Hurra, Hurra, die Feuerwehr ist da oder: Schulgeometrie
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Hurra, Hurra, die Feuerwehr ist da oder: Schulgeometrie ausnahmsweise realitätsnahe Markus Buchtele [email protected] http://www.mathematik.uni-kl.de/~mamaeusch/ http://www.math.uni-klu.ac.at/~mabuchte/ 1 Standortplanung • Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol • Positionierung von einem Feuerwehrhaus • Zentrallagerpositionierung 2 Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol Zu bekannten Einsatzorten in Südtirol soll ein Hubschrauberstützpunkt so gebaut werden, dass die maximale Entfernung zwischen den Einsatzorten und dem Stützpunkt möglichst klein ist. 3 E2 E1 Notfallrettung durch Hubschrauber 4 Mittelpunkt zwischen E1 und E2: 5 Notfallrettung durch Hubschrauber 6 Mittelsenkrechte zwischen E1 und E2: 7 Der beste Standort eines Hubschraubers für 3 Einsatzorte MS23 E2 MS12 E3 E1 MS13 8 Resultat - Umkreismittelpunkt MS23 E2 MS12 E3 E1 MS13 9 E2 E3 E1 10 Positionierung von einem Feuerwehrhaus Zu existierenden Betrieben soll ein Feuerwehrhaus so gebaut werden, dass die maximale Entfernung zwischen den Betrieben und dem Feuerwehrhaus möglichst klein ist. 11 Positionierung von einem Feuerwehrhaus • Problem für 2 Standorte v Mittelpunkt der Strecke • Problem für 3 Standorte v Umkreismittelpunkt 12 Positionierung von einem Feuerwehrhaus • Problem für mehr als 3 Standorte v Gesucht ist der Kreis mit dem kleinsten Radius, der alle gegebenen Standorte überdeckt. 13 Positionierung von einem Feuerwehrhaus Vier mögliche Einsatzorte 14 Positionierung von einem Feuerwehrhaus • Lösungsverfahren 1. Zeichne alle Umkreise von Tripel der Standorte 2. Zeichne alle Kreise um den Mittelpunkt der Strecken von Punktpaaren 3. Streiche alle Kreise, die nicht alle Standorte überdecken 4. Von den restlichen Kreisen wähle den mit dem kleinsten Radius 15 1. Zeichne alle Umkreise von Tripel der Standorte 16 2. Zeichne alle Kreise um den Mittelpunkt der Strecken von Punktpaaren 17 3. Streiche alle Kreise, die nicht alle Standorte überdecken 18 4. Von den restlichen Kreisen wähle den mit dem kleinsten Radius (Durchmesser) 19 Zentrallagerpositionierung Obervellach Wolfsberg Feldkirchen Villach Kötschach Klagenfurt 20 Definition des Weber Problems Wir suchen den Punkt, von dem aus die Summe der gewichteten Euklidischen Distanzen zu n- Fixpunkten minimal ist. 21 Das Weber Problem Synonyme • Das Fermat Problem • Das verallgemeinerte Fermat Problem • Das Fermat – Toricelli Problem • Das Steiner Problem • Das verallgemeinerte Steiner Problem • Das Weber Problem • Das verallgemeinerte Weber Problem • Das Fermat – Weber Problem • Das MinimierungsProblem • Das Minimum der Summe des Reisestartpunktes Problem 22 Geschichtlicher Abriss Pierre de Fermat (1601-1665) - Sohn eines Lederhändlers - Studierte Rechtswissenschaften, wurde Anwalt und später Parlamentsrat - Vorbilder: Euklid und Apollonios - Hauptgebiet: Analytische Geometrie „Given three points in the plane, find a fourth point such that the sum of its distances to the three given points is a minimum“ 23 Geschichtlicher Abriss Evangelista Torricelli (1608 – 1647) - Physiker und Mathematiker - Schüler Galileo Galileis - Physik: Untersuchungen über den Luftdruck und die Hydraulik - Arbeiten: ¾logarithmische Spirale ¾die Einhüllende einer Parabelschar ¾Zykloide 24 Definition des Weber Problems • „Minimum Punkt“: Koordinaten: (x,y) • N - Fixpunkte: (ai,bi) • Gewichte: wi n min W ( x , y ) = ∑ wi d i ( x , y ) x,y i =1 } d i ( x , y ) = ( x − a i ) + ( y − bi ) 2 2 25 Das Weber Problem Feldkirchen Villach Klagenfurt 26 Toricelli Punkt • Ungewichtetes Minimum • n=3 v Dreieck • Alle Winkel müssen kleiner als 120° sein 27 Toricelli Punkt Geg.: Beliebiges Dreieck mit keinem Winkel über 120°. Ges.: Punkt P (T) := Minimum der Summe der Distanzen zu den Eckpunkten 28 Toricelli Punkt Vorgangsweise: Ich zeichne auf jeder Seite meines Dreieckes ein Gleichseitiges Dreieck 29 Toricelli Punkt Anschließend zeichne ich den Umkreisradius der 3 GS Dreiecke. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt T BW OB 30 Toricelli Punkt Beweis • Beweis von J.E.Hofmann in Unvergängliche Geometrie (1963), H.S.M. Coxeter Birkhäuser Verlag Basel Seite 38f 31 Toricelli Punkt Beweis Ziel: Minimum der Summe der Distanzen zu den Eckpunkten 32 Toricelli Punkt Beweis Umsetzung: Ich drehe das Dreieck APC um 60° gegen den Uhrzeigersinn. vDie Dreiecke APP1 und ACC1 sind gleichseitig, alle 60° vAbstand als Polygonzug darstellen Polygonzug minimieren vGerade 33 Toricelli Punkt Beweis Umsetzung: ______ _______ _______ _______ ________ _________ AP+ BP+ CP= BP+ PP1 + P1C1 vminimial, wenn B, P, P1,C1…kollinear Also sollten: APB , AP1C1 =120° also auch APC = 120° 34 Toricelli Punkt Beweis Randwinkelsatz: v Der Randwinkel ist immer halb so groß wie der dazugehörende Zentriwinkel c 35 Umsetzung: Toricelli Punkt Beweis AC1C = 60° und APC = vDa 120° vRandwinkelsatz vDer Punkt P (T) ist auf dem Schnittpunkt der Gerade BC1 und dem Umkreis von ACC1! 36 Toricelli Punkt 37 Simpson Linie Simpson Linie 38 Gleichseitiges Dreieck 39 Toricelli Punkt Bild 1: BAC ist 120°. Die Strecke DB geht genau durch den Punkt A, da 60° ist! DAC Bild 2: BAC ist größer als 120°. Die Strecke DB verläuft außerhalb des Dreieckes ABC 40 The Varignon Frame Pierre Varignon lebte in Frankreich am Ende des 17 Jh. Er war Professor an der Universität in Paris. Seine Spezialgebiete waren Mechanik und Geometrie Warum liegt der Knoten der gewichteten Schnüre im Optimum? 41 The Varignon Frame • Optimum Punkt (x,y) • Gewichte: (wi) • Koordinaten der Punkte: (ai,bi) • n≥3 Summe der gewichteten X- und YKoordinaten sind Null! 42 Eigenschaften des Weber Punktes • Die Gefahr, dass der Weber Punkt (Knoten) in ein Varignon Loch fällt ist nicht gegeben, da, egal wie groß das Gewicht des einen Loches auch ist, die anderen Gewichte diese Möglichkeit verhindern (ab n ≥ 3) • Drezner und Simchi-Levi (1992) entdeckten, dass die Wahrscheinlichkeit, das der Weber Punkt genau an einem Fixpunkt liegt, 1/n ist. d.f., dass je mehr Löcher sind, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist. 43 Andere Lösungsverfahren • Der Weiszfeld Algorithmus (1936) • Austin (1959) • Porter (1963) 44 Quellenverzeichnis • Standortplanung. H. Hamacher, (Hrsg.): Pädagogisches Zentrum Rheinland-Pfalz, Bad Kreuznach 2000 • http://www. kagis.ktn.gv.at • http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/torricelli.html • http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/fermat.html • http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/varignon.html 45 Danke! http://www.mathematik.uni-kl.de/~mamaeusch/ 46
