Lösungsblatt 1

Lösungen zum Aufgabenblatt 1
Logik und modelltheoretische Semantik
Universität München, CIS, SoSe 2016
Hans Leiß
Abgabe: Do, 21.4.2016, 16.ct Uhr
in der Übungsstunde
Aufgabe 1.1 Zeige, daß man die Konjunktion (deshalb), weil, die in der Umgangssprache
zwei Aussagen A und B zur Aussage
A, weil B
verbindet, nicht durch eine Wahrheitsfunktion f : B × B → B interpretieren kann, d.h. daß der
Wahrheitswert einer Ausssage (A deshalb, weil B) nicht allein durch die Wahrheitswerte von A
und B bestimmt ist.
Hinweis: Suche Aussagen A, A′ mit demselben Wahrheitswert und Aussagen B, B ′ mit demselben Wahrheitswert, aber so, daß (A, weil B) nicht denselben Wahrheitswert wie (A′ , weil B ′ )
hat.
Lösung von Aufgabe 1.1 Wähle A := “Der Horizont ist gekrümmt”, A′ := 2 · 2 = 4, B =
B ′ = “Die Form der Erde ist eine Kugel”. Die Aussagen A, A′ , B, B ′ sind wahr. Von den weil Verbindungen ist (A, weil B) wahr, aber (A′ , weil B ′ ) falsch. Also gibt es keine Wahrheitsfunktion
f : B × B → B mit
1 = [[(A, weil B)]] = f ([[A]], [[B]]) = f (1, 1) = f ([[A′ ]], [[B ′ ]]) = [[(A′ , weil B ′ )]] = 0.
Aufgabe 1.2 Sei T die Aussagenmenge { p2n ↔ pn | n ∈ N }.
(a) Ist T erfüllbar, und wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?
(b) Zeige, daß (p8 ↔ p1 ) aus T folgt.
(c) Gib eine endliche Teilmengen E ⊆ T an, aus der (p8 ↔ p1 ) folgt.
(d) Gibt es eine kleinste endliche Teilmenge E ⊆ T , aus der (p8 ↔ p1 ) folgt?
(e) Zeige, daß (p3 ∧ p2 ) nicht aus T folgt.
Lösung von Aufgabe 1.2
(a) Die Belegung h mit h(pi ) = 1 für alle i erfüllt T . (Es gibt auch andere.)
(b) Sei h eine Belegung, die T erfüllt. Dann ist [[p2n ↔ pn ]]h = 1 für alle n, also [[p2n ]]h = [[pn ]]h
für alle n. Daher ist [[p8 ]]h = [[p4 ]]h = [[p2 ]]h = [[p1 ]]h , woraus [[p8 ↔ p1 ]]h = 1 folgt.
(c) E = {(p8 ↔ p4 ), (p4 ↔ p2 ), (p2 ↔ p1 )}.
(d) Das obige E ist die kleinste Teilmenge von T , aus der die Formel folgt. Wenn wir z.B.
E ′ = E \ {p4 ↔ p2 } betrachten, können wir h mit h(p1 ) = h(p2 ) = 1 und h(pm ) = 0 für
alle m ≥ 3 nehmen und haben eine Belegung, die E ′ wahr macht, aber p8 ↔ p1 nicht.
(e) Wir suchen eine Belegung h, die alle Aussagen aus T wahr macht, aber (p3 ∧ p2 ) nicht
wahr macht. Dann müssen wir h so wählen, daß p3 oder p2 (oder beide) bei h falsch sind.
Am einfachsten wählen wir h(pn ) := 0 für alle n ∈ N. Dann ist natürlich
[[p3 ∧ p2 ]]h = min{[[p3 ]]h , [[p2 ]]h } = min{h(p3 ), h(p2 )} = min{0, 0} = 0,
aber alle Aussagen aus T werden bei h wahr, da wegen [[p2n ]]h = [[pn ]]h ja
[[p2n ↔ pn ]]h = 1
ist (nach der Wahrheitstafel für ↔), für jedes n ∈ N.
Aufgabe 1.3 Wir habe in der Übungsstunde gezeigt, daß der Endlichkeitssatz für die Folgerung gilt, wenn der Endlichkeitssatz für die Erfüllbarkeit gilt (Folie 13). Durchdenken Sie
nochmal das Argument:
Sei T eine Aussagenmenge und ϕ eine Aussage. Die Behauptung (bzw. ihr schwieriger Teil) ist:
Wenn T |= ϕ, so gibt es ein endliches E ⊆ T mit E |= ϕ.
Wir zeigen das indirekt: Angenommen, es gäbe kein endliches E ⊆ T mit E |= ϕ. Dann wäre
für jedes endliche E ⊆ T ja E 6|= ϕ. Nach der Proposition (Folie 13) wäre dann für jedes
endliche E ⊆ T die Menge E ∪ {¬ϕ} erfüllbar. Und dann wäre nach dem Endlichkeitssatz für
die Erfüllbarkeit auch T ∪ {¬ϕ} erfüllbar. Und dann wäre T 6|= ϕ.
Der leichte Teil der Behauptung des Endlichkeitssatzes für die Folgerung ist, daß für jede Theorie
T und jede Aussage gelten soll:
Wenn es eine endliche Teilmenge E ⊆ T mit E |= ϕ gibt, so gilt auch T |= ϕ.
Zeigen Sie das durch Anwenden der Definition der Folgerungsbeziehung |=.
Lösung von Aufgabe 1.3 Was den leichten Teil der Behauptung angeht: Angenommen, es
gibt ein endliches E ⊆ T mit E |= ϕ. Um T |= ϕ zu zeigen, wähle eine beliebige Belegung
h : Var → {0, 1}, das alle Aussagen aus T wahr macht. Dann macht h insbesondere alle Aussagen
aus E wahr, und wegen E |= ϕ gilt dann [[ϕ]]h = 1.
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