Formale Logik, WS 2016/17, Übungsblatt 8

Formale Logik, WS 2016/17, Übungsblatt 8
Abgabe: Mittwoch, 21. Dezember 2016, in der Vorlesung
Aufgabe 25:
Sei
S
ein zweistelliges Relationszeichen für die Beschenkrelation, also
x beschenkt
y
bzw. x schenkt
y
etwas oder y
bekommt von
x
Sxy
stehe für
ein Geschenk .
Formalisieren Sie die folgenden Sätze in prädikatenlogischer Sprache (unter der Annahme,
dass über ein Universum von Menschen gesprochen wird) unabhängig davon, ob sie im
Alltag gelten oder nicht:
1. Jeder bekommt von irgendjemandem etwas geschenkt.
2. Wer einem andern etwas schenkt, bekommt von diesem auch etwas geschenkt.
3. Es gibt Leute, die von niemandem beschenkt werden.
4. Niemand bekommt von allen Geschenke.
5. Niemand bekommt keine Geschenke.
6. Keiner bekommt alle Geschenke.
7. Jemand beschenkt sich selbst.
8. Jeder, der alle beschenkt, beschenkt auch sich selbst.
9. Keine zwei Menschen beschenken genau die gleichen Personen.
10. Es gibt nur eine Person, die von niemandem beschenkt wird.
Aufgabe 26:
P
und
Q
sind in dieser Aufgabe einstellige Relationszeichen. Geben Sie ein Modell an, in
dem der Satz
∀x(P x ∨ Qx)
gilt und der Satz
(∀x P x ∨ ∀x Qx)
nicht gilt. Geht es auch
umgekehrt?
b. w.
1
Aufgabe 27: (zum Nachdenken, nicht zum Abgeben)
Es wird immer wieder behauptet, der Weihnachtsmann sei eine Erndung von Coca Cola
(was schon deshalb nicht stimmen kann, weil er bereits in dem alten Lied Morgen kommt
der Weihnachtsmann vorkommt). Hier sind jedenfalls zwei Beweise für seine Existenz. Sind
sie korrekt? Falls nein, wo liegen die Fehler?
Currys Beweis: 1
Wir betrachten den Satz
S
Wenn dieser Satz wahr ist, dann gibt es den Weihnachtsmann.
Nun gibt es zwei denkbare Fälle:
S
ist wahr oder
•
S
wahr ist, stimmt zum einen die von
Im ersten Fall ist
S
wahr. Wenn
S
ist falsch.
S
gemachte Aussage
(eine Implikation) und zum andern stimmt auch der Vordersatz (das Antezedens) der
Implikation. Also stimmt mit Modus Ponens auch der Nachsatz (Sukzedens), d.h. es gibt
den Weihnachtsmann.
•
Im zweiten Fall ist
S
falsch. Das kann aber nur dann der Fall sein, wenn in der durch
S
ausgedrückten Implikation das Antezedens wahr ist (und das Sukzedens falsch). Also ist
S
wahr: ein Widerspruch. Dieser Fall kann in Wirklichkeit also gar nicht auftreten.
Smullyans Beweis: 2
Wir beweisen, dass der Weihnachtsmann existiert, indem wir zunächst die möglicherweise
stärkere Aussage, dass sogar ein existierender Weihnachtsmann existiert, beweisen. (Ein existierender Weihnachtsmann ist natürlich per Denition ein Weihnachtsmann, der existiert).
Falls ein existierender Weihnachtsmann existiert, dann gibt es natürlich auch einen Weihnachtsmann. Also reicht es tatsächlich zu zeigen, dass ein existierender Weihnachtsmann
existiert. Nun gibt es aber wieder genau zwei Möglichkeiten:
•
Entweder ein existierender Weihnachtsmann existiert. Dann sind wir nach der obigen
Argumentation fertig.
•
Oder ein existierender Weihnachtsmann existiert nicht. Dies ist aber widersprüchlich:
Wie sollte ein existierender Weihnachtsmann nicht existieren? Denn ebenso, wie ein roter Weihnachtsmann notwendigerweise rot ist, muss ein existierender Weihnachtsmann
notwendigerweise existieren.
Anmerkung: Genau genommen zeigt Smullyans Beweis nur, dass es einen Weihnachtsmann
gibt, nicht aber, dass es den Weihnachtsmann gibt. (Vgl. Russells On denoting.)
1 Dieser Beweis ist unter den Namen Currys Paradoxon, Löbs Paradoxon und Weihnachtsmann
Paradoxon bekannt. Benannt nach Haskell Brooks Curry (190082) bzw. Martin Löb (19212006).
2 nach Raymond Merrill Smullyan (*1919)
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