Lösung zum 6.¨Ubungsblatt ” Lineare Algebra für Ingenieure“

Technische Universität Berlin
WS 2001/02
Fakultät II – Institut f. Mathematik
Seiler, Rambau, Wiehe, Gentz, Scherfner
Körner, Schulz-Baldes, Schwarz
Lösung zum 6. Übungsblatt
Lineare Algebra für Ingenieure“
”
http://www.math.tu-berlin.de/HM/LinAlg/Aktuell/main.html
Lineare Abbildungen
1. Hausaufgabe: Differentiation ist linear
Die beiden Funktionen f1 (x) = sin(x) und f2 (x) = cos(x) spannen folgenden
Vektorraum (mit der Addition (f +g)(x) = f (x)+g(x) und der Multiplikation
(λf )(x) := λ · f (x)) auf:
S := {f : R → R | f (x) = a sin(x − b), a, b ∈ R}
i) Zeigen Sie, dass die Ableitung D : S → S, definiert durch (Df )(x) := f 0 (x)
eine lineare Abbildung ist.
ii) Bestimmen Sie den Kern und das Bild der Abbildung D.
iii) Berechnen Sie D4 .
Lösung: f1 (x) = sin(x) und f2 (x) = cos(x)
i) Die Linearität kann man sowohl zeigen, indem man einen allgemeinen
Vektor durch f (x) = a sin(x − b) als auch durch f (x) = α sin(x) +
β cos(x) ausdrückt. Los geht’s!
Für f (x) = a sin(x − b) und g(x) = c sin(x − d) gilt:
0
D(f + g) (x) = a sin(x − b) + c sin(x − d)
= a cos(x − b) + c cos(x − d)
0
0
= a sin(x − b) + c sin(x − d) = (Df )(x) + (Dg)(x)
0
0
(Dλf )(x) = λ · a sin(x − b) = λa cos(x − b) = λ a sin(x − b)
= λ(Df )(x)
⇒ D linear.
ii) Den Kern berechnen wir lieber über die Basisvektoren f1 und f2 :
Kern D = f (x) = a sin(x − b) ∈ S | D f (x) = 0
(Df )(x) = a cos(x − b) = a cos x cos b + a sin x sin b
= a cos b cos x + a sin b sin x
(1)
Aus der Bedingung
!
(Df )(x) = a cos b cos x + a sin b sin x = 0 · sin x + 0 · cos x
folgt
a cos b = 0
⇒
⇒
a sin b = 0
Da sin b und cos b nie gleichzeitig = 0
muss a = 0 also ist der Kern nur der Nullvektor.
Allgemein gilt:
S := {f (x) = a sin(x − b) | a, b ∈ R}
a sin(x − b) = a(sin x cos b − cos x sin b)
= a
| cos
{z }b sin x − a
| sin
{z }b cos x
skalar
skalar
Nun das Bild!
Bild D = {a cos(x − b) ∈ S}
= {a cos b cos x + a sin b sin x ∈ S}
π
π
Mit cos(x) = sin x +
und cos x +
= − sin x
2
2
π
π
Bild D =
a cos b sin x +
− a sin b cos x +
∈S
2
2






π
=
a sin x + − b ∈ S




|2 {z }
=b0
Damit Bild D = S.
Puh!
Nach Basen war nicht gefragt, ist damit ja aber klar ...
Man kann auch das Bild von D über die angegebene Basis von S,
nämlich {sinx, cos x} ausrechnen. Da ja für alle a, b, ∈ R
D(−a cos x + b sin x) = a sin x + b cos x
ist, ist das Bild von D ganz S.
iii)
D4 a sin(x − b) = D3 a cos(x − b) = D2 − a sin(x − b)
= D − a cos(x − b) = a sin(x − b)
⇒ D4 = ids
Viermal ableiten ist also auf S die Identität. Bemerkung: Gilt natürlich
nicht für alle Funktionen. Vergleiche Polynome!
2. Hausaufgabe: Koordinaten
Der Vektorraum S ist wie in Aufgabe 1 definiert.
i) Zeigen Sie, dass die Koordinatenabbildung
K : S → R2 , gegeben durch
α
K α sin(x) + β cos(x) =
linear ist.
β
ii) Zeigen Sie, dass die
Abbildung N : S → R2 , gegeben durch
α
N α sin(x − β) =
nicht linear ist. (Tip: Ist N 2 · sin(x − π2 ) =
β
π
2 · N sin(x − 2 ) ?)
Lösung:
i) K : S → R2
S wie oben!
α
K(α sin x + β cos x) =
soll linear sein.
β
Seien
f (x) = α1 sin x + β1 cos x
g(x) = α2 sin x + β2 cos x
beliebig. Dann ist
K(f + g) = K (α1 + α2 ) sin x + (β1 + β2 ) cos x)
α1 + α2
α1
α2
=
=
+
= K(f ) + K(g)
β1 + β2
β1
β2
Und für alle λ ∈ R
K(λf ) = K(λα1 sin x + λβ1 cos x) =
λα1
λβ1
= λ α1 β1
= λK(f )
⇒ K linear.
ii) N α sin(x − β) =
α
β
Wir rechnen mal aus, was der Tipp bringt!
π 2
N 2 · sin(x − ) =
π
2
2
π 1
2
und 2N sin(x − ) = 2 · π =
π
2
2
⇒ N 2 sin(x − 1) 6= 2N sin(x − 1)
Wir hätten auch ein anderes Gegenbeispiel suchen können, z.B.:
2
N 2 sin(x − 1) =
1
1
2
und 2N sin(x − 1) = 2 ·
=
1
2
⇒ N 2 sin(x − 1) 6= 2N sin(x − 1)
also erfüllt N nicht die zweite Eigenschaft linearer Abbildungen (da
nicht für alle Vektoren und Skalare) und ist somit nicht linear.
3. Hausaufgabe: “Bildbearbeitung”
Die lineare Abbildung V : M (2 × 2, R) → M (2 × 2, R) sei gegeben durch
a+b a b
0
2
V
:= c+d
c d
0
2
i) Die lineare Abbildung H ist in der 2. Übungsaufgabe definiert. Geben Sie
die Abbildungsvorschrift für die Komposition V ◦ H an.
ii) Geben Sie jeweils eine Basis für den Kern und das Bild von V ◦ H an.
Lösung: A =
a b
c d
a+c
2
i) V ◦ H(A) = V H(A) = V
a+c
+ b+d
2
2
0
2
0+0
2
=
ii) Kern (V ◦H) =
!
0
(
=
ab
cd
LGS:







a+b+c+d
4
b+d
2
0
a+b+c+d
4
0
0
0
!
0
!
∈ M (2 × 2, R) =0
0 =0
0 =0
0 =0







⇒
a+b+c+d
4
0
0
0
!
=
)
00
00

a+b+c+d=0






3 freie Variablen ⇒ d = −a − b − c Wir setzen einfach d in den
allgemeinen Kernvektor ein und erhalten:
a b
⇒ Kern (V ◦ H) =
∈ M (2 × 2, R)
c −a − b − c
1
0
0
1
0
0
=
a
+b
+c
, a, b, c, ∈ R
0 −1
0 −1
1 −1
⇒
1
0
0 −1
0
1
0
0
Erzeugendensystem von
,
,
0 −1
0 −1
Kern (V ◦ H).
Lin. Unabhängigkeit prüft man schnell ... Also auch Basis.
a+b+c+d
0
4
Bild (V ◦ H) =
∈ M (2 × 2, R)
0
0
⇒
1 0
0 0
1 0
1 0
1 0
Erzeugendensystem von
,
,
,
0 0
0 0
0 0
Bild (V ◦ H).
⇒ Basis (Bild V ◦ H) =
10
00
4. Hausaufgabe: Maple
Bearbeiten Sie das Maple-Worksheet zum 6. Übungsblatt und geben Sie den
Ausdruck ab!
Lösung folgt auf den nächsten Seiten.
restart: with(linalg):
1. Teil. Sei a eine reele Zahl und
>
B:=matrix([[a,0,-1,0],[0,1,a,1],[0,1,1,0],[0,2,1,0]]);
>
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace

a 0 −1 0
 0 1 a 1 

B := 
 0 1 1 0 
0 2 1 0
Berechnen Sie das Inverse. Fuer welchen Wert von a gibt es ein Problem?
Was passiert dann?
>
Binv:=inverse(B);


1
1
1
0
2
−
 a
a
a 



Binv :=  0 0
−1
1 

 0 0
2
−1 
0 1 −2 a + 1 a − 1
Man sieht der Matrix Binv an, dass es fuer a=0 ein Problem gibt, denn
dann ist 1/a nicht definiert. Ob a=0 der einzige problematische wert ist, ist
so nicht festzustellen, dazu muesste man die Berechnung von Binv Schritt
fuer Schritt durchgehen.
Berechnen Sie den Kern von B in Abhaengigkeit von a. Um hierzu a einen
speziellen Wert (z.B. 7) zu geben, geben Sie den Befehl a:=7 ein. Dann muss
die Matrize B aber nochmals mit diesem Wert eingelesen werden, indem man
sich auf diese Zeile begibt und “enter” tippt. Der Kern von einer Matrize
B wird dann in Form einer Basis des Kerns mit dem Befehl “kernel(B)”
berechnet.

>
kernel(B);
{}
Mit unbestimmtem Wert a liefert Maple {} als Basis des Kerns von B,
d.h. nur der Nullvektor liegt im Kern. Dies ist fuer alle die Werte von a, fuer
die auch die Inverse von B existiert, richtig.
Nachfolgend wird a=0 gesetzt und es werden noch einmal Inverse und
Kern berechnet.
>
>
a:=0; B:=matrix([[a,0,-1,0],[0,1,a,1],[0,1,1,0],[0,2,1,0]]);
a := 0


0 0 −1 0
 0 1
0 1 

B := 
 0 1
1 0 
0 2
1 0
inverse(B);
Error, (in inverse) singular matrix
>
kernel(B);
{[1, 0, 0, 0]}
Wenn a=0 ist, so hat der Kern von B die Dimension 1 und die o.a. Basis.
Wenn Sie diese Aufgabe geloest haben und mit Ihren Vorkenntnissen aus
der linearen Algebra vergleichen, kommentieren Sie (im Text-Modus) wieso
man beim Interpretieren von Maple-Ergebnissen immer eine gewisse Vorsicht
mitbringen muss.
Berechnen Sie nun den Rang von B in Abhaengikeit von a (oder geben
Sie ihn einfach an).
Maple-Ergebnisse sind mit Vorsicht zu interpretieren, denn Maple erkennt
keine eventuell notwendeigen Fallunterscheidungen bei verschiedenen werten
eines variablen Parameters wie a.
Falls die Inverse von B existiert, ist natuerlich Rang(B)=4. Fuer a=0
ergibt sich
>
rank(B);
3
Fuer den Spaltenvektor
>
b:=matrix([[1],[3],[2],[0]]);
 
1
 3 

b := 
 2 
0
bestimmen Sie die Loesungen der Gleichungen Bx=b in Abhaengigkeit
von a.
Der Vorsicht halber, lesen Sie die obigen Befehle (insbesondere auch restart) nochmals ein, da anderenfalls immer a=0 ist. Praesentieren Sie Ihre
Ergebnisse notfalls mit 2 Ausdrucken.
Jetzt rechne ich erst einmal das Gleichungssystem Bx=b fuer a=0.
>
linsolve(B,b);
Maple “tut nichts”, das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Frage: Liegt der Vektor b fuer alle Wert von a im Bild von B?
Fuer a=0 liegt daher der Vektor b nicht im Bild von B.
Nun nocheinmal das Gleichungssystem fuer aungleich 0.
>
restart:
>
with(linalg):B:=matrix([[a,0,-1,0],[0,1,a,1],[0,1,1,0],[0,2,1,0]]);
>
b:=matrix([[1],[3],[2],[0]]);loes:=linsolve(B,b);
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace


0 −1 0
1 a 1 

1 1 0 
2 1 0
 
1
 3 

b := 
 2 
0


1
5

a 



loes :=  −2 



4
5 − 4a
a
 0
B := 
 0
0