsvariable, so wird das Verhalten von X durch eine (
Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben.
)
g)
Die Dichtefunktion f (x) einer stetigen Zufallsvariablen, gibt für jeden Wert x die Wahr- (
scheinlichkeit an, mit der dieser Wert angenommen wird.
)
h) Für eine stetige Zufallsvariable X gilt P ({X = x}) = 0 für alle x.
(
)
i)
Der R-Befehl für die in R implementierten Verteilungsfunktionen beginnt mit dem (
Buchstaben p.
)
j)
Eine Dichtefunktion darf niemals größer als 1 sein.
(
)
k)
In der Regel ist die Fläche unterhalb einer Dichtefunktion Eins.
(
)
l)
Die Werte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion und auch einer Dichtefunktion dürfen (
nicht größer als Eins sein.
)
m) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable Werte in einem Intervall I annimmt, (
wird durch die Fläche unterhalb der Dichtefunktion über dem Intervall I berechnet.
)
n) Die Verteilungsfunktion ist immer eine stetige Funktion.
)
(