Lösung 13

Festkörperphysik I
Prof. Klaus Ensslin
HS 2016
Verteilung: 14. Dezember 2016
Nachbesprechung: 21./22. Dezember 2016
13. Übungsblatt: Lösungen
Aufgabe 1: Dia- und Paramagnetismus von atomaren Wasserstoff
a) Die Integration führt man offensichtlich in Kugelkoordinaten aus:
∫ ∞
⟨ 2⟩ ⟨ 2 ⟩
4π
r = ψ|r |ψ =
drr4 e−2r/a0 = 3a20 .
πa30 0
Mit der Langevin-Gleichung
χ = −n
µ0 Ze2 ⟨ 2 ⟩
r
6m
und dem gegebenen Wert für n erhält man χ = −1.3 × 10−9 und M = χB/µ0 = −2.6 × 10−3 A/m
b) Mit L = 0 und S = 1/2 erhält man für den Gesamtdrehimpuls des Atoms J = 1/2 mit zwei quantisierten
Spin-Ausrichtungen mJ = ±1/2. Diese beiden Quantenzustände haben in einem externen magnetischen
⃗ = −mJ gµB B und sind somit unterschiedlich besetzt (g = 2 für
Feld verschiedene Energien E = −⃗
µ·H
Elektronen, µB = e~/2m, das Bohr’sche Magneton). Die Besetzungszahl der beiden Niveaus folgt der
Boltzmann-Statistik:
N±1/2 = C exp(±gµB B/2kB T ).
Die Konstante C ist durch die Normierung festgelegt:
C [exp(gµB B/2kB T ) + exp(−gµB B/2kB T )] = N.
Es folgt für die Besetzung der beiden Zustände:
N±1/2 =
N exp(±gµB B/2kB T )
.
2 cosh(gµB B/2kB T )
Die totale Magnetisierung ist die Differenz der beiden Besetzungszahldichten gewichtet mit dem atomaren
magnetischen Moment.
M=
gµB
ngµB
(n−1/2 − n1/2 ) =
tanh(gµB B/2kB T ).
2
2
Für T = 300 K: M = 1.4 A/m
Für T = 4 K: M = 100 A/m
Aufgabe 2: Dia-, Para- und Ferromagnetismus verschiedener Materialien
Paramagneten sind Alkalimetalle (Lithium, Natrium, nicht aber Cäsium), Eisen, Nickel, Gadolinium, Dysprosium, Erbium jeweils oberhalb ihrer Curie Temperatur. Normalleitendes Aluminium ist paramagnetisch, denn
es hat 3 Valenzelektronen (s2 p1 Konfiguration), wovon eines ungepaart ist. Dieses wird sich in einem externen
Magnetfeld ausrichten und zu einer Magnetisierung führen. Für eine komplette Analyse müssen allerdings auch
der Diamagnetismus der Ionenrümpfe, Bandeffekte und Elektron-Elektron-Wechselwirkungen berücksichtigt
werden. Im Falle von Aluminium erhält man dabei χband,core
< χband
.
p
d
Gadolinium, Dysprosium, Erbium gehören zu der Gruppe der seltenen Erden, welche eine nicht abgeschlossene
4f Schale haben. Diese wird durch die Elektronen der abgeschlossenen 5s und 5p Schalen gegen die elektrischen
Felder der Nachbarionen des Kristallgitters abgeschirmt. Bei Zimmertemperatur befinden sich die Ionen der
meisten seltenen Erden im Grundzustand, in diesem Fall findet man die Quantenzahlen S, L und J mit den
Hund’schen Regeln.
Ferromagneten sind Eisen, Nickel, Cobalt, Gadolinium, Dysprosium, Erbium (unterhalb der Curie Temperatur).
Diamagneten sind Edelmetalle wie Gold, Kupfer, Silber.
Bemerkung: Die Ionenrümpfe der Metalle haben häufig abgeschlossene Schalen, ihr Beitrag zur magnetischen
Suszeptiblität ist in diesem Fall diamagnetisch. Der Beitrag der Leitungselektronen ist hingegen paramagnetisch.
Da beide Beiträge in der gleichen Grössenordung χband,core
, χband
≈ 10−6 liegen, können Metalle para- oder
p
d
diamagnetisch sein.
Neon hat als Edelgas ausschliesslich abgeschlossenen Schalen und ist daher ein Diamagnet.
Aufgabe 3: Meißner-Ochsenfeld-Effekt-Effekt, London-Gleichung
a) Für das Magnetfeld im Supraleiter gilt B = 0. Mit M = χH folgt also
B = µ0 (H + M )
!
⇒
=0
χ = −1.
Man spricht daher bei Supraleitern auch von idealen Diamagneten.
b) Mit der Definition der Stromdichte j = −evs ns lässt sich die Kraft durch das elektrische Feld auf die
Ladungsträger umschreiben zu
d
ns e 2
j=
E.
dt
m
Das Faradaysche Induktionsgesetz lautet ∇ × E = −∂B/∂t. Setzt man obige Gleichung ein, so erhält
man
(
)
e 2 ns
∂
∇×j+
B = 0.
∂t
m
(a) B = const.: Ein statisches Magnetfeld, das von Null verschieden ist, führt gemäss ∇ × B = µ0 j
auch zu einer statischen Stromdichte. Diese erfüllen trivialerweise obige Gleichung; allerdings wissen
wir, dass B = 0 im Inneren des Supraleiters. An den Rändern wäre die Differenzierbarkeit daher
nicht gegeben.
(b) B = 0: Für diese Lösung müsste auch j = 0 gelten, was in einem Supraleiter nicht der Fall ist.
(c) B = B0 exp[−X]: Ein exponentieller Abfall des Magnetfelds von der Oberfläche ins Innere der
Probe beschreibt die experimentellen Beobachtungen gut und macht physikalisch Sinn.
Im Gegensatz zu Supraleitern werden die experimentellen Eigenschaften von nahezu idealen Leitern gut
durch obige Gleichung beschrieben. Ein Supraleiter ist also nicht nur dadurch charakterisiert, dass der
spezifische Widerstand verschwindet.
c) Die London-Gleichung lautet
e 2 ns
e 2 ns
B
⇔
j=−
A.
m
m
Im Supraleiter gilt also das ohmsche Gesetz j = σE nicht mehr; vielmehr ist die Stromdichte proportional
zum Vektorpotential.
∇×j =−
2
Mit ∇ × B = µ0 j erhalten wir ∇ × (∇ × B) = − µ0 emns B. Wir nutzen die Identität ∇ × (∇ × B) =
∇(∇ · B) − ∇2 B sowie ∇ · B = 0 und erhalten schliesslich das gesuchte Ergebnis
∇2 B =
µ 0 e 2 ns
B.
m
Für den Fall des halbunendlich ausgedehnten Supraleiters führt dies zu ∂x2 Bx − Bx /λ2L = 0 mit der
(
)1/2
Defintion der Londonschen Eindringtiefe λL = m/µ0 e2 ns
. Die physikalisch relevante Lösung lautet
Bx (x) = B0 exp [−x/λL ].
Der Meißner-Ochsenfeld-Effekt beruht also darauf, dass das Magnetfeld im Inneren der Probe exponentiell
auf Null abfällt. Experimentell findet man dementsprechend auch, dass in Proben, die dünner als λL sind,
der Meißner-Ochsenfeld-Effekt nur unvollständig ausgeprägt ist. Typische Werte für λL liegen bei einigen
100 Å.
Aufgabe 4: Flussquantisierung
a) Nach Bohr-Sommerfeld erhalten wir
I
I
I
m
p ds =
j ds + q A ds
nq
I
∫
m
=
j ds + q (∇ × A) ·dσ
| {z }
nq
=B
I
m
=
j ds + qΦ
nq
!
= lh.
Aus der London-Gleichung folgt, dass Magnetfeld und Stromdichte vom Rand ins Innere der Probe exponentiell abfallen. Da der Integrationspfad sich weit im Inneren befindet, gilt also j = 0. Damit bekommen
wir
h
Φ=l .
q
Der Fluss ist also in ganzzahligen Vielfachen vom Flussquant h/q quantisiert.
Noch eine Anmerkung zur Richtigkeit der Bohr-Sommerfeldschen Quantisierungsbedingung: Diese darf
nur angewendet werden, wenn sich der Integrationspfad entlang eines kohärenten Quantensystems befindet,
z.B. eines Elektronenorbitals in einem Atom. In einem normalleitenden Ring wird die Kohärenz durch
Stossprozesse zerstört, und die Quantisierungsbedingung ist nicht anwendbar. Die BCS-Theorie sagt jedoch einen makroskopischen Grundzustand voraus, so dass wir berechtigt sind, sie zu nutzen. Umgekehrt
lässt sich auch argumentieren, dass der experimentelle Nachweis der Flussquantisierung ein beeindruckender Nachweis für einen makroskopischen Grundzustand ist.
b) Ladungsträger treten also nur mit Ladung −2e auf. Dies ist der experimentelle Nachweis für die theoretische Vorhersage der BCS-Theorie, nach der zwei Elektronen sich zu einem Cooper-Paar mit Ladung
−2e verbinden.