mit k den Begleitknoten Xt der Ordnung a von x darstellt, so gilt b(x

mit k den Begleitknoten Xt der Ordnung a von x darstellt, so gilt
b(x) ^ S a ( 6 ( ^ ) —1) + a.
Hieraus läßt sich folgern, daß jeder Knoten nur endlich viele Begleitknoten
besitzt, und es kann jedem Begleitknoten eine endliche Vielfachheit zugelegt
werden. Ferner erhält man: b(x) •— 1 ist für das Produkt von Knoten additiv,
für einen Schlingknoten x mit Diagonalknoten X gilt b(x) — 2b (X), für einen
Schiauf knoten % mit dem Trägerknoten X und der Umlauf zahl a gilt b(x) =
a6(A).
MATHEMATISCHES INSTITUT,
HEIDELBERG, HAUPTSTR.
47—51.
AN APPROACH TO N-DIMENSIONAL EUCLIDEAN AND
NON-EUCLIDEAN GEOMETRY
JACOB
SEIDEL
An inner-productspace E is a real linear space such that to each pair of
elements ai} a^ there is attached a real number, their inner-product, which
satisfies the conditions (ai} aó) = (aj} a^)\ (Xaif %) = X(ai} aó\, X real;
(ai + ait a1c) = (ait au) + (aj} alc). We shall restrict ourselves to inner-productspaces of finite dimension. The matrix formed by the inner products of a
finite set of elements is called the Gramian matrix of these elements. Two
square matrices P and Q are congruent, whenever Q = RTPR for some nonsingular square R. Further n(P), \y(P)~\t stands for the number of positives
[negatives] in any diagonalmatrix which is congruent with P.
E is called semisimple, whenever a e E and (a, a^ = 0 for all at e E implies
a = 0. E is called proper, if it contains at least one element b with (b, b) > 0.
An IH space is a proper inner-productspace such that every proper subspace
is semisimple.
THEOREM. The only possible IH spaces are:
1. Spaces such that for the Gramian matrix P of each finite set of elements
V(P) = 0 holds;
2. Spaces such that for the Gramian matrix P of each finite set of elements,
which span a subspace JT, either n(P) = 1 or n(P) = 0 holds according as r
is proper or not.
The theorem is proved with the aid of the
LEMMA. In an IH space E let alt..., an constitute an independent basis for
255
a proper subspace JT. Let a1} . . ., an together with any other elements bv . . ., bm
of E have the Gramian matrix J
). Then (B — CTA~1C)
T
is (semi)
definite.
Identifications of elements of spaces (1) lead to spherical and elliptic
geometry. Identifications of elements of spaces (2) lead to hyperbolic and
euclidean geometry.
WILGENLAAN
13,
DELFT.
SUR UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DES SURFACES
À COURBURE MOYENNE CONSTANTE
FERRUH
SEMïN
E t a n t donnée une surface réelle S, une courbe tracée sur celle-ci sera
appelée une courbe-G, si en chaque point P de G, le plan normal à 5 passant
par la tangente à G coupe la surface suivant une section surosculée en P par son
cercle de courbure en ce même point. Sur chaque 5, il y a en général trois familles composées de telles courbes. Le b u t de ce travail est de montrer que la
condition necessaire est suffisante pour que ces trois familles de courbes forment
un reseau à 120° — c'est-à-dire qu'en chaque point P de S, deux quelconques
des trois courbes appartenant chacune à une famille différente fassent un angle
de 120° entre elles —• est que la surface soit une surface à courbure moyenne
constante.
ISTANBUL Ü N I V E R S I T E S I MATEMATIK
ISTANBUL,
ENSTITüSü,
TüRKIYE
Z E R L E G U N G V O N FLACHEN VOM G E S C H L E C H T E I N S
I N Ä H N L I C H E RECHTECKE
ALFRED
STöHR
Jede Zerlegung eines Torus in Rechtecke ergibt durch Übergang zur
universellen Überlagerungsfläche eine doppeltperiodische Zerlegung der Ebene
in Rechtecke u n d umgekehrt. Dieser Zerlegung der Ebene entspricht im Sinne
von [1] ein ohne Überschneidungen in der Ebene gelegenes doppeltperiodisches
Netzwerk, in dem Ströme und Spannungen herrschen, die ebenfalls diese
doppelte Periodizität zeigen. Bezeichnet man mit colf co2 zwei den Torus
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