# mit k den Begleitknoten Xt der Ordnung a von x darstellt, so gilt b(x

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```mit k den Begleitknoten Xt der Ordnung a von x darstellt, so gilt
b(x) ^ S a ( 6 ( ^ ) —1) + a.
Hieraus l&auml;&szlig;t sich folgern, da&szlig; jeder Knoten nur endlich viele Begleitknoten
besitzt, und es kann jedem Begleitknoten eine endliche Vielfachheit zugelegt
werden. Ferner erh&auml;lt man: b(x) •— 1 ist f&uuml;r das Produkt von Knoten additiv,
f&uuml;r einen Schlingknoten x mit Diagonalknoten X gilt b(x) — 2b (X), f&uuml;r einen
Schiauf knoten % mit dem Tr&auml;gerknoten X und der Umlauf zahl a gilt b(x) =
a6(A).
MATHEMATISCHES INSTITUT,
HEIDELBERG, HAUPTSTR.
47—51.
AN APPROACH TO N-DIMENSIONAL EUCLIDEAN AND
NON-EUCLIDEAN GEOMETRY
JACOB
SEIDEL
An inner-productspace E is a real linear space such that to each pair of
elements ai} a^ there is attached a real number, their inner-product, which
satisfies the conditions (ai} a&oacute;) = (aj} a^)\ (Xaif %) = X(ai} a&oacute;\, X real;
(ai + ait a1c) = (ait au) + (aj} alc). We shall restrict ourselves to inner-productspaces of finite dimension. The matrix formed by the inner products of a
finite set of elements is called the Gramian matrix of these elements. Two
square matrices P and Q are congruent, whenever Q = RTPR for some nonsingular square R. Further n(P), \y(P)~\t stands for the number of positives
[negatives] in any diagonalmatrix which is congruent with P.
E is called semisimple, whenever a e E and (a, a^ = 0 for all at e E implies
a = 0. E is called proper, if it contains at least one element b with (b, b) &gt; 0.
An IH space is a proper inner-productspace such that every proper subspace
is semisimple.
THEOREM. The only possible IH spaces are:
1. Spaces such that for the Gramian matrix P of each finite set of elements
V(P) = 0 holds;
2. Spaces such that for the Gramian matrix P of each finite set of elements,
which span a subspace JT, either n(P) = 1 or n(P) = 0 holds according as r
is proper or not.
The theorem is proved with the aid of the
LEMMA. In an IH space E let alt..., an constitute an independent basis for
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a proper subspace JT. Let a1} . . ., an together with any other elements bv . . ., bm
of E have the Gramian matrix J
). Then (B — CTA~1C)
T
is (semi)
definite.
Identifications of elements of spaces (1) lead to spherical and elliptic
geometry. Identifications of elements of spaces (2) lead to hyperbolic and
euclidean geometry.
WILGENLAAN
13,
DELFT.
SUR UNE PROPRI&Eacute;T&Eacute; CARACT&Eacute;RISTIQUE DES SURFACES
&Agrave; COURBURE MOYENNE CONSTANTE
FERRUH
SEM&iuml;N
E t a n t donn&eacute;e une surface r&eacute;elle S, une courbe trac&eacute;e sur celle-ci sera
appel&eacute;e une courbe-G, si en chaque point P de G, le plan normal &agrave; 5 passant
par la tangente &agrave; G coupe la surface suivant une section suroscul&eacute;e en P par son
cercle de courbure en ce m&ecirc;me point. Sur chaque 5, il y a en g&eacute;n&eacute;ral trois familles compos&eacute;es de telles courbes. Le b u t de ce travail est de montrer que la
condition necessaire est suffisante pour que ces trois familles de courbes forment
un reseau &agrave; 120&deg; — c'est-&agrave;-dire qu'en chaque point P de S, deux quelconques
des trois courbes appartenant chacune &agrave; une famille diff&eacute;rente fassent un angle
de 120&deg; entre elles —• est que la surface soit une surface &agrave; courbure moyenne
constante.
ISTANBUL &Uuml; N I V E R S I T E S I MATEMATIK
ISTANBUL,
ENSTIT&uuml;S&uuml;,
T&uuml;RKIYE
Z E R L E G U N G V O N FLACHEN VOM G E S C H L E C H T E I N S
I N &Auml; H N L I C H E RECHTECKE
ALFRED
ST&ouml;HR
Jede Zerlegung eines Torus in Rechtecke ergibt durch &Uuml;bergang zur
universellen &Uuml;berlagerungsfl&auml;che eine doppeltperiodische Zerlegung der Ebene
in Rechtecke u n d umgekehrt. Dieser Zerlegung der Ebene entspricht im Sinne
von [1] ein ohne &Uuml;berschneidungen in der Ebene gelegenes doppeltperiodisches
Netzwerk, in dem Str&ouml;me und Spannungen herrschen, die ebenfalls diese
doppelte Periodizit&auml;t zeigen. Bezeichnet man mit colf co2 zwei den Torus
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