Geometrische Grundbegriffe
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DOWNLOAD Thomas Röser Geometrische Grundbegriffe Stationenlernen Mathematik 6. Klasse Bergedorfer ® Unterrichtsideen Thomas Röser Bergedorfer® Lernstationen Stationenlernen Mathematik 6. Klasse Downloadauszug aus dem Originaltitel: 6. Klasse Teilbarkeit – Brüche – Dezimalbrüche – geometrische Grundbegriffe – Flächen und Körper Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfo verfolgt. 1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das? Vorwort I – Theorie: Zum Stationenlernen 1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das? Unsere Gesellschaft wird seit geraumer Zeit durch Begriffe der Individualisierung gekennzeichnet: Risikogesellschaft heißt es bei Ulrich Beck1, Multioptionsgesellschaft nennt sie Peter Gross2 und für Gerhard Schulze ist es eine Erlebnisgesellschaft3. Jeder Begriff beinhaltet einen anderen inhaltlichen Schwerpunkt, doch egal, wie wir diesen Prozess bezeichnen, die Individualisierung – hier zu verstehen als Pluralisierung von Lebensstilen – schreitet voran. Damit wird die Identitäts- und Sinnfindung un zu einer individuellen Leistung. Diese Veränderunstitugen wirken sich zwangsläufig auch auf die Instituine tion Schule aus. Damit lässt sich vor allem eine tlich d er Heterogenität von Lerngruppen hinsichtlich der wie der indiv Lernkultur, der Leistungsfähigkeit sowie indivirübe er hinaus legt duellen Lernwege feststellen. Darüber esetz Nor rhein-Westbeispielsweise das Schulgesetz Nordrhein-Westensch […] falen im § 1 fest, dass:: „Jeder junge Mensch eine wirtschaftlich ohne Rücksicht auf seine wirtschaftliche Lage und hlecht ein Re Herkunft und sein Gesc Geschlecht Recht auf schulihe Bildu g, Erziehun sche Bildung, Erziehung und iindividuelle Förderung“ hat. D as klingt nac e Das nach einem hehren Ziel – die Frage ist nur, wie wir di en könn ? dieses Ziel erreichen können? ch möchte an dieser Stelle festhalten, n, dass es Ich ach mein dagogische nach meiner Einschätzung nicht das pädagogische heil zen m Allheilmittel gibt, welches wir nu nur einsetzen müsse (päd en) Probten und damit wären a alle (pädagogischen) alledem möchte mö leme gelöst – trotz alledem ich an dieser hode des Stationenlernens Statione Stelle die Methode präsene der Individ al tieren, da dies diese Individualisierung Rechnung n kann. tragen e des S Merkmale Stationenlernens „‚Lernen an Stationen’ bezeichnet die Arbeit mit einem aus verschiedenen Stationen zusammengesetzten Lernangebot, das eine übergeordnete Pro- 1 2 3 Vgl.: Beck, Ulrich: Risikogesellschaft – Auf dem Weg in eine andere Moderne. Berlin 1986. Vgl.: Pongs, Armin; Gross, Peter: Die Multioptionsgesellschaft. In: Pongs, Armin (Hrsg.): In welcher Gesellschaft leben wir eigentlich? – Gesellschaftskonzepte im Vergleich, Band I. München 1999, S. 105–127. Vgl.: Schulze, Gerhard: Die Erlebnisgesellschaft – Kultursoziologie der Gegenwart. Frankfurt/Main, New York 1992. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag blematik differenziert entfaltet.“4 Schon an dieser Stelle wird offensichtlich, dass für diese Methode unterschiedliche Begriffe verwendet werden. Jedem Terminus wohnt eine (mehr oder weniger) anders geartete organisatorische Struktur inne. In den meisten Fällen werden die Begriffe Lernen an r Stationen und Stationenlernen synonym verwendet. Hiervon werden die Lern Lernstraße oder der Lernzirkel unterschieden. Bei diese diesen beiden Varianten werden in der Regel eine festge festgelegte Reihenfolge keit des Durc sowie die Vollständigkeit Durchlaufs aller Staangt. Dara aus ergibt si tionen verlangt. Daraus sich zwangsläufig g isatorisch) auch eine festgelegte Ar(rein organisatorisch) eitszeit an der jeweil ne weitere beitszeit jeweiligen Station. Eine Unterscheidu ng bie Unterscheidung bietet die Lerntheke, an we welcher ich die Sch c sich Schülerinnen und Schüler mitt Mater Material bed enen kön ließend wied er (meist e dienen können, um anschließend wieder eige lären Plätzen zu u arbe genständig) an ihren regulären arbeiten. orrme soll das L erne an Stationen Von diesen Formen Lernen tionenlernen n ab bzw. das S Stationenlernen abgegrenzt werden. chtsmethode smeth is Diese Unterric Unterrichtsmethode ist hier zu verstehen als ein un errichtliches Ve unterrichtliches Verfahren, bei dem der unterrichtliche Gegens Gegenstand so aufgefächert wird, dass die einzel nen Stationen unabhängig voneinander einzelnen bearbeite bearbeitet werden können – die Schülerinnen und Sch Schüler können die Reihenfolge der Stationen somit eigenständig bestimmen; sie allein entscheiden, wann sie welche Station bearbeiten wollen. Damit arbeiten die Lernenden weitgehend selbstständig und eigenverantwortlich (bei meist vorgegebener Sozialform, welche sich aus der Aufgabenstellung ergeben sollte). Um der Heterogenität Rechung zu tragen, werden neben den Pflichtstationen, die von allen bearbeitet werden müssen, Zusatzstationen angeboten, die nach individuellem Interesse und Leistungsvermögen ausgewählt werden können. Aufgrund der Auffächerung des Gegenstandes in unterschiedliche Schwerpunkte und der Unterteilung in Pflicht- und Zusatzstationen, bietet es sich an, bei der Konzeption der einzelnen Stationen unterschiedliche Lernzugänge zu verwenden. Auch hier wäre eine weitere schülerspezifischere Differenzierung denkbar. Folglich ist es möglich, einen 4 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 4. 1 1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das? inhaltlichen Schwerpunkt bspw. einmal über einen rein visuellen Text, zweitens mithilfe eines Bildes/ einer Karikatur und drittens über ein akustisches Material anzubieten, und die Lernenden dürfen frei wählen, welchen Materialzugang sie verwenden möchten, jedoch unter der Prämisse, einen zu bearbeiten. Unter diesen Gesichtpunkten wird offensichtlich, dass das Stationenlernen eine Arbeitsform des offenen Unterrichtes ist. Ursprung des Stationenlernens Die Idee des Zirkulierens im Lernablauf stammt ursprünglich aus dem Sportbereich. Das „circuit training“, von Morgan und Adamson 1952 in England entwickelt, stellt im Sportbereich den Sportlern unterschiedliche Übungsstationen zur Verfügung, sen. welche sie der Reihe nach durchlaufen müssen. gen Der Begriff Lernen an Stationen wurde hingegen zu ih en von Gabriele Faust-Siehl geprägt, die hierzu ihren hrift „Grund gleichnamigen Aufsatz in der Zeitschrift „Grundschule“ 1989 publizierte.1 Der Ablauf des Stationenlernens enlernens Für die Gestaltung und eines Statioung u nd Konzeption e nenlernens istt es entscheidend, entsc eidend, dass sich der unerrichtliche Gegenstand in v terrichtliche verschiedene Teilaspekte aufschlüsseln aufschlüsseln läs u be ilässt, die in ihrer zu bearbeitenden Reihe folge u nander sin Reihenfolge unabhängig voneinander sind. Damit darf jjedoch die abschließende Bündelung cht unter nicht unterschlagen werden. Es bietet sich daher oblem der Fragean, ein eine übergeordnete Problematik oder g zu u stelle e zu stellung an den Anfang stellen, welche zum Abon de schluss (dieser ist von der meth methodischen Reflexion en) erneut a ufgegr zu unterscheiden) aufgegriffen wird. gentliche Ablauf lässt sich in der Regel in Der eigentliche hasen u erteilen 1. Die thematische und vier Phasen unterteilen: che Hinfü methodische Hinführung – hier wird den Schülerinnen und Schüle Schülern einerseits eine inhaltliche Orientierung geboten und andererseits der Ablauf des Stationenlernens erklärt. Sinnvoll ist es an dieser Stelle gemeinsam mit den Lernenden die Vorteile, aber auch mögliche Schwierigkeiten der Methode zu besprechen. Hierauf folgt 2. ein knapper Überblick über die eigentlichen Stationen – dieser Überblick sollte ohne Hinweise der Lehrperson auskommen. Rein organisatorisch macht es daher Sinn, den jeweiligen Stationen feste (für die Ler- 1 Vgl.: Faust-Siehl, Gabriele: Lernen an Stationen. In: Grundschule, Heft 3/1989. Braunschweig 1989, S. 22ff. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag nenden nachvollziehbare) Plätze im Raum zuzugestehen. 3. In der sich anschließenden Arbeitsphase erfolgt ein weitgehend selbstständiges Lernen an den Stationen. In dieser Phase können – je nach Zeit und Bedarf – Plenumsgespräche stattfinden. Zur weiteren Orientierung während der Arbeitsphase sollten zusätzliche Materialien, wie Laufzettel, Arbeitspässe, Fortschrittslisten o. Ä. verwendet werden. Diese erleichtern den Ablauf und geben den Lernenden eine individuelle Übersicht über die bereits bearbeiteten und noch zur Verfügung stehenden Stati Stationen. Bei einem soluch ei chen Laufzettel sollte auch eine Spalte für weitere Kommentare, welche später d die Reflexion unterz finden. Da stützen können, Platz Darüber hinaus kann ülerinnen und Schü von den Schülerinnen Schülern ein Arbeitso auch eine Dokumentenjournal, ein Portfolio oder ppe ge hrt werden mappe geführt werden, um Arbeitsergebnisse zu ichern und den Arbe ktiere sichern Arbeitsprozess reflektierend zu begleiten. Ein E zuv zuvor ausgearbeitetes Hilfesy Hilfesystem ann den A ich unterst ützen, iindem kann Ablauf zusätzlich unterstützen, Le nende an geeigneter Stelle Hilfe an eten ode Lernende anbieten oder ein de schließt sic einfordern können. Am End Ende sich 4 4. ei eine hase (auff inha licher und methodiReflexionsphase inhaltlicher n. scher Ebene) an an. lle derr Lehrkraft ehrkra beim Stationenlernen Die Rolle Als alle rerstes ist die Lehrperson – wie bei fast alallererstes len ande en Unt anderen Unterrichtsmethoden auch – „Organisator und B Berater von Lernprozessen“2. Sie stellt ein von den Lernenden zu bearbeitendes Materialun und Aufgabenangebot zusammen. Der zentrale Unterschied liegt jedoch darin, dass sie sich während des eigentlichen Arbeitsprozesses aus der frontalen Position des Darbietens zurückzieht. Die Lehrkraft regt vielmehr an, berät und unterstützt. Dies bietet dem Lehrer/der Lehrerin viel stärker die Möglichkeit, das Lerngeschehen zu beobachten und aus der Diagnose Rückschlüsse für die weitere Unterrichtsgestaltung sowie Anregungen für die individuelle Förderung zu geben. „Insgesamt agiert die Lehrperson somit eher im Hintergrund. Als ‚invisible hand‘ strukturiert sie das Lerngeschehen.“3 Vor- und Nachteile des Stationenlernens Die Schülerinnen und Schüler übernehmen eine viel stärkere Verantwortung für ihren eigenen Lernprozess und können somit (langfristig!) selbst- 2 3 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 6. Ebenda. 2 2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik sicherer und eigenständiger im, aber auch außerhalb des Unterrichts agieren. Diese hohe Eigenverantwortung bei zurückgenommener Anleitung durch die Lehrperson kann jedoch zu einer Überforderung oder mangelnden Mitarbeit aufgrund der geringen Kontrolle führen. Beidem muss zielgerichtet begegnet werden, sei es durch die schon erwähnten Hilfestellungen oder durch eine (spätere) Kontrolle der Ergebnisse. Eine Stärke des Stationenlernens besteht eindeutig in der Individualisierung des Unterrichtsgeschehens – die Lernenden selbst bestimmen Zeitaufwand und Abfolge der Stationen. Darüber hinaus können die unterschiedlichen Lerneingangskanäle sowie eine Differenzierung in Schwierigkeitsgrade als Ausgangspunkt des Lernprozesses genommen werden. Die Schülerinnen und Schüler können daa mit die ihnen gerade angemessen erscheinende ende Darstellungs- und Aufnahmeform erproben, erfahahren und reflektieren. Damit kann eine heterogene teroge e Lerngruppe „inhalts- und lernzielgleich unterrichtet ch unterrichte werden, ohne dass die Lernwege vereinheitlicht ge v ereinheitlicht werden müssen.“1 Stationenlernen n – Ei Ein n kurzes Fazit erhalb der er untersch dliche Fachdidaktiken Innerhalb unterschiedlichen herrscht seit se Jahren ein Konsens darüber, dass s Lehr-Lern-Angebot der Schule verändern sich das Leh -Lern-An e veränd n kognitive Wissensvermittlung muss. Rein k ng im Sinne des „Nürnberger Trichters“ ist nicht gefragt es „Nürnb agt und widerspricht spric allen aktuellen Erkenntnissen ken n der Lernpsychologie. Eigenverantwortliches, selbstgestaltwortlic lbstg tetes und kooperatives Lernen ves L ernen sind die zentralen Ziele der Pädagogik neuen Jahrtausends. Eine gogik des ne uen Ja mögliche Variante, Forderungen nachzue Varia ante, diesen For kommen, bietet das Stationenlernen. Warum? en, biete Station Stationenlernen u. a.: lernen n ermöglicht er 1. Binnendifferenzierung und individuelle Fördedif rung, indem unterschiedliche Schwierigkeitsgrade angesetzt werden. Gleichzeitig können die Schülerinnen und Schüler auch ihre Kompetenzen im Bereich der Arbeitsorganisation ausbauen. 2. einen Methoden- und Sozialformenwechsel, sodass neben Fachkompetenzen auch Sozial-, Methoden- und Handlungskompetenzen gefördert werden können. 1 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/ 2010, S. 6. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag Grundsätzlich – so behaupte ich – lässt sich Stationenlernen in allen Unterrichtsfächern durchführen. Grundsätzlich eignen sich auch alle Klassenstufen für Stationenlernen. Trotz alledem sollten – wie bei jeder Unterrichtskonzeption – immer die zu erwartenden Vorteile überwiegen; diese Aussage soll hingegen kein Plädoyer für eine Nichtdurchführung eines Stationenlernens sein! D. h. jedoch, dass – wie bei jeder Unterrichtsvorbereitung – eine Bedingungsanalyse unerlässlich ist! Stationenlernen benötigt – rein organisatorisch – s mus als allererstes Platz: Es muss möglich sein, jeder beits- Platz zuzuweisen. Station einen festen (Arbeits-) Die Lehrkraft benötigtt darüber h hinaus für die Vorbereitung im ersten Moment meh mehr Zeit – sie muss digen Ma erialien in au alle notwendigen Materialien ausreichender Anrfügung ste len und das heißt vor allem: zahl zur Verfügung stellen e benötigt Zeit für da Sie das Kopieren! Für d den weiteen Ablauf iist st es s aufgabe an ren sinnvoll, Funktionsaufgaben ie Lernende die Lernenden zu verteilen – so kann bspw. je eine Schülerin oder je ein Schüler hüler für eine Station d Schülerin die Ve en: Sie/er m ss dafü Verantwortung übernehmen: muss dafür S mer a usreichend Ma Sorge tragen, da dass immer ausreichend Materialien bereit liegen. och is Wichtiger jed jedoch istt die Gru Grundeinstellung der rinnen und d Sch Schüler se Schülerinnen selbst: Viele Lernende wurde regelmäß g mi wurden regelmäßig mit lehrerzentriertem Frontalunterrich „unterh unterricht „unterhalten“ – die Reaktionen der Schüund S lerinnen und Schüler werden sehr unterschiedlich sein. Eine Lerngruppe wird sich über mehr Eigenvera verantwortung freuen, eine andere wird damit maßlos überfordert sein, eine dritte wird sich verweigern. Daher ist es unerlässlich, die Lernenden (schrittweise) an offenere Unterrichtsformen heranzuführen. Sinnvoll ist es daher, mit kleineren Formen des offenen Unterrichts zu beginnen; dies muss nicht zwingend ausschließlich in einem bestimmten Fachunterricht erfolgen – der Lernprozess einer Klasse sollte auch hier ganzheitlich verstanden werden! Absprachen zwischen den Kolleginnen und Kollegen sind somit auch hier unerlässlich – letztendlich kann im Gegenzug auch wieder das gesamte Kollegium davon profitieren. 2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik Ein Stationenlernen im Mathematikunterricht muss sich an den Inhalten und dem Aufbau der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss orientieren. Das Einschlagen von individuellen Lösungswegen, das Analysieren 3 2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik von Lernergebnissen, das zielgerichtete Anwenden von Formeln, Rechengesetzen und Rechenregeln soll stets unter der Prämisse der Nutzbarkeit für das weitere Lernen und dem Einbezug in möglichst unterschiedliche kontextbezogene Situationen gesehen werden. Der Schüler soll „auf diese Weise Mathematik als anregendes, nutzbringendes und kreatives Betätigungsfeld erleben“1. Dabei sind folgende sechs allgemeine mathematische Kompetenzen Grundlage jeder Planung und unterrichtlichen Aufbereitung. Im Einzelnen handeln es sich um: mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen mathematisch modellieren mathematische Darstellungen verwenden mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen kommunizieren Diese allgemeinmathematischen Kompetenzen petenzen gilt es inhaltsbezogen zu konkretisieren en und mit e eitischen Leitideen ner der fünf folgenden mathematischen in Einklang zu bringen: Zahl Messen Raum und Form funktionaler funktiona er Zusamm Zusammenhang an Daten und Zufall Bezogen auf die Adressaten dieses Buches zum Stationenlernen – die Schüler der 6. Klasse – Stationenler üssen ffolgende inhaltsbezogene ge mathematische hematische müssen htigung finden: Kompetenzen Berücksichtigung Grundlagen der Teilb Teilbarkeitsregeln arkeits zum m vorteilen haften Rechnen Das Bestimmen stimmen von ggT und k kgV 1 Die Erweiterung des Zahlenbereichs um die Bruch- und Dezimalbruchzahlen Das sichere Anwenden der Grundrechenarten und ihrer Umkehrungen, auch hier bezogen auf Bruch- und Dezimalbruchzahlen Das Nutzen von Rechengesetzen auch zum vorteilhaften Rechnen Das sachgemäße Runden von Rechenergebnissen Das mathematische Lösen von Sachaufgaben und deren Kontrolle Das Beschreiben von Lös Lösungswegen und deren Begründung Die Selbstformulierung rung ma mathematischer Probleme und deren sachgerecht sachgerechte Lösung Das Erfahren ren und Anwenden de des Grundprinzips ei Winkeln Messen, speziell b bei Das Um Umrechnen echnen von G Größen und deren situationsgem äße Anwen tionsgemäße Anwendung Das Unte Unterscheiden sche und Berechnen en von Flächeninha g cheninhalt und Umfang Das K Kennzeichnen von Rauminhalt, Oberfläche berfläch und Mantel Das Erkennen nnen geometrischer ometris her Strukture Strukturen in der Umwelt Die Darstellung arste lung von Körpe Körpern als Netz oder rägbild Schrägbild Das Beschrei Beschreiben en u und Begründen von Eigenschaf en und Beziehungen geometrischer Obschaften ekte, s pezie bei Drehung und Spiegelung jekte, speziell Die Er Erfassung und Unterscheidung von Kreisu und Kreisteilen Das Zeichnen und Konstruieren geometrischer Figuren mit entsprechenden Hilfsmitteln Das Auswerten grafischer Darstellungen Die Darstellung geometrischer Figuren im Koordinatensystem Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Schulabschluss, Carl Link Verlag, S. 6 Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 4 5. Geometrische Grundbegriffe Laufzettel zum Stationenlernen Geometrische Grundbegriffe Station 1 Kreise zeichnen Zusatzstation A Überstumpfe Winkel kel zeichnen und messen sen Station 2 Kreisausschnitte bilden Zusatzstation satzstation B Sachaufgaben Sachaufgabe Station 3 Winkel darstellen und benennen Zusatzstation C Punktspiegelung tsp pieg lung und Drehu ng Drehung Station S ation 4 Winkel inke messen es Station 5 Winkel zeichnen ke zeichn Station 6 S Figuren drehen Kommentare: Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 5 Station 1 Aufgabe Kreise zeichnen Aufgabe: Übe das Zeichnen von Kreisen mithilfe eines Zirkels. 1. Übertrage die Zeichnungen in dein Heft und wähle einen geeigneten Radius bzw. Durchmesser. 2. Zeichne in deinem Heft Kreise um einen Mittelpunkt mit den angegebenen Werten. nen Wer 3. Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und trage ein. (1 cm ent entspricht Kästchen spricht 1 Käst im Heft.) Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe begriffe © Persen Verlag Station ation 2 Aufgabe Kreisausschnitte Kreisaus chnitte bilden bild Aufgabe: Übe das Zeichnen Kreisausschnitten. eichnen von Kreis 1. Welche der folgen folgenden Kreisteile sind Kreisausschnitte? Begründe in deinem Heft. 2. Zeichne hne Kreise in deinem Heft mit einem Durchmesser von 6 cm, und markiere farbig die folgenden Anteile. 3. Zeichne zwei Kreise in deinem Heft und zerlege wie angegeben. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 6 Station 3 Aufgabe Winkel darstellen und benennen Aufgabe: Übe die Darstellung und Benennung von Winkeln. 1. Übernimm die Zeichnung in dein Heft und trage die Winkel ein. 2. Zeichne in deinem Heft die beiden Winkel jeweils in ein Koordinatensystem und überlege, tem u welcher Winkel größer ist. Begründe die Entscheidung. 3. Zeichne drei verschiedene Winkel auf das Materialblatt und benenn benenne sie. Bezeich Bezeichne an einem Winkel beispielhaft die einzelnen Teile. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe begriffe © Persen Verlag Station ation 4 Aufgabe Winkel messen Wink Aufgabe: Miss die Winkel mithilfe inkel mithilf e des Geodreiecks. 1. Beschrifte und miss die drei Winkel für a) und die vier Winkel für b). Lies die Winkel von rechts u mis ab und schre schreibe sie in dein Heft. 2. Miss die Winkel auf dem Materialblatt und schreibe die Ergebnisse in dein Heft. Verlängere zur Bestimmung der Winkel die Schenkel. 3. Überlege und schreibe in dein Heft. Wie lange braucht der Minutenzeiger auf einer Uhr, um diese Winkel zu überschreiten? Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 7 Station 5 Aufgabe Winkel zeichnen Aufgabe: Zeichne Winkel mithilfe des Geodreiecks. 1. Zeichne die folgenden Winkel nach Augenmaß in dein Heft. Überprüfe anschließend die wahre Größe mit dem Geodreieck. 2. Zeichne die folgenden Winkel in dein Heft. 3. Zeichne auf das Materialblatt … a) zwei beliebige spitze Winkel und miss ihre Größe. b) zwei beliebige stumpfe Winkel und miss ss iihre Größe. röße. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe begriffe © Persen Verlag Station ation 6 Aufgabe Figuren Figur n drehen Aufgabe: Übe das Drehen Figuren rehen von F guren an einem Drehzentrum um Winkel bis 90°. 1. Übernimm die Figuren mit folgenden Koordinatenwerten in dein Heft und drehe sie um Z. d Figu a) um 45°, K Koordinaten: A (4|1), B (6|1), C (5|2), Z (4|2) b) um m 70°, 7 Koordinaten: A (3|1), B (6|2), C (5|3), Z (2|3) c) um 90°, Koordinaten: A (4|5), B (7|5), C (7|6), D (4|6), Z (8|5) 2. Übernimm die Figuren in dein Heft und drehe sie um Z. Orientiere dich an den Rechenkästchen und drehe die Figuren um 60°. Hinweis: Ein Kästchen auf dem Materialblatt entspricht 1 cm im Heft. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 8 Zusatzstation A Aufgabe Überstumpfe Winkel zeichnen und messen Aufgabe: Übe das Messen und Zeichnen überstumpfer Winkel. 1. Miss die folgenden überstumpfen Winkel und zeichne sie in dein Heft. 2. Zeichne die folgenden überstumpfen Winkel in dein Heft. 3. Zeichne auf dem Materialblatt … a) einen möglichst kleinen überstumpfen Winkel. b) einen möglichst großen überstumpfen Winkel. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe begriffe © Persen Verlag Zusatzstation us zstationn B Aufgabe Sachaufgaben Sach ufgaben Aufgabe: Löse die Sachaufgaben. achaufgaben. Bearbeite Sachaufgaben nach dem folgenden Schema: arbeite die Sachau S Lies s dir die A Aufgabenstellung und die Frage genau durch. Führe re d die Rechnung durch. Formuliere einen Antwortsatz. Übernimm die Zeichnung in dein Heft (10 m entspricht 1 cm) und miss die geforderten Größen aus. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 9 Zusatzstation C Aufgabe Punktspiegelung und Drehung Aufgabe: Übe Drehungen und Punktspiegelungen. Hinweis: Ein Kästchen auf dem Materialblatt entspricht 1 cm im Heft. 1. Übernimm die Figuren in dein Heft und führe eine Drehung durch. a) Orientiere dich an den Kästchen und drehe um 110°. b) Orientiere dich an den Kästchen und drehe um 165°. c) Zeichne in ein Koordinatensystem und drehe um 253°. Koordinatenwerte: A (7|3), B (10|4), C (9|5), D (5|5), E (4|4), Z (8|3)) 2. Zeichne die folgenden Figuren in dein Heft und führe eine Punktspieg Punktspiegelung durch. elung durch Übernimm c) in ein Koordinatensystem mit den gegebenen Koordinaten. ebene Koordinaten 3. Denke dir selbst zwei Figuren aus (Dreiecke, Vierecke und bestimme cke, V recke oder Fünfecke) ünfec ein Drehzentrum sowie einen Drehwinkel. Zeichne nke Zeich e in deinem Heft. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe begriffe © Persen Verlag 10 Material Station 1 Kreise zeichnen Um Kreise zu zeichnen gibt es verschiedene Hilfsmittel, z. B. ein Geldstück. In der Geometrie zeichnet man Kreise mit dem Zirkel. Zuerst wird der Mittelpunkt und anschließend der Radius des Kreises festgelegt. 5 k Kreislinie k: Randlinie des Kreises Mittelpunkt M: Einstechpunkt des Zirkels s Zirk Radius r: Jede Strecke vom Mittelpunkt punkt M bis zur Kreislinie k Durchmesser d: Jede Streck Strecke,, die zwei Pun Punkte auf dem Kreis verbindet und durch Mittelpunkt urch den M ittelpun M geht 4 M 3 r 2 d 1 Es s gilt: d = 2 · r, d. h. der D Durchmesser ist doppelt ppelt s so lang Radius. g wie der Radius 0 –1 0 1 2 3 4 5 Im obigen Beispiel siehst du einen Kreis im Koor Koordinatensystem mit Mittelpunkt Radius elpunkt M (3|3) und R 2 Kästchen, bzw. Durchmesser Kästchen. urchmesser 4 K tchen 1. a) b) c) M 2. a) Radius: 2 cm; 3,5 cm; 4 cm; 5 1 cm. 2 b) Durchmesser: 5 cm; 6 cm; 7 cm; 7 1 cm. 2 3. a) einen Kreis mit Mittelpunkt M (2|2) und Radius 1 cm. b) einen Kreis mit Mittelpunkt M (5|6) und Durchmesser 4 cm. c) einen Kreis mit den folgenden Punkten auf der Kreislinie: (3,5|2), (5|0,5), (6,5|2), (5|3,5). Bestimme zusätzlich den Mittelpunkt. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 11 Material Station 2 Kreisausschnitte bilden Ein Kreisbogen wird durch zwei Punkte einer Kreislinie begrenzt. Ein Kreisausschnitt wird von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt. Beispiel: Kreisbogen Die Kreisfläche besteht aus vier gleich eic großen Kreisausschnitten (drei eingefärbt). tten (d Damit mit sind 3 der Kreisfläche 4 farblich markiert. Die beiden rblich markie Geraden stehen senkrecht Ge raden stehe zueinander zuei ande und gehen durch M. durc M r r Kreisausschnitt Erklärung: Um einen Kreis zu halbieren, zu achteln chteln oder zu sec sechszehnteln, orientiere rien dich ch an de dem Beispiel. Um einen Kreis zu sechsteln du den Radius eln trägst d adius auf der Kreislinie e sechsmal ab und nd verbindest die Schnittstellen mit d dem Mittelpunkt. em Mittelpunk 1. a) b) c) d) M 2. a) 0,5 b) 1 c) 1 4 8 3. a) drei Teile und markiere 1 3 Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag d) 0,625 e) 11 f) 16 7 16 b) sechs Teile und markiere 5 6 12 Material Station 3 Winkel darstellen und benennen Ein Winkel wird von zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt eingeschlossen. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels, der gemeinsame Anfangspunkt wird Scheitel (Scheitelpunkt) S genannt. Winkel werden meistens mit kleinen n griechischen grie Buchstaben bezeichnet, z. B.: Schenkel α Scheitelpunkt α (Alpha) Schenkel δ (Delta) a) b) 1. a) β (Beta)) γ (Gamma) ε (Epsilon) Epsilon) d) c) γ δ α β 2. a) Scheitelpunkt Sc hat die Koordinaten aten (1|1), ein Sch Schenkel geht durch den Punkt (3|1), der andere durch den den Winkel γ. en Punkt (3|2). 3|2). Nenne d b) Scheitelpunkt nkt hat hat die Koordinaten te (1|2), ein Schenkel geht durch den Punkt (4|0,5), d er andere den Punkt (4|3,5). Nenne den Winkel ε. ndere durch d en Pu 3. a) Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag b) c) 13 Material Station 4 Winkel messen Um Winkel zu messen, wird die Maßeinheit Grad benötigt. 1° (ein Grad), entspricht der Zerlegung eines Kreises in 360 (360° = voller Winkel = eine ganze Umdrehung) gleich große Teile. Mithilfe des Geodreiecks können die Winkel gemessen werden. Messschenkel 45° ablesen α = 45° S Winkel 45° Ausgangsschenkel – Lege ge den Nu Nullpunkt llpunkt des Geodreiecks an Scheitelpunkt Ausgangsschenkel an. cheitelpunk und A Gradzahl des Messschenkels – G radzahl de els am Geodreieck odreieck ablesen ab Einteilung der Winkel:: – spitze Winkel:: Winkel, die kleiner klein als 90° sind – rechte Winkel: Winkel, die gen genau 90° haben – stu stumpfe pfe Winkel: Winkel, die zwischen 90° und d 180° liegen iegen gestreckte Winkel: Winkel, die genau (eine halbe Umdrehung) – gestr eckte Wink a 180° 0° haben (ein 1. a) b) 2. a) b) c) S 3. a) 180° γ β α S b) 90° Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag c) 60° S d) 45° e) 30° f) 12° 14 Material Station 5 Winkel zeichnen Ebenso wichtig, wie das Messen, ist in der Geometrie auch das Zeichnen von Winkeln. Auch dies geschieht mithilfe des Geodreiecks. Du gehst so vor: 1) Markiere S und ziehe eine gerade Linie. 2) Lege das Geodreieck am Ausgangsschenkel an. 3) Drehe das Geodreieck und zeichne zweiten Schenkel (z. B.: 45°) .: 45 S S S 1. a) 88° b b)) 40° c c) 130° d) 0° e) 175° 17 f) 33° 2. a) 23° b) 35° c) 76° d) 92° e) 127° f) 180° 3. a) Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag b) 15 Material Station 6 Figuren drehen In der Geometrie nennt man eine Figur, die durch eine Drehung um ein Drehzentrum Z wieder in sich selbst überführt werden kann, drehsymmetrisch. Drehungen werden – wenn nicht anders angegeben – gegen den Uhrzeigersinn erzeugt. Man benötigt dafür ein Drehzentrum Z und einen Drehwinkel α. Hier im Beispiel wird das Dreieck ABC an Z um einen Winkel von α = 60° gedreht. C’ Dreieck ABC und Drehzentrum ntru Z gegeben: B’ Z 1) Zeichne verlängerte Linien vo von A durch Z (ganze Linie), B durch (gestrichelte Linie) rch Z (gestri und C durch (gepunktete Linie). rch Z (gep unktete Linie C A’ A 2) Lege das Dreieck au auf der Strecke AZ an an, und für miss 60° u d zeichne eine Linie. Ebenso enso fü BZ und C CZ. B 3) Miss den Abstand von A bis Z (m (mit Geodreieck oder Zirkel) und markiere denselben Abstand mit Geodreiec nd m ere de selben Absta auf der Linie aus Schritt nenne ihn A’. Ebenso für die Abstände und ritt 2 und ne ne ih bsttän e B bis Z u nd C bis Z. Verbinde zum Schluss A’, B’, C’. uss die Punkte A’ 1. a) Z b) C c) C Z A B D C A B Z B A 2. a) b) c) D Z C Z D C A B C A A Z B B Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 16 Material Zusatzstation A Überstumpfe Winkel zeichnen und messen Bisher haben wir Winkel von 0° bis 180° betrachtet. Es gibt aber auch Winkel, die über 180° und unter 360° liegen. Diese werden überstumpfe Winkel genannt. Sie haben mehr als eine Halb(180°) aber weniger als eine Volldrehung (360°). Um diese Winkel zu zeichnen wird dieser zunächst in 180° und den fehlenden Rest zerlegt. Zuerst wird also der gestreckte Winkel von 180° gezeichnet und danach der spitze Winkel von 30°. Dieselbe Vorgehensweise gilt für das Messen von überstumpfen Winkeln. Zerlegung: Zerlegun g 80 + 15° = 195° 180° 15° b b) 1. a) c) α S 2. a) 200° β b) 2 210° 3. a) Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag c) 225° γ S d) 310° S e) 333° f) 355° b) 17 Material Zusatzstation B Sachaufgaben Eine Sachaufgabe besteht auch hier aus einem Sachverhalt, einer Frage, einer Rechnung und einem Antwortsatz. Die Zeichnungen helfen, die Fragestellungen besser zu verstehen und die Winkel zu messen. Beispiel: ch (ge Sachverhalt: Die Breite eines Schuppens beträgt 2 m, die Höhe vom Dach (gemessen an der Schräge) beträgt 1,5 m. (Zeichnung im Maßstab 1 : 100) 1,5 m α es Schup pendaches? Frage: Wie groß ist der Winkel α des Schuppendaches? hn und d Messen liefert iefert den W Zeichnung: Zeichnen Winkel α = 48°. kel α des Schupp 8. Antwort: Der Winkel Schuppendaches ist 48°. 2m 1. a) Bestimme B stimme die Höhe des Gebäudes, wenn n die Strec Strecke ke AB = 100 m, α = 65° und β = 41° ist ist. b) Bestimme Be äudes, wenn die S die Höhe des Gebäudes, Strecke AB = 60 m, α = 69° un und β = 29° 9° ist. ? α β AB n Turm wirft einen 65 m langen Schatten, wenn die 2. Ein Sonne aus einem Winkel von 35° betrachtet wird. a) Wie hoch ist der Turm? b) Wie hoch ist der Turm bei einem 75 m langen Schatten? Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag α = 35° 18 Material Zusatzstation C Punktspiegelung und Drehung Bisher haben wir Drehungen von Figuren um ein Drehzentrum Z (bis 90°) behandelt. Figuren können aber auch um mehr als 90° gedreht werden (bei der Drehung kann jeder beliebige Winkel gewählt werden). Wird genau um 180° gedreht, spricht man von einer Punktspiegelung. Dabei liegen der Punkt A, der Bildpunkt A’ sowie das Drehzentrum Z auf einer Geraden. Dies gilt auch für B, B’ und Z sowie C, C’ und Z. Punkte und Bildpunkte haben dieselbe Entfernung zu Z. C A’ Gezeigt ist hier eine Drehung hung um 180 180° (= Punktspiegelung). Die volle L Linie Verbindung nie ist die Ve von B zu B B’ d durch gestrichelte Linie die Verrch Z, die g stric bindung durch Z und die gepunktete ung von A zu A’ durc unktete Linie Verbindung von C zu C’ durch Z. Li e die Verbin Z B B’ A C C’ 1. a) b) C c) Z Z C D D E E B B A C Z A B A 2. a) b) C D c) C 5 Z C 4 A 3 Z B A B D Z 2 B 1 A 0 0 Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 1 2 3 4 5 19 Material Abschließende Bündelung des Stationenlernens Aufgaben zur Wiederholung Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–C 1. Zeichne in ein Koordinatensystem zwei Kreise. Der Mittelpunkt des ersten Kreises hat die Koordinaten (3|5) und einen Radius von 2 cm. Der zweite Kreis hat einen Radius von 3 cm. Wähle M2 und gib seine Koordinaten an, sodass ösungen). a) die beiden Kreise keinen gemeinsamen Punkt haben (mehrere Lösungen). b) die beiden Kreisen sich in zwei Punkten schneiden (mehrere Lösungen). hrere Lös ungen). 2. Zeichne die folgenden Winkel, benenne sie des Winkels an. ie und gib die Art d a) 88° b) 127° c) 175° 75° d) 245° 312° e) 312 3. Führe eine Drehung Punktspiegelung durch. e Dre hung bzw. Punkts a) Drehung 50° D ehung um 50 E b) Drehung um 225° C Z Z D D A c) Punktspiegelung F C E D B C B B Z A A 4. Kilian sieht unter einem Winkel von 45° die Spitze eines Gebäudes. Er steht 6,5 m entfernt an sieh und seine Augenhöhe beträgt 1 m. Fertige eine Zeichnung an und bestimme die Höhe des Gebäudes. Tipp fürs Zeichnen: 1 m = 1 cm 5. Zeichne einen Winkel von α = 70°. Konstruiere einen Kreis mit dem Durchmesser 9 cm, der beide Schenkel des Winkels berührt. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 20 5. Geometrische Grundbegriffe – Lösungen Station 1: Kreise zeichnen 1. individuelle Lösung, Größe von Radius/Durchmesser frei wählbar. 2. Mittelpunkt M markieren, Radius/Durchmesser mit dem Zirkel am Geodreieck abmessen, Kreis mit den gegebenen Werten zeichnen. 3. a) b) c) 4 8 3 M 2 3 7 M 6 1 0 1 2 M 2 1 5 0 M (5|2) 2) 3 0 4 0 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Station 2: Kreisausschnitte Kreisa bilden ld 1. Kreisausschnitte Kreisa sind a), b), c). Sie ie werden vo von n zwe zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt. unterschiedlich lang. d) iist kein Kreisausschnitt, die Radien dien sind unte 2. individuelle Lösungen, z.B.: ösungen, z. a) b) c) d) e) f) Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 21 3. individuelle Lösungen, Größe Radius/Durchmesser frei wählbar, z. B.: a) b) Station 3: Winkel darstellen und benennen 1. individuelle Lösung, Winkelzeichnung ins Heft übernehmen, Größe frei wählb wählbar 3 2. a) b) P2 2 P2 3 γ S 1 4 S 2 P1 0 ε 1 0 1 2 3 P1 4 0 0 1 2 3 4 5 Der Winkel el ε ist größer als der W Winkel γ, da er weiter geöffnet eöffnet ist. t. 3. individ duelle Lösun unkt S und b ide Sch individuelle Lösungen, Zeichnen: Scheitelpunkt beide Schenkel, Winkel eintragen und benennen. enen en. Station 4: Winkel messen Sta mess 1. a) α = 45°,, β = 90°, γ = 13 135° b) α = 15°, β = 76°, γ = 115°, δ = 175° 2. α = 55°, β = 118°, γ = 165° 3. a) 30 min b) 15 min c) 10 min d) 7,5 min e) 5 min f) 2 min Station 5: Winkel zeichnen 1. a) b) α S c) d) S Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag S f) α α α e) S S α S 22 2. a) b) c) d) S S f) α α α α α e) S S α S S 3. individuelle Lösung; spitze Winkel (< 90°) und stumpfe Winkel (90°–180°); Verfahre wie bei Aufgabe 1. und 2. Station 6: Figuren drehen 1. a) b) 7 B’ 6 6 5 5 4 4 C’ 3 2 Z 1 A C’ 3 B’ C A A’ Z C B 2 A A’ A 1 B 0 0 0 c) 7 1 2 3 4 5 6 0 7 1 2 3 4 5 6 7 7 6 D C A B Z 5 4 C’ B’ D’ A’ 3 2 1 0 0 1 2 3 Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 4 5 6 7 8 23 2. a) D b) C’ Z C Z C D’ C’ A A B’ B A’ B’ B A A’ C’ c) B’ D C A B D’ A’ Z Zusatz A: Überstumpfe Überstumpfe Winkel Win zeichnen und messen 1. α = 22 1 225°, 5°, β = 325° 325°, γ = 270° 2. a) α b) S c) α S d) d α S e) α f) α S S α S 3. individuelle viduelle Lösung eine möglichst kleinen k Für einen überstumpfen Winkel könnten z. B. 181°, 182°, 183° und für einen möglichst großen glichst g ß überstumpfen Winkel 357°, 358°, 359° gewählt werden. Zusatz B: Sachaufgaben 1. a) Frage: Wie hoch ist das Gebäude? Antwort: Durch Zeichnen der gegebenen Werte erhält man eine Höhe von 14,6 cm, das entspricht 146 m. b) Frage: Wie hoch ist das Gebäude? Antwort: Durch Zeichnen der gegebenen Werte erhält man eine Höhe von 4,2 cm, das entspricht 42 m. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 24 2. a) Frage: Wie hoch ist der Turm? Antwort: Durch Zeichnen der gegebenen Werte erhält man eine Höhe von 4,5 cm, das entspricht 45 m. b) Frage: Wie hoch ist der Turm bei einem 75 m langen Schatten? Antwort: Durch Zeichnen der gegebenen Werte erhält man eine Höhe von 5,2 cm, das entspricht 52 m. Zusatz C: Punktspiegelung und Drehung 1. a) b) c) B’ C 7 A’ E’ B’ Z 6 C’ A’ B D’ Z E 4 E’ A A’ 3 D D’ C D 5 C’ A B Z 2 E C’ 1 C B’ B 0 B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 11 A 2. a) b) B’ D C A’ C B’ Z A’ Z A C C’ A B B C’ c) A’ 5 B’ C 4 3 D’ D Z D’ 2 C’ B 1 A 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. individuelle Lösung; gleiche Vorgehensweise wie bei Aufgaben 1. und 2. Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 25 Abschließende Bündelung des Stationenlernens 1. a) z. B. M2 (9|4) b) z. B. M2 (7|4) 7 7 6 6 M 5 M 5 M2 4 M2 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 1 2 2. a) spitz 3 4 5 6 7 b) stumpf 8 9 10 11 12 c) stumpf 0 1 2 3 4 5 6 d)) überstu überstumpf mpf 7 8 9 10 e) überstumpf δ α ε γ β 3. a) b) D’ C C’ F’ D E’ E B’ A A’ F D E Z A’ A C E B E’ C C’ Z B D’ A B’ A’ A c) B’ B D’ C’ C Z D C B A Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 26 4. Frage: Wie hoch ist das Gebäude? Zeichnung/Skizze: ? α = 45° 1m 6,5 m en der gegebenen We he von 7,5 cm, das Antwort: Durch Zeichnen Werte erhält man eine Höhe entspricht 7,5 m. 5. d = 4 cm α S Thomas Röser: Geometrische Grundbegriffe © Persen Verlag 27 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de Hat Ihnen dieser Download gefallen? 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