P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka ¨Ubungsblatt 9
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P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka Übungsblatt 9 Abgabe Freitag 6.1 vor der Vorlesung – Besprechung in der Woche danach H27 - Weihnachtsmann vor Lebkuchen [2P] Wir positionieren einen geladenen Weihnachtsmann W bei −a~ex vor einem sehr großen Lebkuchen, der den Halbraum x > 0 ausfüllt. In guter Näherung kann W als Punktladung q angenom~ x) im men werden. Der Lebkuchen sei dielektrisch mit r > 1. Es soll das elektristatische Feld E(~ gesamten Raum R3 bestimmt werden. ~ x) in den Bereichen x > 0 und x < 0 durch die Bildladungsmethode. Machen a) Finden Sie E(~ Sie hierzu einen geeigneten Ansatz für das elektrische Feld in den beiden Bereichen durch Punkladungen entlang der x-Achse mit zunächst unbestimmten Parametern. Finden Sie die Parameter dann aus den in der Vorlesung besprochenen Stetigkeitsbedingungen für E⊥ und Dk an der Grenzfläche! b) Bestimmen Sie die auf der Grenzfläche induzierte Ladungsdichte ρind und die zugehörige induzierte Ladung qind . Gehen Sie hierbei von der Beobachtung aus, dass aufgrund der lokalen Diplodichte lediglich eine Oberflächenladung induziert wird, die aus dem Sprung des elektrischen Feldes E⊥ an der Grenzfläche bestimmt werden kann. H28 - Magnetische Christbaumkugel [2P] Magnetostatische Probleme, bei denen keine Leitungsströme ~j(~x) vorhanden sind, genügen den makroskopischen Maxwellgleichungen ~ ×H ~ = 0, ∇ ~ ·B ~ = 0, ∇ ~ −M ~ . ~ = 1B H µ0 ~ (~x) bekannt, so können diese mit Hilfe eines effektives skalaren magneIst die Magnetisierung M tischen Potentials φm , definiert durch ~ x) = −∇φ ~ m, H(~ beschrieben und gelöst werden. a) Welcher Differentialgleichung genügt φm ? b) Geben Sie in integraler Form in Analogie zur Elektrostatik das Potential φm (~x) im gesamten ~ (~x) vorgegeben ist! Raum an, wenn eine lokalisierte Magentisierung M c) Bestimmen Sie für eine homogen magnetisierte Christbaumkugel im Ursprung vom Radius a ~ 0 = M0~ez θ(a − |~x|) nun das effektive skalare magnetomit homogenener Magnetisierung M ~ im gesamten statische Potential φm im gesamten Raum und leiten hieraus das Magnetfeld H ~ ~ Raum her. Welche Eigenschaft haben H und B im Inneren der Kugel? 1 H29 - Vierervektoren und Tensoren [1P] Zeigen Sie, dass für Vierervektoren Aµ , B µ a) Aµ B µ ist Lorentz invariant b) ∂µ Aµ := ∂Aµ (x) ∂xµ ist Lorentz invariant c) ∂ν Aµ := ∂Aµ (x) ∂xν transformiert wie ein Vierertensor zweiter Stufe d) Die Metrik η µν und Kronecker-Delta δνµ haben in allen Inertialsystemen die gleichen Einträge e) Der Levi-Civita Tensor µνρσ ist in allen Inertialsystemen gleich Wir wünschen Ihnen ein frohes Weihnachtsfest und ein erfolgreiches und friedliches 2017! 2
