Blatt 5
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ÜBUNGEN ZUR PHYSIK II UND EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK SOMMERSEMESTER 2015 – BLATT 5 – Prof. Dr. Caren Hagner, Prof. Dr. Peter Schleper, Prof. Dr. Martin Eckstein Abgabe und Besprechung: 20.5./21.5.2015 Aufgabe 30: Laden von Kondensatoren (2 + 2 = 4 Punkte) S Zwei Kondensatoren werden von einer Spannungsquelle (Uq = 12V) mit Innenwiderstand r = 1Ω aufgeladen. Zwischen die Kondensatoren ist ein Widerstand von 7Ω geschaltet. 3μF + 12V a) Was ist die Zeitkonstante τ des Ladevorgangs? 7Ω 1Ω b) Wie groß ist die Spannung über dem 6μF Kondensator zur Zeit t = τ nach Schließen des Schalters S? 6μF Batterie Aufgabe 31: Massenspektrometer (2 + 2 = 4 Punkte) Im abgebildeten Massenspektrometer wird ein Ionenstrahl durch die Spalte S1 und S2 fokussiert. Zwischen den Platten P und P’ liegt ein elektrisches Feld E = 2.00·104 V/m. Dazu senkrecht wird ein Magnetfeld B = 0.710 T (Richtung aus der Bildebene heraus) angelegt. a) Welche Geschwindigkeit müssen die Ionen haben um durch den Spalt S3 zu gelangen? b) Im Magnetfeld B’ (hier sei B’ = B) werden die Ionen abgelenkt und treffen auf eine Detektorebene. Bestimmen Sie die Abstände zwischen den Auftrefforten der Kryptonisotope: 82Kr, 84Kr und 86Kr. Die Ionen seien einfach geladen und ihre Massen gleich ihrer Massenzahl multipliziert mit der atomaren Masseneinheit u = 1.66·10-27kg. Detektor R Aufgabe 32: „Voice coil“ im Magnetfeld (2 + 2 = 4 Punkte) Eine stromdurchflossene Spule (50 Wicklungen, Durchmesser 1.80cm, Strom 1.00A) befindet sich in einem inhomogenen Magnetfeld. Das Feld ist nach außen gerichtet, hat einen konstanten Betrag (B = 0.250 T) und der Winkel zwischen der Flächennormalen und dem Feld beträgt 60o. Berechnen Sie die gesamte Kraft (Betrag und Richtung), die auf die Spule wirkt. Auf diese Art wird z.B. die Membran eines Lautsprechers bewegt, welche an der Spule (voice coil) befestigt ist. 60o B 60o B I Aufgabe 33: Magnetisches Moment des Neutrons (2 + 2 = 4 Punkte) v Obwohl ein Neutron keine elektrische Ladung besitzt, hat man experimentell ein -27 2 d magnetisches Moment von 9.66·10 Am bestimmt. Dies lässt sich durch die Substruktur des Neutrons ( 2 d-Quarks mit Ladung von jeweils –e/3 und 1 u-Quark mit Ladung +2/3e) erklären. Nehmen Sie in einem sehr einfachen Modell an, dass sich die d-Quarks mit der Geschwindigkeit v im Uhrzeigersinn auf einer Kreisbahn mit Radius R bewegen. Das u-Quark bewege sich mit der gleichen Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit gleichem Radius gegen den Uhrzeigersinn. a) Bestimmen Sie den Betrag des magnetischen Moments des 3-Quark-Systems in diesem Modell. b) Welche Geschwindigkeit v müssten die Quarks haben, um den angegebenen Wert des magnetischen Moments des Neutrons zu erklären? (Schätzen Sie den Radius der Kreisbahn durch den Radius des Neutrons rN = 1.20·10-15m ab.) v u d v Einführung in die theoretische Physik II Übung 5 – Abgabe 12. Mai 2015. Sommersemester 2015 [email protected] Aufgabe 34: Gradientenfelder - oder nicht ( 4 Punkte) ~ r) = zêy + 2xzêx + (yz + x2 )êz Überprüfen Sie, welches der Felder F~ (~r) = z 2 êy + 2xzêx + (2yz + x2 )êz und G(~ ~ r) eines Skalarfeldes Φ(~r) schreiben lässt, und bestimmen Sie Φ(~r) für diesen Fall. sich als Gradient −∇Φ(~ Aufgabe 35: Metallkugel im homogenen Feld ( 2 Punkte) Eine ungeladene Metallkugel (Radius R) befinde sich in einem homoge~ 0 . Zeigen Sie, dass das durch die auf der Oberfläche induzierten nen Feld E Ladungen ausserhalb der Kugel durch das Feld eines Punkt-Dipols gegeben ist, und bestimmen Sie das Dipolmoment p~. Hinweis: Zeigen Sie, dass die Summe aus dem Potential des äusseren Feldes und dem Potential eines Punkt-Dipols im Zentrum der Kugel auf der Oberfläche der Kugel konstant ist. Aufgabe 36: Lösung einer Differenialgleichung mit Hilfe der δ-Funktion ( 2+2 Punkte) Die aus der Vorlesung bekannte Lösung der Poisson Gleichung mit Hilfe der δ Funktion folgt einem allgemeinen Rezept zur Lösung von inhomogenen linearen Differentialgleichungen (Methode der Green’schen Funktion). Betrachten als Beispiel die skizzierte Schaltung mit einer externen zeitabhängigen Spannungsquelle U0 (t). Die Spannung U (t) am Kondensator gehorcht der Differentialgleichung (siehe Experimentalphysik) τ dU (t) + U (t) = U0 (t), dt mit τ = RC. a. Bestimmen Sie zunächst eine Lösung Ut0 (t) der Gleichung für eine Spannung U0 (t) = u0 τ δ(t − t0 ). (Der Vorfaktor gewährleistet die richtige Einheit.) [Lösung Ut0 (t) = u0 Θ(t − t0 )e−(t−t0 )/τ ] b. Zeigen Sie dann R tunter Ausnutzung der Linearität, dass sich die allgemeine Lösung als U (t) = (1/τ ) −∞ dt̄ U0 (t̄) e−(t−t̄)/τ schreiben lässt. Überprüfen Sie das Ergebnis für U0 (t) = u0 Θ(t). Aufgabe 37: Potential des Ellipsoids ( 2+2 Punkte) Gegeben sei ein homogen geladenes Rotationsellipsoid (1 + ǫ)z 2 + x2 + y 2 ≤ R2 mit Gesamtladung Q. a. Bestimmen Sie das Monopolmoment, das Dipolmoment p~, und das Quadrupolmoment M der Anordnung. Zur Berechnung von M : Zeigen sie aus Symmetrieüberlegungen, dass Mxy = Myx = Mzx = 0 und Mxx = MyyP(das gilt für einen beliebigen, um die z-Achse rotations-symmetrischen Körper). Wegen der Spurfreiheit i=x,y,z Mii = 0 müssen Sie nur einen Koeffizienten berechnen. Bestimmen Sie diesen in führender nicht-trivialer Ordnung von ǫ, d.h. für kleine Abweichung von der Kugel. (Rechnung in Kugelkoordinaten sinnvoll.) b. Drücken Sie das Potential der Anordnung für ǫ ≪ 1 im Fernfeld durch Kugenkoordinaten aus. Skizzieren Sie die Äquipotentialebenen.
