Lösungen zum Aufgabenblatt 1 Logik und modelltheoretische

Lösungen zum Aufgabenblatt 1
Logik und modelltheoretische Semantik
Universität München, CIS, SS 2013
Hans Leiß
Abgabe: bis Do, 25.4.2013, 16.00 Uhr
in meinem Postfach (Druckerraum am CIS)
Aufgabe 1.1
(a) Prüfe, ob die aussagenlogische Formel
ϕ := ((p → (q → p)) → ((p ∧ q) → p))
logisch wahr ist.
(3 Punkte)
(b) Sind die Aussagen (p ↔ (q → p)) und ((p ∧ q) ↔ p) logisch äquivalent?
(3 Punkte)
Lösung von Aufgabe 1.1
(a) Man stellt die Wahrheitstabelle auf:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
((p → (q → p)) → ((p ∧ q) → p))
0 1
0 1 0
1
0 0 0
1 0
0 1
1 0 0
1
0 0 1
1 0
1
1 1
1
1 1
Dabei muß man nicht immer alle Felder ausrechnen, wie die letzten beiden Zeilen zeigen.
(b) Entsprechend berechnet man die Werte der beiden Formeln und prüft, ob sie bei allen
Belegungen gleich sind:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
(p ↔ (q → p))
0 0
1
1
0
1
1
1
1
((p ∧ q) ↔ p)
0
0
0
1
0
0 1
1
1
Da die Formeln bei der Belegung h(p) = 1, h(q) = 0 verschiedene Werte (nämlich 1 bzw. 0)
haben, sind die Formeln nicht äquivalent.
Aufgabe 1.2 Zeige, daß die Konjunktion (deshalb), weil, mit der man in der Umgangssprache
zwei Aussagen A und B zur Aussage
A, weil B
verbinden kann, nicht durch eine Wahrheitsfunktion f : B × B → B interpretieren kann, d.h.
daß der Wahrheitswert einer Ausssage (A deshalb, weil B) nicht allein durch die Wahrheitswerte
von A und B bestimmt ist.
(4 Punkte)
Hinweis: Suche Beispielaussagen A, A′ mit demselben Wahrheitswert und Aussagen B, B ′ mit
demselben Wahrheitswert, aber so, daß (A, weil B) nicht denselben Wahrheitswert wie (A′ , weil
B ′ ) hat.
Lösung von Aufgabe 1.2 Wähle A := “Der Horizont ist gekrümmt”, A′ := 2 · 2 = 4,
B = B ′ = “Die Erde ist eine Kugel”. Die Aussagen A, A′ , B, B ′ sind offensichtlich wahr. Von den
weil -Verbindungen ist (A, weil B) wahr, aber (A′ , weil B ′ ) falsch. Also gibt es keine Wahrheitsfunktion f : B × B → B mit 1 = [[(A, weil B)]] = f (1, 1) = [[(A′ , weil B ′ )]] = 0.
Aufgabe 1.3
Sei T die Aussagenmenge { p2n ↔ pn | n ∈ N }.
(a) Ist T erfüllbar, und wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?
(2 Punkte)
(b) Zeige, daß (p8 ↔ p1 ) aus T folgt.
(2 Punkte)
(c) Gib eine endliche Teilmengen E ⊆ T an, aus der (p8 ↔ p1 ) folgt.
(2 Punkte)
Lösung von Aufgabe 1.3
(a) Die Belegung h mit h(pi ) = 1 für alle i erfüllt T . (Es gibt auch andere.)
(b) Sei h eine Belegung, die T erfüllt. Dann ist [[p2n ↔ pn ]]h = 1 für alle n, also [[p2n ]]h = [[pn ]]h
für alle n. Daher ist [[p8 ]]h = [[p4 ]]h = [[p2 ]]h = [[p1 ]]h , woraus [[p8 ↔ p1 ]]h = 1 folgt.
(c) E = {(p8 ↔ p4 ), (p4 ↔ p2 ), (p2 ↔ p1 )}.
2