Mechanik deformierbarer Körper
Werbung
Physik I im Studiengang Elektrotechnik - Mechanik deformierbarer Körper - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2015/2016 Deformation Starrer Körper: Kraftwirkung Translation alle Massenpunkte: gleiches unverzüglich Rotation alle Massenpunkte: gleiches Realer Körper: a endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit Kraftwirkung unterschiedliche a, der Massenpunkte Deformation unterscheiden: deformierbare Körper feste Körper Flüssigkeiten Gase 2 Feste Körper: Spannungen Kraftwirkung auf eine Fläche F N Spannung S : [S ] m² A unterscheiden: Normalspannungen s: Fnormal A Ftan gential // A Schubspannungen t: Kraft Spannungszustand im Festkörper sz z Beschreiben durch Spannungen auf den Flächen von dV t zy t zx sx deformierbare Körper t xz t xz Ebenennormale x t yx Kraftrichtung sy t xy y Kraftrichtung 3 Feste Körper: Verformungen Elastische Deformation reversibel Plastische Deformation irreversibel Ursache Wirkung Ursache Wirkung Geometrie: Dehnung Druck, Zug Querdehnung Scherung Torsion Kompression l Elastische Dehnung: s E l d l Querkontraktion: deformierbare Körper d l E: Elastizitätsmodul : Querkontraktionszahl 4 Scherung, Torsion Elastische Scherung: t G Elastische Torsion: deformierbare Körper t G G: Schubmodul, : Scherwinkel G: Schubmodul, : Torsionswinkel 5 Flüssigkeiten Ideal: Moleküle können kräftefrei verschoben werden ohne Volumenänderung beliebig deformierbar Form Gefäß freie Oberfläche zur angreifenden Kraft Deformation: zur Gefäßoberfläche Normalspannungen Druck P : Punktuelle Kraftwirkung: deformierbare Körper da Fn A Gleichmäßige Druckverteilung auf die Oberfläche Kraft zur Oberfläche dF P da 6 Flüssigkeiten: Kompression Allseitiger Druck auf Flüssigkeit: V P K V Volumenverkleinerung K: Kompressionsmodul 1/K:=k Kompressibilität KFlüssigkeit 10 GN/m² Festkörper, Flüssigkeiten: inkompressibel Anwendung: hydrauliche Presse deformierbare Körper 7 Flüssigkeiten: Schweredruck Gewichtskraft der Flüssigkeit Druck auf Gefäßboden Gerades Prisma als Gefäß: PS g hFlüssigkeit PBoden Pextern PS Hydrostatisches Paradoxon: PLuft h h h h P1 PLuft g h P2 P1 g h P3 P2 g h P4 P3 g h PLuft g 4h Der Druck auf den Gefäßboden ist nur abhängig von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels, unabhängig von der Gefäßform deformierbare Körper 8 Hydrostatischer Druck Leichte Verschiebbarkeit der Wassermoleküle: hydrostatischer Druck Kraft auf beliebig orientierte Flächen Seitenwände nach oben/ unten Kommunizierende Röhren: Gleichgewicht: h Fl deformierbare Körper Fr Fl Fr 0 hl l Fl r hr Fr 9 Anwendungen Pipette deformierbare Körper Flüssigkeitsheber Nachfüllvorrichtung 10 Auftrieb Fester Körper in Flüssigkeit Hydrostatischer Druck Kräfte Fi F2 F1 FA Auftrieb i FA Flüssigkeit g VKörper Archimedessches Prinzip: Auftrieb eines Körpers = Gewicht des verdrängten Mediums Schweben: Auftrieb = Gewicht Sinken: Auftrieb < Gewicht Schwimmen: Auftrieb > Gewicht Gleichgewicht: Körper ragt aus der Flüssigkeit Stabilität? deformierbare Körper 11 Gase: Schweredruck Ideales Gas: Moleküle wechselwirken nur durch elastische Stöße beliebig deformierbar und leicht komprimierbar erzeugen Druck auf Gefäßwände Erfahrung: Zustandsgleichung des idealen Gases P V m Rs T P @ T = const Schweredruck berechnen: z dz z = const deformierbare Körper P(h) gh Pext aber: const P( z ) ( z ) g dz P( z dz ) dP g dz Differentialgl. P Rs T Lösung: P(h) P(0) e g h Rs T Barometrische Höhenformel 1 8km 12 Strömungen allgemein: zeitliche Änderung einer physikalischen Größe Ladung Impuls Energie Masse elektrischer Strom Kraft Leistung Massenstrom Flüssigkeiten, Gase, Schüttgüter (kollektive) Bewegung von Teilchen Definition Stromdichte: Strom j : ev Fläche Ideale Massenströme: reibungsfrei inkompressibel = const deformierbare Körper Flüssigkeiten Gase, wenn v < vSchall/3 13 Kontinuitätsgleichung m ein Massenstrom durch eine Röhre: mRohr m aus Konvention : m ein 0 keine Quelle oder Senke im Rohr m Rohr m ein m aus Vein Vaus V : Volumenstr om n I j A cos( j , n ) j A Richtungskonvention: j geschlossene Fläche: n weist nach außen A m geschl . Hülle j da Kontinuitätsgleichung Hülle m Rohr vein Aein vaus Aaus Sonderfall: deformierbare Körper Masse im Rohr konstant: vein Aein vaus Aaus m Rohr 0 m ein m aus vein Aein vaus Aaus 14 Energiesatz Energiestrom einer strömenden Flüssigkeit: äußere Kräfte Schwerkraft: Epot F1 A1 m v1 Änderung Ekin F2 A 2 m v2 h2 h1 d d W F1 v1 F2 v2 (E pot ) (Ekin ) dt dt P1 g h1 v1 ² P2 g h 2 v2 ² const 2 2 Schweredruck Staudruck Grenzfall Hydrostatik: deformierbare Körper BernoulliGleichung Statischer Druck v1 v2 0 P1 P2 g (h 2 h1 ) 15 Anwendungen der Bernoulli-Gleichung A1 A2 PLuft , A1 , h1 , v1 Ausströmen: v2 2 g (h1 h 2 ) wie freier Fall PLuft , A2 , h2 , v2 Venturi-Effekt: A1 A2 v2 v1 P2 P1 P2 v2 A1 Steigt die Strömungsgeschwindigkeit, so sinkt der Druck Anwendungen: deformierbare Körper P1 v1 A2 Zerstäuber Wasserstrahlpumpe Tragfläche hydrodynamisches Paradoxon 16 Impulssatz bei Massenströmen Strömende Teilchen: jedes Teilchen: Impuls Impulsstrom m aus vaus Faus m ein vein Fein Kraft durch Druck an der Eintritts- und Austrittsfläche: Paus Aaus F ' 'aus Pein Aein F ' 'ein Kraft auf das Rohrstück: Fges. m ein vein Pein Aein m aus vaus Paus Aaus Rohrkrümmer: vein vaus v, Aein Aaus A, Pein Paus P vein nein , vaus naus , Fges. ( v ² P) A (nein naus ) gerades Rohr mit Querschnittsänderung: Aein F m ein (1 )vein deformierbare Körper Aaus 17 Viskose Flüssigkeiten gerades horizontales Rohr, keine Reibung: Reibung: m PRohr=const an der Rohrwand innerhalb der Flüssigkeit ! m 2 m m 2 (vaus vein ) 0 Pein Paus WReib 2 unterscheiden: vein vaus m P WReib m laminare Strömung Flüssigkeitsschichten gleiten ohne Durchmischung aneinander vorbei turbulente Strömung Strömung mit Wirbelentstehung deformierbare Körper 18 Laminare Strömung Reibung zwischen Flüssigkeitsschichten Ansatz von Newton: Schubspannung zwischen Schichten: dv t dz : dynamische Viskosität [] Pa s Rohr: 2Rohr P1 P2 v(r ) ( r ²) 4 lRohr 4 8 l PV V ( Rohr / 2) 4 Hagen-Poiseulle-Gesetz deformierbare Körper 20 Bernoulli-Gleichung mit Reibung h1 , v1 , P1 m h 2 , v2 , P2 m P1 g h1 v1 ² P2 g h2 v2 ² PVerlust 2 2 8 l 32 l v Laminare Strömung im Rohr: PV ( / 2) 4 V 2 PV als dynamischen Druck beschreiben: Widerstandsbeiwert z bei Rohren: l : Rohrreibungszahl Laminare Strömung: deformierbare Körper PV v ² 2 64 Re d v Re : Rauheit Strömungstyp Reynoldszahl 21 Zerstäuber deformierbare Körper 22 Wasserstrahlpumpe deformierbare Körper 23
