Theoretische Physik IV

Theoretische Physik IV
SoSe 2010
Übungsblatt 12
Dozent: J. König
Übung: J. Swiebodzinski, A. Hucht
Abgabe: bis 19.07.10, 13:00.
Aufgabe 33 :
(4 Punkte)
Berechnen Sie die Leitfähigkeit eines freien, klassischen Gases mit der Boltzmanngleichung
∂
fk + vk · ∇r fk + eE · ∇!k fk =
∂t
!
∂fk
∂t
"
.
coll
Suchen Sie die homogene stationäre
Gleichung. Benutzen Sie da# $ Lösung f%ür die linearisierte
&
∂fk
0
= − fk − fk /τ , wobei fk0 die Maxwell-Boltzmannbei den Relaxationszeitansatz ∂t
coll
Verteilung ist.
Aufgabe 34 :
(4 Punkte)
0
Betrachten Sie das entartete Fermigas. Gehen Sie von einer Fermifunktion fk bei einer bestimmten
Temperatur aus und skizzieren Sie qualitativ fk bzw. δfk = fk − fk0 für den Fall, dass
(a) Teilchen hinzugefügt werden;
(b) die Temperatur erhöht wird;
(c) ein elektrisches Feld angelegt wird;
(d) ein Temperaturgradient angelegt wird.
(4 Punkte)
Aufgabe 35 :
Betrachten Sie ein entartetes Elektronengas. Leiten Sie für den Fall, dass nur ein Temperaturgradient vorhanden ist, explizit die thermische Leitfähigkeit κ aus der Boltzmanngleichung ab. Zeigen Sie, dass das Verhältnis von κ und der elektrischen Leitfähigkeit σ gegeben ist durch das
Wiedemann-Franz-Gesetz:
2
π 2 kB
κ
=
T.
σ
3 e2
Computeraufgabe C6 : Die Transfermatrixmethode am Beispiel des Isingmodells
(10 Punkte)
Wir betrachten das zweidimensionale Isingmodell mit M × L Spins und Hamiltonoperator
H = −J
M
−1 L−1
'
'
(σm,l σm,l+1 + σm,l σm+1,l ) ,
m=0 l=0
Austauschwechselwirkung J = 1 und periodischen Randbedingungen.
1) Definieren Sie eine Funktion EM[L ] := EM[L] = ... zur Berechnung der 2L × 2L dimensionalen Energiematrix EL (Weitere Hinweise in der Übung).
2) Definieren Sie eine Funktion TM[L ,β ] := ... zur Berechnung der Transfermatrix T mit
Elementen (TL )ij = e−β(EL )ij (kB = 1).
3) Im Limes M → ∞ kann die Zustandssumme gemäß
lim
M →∞
1
1
ln Z = ln λmax
ML
L
berechnet werden, wobei λmax der größte Eigenwert von TL ist.
Definieren Sie eine Funktion lnZ[L ,β ] := lnZ[L,β] = ... zur Berechnung dieser
Größe.
4) Berechnen Sie die freie Energie f und mit numerischer Differentiation die innere Energie e
und die spezifische Wärme c, alles pro Spin, gemäß
f =−
1
ln Z,
βM L
e=
∂(βf )
,
∂β
c = −kB β 2
∂e
∂β
für L = 2, . . . , 8 und plotten Sie diese Funktionen über der Temperatur. Vergleichen Sie e
und c mit den exakten Lösungen für L → ∞
!
"
2 $
2
e∞ = −J coth(2βJ) 1 + k K(k )
π
c∞ =
(
)π
*+
2kB
[βJ coth(2βJ)]2 2K(k2 ) − 2E(k2 ) − (1 − k$ )
+ k$ K(k2 )
π
2
mit k = 2 tanh(2βJ)/ cosh(2βJ), k$ = 2 tanh(2βJ)2 − 1 und den vollständigen elliptischen
Integralen erster und zweiter Art K und E (EllipticK[]/EllipticE[]).
6) Bei welcher Temperatur Tc divergiert die spezifische Wärme? Welchen Wert hat k an dieser
Stelle?