Mechanik deformierbarer Körper

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Physik I
im Studiengang Elektrotechnik
- Mechanik deformierbarer Körper -
Prof. Dr. Ulrich Hahn
WS 2015/2016
Deformation
Starrer Körper:
Kraftwirkung
Translation
alle Massenpunkte: gleiches
unverzüglich
Rotation
alle Massenpunkte: gleiches
Realer Körper:

a


endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit
Kraftwirkung
unterschiedliche a,  der Massenpunkte
Deformation
unterscheiden:
deformierbare Körper
 feste Körper
 Flüssigkeiten
 Gase
2
Feste Körper: Spannungen
Kraftwirkung auf eine Fläche

 F
N
Spannung S :
[S  ]
m²
A
unterscheiden:

 Normalspannungen s: Fnormal  A

Ftan gential // A
 Schubspannungen t:
Kraft  Spannungszustand im Festkörper
sz
z
Beschreiben durch
Spannungen auf
den Flächen von dV
t zy
t zx
sx
deformierbare Körper
t xz
t xz
Ebenennormale
x
t yx
Kraftrichtung
sy
t xy
y
Kraftrichtung
3
Feste Körper: Verformungen
Elastische Deformation reversibel
Plastische Deformation irreversibel
Ursache  Wirkung
Ursache  Wirkung
Geometrie:
Dehnung Druck, Zug
Querdehnung
Scherung
Torsion
Kompression
l
Elastische Dehnung: s  E 
l
d
l
Querkontraktion:
  
deformierbare Körper
d
l
E: Elastizitätsmodul
: Querkontraktionszahl
4
Scherung, Torsion
Elastische Scherung: t  G  
Elastische Torsion:
deformierbare Körper
t  G
G: Schubmodul,
: Scherwinkel
G: Schubmodul,
: Torsionswinkel
5
Flüssigkeiten
Ideal: Moleküle können kräftefrei verschoben werden
 ohne Volumenänderung beliebig deformierbar
Form
Gefäß
freie Oberfläche  zur angreifenden Kraft
Deformation:  zur Gefäßoberfläche  Normalspannungen
Druck P :
Punktuelle Kraftwirkung:
deformierbare Körper

da
Fn
A
 Gleichmäßige Druckverteilung
auf die Oberfläche
 Kraft  zur Oberfläche


dF  P  da
6
Flüssigkeiten: Kompression
Allseitiger Druck auf Flüssigkeit:
V
P  K 
V
Volumenverkleinerung
K: Kompressionsmodul
1/K:=k Kompressibilität
KFlüssigkeit  10 GN/m²
Festkörper, Flüssigkeiten: inkompressibel
Anwendung:
hydrauliche
Presse
deformierbare Körper
7
Flüssigkeiten: Schweredruck
Gewichtskraft der Flüssigkeit
 Druck auf Gefäßboden
Gerades Prisma als Gefäß:
PS    g  hFlüssigkeit
PBoden  Pextern  PS
Hydrostatisches Paradoxon:
PLuft
h
h
h
h
P1  PLuft    g  h
P2  P1    g  h
P3  P2    g  h
P4  P3    g  h
 PLuft    g  4h
 Der Druck auf den Gefäßboden ist nur abhängig von der Höhe
des Flüssigkeitsspiegels, unabhängig von der Gefäßform
deformierbare Körper
8
Hydrostatischer Druck
Leichte Verschiebbarkeit der Wassermoleküle:
hydrostatischer Druck  Kraft auf beliebig orientierte Flächen
Seitenwände
nach oben/ unten
Kommunizierende Röhren:
Gleichgewicht:
h


Fl
deformierbare Körper


Fr
 
Fl  Fr  0
hl
l

Fl
r
hr

Fr
9
Anwendungen
Pipette
deformierbare Körper
Flüssigkeitsheber
Nachfüllvorrichtung
10
Auftrieb
Fester Körper in Flüssigkeit
Hydrostatischer Druck  Kräfte
   
 Fi  F2  F1  FA Auftrieb
i
FA   Flüssigkeit  g VKörper
Archimedessches Prinzip:
Auftrieb eines Körpers =
Gewicht des verdrängten Mediums
Schweben:
Auftrieb = Gewicht
Sinken:
Auftrieb < Gewicht
Schwimmen: Auftrieb > Gewicht Gleichgewicht: Körper
ragt aus der Flüssigkeit
Stabilität?
deformierbare Körper
11
Gase: Schweredruck
Ideales Gas: Moleküle wechselwirken nur durch elastische Stöße
beliebig deformierbar und leicht komprimierbar
erzeugen Druck auf Gefäßwände
Erfahrung: Zustandsgleichung des idealen Gases P V  m  Rs  T
   P @ T = const
Schweredruck berechnen:
z  dz
z
 = const
deformierbare Körper
P(h)  gh  Pext aber:   const
 P( z )  ( z )  g  dz  P( z  dz )
dP
g

 dz Differentialgl.
P
Rs  T
Lösung: P(h)  P(0)  e

g
h
Rs T
Barometrische Höhenformel
1
8km
12
Strömungen
allgemein:
zeitliche Änderung einer physikalischen Größe




Ladung
Impuls
Energie
Masse
elektrischer Strom
Kraft
Leistung
Massenstrom
 Flüssigkeiten, Gase, Schüttgüter
(kollektive) Bewegung von Teilchen
Definition Stromdichte:
 Strom 
j :
 ev
Fläche
Ideale Massenströme:
reibungsfrei
inkompressibel  = const
deformierbare Körper
 Flüssigkeiten
 Gase, wenn v < vSchall/3
13
Kontinuitätsgleichung
m ein
Massenstrom durch eine Röhre:
mRohr
m aus
Konvention : m ein  0
keine Quelle oder Senke im Rohr
m Rohr  m ein  m aus   Vein   Vaus
V : Volumenstr om

 
n

 
I  j  A  cos( j , n )   j  A
Richtungskonvention: j
geschlossene
Fläche:

n weist nach außen
A
m geschl . Hülle
 
   j  da
Kontinuitätsgleichung
Hülle
m Rohr




   vein  Aein    vaus  Aaus
Sonderfall:
deformierbare Körper
Masse im Rohr konstant:
   vein  Aein    vaus  Aaus
m Rohr  0  m ein  m aus
vein  Aein  vaus  Aaus
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Energiesatz
Energiestrom einer strömenden Flüssigkeit:
äußere Kräfte
Schwerkraft: Epot 

F1
A1
m  
v1
 Änderung Ekin

 F2
A 2  m 
v2
h2
h1
    d
d

W  F1  v1  F2  v2  (E pot )  (Ekin )
dt
dt


P1    g  h1  v1 ²  P2    g  h 2  v2 ²  const
2
2
Schweredruck Staudruck
Grenzfall Hydrostatik:
deformierbare Körper
BernoulliGleichung
Statischer Druck
v1  v2  0
P1  P2    g  (h 2  h1 )
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Anwendungen der Bernoulli-Gleichung
A1  A2
PLuft , A1 , h1 , v1
Ausströmen:
v2  2  g  (h1  h 2 )
wie freier Fall
PLuft , A2 , h2 , v2
Venturi-Effekt:
A1  A2 
v2  v1
P2  P1
P2
v2
A1
Steigt die Strömungsgeschwindigkeit, so sinkt der Druck
Anwendungen:
deformierbare Körper
P1
v1
A2
 Zerstäuber
 Wasserstrahlpumpe


 Tragfläche
 hydrodynamisches Paradoxon
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Impulssatz bei Massenströmen
Strömende Teilchen: jedes Teilchen: Impuls  Impulsstrom




m aus  vaus  Faus
m ein  vein  Fein
Kraft durch Druck an der Eintritts- und Austrittsfläche:




 Paus  Aaus  F ' 'aus
 Pein  Aein  F ' 'ein
Kraft auf das Rohrstück:





Fges.  m ein  vein  Pein  Aein  m aus  vaus  Paus  Aaus
Rohrkrümmer: vein  vaus  v, Aein  Aaus  A, Pein  Paus  P





vein  nein , vaus  naus , Fges.  (  v ²  P)  A  (nein  naus )
gerades Rohr mit Querschnittsänderung:

Aein 

F m ein (1 
)vein
deformierbare Körper
Aaus
17
Viskose Flüssigkeiten
gerades horizontales
Rohr, keine Reibung:
Reibung:
m
PRohr=const
an der Rohrwand
innerhalb der Flüssigkeit
!
m 2
m
m
2
(vaus  vein )  0  Pein  Paus  WReib
2


unterscheiden:
vein  vaus
m
 
P  WReib
m
laminare Strömung
Flüssigkeitsschichten gleiten ohne
Durchmischung aneinander vorbei
turbulente Strömung
Strömung mit Wirbelentstehung
deformierbare Körper
18
Laminare Strömung
Reibung zwischen Flüssigkeitsschichten
Ansatz von Newton:
Schubspannung zwischen Schichten:
dv
t  
dz
: dynamische Viskosität []  Pa  s
Rohr:
 2Rohr
P1  P2
v(r ) 
(
 r ²)
4    lRohr
4
8   l

PV 
V
  ( Rohr / 2) 4
Hagen-Poiseulle-Gesetz
deformierbare Körper
20
Bernoulli-Gleichung mit Reibung
h1 , v1 , P1
m
h 2 , v2 , P2
m


P1    g  h1  v1 ²  P2    g  h2  v2 ²  PVerlust
2
2
8 l
32    l
v
Laminare Strömung im Rohr: PV    ( / 2) 4 V 
2

PV als dynamischen Druck beschreiben:
Widerstandsbeiwert
z bei Rohren:    
l
: Rohrreibungszahl

Laminare Strömung:  
deformierbare Körper

PV     v ²
2
64
Re
d v
Re :

Rauheit
Strömungstyp
Reynoldszahl
21
Zerstäuber

deformierbare Körper
22
Wasserstrahlpumpe

deformierbare Körper
23
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