logik-ws15-Blatt05-lsg - Institut für Informatik

Universität Augsburg
Institut für Informatik
Prof. Dr. W. Vogler
Dipl.-Inform. F. Bujtor
Logik für Informatiker WS 15/16
Übungsblatt 5 – Lösungsvorschlag
(Abgabe bis Donnerstag 26.11.2015, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: (Hilbert-Kalkül)
3 + 4 = 7 Punkte
1. Leiten Sie folgende Aussage im Hilbert-Kalkül her. Verwenden Sie nur die Axiome 1-3,
Modus Ponens und die Eigenschaft ` A → A.
{A → (A → B)} ` A → B
Lösung:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Die Herleitung:
A → (A → B)
(A → (A → B)) → ((A → A) → (A → B))
(A → A) → (A → B)
A→A
A→B
trivial (∈ M)
Ax2
MP (1),(2)
A → A, 2.6 b
MP (4),(3)
2. Leiten Sie die folgende Aussage im Hilbert-Kalkül her. Verwenden Sie nur die Axiome
1-3 und den Modus Ponens.
{A → B, B → C} ` A → C
Lösung:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Die Herleitung:
B→C
(B → C) → (A → (B → C))
A → (B → C)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(A → B) → (A → C)
A→B
A→C
trivial (∈ M)
Ax1
MP (1), (2)
Ax2
MP (3), (4)
trivial (∈ M)
MP (6), (5)
Gehen Sie bei den Konstruktionen der Herleitungen vor wie in Beispiel 2.6 beschrieben; versuchen Sie insbesondere, herzuleitende Aussagen (wie A → B in 2.6) als rechte Seiten von
Axiomen zu erkennen.
Aufgabe 2: (Deduktions-Theorem)
Betrachten Sie die folgende Herleitung:
(1)
(2)
(3)
(4)
{B, B → C} ` B
{B, B → C} ` B → C
{B, B → C} ` C
{B} ` (B → C) → C
5 Punkte
∈M
∈M
MP (1) (2)
Ded. (3)
In Zeile 4 wird das Deduktionstheorem verwendet. Konstruieren Sie aus dieser Herleitung
eine Herleitung für die letzte Zeile, die das Deduktionstheorem nicht verwendet. Gehen Sie
dabei so vor, wie im Beweis von Satz 2.8 (Deduktionstheorem) aus der Vorlesung
beschrieben!
Übungsblatt 5 (Logik für Informatiker WS 15/16)
Lösung:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
B
B → ((B → C) → B)
(B → C) → B
(B → C) → (B → C)
((B → C) → (B → C)) → (((B → C) → B) → ((B → C) → C))
((B → C) → B) → ((B → C) → C)
(B → C) → C
2
∈M
Ax 1
MP (1) (2)
B→B
Ax 2
MP (4) (5)
MP (3) (6)
Aufgabe 3: (Formalisierung)
5 Punkte
Wir betrachten erneut die Interpretation von Blatt 3 Aufgabe 3:
D sei eine Teilmenge natürlicher Zahlen. Gegeben seien die Prädikatssymbole P und LE mit
Interpretation ist prim“ und kleiner-gleich“ sowie die Funktionssymbole add und mult mit
”
”
Interpretation + und ·.
1. Mögliche Lösungen zur 3. Teilaufgabe ( D enthält 0“) waren:
”
(a) ∃x add(x, x) = x
Lösung: Gute Formalisierung. Diese Gleichung kann recht offensichtlich nur von
x = 0 erfüllt werden.
(b) ∃x∀y add(x, y) = y
Lösung: Gute Formalisierung: 0 ist das neutrale Element in den natürlichen Zahlen
bzgl. Addition. (unnötig kompliziert im gegensatz zu (a)) Im allgemeinen kann bei
einer Struktur mit neutralem Element in einer Teilmenge ein anderes Element
neutral sein. (z.B. Maximumsbildung auf {0, 1} mit Teilmenge {1})
(c) ∃x mult(x, x) = x
Lösung: Schlichtweg falsch. Falls D = N \ 0 so ist die Formel (wegen 1) erfüllt,
obwohl die 0 nicht in der Grundmenge ist.
(d) ∃x∀y mult(x, y) = x
Lösung: Dies ist keine gute Formalisierung, da nicht offensichtlich ist, dass sie
korrekt ist. Für D = {1} wäre die Formel auch erfüllt. Erst durch weitere Überlegungen kann man einsehen, dass solch problematische D wegen dem Abschluss
unter Addition nicht zugelassen sind.
Bewerten Sie die Angemessenheit dieser Formalisierungen. (Selbstverständlich mit Begründung)
2. Geben Sie eine Formel an, die besagt, dass x das Doppelte von y ist. (x, y ungebunden)
Lösung:
x = add(y, y)
3. Geben Sie eine Formel an, die besagt, dass x das Dreifache von y ist. (x, y ungebunden)
Lösung:
x = add(add(y, y), y)
Übungsblatt 5 (Logik für Informatiker WS 15/16)
3
Aufgabe 4: (Beweis)
5 Punkte
Seien F und G aussagenlogische Formeln, die keine gemeinsamen Atome haben.
Zeigen Sie: Ist F → G eine Tautologie, so ist F nicht erfüllbar oder G ist eine Tautologie.
Tipp: Zeigen Sie die Kontraposition der Aussage.
Lösung: F habe die Atome p1 , p2 , . . . , pi und G die Atome pi+1 , . . . , pn .
Angenommen F ist erfüllbar und G ist keine Tautologie. Dann gibt es Interpretationen I1
mit I1 |= F und I2 mit I2 6|= G. Aus I1 und I2 konstruieren wir eine neue Interpration I, die
sich bei p1 , . . . , pi wie I1 , bei pi+1 , . . . , pn wie I2 verhält. Offensichtlich gelten analog I |= F
und I 6|= G. Mit (vgl. A4) folgt I 6|= F → G. Also ist F → G keine Tautologie.
Aufgabe 5: (Alice II)
3 Punkte
Der Löwe und das Einhorn waren nicht die einzigen Besucher im Wald der Vergesslichkeit.
Die Zwillinge Tweedledee und Tweedledum gingen dort auch ein und aus. Einer von ihnen
verhielt sich wie der Löwe. Er log montags, dienstags und mittwochs. Der andere verhielt
sich wie das Einhorn, er log Donnerstags, Freitags und Samstags. Leider wusste Alice nicht,
welcher von beiden sich wie verhielt. Noch dazu konnte sie die beiden vom Sehen her nicht
auseinanderhalten, weil sie sich so ähnlich sahen.
Wichtig: Begründen Sie, wie immer, Ihre Antworten knapp.
1. Eines Tages trifft Alice die Zwillinge, die folgendes behaupten:
• Der eine: Ich bin Tweedledum.“
”
• Der andere: Ich bin Tweedledee.“
”
Welcher ist welcher Zwilling und an welchem Wochentag geschah das?
Lösung: Nachdem nur einer Tweedledee und einer Tweedledum sein kann, müssen beide
lügen oder beide die Wahrheit sagen. Das kann nur an einem Sonntag passieren, da sonst
immer einer von ihnen lügt. Also ist Jeder wer er behauptet zu sein.
2. An einem anderen Tag derselben Woche behaupteten die beiden folgendes:
• Der eine: Ich bin Tweedledum.“
”
• Der andere: Wenn das stimmt, dann bin ich Tweedledee.“
”
Welcher von den beiden ist welcher?
Lösung: Die zweite Aussage ist sicherlich wahr. Nachdem es aber nicht derselbe Tag ist
wie in 1., können nicht beide die Wahrheit sagen. Also ist der erste Tweedledee und der
zweite Tweedledum.
3. Es gab zwei Tage, an denen Alice nur jeweils einen der Zwillinge getroffen hat. An dem
einen Tag sagte der Zwilling: Ich lüge heute und ich bin Tweedledee“. Am anderen Tag
”
sagte der Zwilling (Alice wusste nicht, ob es derselbe war): Ich lüge heute oder ich bin
”
Tweedledee“. Kann man herausfinden, welchem der Zwillinge sie an dem einen, bzw.
dem anderen Tag begegnet ist? Wenn ja, dann geben Sie dies auch an.
Lösung: Die erste Aussage muss gelogen gewesen sein. Wenn sie wahr wäre hätte das
zur Folge, dass der Sprecher lügen würde, was ein offensichtlicher Widerspruch ist. Wenn
die Aussage aber gelogen ist, ist ihr erster Teil wahr, also muss der zweite falsch sein.
Damit ist der Sprecher Tweedledum.
Auch im zweiten Fall kann der Sprecher identifiziert werden: Wenn er lügen würde, dann
wäre der der erste Teil und damit die ganze Aussage wahr. Also muss er die Wahrheit
sagen. Nachdem deswegen der erste Teil falsch ist, muss der zweite wahr sein. Damit ist
der Sprecher Tweedledee.
Übungsblatt 5 (Logik für Informatiker WS 15/16)
4
4. An einem ganz besonderen Tag konnte Alice ihre Neugier in dreierlei Hinsicht befriedigen. Sie traf die beiden Zwillinge und konnte anhand ihrer Aussagen feststellen:
1. Welcher Tag es war, 2. Welcher von den beiden Tweedledee und welcher Tweedledum
war und 3. welcher von den beiden sich wie der Löwe verhielt. Die Aussagen waren die
folgenden:
• Der eine: Heute ist nicht Sonntag.“
”
• Der andere: Genauer gesagt ist sogar Montag.“
”
• Der eine: Morgen wird Tweedledee lügen.“
”
• Der andere: Der Löwe hat gestern gelogen.“
”
Finden Sie die Antworten zu den drei Fragen.
Lösung: Aus der ersten Aussage wissen wir, dass nicht Sonntag ist und dass der erste
die Wahrheit sagt. Wenn Sonntag wäre, würde er lügen, was aber Sonntags keiner von
beiden macht. Nachdem nicht Sonntag ist und der erste die Wahrheit spricht, lügt der
zweite. Damit ist heute auch nicht Montag.
Die vierte Aussage ist auch gelogen, womit wir Dienstag, Mittwoch und Donnerstag
ebenfalls ausschließen können. Es bleiben Freitag und Samstag. Nachdem die dritte
Aussage wahr ist, kann nicht Samstag sein, sonst würde Tweedledee am Sonntag lügen.
Also ist es Freitag und Tweedledee lügt Samstags. Er ist also wie das Einhorn und
damit ist Tweedledum wie der Löwe. Aus diesen Tatsachen schließen wir, dass der
”
eine“ Tweedledum und der andere“ Tweedledee ist.
”