Thermodynamik

Thermodynamik
Blatt 5
SS 2007
13. Legendre-Transformation (2+2+2 Punkte)
Gegeben sei die Funktion f (x) = exp(αx) mit konstantem α.
a) Berechnen Sie deren Legendre-Transformierte g(y) := f (x) − x y, wobei y = f 0 (x).
b) Berechnen Sie die Legendre-Transformierte der Legendre-Transformierten, h(z) mit z = g 0 (y).
c) Angenommen, Sie kennen g(y). Finden Sie eine Rücktransformation von g(y) zu f (x) (im Allgemeinen). Überprufen Sie das Resultat für g(y) aus a). Was ist ein Unterschied zwischen die
ursprüngliche Funktion f (x) und die entsprechende zweimal Legendre-Transformierte Funktion
h(z) aus b)?
14. Wärmekapazität eines reelen Gases (1+2+1+2 Punkte)
a) Beweisen Sie die Maxwell-Relation
∂S
∂V
=
T
∂p
∂T
V
b) Zeigen Sie mit Hilfe a), dass
∂CV
∂V
=T
T
∂2p
∂T 2
.
V
c) Beweisen Sie jetzt, dass CV (T ) des van-der-Waals-Gases volumenunabhängig ist.
d) Ist CV auch für das Dieterici-Gas volumenunabhängig? Die Zustandsgleichung lautet
p(V − nb) = nRT exp(−na/(RT V )) .
Hinweis: Betrachten Sie die freie Energie F (T, V ).
15. Magnetische Systeme (4+4+3+2 Punkte)
Die Änderung der inneren Energie einer Substanz in einem Magnetfeld H ist gegeben durch
dU = δQ + µ0 HV dM,
wobei M die Magnetisierung der Substanz und δQ die aufgenommene Wärme ist.
a) Zeigen Sie, dass die Differenz zwischen der Wärme bei konstantem Magnetfeld, CH = (δQ/δT )H ,
und derjenigen bei konstanter Magnetisierung, CM = (δQ/δT )M ,
∂M
∂U
− µ0 V H
CH − CM =
∂M T
∂T H
beträgt. Hinweis: Betrachten Sie die innere Energie als Funktion von T und M .
b) Beweisen Sie die Relationen
∂U
∂M
T
= µ0 V H − T
und
CH − CM = −µ0 V T
∂H
∂T
∂H
∂T
M
M
∂M
∂T
H
c) Zeigen Sie mit Hilfe a) und b), dass
CH − CM = µ0 T V
χ−1
T
∂M
∂T
2
H
mit der isothermen magnetischen Suszeptibilität χT = (∂M/∂H)T .
d) Für viele Substanzen wird der Zusammenhang zwischen Feld und Magnetisierung durch das
Curie-Gesetz
H
M =C
T
gut beschrieben, wobei C die Curie-Konstante bezeichnet. Zeigen Sie, dass dann CH − CM =
µ0 M 2 V /C gilt.