Lösungen Blatt 10

Musterlösung
Hans-Christian von Bothmer
SoSe 2015
Blatt 10
Thema: Einführung in die Hyperbolische Geometrie
Aufgabe
In der Hyperbolischen Geometrie betrachtet man die obere Halbebene und darin Halbkreise
mit Mittelpunkt auf der x -Achse.
1. In wie vielen Punkten können sich zwei solche Halbkreise schneiden?
Lösung :
Es gibt folgende Möglichkeiten:
• Zwei Halbkreise haben keinen Schnittpunkt:
• Zwei verschiedene Halbkreise haben genau einen Schnittpunkt:
Zwei verschiedene Kreise schneiden sich in maximal zwei Punkten. Entweder
haben sie nur einen Punkt gemeinsam - Berührungspunkt (siehe Abb.1), oder
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schneiden sie sich in zwei verschiedenen Punkten. Liegen die Mittelpunkte der
Kreise auf der x -Achse, so liegen die Schnittpunkte jeweils in der oberen und
unteren Halbebene, so dass die Halbkreise sich in genau einem Punkt schneiden
können (siehe Abb. 2).
• Zwei Halbkreise scneiden sich in unendlich vielen Punkten, also sind gleich.
2. Gegeben seien 2 Punkte in der oberen Halbebene. Konstruieren Sie mit Zirkel und
Lineal einen Halbkreis mit Mittelpunkt auf der x -Achse der durch beide Punkte geht
Lösung :
Zusammen mit dem Mittelpunkt O des Halbkreises sind P und Q die Eckpunkte
eines gleichschenkligen Dreiecks 4OP Q : |P O| = |QO| ist der Radius des Halbkreises.
In einem gleichschenkligen Dreieck stimmt die Höhe mit der Mittelsenkrechten der
Basis überein.
Zunächst konstruieren wir also die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten P und Q .
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Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der x -Achse ist der Mittelpunkt O des
Halbkreises. Nun zeichnen wir den Halbkreis durch P und Q um den Punkt O mit
dem Radius |P O| .
Bemerkung : Man sieht, dass durch zwei verschiedene Punkte genau ein Halbkreis
existiert.
3. Konstruieren sie ein Hyperbolisches Dreieck mit den gegebenen Ecken A, B, C .
Was ist die Winkelsumme dieses Dreiecks (gemessen)?
Lösung :
Wir konstruieren zunächst drei Halbkreise: H1 durch die Punkte A, B mit dem Mittelpunkt O1 , H2 durch die Punkte B, C mit dem Mittelpunkt O2 und H3 durch die
Punkte A, C mit dem Mittelpunkt O3 . Die Figur, die von diesen Halbkreisen begrenzt
ist, ist unser hyperbolisches Dreieck.
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Der hyperbolische Winkel zwischen zwei Kreisbögen wird über deren Tangenten am
Schnittpunkt bestimmt. Um den Winkel zwischen Kreisbögen AB und AC zu messen, konstruieren wir die Tangenten an die Halbkreise H1 und H3 am deren Scnittpunkt A . Der Winkel α zwischen Tangenten ist gleich 7, 12◦ . Analog messen wir
den Winkel zwischen Kreisbögen AB und BC ( β = 149, 67◦ ) und den Winkel zwischen Kreisbögen AC und BC ( γ = 1, 38◦ ). Daraus ergibt sich die Winkelsumme
W = α + β + γ = 158, 18◦ < 180◦ .
4. Konstruieren sie ein Hyperbolisches Dreieck mit den gegebenen Ecken D, E, F .
Was ist die Winkelsumme dieses Dreiecks?
Lösung :
Ganz analog wie oben konstruieren wir das Hyperbolische Dreieck mit den Eckpunkten
D, E, F .
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Da alle Tangenten an den Eckpunkten senkrecht zur x -Achse sind, sind alle Winkel
in diesem Dreieck gleich 0◦ , so dass die Winkelsumme auch 0◦ ist.
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