Das freie skalare Feld

Das freie skalare Feld
1
Klassische Feldtheorie
Definition 1.1 Sei φ = φ(t, x) ∈ C 2 (R1,n−1 ) und φ̇ = ∂t φ. Eine (genügend reguläre) Abbildung C 2 (R1,n−1 ) × C 2 (R1,n−1 ) ∋ (φ, φ̇) 7→ L[φ, φ̇] → R heißt Lagrange-Funktion.
Für festes t und φ ist L[φ, . ] : C 1 (Rn−1 ) → R eine Abbildung zwischen Banach-Räumen.
Definition 1.2 Seien X, Y Banach-Räume, V ⊂ X offen und x ∈ V . Sei f : X → Y
eine Abbildung.
Falls existent, heißt der lineare stetige Operator (Df )x : X → Y mit
1 limh→0 khk f (x + h) − f (x) − (Df )x (h) = 0 die Fréchet-Ableitung von f in x.
Definition 1.3 Die Fréchet-Ableitung π := (DL[φ, . ])φ̇ : C 1 (Rn−1 ) → R von L[φ, . ] im
Punkt φ̇ heißt kanonisch-konjugierter Impuls zu φ. Die Legendre-Transformation
H[φ, π] = sup π(φ̇) − L[φ, φ̇]
φ̇
der Lagrange-Funktion heißt Hamilton-Funktion.
Wählt man speziell φ̇ ∈ S(Rn−1 ), so ist es üblich, das lineare stetige Funktional π zu
identifizieren mit
Z
π(φ̇) =
dx ̟(x)φ̇(x) .
Rn−1
Definition 1.4 Wir nennen
Z
L[φ, φ̇] :=
dx L[φ, φ̇] ,
L[φ, φ̇] :=
Rn−1
1 2
φ̇ − (grad φ)2 − m2 φ2
2
die Lagrange-Funktion des freien skalaren Feldes.
Im unter der Identifizierung π →
7 ̟ entstehenden Ausdruck
Z
Z
1
1
1
2
2
dx ̟(x)φ̇(x) − φ̇(x) =
dx
(̟(x)) − (π(x) − φ̇(x))
2
2
2
Rn−1
Rn−1
wird das Supremum für φ̇(x) = ̟(x) angenommen. Es folgt für die Hamilton-Funktion
des freien skalaren Feldes:
Z
1 2
H[̟, φ] :=
dx
̟ + (grad φ)2 + m2 φ2
2
Rn−1
Definition 1.5 Durch
S[φ] :=
Z
t1
dt L[φ(t), φ̇(t)]
t0
wird die Wirkung S : C 2 ([t0 , t1 ] × Rn−1 ) → R definiert.
1
Das Hamiltonsche Prinzip besagt, daß sich die Bewegungsgleichungen als stationäre Punkte der Wirkung ergeben, also als jene Konfigutation φ, für die die Gâteaux-Ableitung
1
DS[φ; ψ] = lim (S[φ + τ ψ] − S[φ])
τ →0 τ
in eine beliebige Richtung ψ mit festgehaltenen Randwerten verschwindet:
für alle ψ ∈ C02 [t0 , t1 ] × R , d.h.ψ(t0 , x) = ψ(t1 , x) = 0 .
DS[φ; ψ] = 0
Für das freie skalare Feld findet
man nach partieller Integration in t und Verwendung des
R
Gaußschen Integralsatzes Rn−1 dx div(ψ grad φ) = 0:
DS[φ; ψ] =
Z
t1
t0
dt
Z
Rn−1
dx ψ(t, x) − ∂t2 φ(t, x) + div grad φ(t, x) − m2 φ(t, x)
und damit die Klein-Gordon-Gleichung
∂t2 φ(t, x) = div grad φ(t, x) − m2 φ(t, x) .
(1.1)
Durch Fourier-Transformation
φ(t, x) =
Z
Rn−1
dp
φ̂(t, p) eihp,xi
(2π)n−1
(1.2)
entsteht
∂t2 φ̂(t, p) + ωp2 φ̂(t, p) = 0 ,
ωp =
p
hp, pi + m2
(1.3)
mit Lösung
Somit gilt
φ̂(t, p) = p
1 ap e−iωp t + a†−p eiωp t ,
2ωp
̟(t,
ˆ p) =
r
ap , a†−p ∈ C .
ωp
(−i) ap e−iωp t − a†−p eiωp t .
2
(1.4)
(1.5)
Unter Wirkung der Translationsgruppe transformiert
sich das skalare Feld gemäß
P
φ(t, x) 7→ φ(t + a0 , xi + ai ) = φ(t, x) + a0 ∂t φ(t, x) + i ai ∂i φ(t, x) + O(a2 ). Invarianz der
Theorie unter diesen Translationen führt nach dem Noether-Theorem auf Erhaltungssätze.
Man zeigt, daß die erhaltenen Ladungen gegeben sind durch Energie H[̟, φ] und Impuls
Z
P [̟, φ] = −
dx ̟(x) (grad φ)(x) .
Rn−1
2
2
Quantisierung
Die Zeit t wird ab jetzt explizit berücksichtigt. In Analogie zur Quantenmechanik werden
nun Φ, Π als operatorwertige Distributionen auf einem Hilbert-Raum aufgefaßt, für die
man die folgenden gleichzeitigen Kommutatorrelationen fordert:
[Φ(t, x), Φ(t, y)] = 0 ,
[Π(t, x), Π(t, y)] = 0 ,
[Φ(t, x), Π(t, y)] = iδ(x − y) . (2.1)
Dabei ist der letzte Kommutator zu verstehen in Anwendung auf Testfunktionen f, g ∈
S(Rn−1 ).
Z
Z
[Φt (f ), Πt (g)] =
dx dy f (x)g(y)[Φ(t, x), Π(t, y)] = i
dx f (x)g(x) = ihf, gi .
Rn−1 ×Rn−1
Rn−1
Wir verzichten auf das Einsetzen der Testfunktionen und arbeiten mit symbolischen Formeln für die Distributionen.
Die Kommutatorrelationen lassen sich nun in Analogie zur klassischen Lösung (1.4)
und (1.5) realisieren durch den Ansatz
Z
dp
−i(ωp t−hp,xi)
† i(ωp t−hp,xi)
p
,
(2.2)
a
e
+
a
e
Φ(t, x) =
p
p
n−1
2ωp
Rn−1 (2π)
r
Z
dp
ωp
−i(ωp t−hp,xi)
† i(ωp t−hp,xi)
Π(t, x) =
(−i)
a
e
−
a
e
,
(2.3)
p
p
n−1
2
Rn−1 (2π)
mit
[ap , ap′ ] = 0 ,
Z
Zum Nachweis wird
Rn−1
[ap , a†p′ ] = (2π)3 δ(p − p′ ) .
Z
= δ(x) benötigt. Analog gilt
[a†p , a†p′ ] = 0 ,
dp
eihp,xi
n−1
(2π)
(2.4)
dx eihp,xi =
Rn−1
(2π)n−1 δ(p).
Ein Hilbert-Raum H, auf dem Φ, Π als unbeschränkte Operatoren wirken, läßt sich
nun ausgehend von einem ausgezeichneten Vakuum-Vektor Ω ∈ H mit hΩ, Ωi = 1 erklären
als
ok k
n
H = span a†p1 · · · a†pN Ω : N ∈ N , pi ∈ Rn−1
,
zusammen mit ap Ω = 0 für alle p sowie der Konvention a†p = (ap )∗ bezüglich des Skalarprodukts auf H.
Allgemein liefert die Quantisierung der klassischen erhaltenen Ladungen die Generatoren der zugehörigen Symmetriegruppe. Entsprechend betrachten wir die Quantisierung
der Hamilton-Funktion unter Verwendung von (2.4):
Z
Z
Z
1
dp
dq
′
H =
dx
2
(2π)n−1
(2π)n−1
r
n
ωp ωq ap e−i(ωp t−hp,xi) − a†p ei(ωp t−hp,xi) aq e−i(ωq t−hq,xi) − a†q ei(ωq t−hq,xi)
× (−i)2
4
E
2 D
(−i)
+p
pap e−i(ωp t−hp,xi) − pa†p ei(ωp t−hp,xi) , qaq e−i(ωq t−hq,xi) − qa†q ei(ωq t−hq,xi)
4ωp ωq
o
1
+ m2 p
ap e−i(ωp t−hp,xi) + a†p ei(ωp t−hp,xi) aq e−i(ωq t−hq,xi) + a†q ei(ωq t−hq,xi)
.
4ωp ωq
3
′
Das Integral von e±ihp+p ,xi über x liefert eine δ-Distribution, so daß mit ω−p = ωp folgt:
Z
dp 1 n ωp −2iωp t
†
†
† †
2iωp t
′
−
a
a
e
−
a
a
−
a
a
+
a
a
e
H =
p −p
p p
p p
p −p
(2π)n−1 2
2
1 − hp, piap a−p e−2iωp t − hp, piap a†p − hp, pia†p ap − hp, pia†p a†−p e2iωp t
−
2ωp
m2 +
ap a−p e−2iωp t + ap a†p + a†p ap + a†p a†−p e2iωp t
2ωp
Z
dp
ωp
†
†
=
a
a
+
a
a
.
(2.5)
p
p
p
p
(2π)n−1 2
Im letzten Schritt ist ωp2 = hp, pi + m2 benutzt, siehe (1.3). Das Ergebnis führt bereits auf eine erste Divergenz: Es gilt nämlich (ap a†p + a†p ap )Ω = Ω für alle p, somit
R
HΩ = (2π)dpn−1 ω2p → ∞. Dabei ist ω2p > 0 die Grundzustandsenergie des harmonischen
Oszillators der Frequenz ωp , und die gesamte Grundzustandsenergie divergiert. Deshalb
vereinbart man
Definition 2.1 (Normalordnung) Sei P (a, a† ) ein Polynom in Erzeugern a†p und Vernichtern aq . Dann heißt das Polynom : P (a, a† ) :, das durch Permutation aller a†p nach links
von allen aq ohne Berücksichtigung der Kommutatorrelation entsteht, die Normalordnung von P (a, a† ).
Somit definieren wir korrekter:
Definition 2.2 Das normalgeordnete Operatorprodukt
Z
Z
dp
1
2
2
2
2
: Π : + : (grad Φ) : +m : Φ : ≡
ωp a†p ap
H=
dx
n−1
2
(2π)
n−1
n−1
R
R
heißt Hamilton-Operators des freien Skalarfeldes.
Es folgt mit Hilfe der Kommutatorrelationen (2.4)
[H, a†p ] = ωp ap
[H, ap ] = −ωp ap ,
⇒
[H, Φ] = −i∂t Φ , [H, Π] = −i∂t Π .
In diesem Sinn ist H der unbeschränkte Operator, der nach dem Satz von Stone die
Zeittranslation generiert:
eiHτ Φ(t, x)e−iHτ = Φ(t + τ, x) ,
eiHτ Π(t, x)e−iHτ = Π(t + τ, x) .
Analog definiert man den Impulsoperator als
Z
Z
Pj = −
dx : Π∂j Φ :
−→ Pj =
Rn−1
Rn−1
dp
pj a†p ap .
(2π)n−1
(2.6)
(2.7)
Es folgt [Pj , Φ] = i∂j Φ und [Pj , Π] = i∂j Π, somit generiert −Pi die räumliche Translation:
e−i
P
j
yj P j
Φ(t, x)ei
P
j
yj P j
e−i
= Φ(t, x + y) ,
4
P
j
yj P j
Π(t, x)ei
P
j
yj P j
= Π(t, x + y) .
(2.8)
3
Korrelationsfunktionen
Wir betrachten zunächst den Vakuumerwartungswert des Operatorprodukts Φ(s, x)Φ(t, y)
D(t, x; s, y) := hΩ, Φ(t, x)Φ(s, y)Ωi .
(3.1)
Nach dem Wightmanschen Rekonstruktionstheorem (und der Faktorisierung der höheren
Korreleationsfunktionen als Produkte von 2-Punktfunktionen) beschreibt D(t, x; s, y) vollständig die Theorie des freien Feldes. Wegen ap Ω = 0 und a†p = (ap )∗ folgt
Z
Z
dp
dq
1
p
hΩ, ap a†q Ωi e−i(ωp t−hp,xi) e+i(ωq s−hq,yi)
D(t, x; s, y) =
n−1
n−1
(2π)
(2π)
n−1
{z }
|
4ω
ω
p q
R
=(2π)n−1 δ(p−q)
Z
dp
1 −i(ωp (t−s)−hp,x−yi)
e
.
(3.2)
n−1
2ωp
Rn−1 (2π)
Damit hängt D nur von der Differenz der Argumente ab, und wir können z.B. s = 0 und
y = 0 wählen. Gegebenenfalls fassen wir die Argumente zu Punkten im Minkowski-Raum
zusammen: pM = (E, p), xM = (t, x) und hpM , xM iM := Et − hp, xi.
=
Lemma 3.1 D(t, x; s, y) ist eine Lorentz-Invariante.
Beweis. Es gilt
Z ∞ p
Z ∞ p
1
2
2
=
δ E − hp, pi − m =
δ E 2 − hp, pi − m2 θ(E)
2ωp
0
−∞
1
unter Verwendung des Transformationssatzes δ(f (x) − f (x0 )) = |f ′ (x
δ(x − x0 ) und der
0 )|
Heaviside-Funktion
x
für x > 0 ,
θ(x) =
0
für x ≤ 0 .
Damit entsteht das Integral über den Vorwärtslichtkegel im Impulsraum
Z
dpM
δ(hpM , pM iM − m2 )θ(E) e−ihpM ,xM −yM iM .
(3.3)
D(xM ; yM ) = 2π
n
Rn (2π)
Der Vorwärtslichtkegel bleibt invariant unter Lorentz-Transformationen, die die Zeitorientierung erhalten.
Wir diskutieren den Spezialfall s = t der Gleichzeitigkeit in (3.2),
Z
1 ihp,x−yi)
dp
e
.
D(t, x; t, y) =
n−1
(2π)
2ωp
In Radialkoordinaten ist hp, x − yi = ur cos θ mit r 2 = hx − y, x − yi, das Volumenmaß
√ n−1
dann dp = un−2du sin θ dθ Γ(πn−1 ) . Somit gilt
2
Z ∞
Z π
1
1
n−2
√
D(t, x; t, y) = √ n−1 n−1
du u
dθ sin θeiur cos θ
2
2
(2 π) Γ( 2 ) 0
2 u +m 0
Z ∞
eiur − e−iur
1
1
du un−2 √
= √ n−1 n−1
iur
(2 π) Γ( 2 ) 0
2 u2 + m2
Z ∞
sin(ur)
1
du un−3 √
= √ n−1 n−1
.
(3.4)
(2 π) Γ( 2 ) 0
r u2 + m2
5
Im Fall n = 4 konvergiert das Integral gegen
m
D(t, x; t, 0)n=4 = 2 K1 mr .
4π r
(3.5)
Die Besselfunktion K1 (x) verschwindet exponentiell für große x, ist aber ungleich Null.
Die Forderung ist deshalb nicht, daß die Korrelation zwischen raumartig getrennten
Punkten verschwindet, sondern, daß raumartig getrennt lokalisierten Feldoperatoren miteinander kommutieren. Somit betrachten wir
Definition 3.2
∆(xM ; yM ) := hΩ, [Φ(xM ), Φ(yM )]Ωi = D(xM ; yM ) − D(yM ; xM )
(3.6)
heißt Kommutatorfunktion.
Nun gilt
Z
dpM
2
−ihpM ,xM −yM iM
+ihpM ,xM −yM iM
δ(hp
,
p
i
−
m
)θ(E)
e
−
e
M
M
M
n
n (2π)
ZR
−ihp ,x −y i
dpM
2
= 2π
δ(hp
,
p
i
−
m
)
θ(E)
−
θ(−E)
e M M MM .
M
M
M
n
Rn (2π)
Dabei ist sign(E) = θ(E) − θ(−E) die Vorzeichenfunktion. An gleichen Zeitpunkten ist
der Integrand in ∆(t, x; t, y) eine ungerade Funktion, so daß das Integral verschwindet,
∆(xM ; yM ) = 2π
∆(t, x; t, y) = 0
für alle x, y .
Zusammen mit der Lorentz-Invarianz wird so das Kausalitätsaxiom realisiert, ∆(xM ; yM ) =
0 für hxM − yM , xM − yM iM < 0.
Wegen (∂t2 −divx gradx +m2 )Φ(x) = 0 erfüllt der Kommutator (3.6) die Klein-GordonGleichung
(∂t2 − divx gradx + m2 )∆(t, x; s, y) = 0 .
Zusätzlich gilt wegen der Kommutatorrelation (2.1)
∂t ∆(t, x; s, y) = hΩ, [Π(t, x), Φ(t, y)]Ωi = −iδ(x − y) .
s=t
Damit gilt:
Lemma 3.3 ∆(t, x; s, y) ist die eindeutige Lösung der (hyperbolischen)
Klein-Gordon
= −iδ(x − y).
Gleichung zur Anfangsbedingung ∆(t, x; t, y) = 0 und ∂t ∆(t, x; s, y)
s=t
Wegen ∆(t, x; t, y) = 0 kann der allgemeine Kommutator zerlegt werden in:
Definition 3.4 In der Zerlegung
∆(t, x; s, y) = ∆R (t, x; s, y) + ∆A (t, x; s, y) ,
∆R (t, x; s, y) := θ(t − s)∆(t, x; s, y) ,
∆A (t, x; s, y) := θ(s − t)∆(t, x; s, y)
(3.7)
heißt die ∆R die retardierte Greensche Funktion und ∆R die avancierte Greensche Funktion.
6
Wir betrachten
Z
dpM
−i E(t−s)−hp,x−yi
2
δ(hpM , pM iM − m ) θ(E) − θ(−E) θ(t − s)e
∆R (t, x; s, y) = 2π
n
Rn (2π)
Z
dp
1
−i −ωp (t−s)−hp,x−yi
−i ωp (t−s)−hp,x−yi
=
−e
.
θ(t − s) e
n−1 2ω
p
Rn−1 (2π)
Diese Formel läßt sich alternativ über den Residuensatz realisieren:
Lemma 3.5
∆R (t, x; s, y) = lim(+i)
ǫց0
∆A (t, x; s, y) = lim(−i)
ǫց0
Z
−i E(t−s)−hp,x−yi
Rn
Z
Rn
e
dE dp
.
n
2
(2π) E − (hp, pi + m2 ) + iǫE
−i E(t−s)−hp,x−yi
e
dE dp
.
n
2
(2π) E − (hp, pi + m2 ) − iǫE
(*)
(**)
Beweis. Ist t > s, dann dürfen wir in (*) das Integral
q über E in der unteren Halbebene
iǫ
schließen. Dann liegen die beiden Pole E± = − 2 ± ωp2 − ǫ2 /4 im Inneren des Integrati-
onsweges, der in negativem Sinn durchlaufen wird. Nach Residuensatz mit E 2 − (hp, pi +
m2 ) − iǫE = (E − E+ )(E − E− ) gilt
Z
e−i E− (t−s)−hp,x−yi dp e−i E+ (t−s)−hp,x−yi
+
(∗) = (−2πi)(+i) lim
ǫց0 Rn−1 (2π)n
E+ − E−
E− − E+
Z
dp
1
−i −ωp (t−s)−hp,x−yi
−i ωp (t−s)−hp,x−yi
=
.
−
e
e
n−1 2ω
p
Rn−1 (2π)
Ist dagegen t < s, so haben wir das E-Integral in der oberen Halbebene zu schließen, in
der keine Pole liegen. Damit ist (∗) = 0 für t < s.
Völlig analog folgt (**), wobei beim Schließen in der oberen Halbebene der Integrationsweg in positivem Sinn verläuft.
Anwenden des Klein-Gordon-Operators kürzt den Nenner, so daß folgt
Lemma 3.6
(∂t2 − divx gradx + m2 )∆R (t, x; s, y) = −iδM (xM − yM ) ,
(∂t2 − divx gradx + m2 )∆A (t, x; s, y) = +iδM (xM − yM ) .
Damit sind ∆R (t, x; s, y) bzw. ∆A (t, x; s, y) Greensche Funktionen zum Klein-GordonOperator mit Lokalisierung bei t > s bzw. t < s.
Eine weitere Greensche Funktion wird durch das zeitgeordnete Produkt erhalten:
Definition 3.7
∆F (t, x; s, y) = hΩ, T Φ(t, x)Φ(s, y)Ωi
:= θ(t − s)hΩ, Φ(t, x)Φ(s, y)Ωi + θ(s − t)hΩ, Φ(s, y)Φ(t, x)Ωi
heißt kausale Greensche Funktion oder Feynman-Propagator.
7
(3.8)
Somit wirken die Felder in der Reihenfolge ihrer Zeit-Argumente auf das Vakuum Ω.
Einsetzen von (3.2) liefert
Z
1 dp
−i(ωp (t−s)−hp,x−yi)
+i(ωp (t−s)−hp,x−yi)
θ(t
−
s)e
+
θ(s
−
t)e
.
∆F (t, x; s, y) =
(2π)n−1 2ωp
(3.9)
Mit ähnlichen Methoden zeigt man:
Lemma 3.8 Es gilt
Z
dE dp
e−i(E(t−s)−hp,x−yi)
n
2
2
ǫց0
Rn (2π) E − (hp, pi + m ) + iǫ
(∂t2 − divx gradx + m2 )∆F (t, x; s, y) = −iδM (xM − yM ) .
∆F (t, x; s, y) = lim i
(†)
(3.10)
Beweis. Die Pole liegen sind nun bei
1
− 2i arctan
E± = (ωp4 + ǫ2 ) 4 e
ǫ
2
ωp
.
Für t > s können wir das E-Integral in der unteren Halbebene schließen, in der der Pol
E+ liegt. Somit folgt (Umlauf in negativem Sinn)
(†) = (−2πi) lim i
ǫց0
Z
Rn−1
dp e−i(E+ (t−s)−hp,x−yi)
(2π)n
2E+
für t > s .
Für t < s schließen wir das E-Integral in der obere Halbebene, in der der Pol E− liegt.
Somit folgt (Umlauf in positivem Sinn)
(†) = (+2πi) lim i
ǫց0
Z
Rn−1
dp e−i(E− (t−s)−hp,x−yi)
(2π)n
2E−
für t < s .
Hier ist noch p 7→ −p zu substituieren. Der Limes ǫ ց 0 liefert (3.9).
Anwenden des Klein-Gordon-Operators auf (†) kürzt den Nenner, so daß sich (3.10)
ergibt.
Literatur
[1] M. E. Peskin, D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Westview
Press, 1995.
[2] C. Itzykson, J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, Dover Publishing, 2005.
[3] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, vol I, Cambridge University Press, 2002.
Press, 1995.
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