Erläuterungen zum Diamagnetismus und Paramagnetismus*

D.Michel
Vorlesung Experimentalphysik, Teil 3: Elektrizitätslehre
Erläuterungen zum Diamagnetismus und Paramagnetismus*
(*Ergänzung zur Vorlesung)
zu 5.3.1. Diamagnetismus (Klassische Erklärung nach Langevin)
Durch die Präzession der Elektronen in Atomen und Molekülen um die Richtung eines von
Außen angelegten Magnetfeldes mit der Induktion B wird ein zusätzliches Magnetfeld erzeugt, das dem Feld B entgegenwirkt.
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Präzession im Magnetfeld B
Wir betrachten die Lorentzkraft FL auf ein Elektron mit der Elementarladung e, das sich mit
der Bahngeschwindigkeit v (v⊥B) auf einer Kreisbahn mit dem Radius r , r = rer (r⊥B, r⊥v)
um die Richtung von B bewegt (vgl. Vorlesung, Abschnitt 3.1.2):
FL = e[v×B] = - (evB) • er .
Diese Kraft ist eine Zentripetalkraft, die durch eine betragsmäßig gleich große Gegenkraft
(Zentrifugalkraft) mv2/r • er kompensiert wird (m = Masse des Elektrons):
evB = mv2/r.
Daraus folgt mit v/r = ω = 2πν die Präzessionsfrequenz (Larmorfrequenz)
ωL = eB/(2m).
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Elektrischer Strom I = (Ladung) (Zahl νL der Umläufe pro Zeiteinheit)
I = (-Ze)νL = - (Ze2B)/(4πm)
Z ist die Ladungszahl.
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Magnetisches Moment pm = (Strom)(mittlere Fläche π <r2>)
pm = - (Ze2B<r2>) /(4m)
<r2> ist der mittlere quadratische Radius der Stromschleife. Der Mittelwert drückt den Sachverhalt aus, daß sich die Elektronen nicht wie klassische Teilchen verhalten und daher der
Bahnradius nur im Sinne eines (quantenmechanisch zu berechnenden) Mittelwertes eingeführt
werden kann.
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Magnetisierung
M = pm / V = χ H, wobei für die diamagnetische Suszeptibilität gilt
χ = - (Ze2B<r2>) /(4mV) < 0.
zu 5.3.2. Paramagnetismus (Langevin-Brillouin-Formel, Curie-Gesetz)
In paramagnetischen Substanzen liegen permanente magnetische Dipolmomente pm vor, die
sich in einem angelegten Magnetfeld entlang von B orientieren und auf diese Weise eine Magnetisierung erzeugen, die bei Abschalten des Magnetfeldes wieder verschwindet: Die Energie eines Dipolmomentes pm im Magnetfeld mit der Induktion B beträgt E = - pm B. Die Orientierung der Dipole erfolgt in Konkurrenz zur thermischen Bewegung (Energie kT), die die
Ordnung der Dipole entlang von B zu zerstören versucht.
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Permanente magnetische Dipolmomente pm
Die Erklärung erfolgt auf der Grundlage des quantenmechanischen Mittelwertes für das (permanente) magnetische Dipolmoment pm, das vom Spin- und Bahnmoment der Elektronen
herrührt und durch das gesamte magnetische Moment pm = µB (2S + L) = gµBJ ausgedrückt
wird. Dabei bezeichnen hS den Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons, hL seinen Bahndrehimpuls und hJ seinen Gesamtdrehimpuls, g ist der g-Faktor und µB = eh/(2m) = 9,2742 10-24
Jm2/(Vs) das Bohrsche Magneton. Der g-Faktor ist g =2 für den Spin und g = 1 für den Bahndrehimpuls. Die Größe h = h/2π =1,054589 10-34 Js bezeichnet die Plancksche Konstante. Der
Eigendrehimpuls (Spin) läßt sich nur auf der Grundlage der Quantenmechanik erklären. Dabei ist zu beachten, daß das mit dem Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons hS verbundene
magnetische Moment µB2S doppelt so groß ist, wie sich aus der klassischen Betrachtung ergeben würde, die für den Fall des Bahnmomentes µBL zutrifft (magnetisches Bahnmoment
aus der klassischen Bahnbewegung des Elektrons). Die Besonderheit für den Elektronenspin
bezeichnet man auch als magneto-mechanische Anomalie des Elektrons. Der experimentelle
Nachweis dieses Sachverhaltes gelang erstmals durch den Einstein-de Haas-Versuch (siehe
weitere Folie), später durch die Methode der Elektronen-Spin-Resonanz (ESR) [auch Elektronen-Paramagnetische Resonanz (EPR) genannt]. Diese Zusammenhänge können erst später
behandelt werden (Teil 4: Atom- und Molekülphysik).
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Die Magnetisierung ist gegeben durch M = 1N <pm>, mit 1N der Anzahl der Elektronen pro Volumeneinheit. Es interessiert hier nur die Komponente Mz = Mo = 1N <pz> von M
entlang der Richtung von B = Bo • ez . (Durch B wird die z-Richtung definiert).
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Der Mittelwert <pz> ist nach den Vorschriften der Quantenmechnik zu berechnen
(Quantenmechanischer Erwartungswert), da das Dipolmoment pz im Magnetfeld Bo nur ganz
bestimmte (diskrete) Werte annehmen kann. Diesen Sachverhalt bezeichnet man auch als
Richtungsquantelung. Die diskreten Werte von pz = gµBJz sind pm = gµBm, wobei m die 2J +
1 Werte -J, -J +1, -J +2, ... , J - 1, J annehmen kann. (Diese Zusammenhänge können erst
später behandelt werden (Teil 4: Atom- und Molekülphysik). Den diskreten Werten für die zKomponente des permanenten Dipolmomentes, d.h. den Werten pm = gµBm, sind gemäß der
bereits erwähnten bekannten Formel E= - pm B die diskreten Energiewerte Em = - gµBmBo
zugeordnet.
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Der Mittelwert <pz> wird gebildet, indem über die diskreten Werte pm bezüglich der
Richtung von B = Bo • ez unter Beachtung der Wahrscheinlichkeiten wm für die Besetzung
dieser verschiedenen Zustände gemittelt wird: <pz> = Σm pm wm. Die Wahrscheinlichkeiten
wm sind im thermischem Gleichgewicht durch die Boltzmann-Faktoren gegeben:
wm = exp (- Em/kT) [ Σm exp (- Em/kT) ]-1 = exp (- Em/kT) [Z]-1 .
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Die Größe Z beschreibt die Zustandssumme:
Z = Σm exp (- Em/kT) = Σm exp ( + mx), mit der Abkürzung x = gµBBo /(kT). Sie läßt sich relativ einfach ausrechnen, indem in der Summe über alle Werte von m, d.h. die Werte m = -J, J +1, -J +2,..., J - 1, J (siehe oben) summiert wird:
Z = e (-J) x + e (- J +1) x + e (-J + 2) x + ... + e (J - 1) x + e J x = e- Jx [1+q+q2+q3+...+q2J], mit q = ex .
Summe der geometrischen Reihe:
Z = e - Jx [1 - e (2J + 1) x ]/[1 - e x] = e- (2J + 1) x /2 e x/2 [1 - e (2J + 1) x ]/[1 - e x]
Z = [e - (2J + 1) x/2 - e (2J + 1) x/2 ]/[e -x/2 - e x/2] = [sinh{(2J + 1) x/2}]/[sinh{x/2}]
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Der Mittelwert lautet dann:
<pz> = gµB Σm m•exp(- Em/kT)•[Σm exp (- Em/kT)]-1 = gµB Σm m•exp( + mx)•[Σm exp ( + mx)]-
1
<pz> = gµB Z-1 ∂Z / ∂x = gµB ∂[ln Z] / ∂x = gµB LJ (x)
LJ (x) = {(2J + 1)/2} coth {(2J + 1) x/2} - {1/2} coth {x/2} = Langevin-Brillouin-Formel
x<<1: Lj(x) = {J(J+1)x}/3
x>>1: LJ(x) = J
Darstellung von LJ (x) in Abhängigkeit von x = gµBBo /(kT).
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Die Magnetisierung Mo im thermischen Gleichgewicht lautet dann: Mo = 1N gµB LJ (x)
Langevin-Brillouin-Formel
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Die Formel nimmt für x « 1 bzw. y = (2J + 1)x « 1, d.h. bei Reihenentwicklung mit
coth y ≈ 1/y + y/3 + ..., die Form an:
Mo = 1N gµBJ(J+1)x/3 = 1N g2 µB2 J(J+1) B0 /(3kT) = χ Ho
Die Größe χ bezeichnet die paramagnetische Suszeptibilität:
χ = 1N g2 µB2 J(J+1)µo /(3kT) = C/T > 0
Curie-Gesetz