TU München Reinhard Scholz Physik Department, T33 Thomas

TU München
Reinhard Scholz
Physik Department, T33
Thomas Eissfeller, Peter Greck, Tillmann Kubis, Christoph Schindler
http://www.wsi.tum.de/T33/Teaching/teaching.htm
Übung in Theoretischer Physik 5B (Thermodynamik)
Blatt 8, Lösungen
(Abgabe Do 19. Juni 2008 in Vorlesung)
1. Lineare Abhängigkeit der intensiven Variablen [2 Punkte]
Leiten Sie aus der Gibbs-Duhem-Relation für Gemische,
G=
n
X
Nj μj
(1)
j=1
die Beziehung
V dP = SdT +
n
X
Nj dμj
(2)
j=1
her. Aufgrund dieser Beziehung sind von den n + 2 intensiven Variablen T , P , μ1 , ..., μn nur n + 1
unabhängig.
Lösung:
Für G(T, P, N1 , ..., Nn ) gilt:
dG = −SdT + V dP +
und aus der Gleichung G =
n
X
n
X
μj dNj
(3)
j=1
Nj μj außerdem
j=1
dG =
n
X
¡
¢
μj dNj + Nj dμj
(4)
j=1
Aus der Differenz erhält man
⎛
0 = ⎝−SdT + V dP +
= −SdT + V dP −
V dP
= SdT +
n
X
n
X
j=1
n
X
⎞
⎛
⎞
n
X
¡
¢
μj dNj ⎠ − ⎝
μj dNj + Nj dμj ⎠
(5)
j=1
Nj dμj
(6)
j=1
Nj dμj
(7)
j=1
Daher lässt sich eine der n+2 intensiven Variablen durch die anderen n+1 intensiven Variablen ausdrücken,
z.B.
P = P (T, μ1 , ..., μn )
(8)
2. Spezifischen Wärme, Ausdehnungskoeffizient und Kompressibilität [5 Punkte]
Die spezifischen Wärmen bei konstantem Druck bzw. bei konstantem Volumen lauten
µ
µ
µ
µ
¶
¶
¶
¶
†Q
∂S
†Q
∂S
=T
,
CV =
=T
CP =
∂T P
∂T P
∂T V
∂T V
(9)
(a) Drücken Sie das Differential der Entropie dS mit Hilfe der Variablenpaare S(T, V ) und S(T, P ) aus.
1
(b) Folgern Sie aus der verschwindenden Differenz dieser beiden Versionen von dS und für die spezielle
Wahl dP = 0, dass die folgende Relation gilt:
µ
µ
µ
¶
¶
¶ µ
¶
∂S
∂S
∂S
∂V
−
=
(10)
∂T P
∂T V
∂V T ∂T P
(c) Benutzen Sie eine Maxwell-Relation, um daraus die Differenz der spezifischen Wärmen zu ermitteln:
µ
¶ µ
¶
∂P
∂V
CP − CV = T
(11)
∂T V ∂T P
(d) Drücken Sie dieses Ergebnis als
CP − CV = T V
α2
κT
(12)
aus, mit dem thermischen Ausdehungskoeffizienten α und der isothermen Kompressibilität κT in der
Form
µ
¶
µ
¶
1 ∂V
1 ∂V
α=
,
κT = −
(13)
V ∂T P
V ∂P T
Lösung:
(a) Das Differential der Entropie kann auf zwei Arten ausgedrückt werden:
µ
µ
¶
¶
∂S
∂S
dS =
dT +
dP
∂T P
∂P T
µ
µ
¶
¶
∂S
∂S
dS =
dT +
dV
∂T V
∂V T
(14)
(15)
(b) Die Differenz verschwindet:
∙µ
∂S
∂T
¶
P
−
µ
∂S
∂T
¶ ¸
V
dT
∙µ
µ
µ
µ
¶
¶ ¸
¶
¶
∂S
∂S
∂S
∂S
−
dP −
dV
dT +
∂T P
∂T V
∂P T
∂V T
µ
µ
¶
¶
∂S
∂S
dP +
dV
= −
∂P T
∂V T
0 =
(16)
(17)
Bei konstantem Druck gilt dP = 0, d.h. der erste Summand rechts fällt weg. Nach Teilen durch dT
ergibt sich
∙µ
µ
¶
¶ ¸ µ
¶ µ
¶
∂S
∂S
∂V
∂S
=
−
(18)
∂T P
∂T V
∂V T ∂T P
(c) Aus der Definition der spezifischen Wärmen und dem vorigen Teilschritt folgt
∙µ
µ
¶
¶ ¸
∂S
∂S
CP − CV = T
−
∂T P
∂T
µ
¶ µ
¶ V
∂S
∂V
= T
∂V T ∂T P
(19)
(20)
Mit Hilfe der schon früher benutzten Maxwell-Relation aus den gemischten zweiten Ableitungen von
F,
µ
µ
¶
¶
∂S
∂P
=
(21)
∂V T
∂T V
erhält man
CP − CV = T
2
µ
∂P
∂T
¶ µ
V
∂V
∂T
¶
P
(22)
(d) Die drei Variablen T , V und P sind nicht unabhängig voneinander, d.h. es gilt
¶ µ
¶ µ
¶
µ
∂V
∂T
∂P
= −1
∂T V ∂P T ∂V P
µ
¶
∂P
1
= − ¡ ∂V ¢ ¡ ∂T ¢
∂T V
∂P
∂V P
¡ ∂V ¢T
∂T P
¢
= − ¡ ∂V
(23)
(24)
(25)
∂P T
Einsetzen dieses Ausdrucks in CP − CV :
CP − CV
µ
¶ µ
¶
∂P
∂V
∂T
∂T P
¡ ∂V ¢ V µ
¶
∂V
∂T P
¢
= −T ¡ ∂V
∂T P
∂P T
£¡ ∂V ¢ ¤2
= T
¢P
= −T ¡∂T
∂V
(26)
(27)
(28)
∂P T
Aus den Definitionen für thermischen Ausdehungskoeffizienten α und isotherme Kompressibilität κT
folgt
µ
µ
¶
¶
∂V
∂V
= αV ,
= −κT V
(29)
∂T P
∂P T
was eingesetzt sofort den gesuchten Ausdruck ergibt:
2
CP − CV
[αV ]
−κT V
α2
= TV
κT
= −T
(30)
(31)
3. Differenz CP − CV für Festkörper [3 Punkte]
Für einen Festkörper sind die thermische Zustandgleichung
V = V0 − AP + BT
(32)
und die Wärmekapazität CP = C bei konstantem Druck gegeben, mit materialabhängigen Konstanten A,
B und C.
(a) Berechnen Sie die Wärmekapazität CV bei konstantem Volumen sowie
(b) die innere Energie U .
Hinweis: Starten Sie von dem Ausdruck für CP − CV aus dem Teilschritt (c) der vorigen Aufgabe.
Verwenden Sie die differentielle Form dU wie in Aufgabe 1 von Blatt 6.
Lösung:
(a) Die Differenz der spezifischen Wärmen
CP − CV = T
µ
∂P
∂T
¶ µ
V
∂V
∂T
¶
(33)
P
kann aus der Zustandgleichung des Festkörpers ermittelt werden. Nach der Umformung
AP
P
= V0 − V + BT
V0 − V
B
=
+ T
A
A
3
(34)
(35)
lassen sich die gesuchten partiellen Ableitungen angeben:
¶
µ
B
∂P
=
∂T V
A
µ
¶
∂V
= B
∂T P
(36)
(37)
d.h. man findet
B2
T
(38)
A
Da die Wärmekapazität bei konstantem Druck eine Konstante ist, CP = C, hat man damit die
spezifische Wärme CV ermittelt:
CP − CV =
B2
T
A
B2
T
= C−
A
CV
= CP −
(b) Das totale Differential der inneren Energie aus Aufgabe 1 von Blatt 6 lautet
∙ µ
¸
¶
∂P
dU = T
− P dV + CV dT
∂T V
(39)
(40)
(41)
Aus der Zustandsgleichung lassen sich alle benötigten Größen ermitteln, vgl. Teil (a) dieser Aufgabe:
µ
¶
∂P
B
T
=
T
(42)
∂T V
A
V0 − V
B
P =
+ T
(43)
A
A
B2
T
(44)
CV = C −
A
Eingesetzt ergibt sich
dU =
µ
¶
B2
V − V0
dV + C −
T dT
A
A
(45)
in separierter Form, d.h. das vollständige Differential kann sofort integriert werden:
U=
¢
B2 ¡ 2
(V − V0 )2
+ C (T − T0 ) −
T − T02
2A
2A
(46)
4. Magnetisierung im idealen Spinsystem [3 Punkte]
Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 3 auf Blatt 4, um die temperaturabhängige Magnetisierung der
N Spins im äußeren Magnetfeld B zu ermitteln. Bestimmen Sie zunächst die thermische Energie kB T aus
einer geeigneten Ableitung von ln Ω(U, N, B) und lösen Sie die gefundene Beziehung nach U auf, so dass
sich U in der Form U (T, N, B) ergibt. Die gesuchte Magnetisierung ist durch das Verhältnis
M (T, B) = −
U
VB
(47)
definiert. Diskutieren Sie das Verhalten der gefundenen Funktion für kleines Magnetfeld B und für B → ∞.
Lösung:
Aus Aufgabe 3 auf Blatt 4 ergibt sich näherungsweise
µ
¶
µ
¶
N μB + U
N μB + U
N μB − U
N μB − U
ln Ω(U, N, B) = −
ln
−
ln
2μB
2N μB
2μB
2N μB
4
Daraus kann das inverse der thermischen Energie durch Ableitung nach U ermittelt werden:
1
kB T
=
=
=
=
2μB
kB T
=
∂
ln Ω(U, N, B)
∂U
µ
¶µ
¶
N μB + U
N μB + U
1
1
ln
−
−
2μB
2N μB
2μB
N μB + U
µ
¶µ
¶
1
N μB − U
N μB − U
1
+
ln
+
2μB
2N μB
2μB
N μB − U
∙
¸
∙
¸
1
N μB + U
1
N μB − U
−
1 + ln
+
1 + ln
2μB
2N μB
2μB
2N μB
1
N μB − U
ln
2μB N μB + U
N μB − U
ln
N μB + U
Der Logarithmus kann daher als
N μB − U
2μB
=
N μB + U
kB T
ausgedrückt werden, d.h. die Exponentialfunktion dieses Ausdrucks lautet
µ
¶
2μB
N μB − U
= exp
N μB + U
kB T
ln
(48)
(49)
Dies ergibt eine lineare Gleichung für U :
¶
µ
2μB
N μB − U = (N μB + U ) exp
kB T
∙
µ
¶
¸
∙
µ
¶
¸
2μB
2μB
U exp
+1
= −N μB exp
−1
kB T
kB T
(50)
(51)
Daraus folgt für die innere Energie U :
exp
U
= −N μB
exp
³
³
2μB
kB T
2μB
kB T
´
´
−1
³
´
− exp − kμB
BT
³
´
³
´
= −N μB
μB
μB
exp kB T + exp − kB T
exp
³
= −N μB tanh
μB
kB T
(52)
+1
´
μB
kB T
(53)
(54)
Die Magnetisierung ergibt sich als
U
VB
Nμ
μB
tanh
V
kB T
M (T, B) = −
=
(55)
(56)
Für kleine Magnetfelder ist dies linear in B
M (T, B) =
N μ2
B + ...
V kB T
(57)
und für große Magnetfelder geht die tanh-Funktion gegen 1, d.h.
M (T, B) →
Nμ
V
so dass alle Spins durch das Magnetfeld ausgerichtet sind.
5
(58)