Flächen und Körper

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Thomas Röser
Flächen und
Körper
U
A
H
C
Stationenlernen Mathematik
7. Klasse
O
V
Bergedorfer Unterrichtsideen
S
R
Thomas Röser
Bergedorfer Lernstationen
Stationenlernen
Mathematik 7. Klasse
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
7. Klasse
Zuordnungen – Prozentrechnung – rationale Zahlen –
Terme – geometrische Figuren – Stochastik
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verfo
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zur Vollversion
1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das?
Vorwort
I – Theorie: Zum Stationenlernen
1. Einleitung: Stationenlernen,
was ist das?
Unsere Gesellschaft wird seit geraumer Zeit durch
Begriffe der Individualisierung gekennzeichnet: Risikogesellschaft heißt es bei Ulrich Beck1, Multioptionsgesellschaft nennt sie Peter Gross2 und für
Gerhard Schulze ist es eine Erlebnisgesellschaft3.
Jeder Begriff beinhaltet einen anderen inhaltlichen
Schwerpunkt, doch egal, wie wir diesen Prozess
bezeichnen, die Individualisierung – hier zu verstehen als Pluralisierung von Lebensstilen – schreitet
voran. Damit wird die Identitäts- und Sinnfindung
un
zu einer individuellen Leistung. Diese Veränderunstitugen wirken sich zwangsläufig auch auf die Instituine
tion Schule aus. Damit lässt sich vor allem eine
tlich d
er
Heterogenität von Lerngruppen hinsichtlich
der
wie der indiv
Lernkultur, der Leistungsfähigkeit sowie
indivirübe
er hinaus legt
duellen Lernwege feststellen. Darüber
esetz Nor
rhein-Westbeispielsweise das Schulgesetz
Nordrhein-Westensch […]
falen im § 1 fest, dass:: „Jeder junge Mensch
eine wirtschaftlich
ohne Rücksicht auf seine
wirtschaftliche Lage und
hlecht ein Re
Herkunft und sein Gesc
Geschlecht
Recht auf schuliche Bildu
g, Erziehun
sche
Bildung,
Erziehung und individuelle Förderung“ hat. D
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e
Das
nach einem hehren Zie
Ziel – die
Frage ist nur, wie wir d
en könn
?
dieses Ziel erreichen
können?
blematik differenziert entfaltet.“4 Schon an dieser
Stelle wird offensichtlich, dass für diese Methode
unterschiedliche Begriffe verwendet werden. Jedem Terminus wohnt eine (mehr oder weniger) anders geartete organisatorische Struktur inne. In
den meisten Fällen werden die Begriffe Lernen an
er
Stationen und Stationenlernen
synonym verwendet. Hiervon werden die Lern
Lernstraße oder der Lernzirkel unterschieden. Bei diese
diesen beiden Varianten
werden in der Regel eine festge
festgelegte Reihenfolge
ständ keit des Durc
sowie die Vollständigkeit
Durchlaufs aller Staangt. Dara
aus ergibt s
tionen verlangt.
Daraus
sich zwangsläufig
g isatorisch) auch eine festgelegte Ar(rein organisatorisch)
eitszeit an der jeweil
ne weitere
beitszeit
jeweiligen Station. Eine
Unterscheidung bie
Unterscheidung
bietet die Lerntheke, an we
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Schülerinnen und Sc
Schüler mitt Mater
Material bedienen kö
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dienen
können, um anschließend
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genständig)
an ihren regulären
arbeiten.
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ch möchte an dieser Stelle festhalten,
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nach
meiner Einschätzung nicht das pädagogische
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nur einsetzen
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(pädagogischen)
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ich an dieser
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Stelle die Methode
Stationenlernens
präsene der Individ
tieren, da dies
diese
Individualisierung Rechnung
n kann.
tragen
e des S
Merkmale
Stationenlernens
„‚Lernen an Stationen’ bezeichnet die Arbeit mit einem aus verschiedenen Stationen zusammengesetzten Lernangebot, das eine übergeordnete Pro-
1
2
3
Vgl.: Beck, Ulrich: Risikogesellschaft – Auf dem Weg in eine andere
Moderne. Berlin 1986.
Vgl.: Pongs, Armin; Gross, Peter: Die Multioptionsgesellschaft. In:
Pongs, Armin (Hrsg.): In welcher Gesellschaft leben wir eigentlich?
– Gesellschaftskonzepte im Vergleich, Band I. München 1999, S.
105–127.
Vgl.: Schulze, Gerhard: Die Erlebnisgesellschaft – Kultursoziologie
der Gegenwart. Frankfurt/Main, New York 1992.
Thomas Röser: Flächen und Körper
© Persen Verlag
rme soll das Lernen
Lerne an Stationen
Von diesen Formen
s Stationenlernen
S tionenlernen
n abgegrenzt
ab
bzw. das
werden.
smeth d iist hier zu verstehen als
Diese Unterrich
Unterrichtsmethode
un errichtliches Ve
ein unterrichtliches
Verfahren, bei dem der unterrichtliche Gegens
Gegenstand so aufgefächert wird, dass
nen Stationen unabhängig voneinander
die einzel
einzelnen
bearbeite werden können – die Schülerinnen und
bearbeitet
Sch
Schüler
können die Reihenfolge der Stationen somit eigenständig bestimmen; sie allein entscheiden, wann sie welche Station bearbeiten wollen.
Damit arbeiten die Lernenden weitgehend selbstständig und eigenverantwortlich (bei meist vorgegebener Sozialform, welche sich aus der Aufgabenstellung ergeben sollte). Um der Heterogenität
Rechung zu tragen, werden neben den Pflichtstationen, die von allen bearbeitet werden müssen, Zusatzstationen angeboten, die nach individuellem
Interesse und Leistungsvermögen ausgewählt
werden können.
Aufgrund der Auffächerung des Gegenstandes in
unterschiedliche Schwerpunkte und der Unterteilung in Pflicht- und Zusatzstationen, bietet es sich
an, bei der Konzeption der einzelnen Stationen unterschiedliche Lernzugänge zu verwenden. Auch
hier wäre eine weitere schülerspezifischere Differenzierung denkbar. Folglich ist es möglich, einen
4
Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 4.
zur Vollversion
1
1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das?
inhaltlichen Schwerpunkt bspw. einmal über einen
rein visuellen Text, zweitens mithilfe eines Bildes/
einer Karikatur und drittens über ein akustisches
Material anzubieten, und die Lernenden dürfen frei
wählen, welchen Materialzugang sie verwenden
möchten, jedoch unter der Prämisse, einen zu bearbeiten.
Unter diesen Gesichtpunkten wird offensichtlich,
dass das Stationenlernen eine Arbeitsform des offenen Unterrichtes ist.
Ursprung des Stationenlernens
Die Idee des Zirkulierens im Lernablauf stammt ursprünglich aus dem Sportbereich. Das „circuit training“, von Morgan und Adamson 1952 in England
entwickelt, stellt im Sportbereich den Sportlern unterschiedliche Übungsstationen zur Verfügung,
sen.
welche sie der Reihe nach durchlaufen müssen.
gen
Der Begriff Lernen an Stationen wurde hingegen
zu ih
en
von Gabriele Faust-Siehl geprägt, die hierzu
ihren
hrift „Grund
gleichnamigen Aufsatz in der Zeitschrift
„Grundschule“ 1989 publizierte.1
S
R
Für die Gestaltung
und
eines Statioung u
nd Konzeption e
nenlernens istt es entscheidend,
entsc eidend, dass sich der unterrichtliche
verschiedene Teilaserrichtliche Gegenstand in v
aufschlüsseln lässt,
läs die in ihrer zu
u be
ipekte aufschlüsseln
bearbeifolge u
nander sin
tenden Reihe
Reihenfolge
unabhängig voneinander
sind.
Damit darf jjedoch die abschließende Bündelung
cht unter
nicht
unterschlagen werden. Es bietet sich daher
oblem
der Fragean, ein
eine übergeordnete Problematik
oder
g zu
u stelle
e zu
stellung an den Anfang
stellen, welche
zum Abon de
schluss (dieser ist von
der meth
methodischen Reflexion
en) erneut a
ufgegr
zu unterscheiden)
aufgegriffen
wird.
O
V
gentliche Ablauf lässt sich in der Regel in
Der eigentliche
hasen u
erteilen 1. Die thematische und
vier Phasen
unterteilen:
che Hinfü
methodische
Hinführung – hier wird den Schülerinnen und Schüle
Schülern einerseits eine inhaltliche Orientierung geboten und andererseits der Ablauf des
Stationenlernens erklärt. Sinnvoll ist es an dieser
Stelle gemeinsam mit den Lernenden die Vorteile,
aber auch mögliche Schwierigkeiten der Methode
zu besprechen. Hierauf folgt 2. ein knapper Überblick über die eigentlichen Stationen – dieser Überblick sollte ohne Hinweise der Lehrperson auskommen. Rein organisatorisch macht es daher
Sinn, den jeweiligen Stationen feste (für die Lernenden nachvollziehbare) Plätze im Raum zuzuVgl.: Faust-Siehl, Gabriele: Lernen an Stationen. In: Grundschule,
Heft 3/1989. Braunschweig 1989, S. 22ff.
Thomas Röser: Flächen und Körper
© Persen Verlag
U
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Der Ablauf des Stationenlernens
enlernens
1
gestehen. 3. In der sich anschließenden Arbeitsphase erfolgt ein weitgehend selbstständiges Lernen an den Stationen. In dieser Phase können – je
nach Zeit und Bedarf – Plenumsgespräche stattfinden. Zur weiteren Orientierung während der
Arbeitsphase sollten zusätzliche Materialien, wie
Laufzettel, Arbeitspässe, Fortschrittslisten o. Ä.
verwendet werden. Diese erleichtern den Ablauf
und geben den Lernenden eine individuelle Übersicht über die bereits bearbeiteten und noch zur
Verfügung stehenden Stationen. Bei einem solchen Laufzettel sollte auch
uch eine Spalte für weitere
Kommentare, welche später
päter die Reflexion unterstützen können, Platz finden.
Darüber hinaus kann
nden. D
von den Schülerinnen
Schülern ein Arbeitsn und Sch
journal, ein Portfolio
eine Dokumentenortfolio oder auch ein
mappe geführt
werden,
Arbeitsergebnisse zu
ührt werde
n, um Arb
sichern
und den Arbe
Arbeitsprozess reflektierend zu
ern un
begleiten.
ausgearbeitetes Hilfes
Hilfesystem
egleiten. Ein
E n zuvor a
Ablauf
indem
kann den A
lauf zusätzlich unterstützen,
tzen, in
Lernende
anbieten
ernende an geeigneter Stelle Hilfe a
nbieten oder
einfordern
sich
eine
ei
order können. Am Ende
nde schließt s
h 4. ein
Reflexionsphase (auf inhaltlicher
methodiRe
nha
altlicher und metho
scher Ebene)) an.
Die Rolle der Lehrk
Lehrkraft
Stationenlernen
raft beim S
t
Als allererstes
ist die L
Lehrperson – wie bei fast alererstes is
anderen
Unterrichtsmethoden
auch – „Organilen and
eren Unte
ich
Berater von Lernprozessen“2. Sie stellt
sator und
un Berate
den Lernenden zu bearbeitendes Materialein von de
Aufgabenangebot zusammen. Der zentrale
und Au
Unterschied liegt jedoch darin, dass sie sich wähUn
rend des eigentlichen Arbeitsprozesses aus der
frontalen Position des Darbietens zurückzieht. Die
Lehrkraft regt vielmehr an, berät und unterstützt.
Dies bietet dem Lehrer/der Lehrerin viel stärker die
Möglichkeit, das Lerngeschehen zu beobachten
und aus der Diagnose Rückschlüsse für die weitere Unterrichtsgestaltung sowie Anregungen für
die individuelle Förderung zu geben. „Insgesamt
agiert die Lehrperson somit eher im Hintergrund.
Als ‚invisible hand‘ strukturiert sie das Lerngeschehen.“3
Vor- und Nachteile des Stationenlernens
Die Schülerinnen und Schüler übernehmen eine
viel stärkere Verantwortung für ihren eigenen Lernprozess und können somit (langfristig!) selbst-
2
3
Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 6.
Ebenda.
zur Vollversion
2
2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 7
sicherer und eigenständiger im, aber auch außerhalb des Unterrichts agieren. Diese hohe Eigenverantwortung bei zurückgenommener Anleitung
durch die Lehrperson kann jedoch zu einer Überforderung oder mangelnden Mitarbeit aufgrund der
geringen Kontrolle führen. Beidem muss zielgerichtet begegnet werden, sei es durch die schon
erwähnten Hilfestellungen oder durch eine (spätere) Kontrolle der Ergebnisse.
Eine Stärke des Stationenlernens besteht eindeutig in der Individualisierung des Unterrichtsgeschehens – die Lernenden selbst bestimmen Zeitaufwand und Abfolge der Stationen. Darüber hinaus
können die unterschiedlichen Lerneingangskanäle
sowie eine Differenzierung in Schwierigkeitsgrade
als Ausgangspunkt des Lernprozesses genommen
werden. Die Schülerinnen und Schüler können daa
mit die ihnen gerade angemessen erscheinende
ende
Darstellungs- und Aufnahmeform erproben, erfahahren und reflektieren. Damit kann eine heterogene
teroge e
Lerngruppe „inhalts- und lernzielgleich
unterrichtet
ch unterrichte
werden, ohne dass die Lernwege
vereinheitlicht
ge v
ereinheitlicht
werden müssen.“1
erhalb der
er untersch
dliche Fachdidaktiken
Innerhalb
unterschiedlichen
herrscht seit
se Jahren ein Konsens darüber, dass
s
sich das Leh
-Lern-An
e veränd
n
Lehr-Lern-Angebot
der Schule
verändern
muss. Rein k
ng im Sinne
kognitive Wissensvermittlung
es „Nürnb
agt und wides
„Nürnberger Trichters“ ist nicht gefragt
spric allen aktuellen Erkenntnissen
ken
n der Lernderspricht
twortlic
lbstg
psychologie. Eigenverantwortliches,
selbstgestalves L
ernen sind die zentralen
tetes und kooperatives
Lernen
gogik des ne
uen Ja
Ziele der Pädagogik
neuen
Jahrtausends. Eine
e Varia
ante, diesen For
mögliche
Variante,
Forderungen nachzuen, biete
kommen,
bietet das Station
Stationenlernen. Warum?
O
V
lernen
n ermöglicht
er
Stationenlernen
u. a.:
dif
1. Binnendifferenzierung
und individuelle Förderung, indem unterschiedliche Schwierigkeitsgrade angesetzt werden. Gleichzeitig können
die Schülerinnen und Schüler auch ihre Kompetenzen im Bereich der Arbeitsorganisation ausbauen.
2. einen Methoden- und Sozialformenwechsel, sodass neben Fachkompetenzen auch Sozial-,
Methoden- und Handlungskompetenzen gefördert werden können.
1
Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/ 2010, S. 6.
Thomas Röser: Flächen und Körper
© Persen Verlag
Stationenlernen benötigt – rein organisatorisch –
s mus
als allererstes Platz: Es
muss möglich sein, jeder
beits- Platz zuzuweisen.
Station einen festen (Arbeits-)
Die Lehrkraft benötigtt darüber h
hinaus für die Vorbereitung im ersten Moment meh
mehr Zeit – sie muss
digen Ma
erialien in au
alle notwendigen
Materialien
ausreichender Anrfügung ste
len und das heißt vor allem:
zahl zur Verfügung
stellen
e benötigt Zeit für da
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das Kopieren! Für d
den weiteen Ablauf iist
st es s
aufgabe an
ren
sinnvoll, Funktionsaufgaben
die
Lernenden zu verteilen – so kann bspw. je eine
ie Lernende
Schülerin
die
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chülerin oder je ein Schüler
hüler für eine Station d
Verantwortung übernehmen:
muss
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en: Sie/er m
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Sorge tragen, da
dass immer
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Materialien
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usreichend Ma
bereit liegen.
U
A
H
C
S
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n – Ei
n kurzes Fazit
Stationenlernen
Ein
Grundsätzlich – so behaupte ich – lässt sich Stationenlernen in allen Unterrichtsfächern durchführen. Grundsätzlich eignen sich auch alle Klassenstufen für Stationenlernen. Trotz alledem sollten –
wie bei jeder Unterrichtskonzeption – immer die zu
erwartenden Vorteile überwiegen; diese Aussage
soll hingegen kein Plädoyer für eine Nichtdurchführung eines Stationenlernens sein! D. h. jedoch,
dass – wie bei jeder Unterrichtsvorbereitung – eine
Bedingungsanalyse unerlässlich ist!
Wichtiger jed
jedoch
istt die Gru
Grundeinstellung der
och is
Schülerinnen
selbst: Viele Lernende
rinnen und
d Sch
Schüler se
wurden regelmäß
regelmäßig
mit lehrerzentriertem Frontalwurde
g mi
unterricht „unterh
„unterhalten“ – die Reaktionen der Schüunterrich
lerinnen und
und S
Schüler werden sehr unterschiedlich
sein. Eine Lerngruppe wird sich über mehr Eigenvera
verantwortung freuen, eine andere wird damit
maßlos überfordert sein, eine dritte wird sich verweigern. Daher ist es unerlässlich, die Lernenden
(schrittweise) an offenere Unterrichtsformen heranzuführen. Sinnvoll ist es daher, mit kleineren
Formen des offenen Unterrichts zu beginnen; dies
muss nicht zwingend ausschließlich in einem bestimmten Fachunterricht erfolgen – der Lernprozess einer Klasse sollte auch hier ganzheitlich verstanden werden! Absprachen zwischen den Kolleginnen und Kollegen sind somit auch hier unerlässlich – letztendlich kann im Gegenzug auch
wieder das gesamte Kollegium davon profitieren.
2. Besonderheiten des Stationenlernens im
Fach Mathematik in der Klassenstufe 7
Ein Stationenlernen im Mathematikunterricht muss
sich an den Inhalten und dem Aufbau der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren
Bildungsabschluss orientieren. Das Einschlagen
von individuellen Lösungswegen, das Analysieren
zur Vollversion
3
2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 7
von Lernergebnissen, das zielgerichtete Anwenden von Formeln, Rechengesetzen und Rechenregeln soll stets unter der Prämisse der Nutzbarkeit
für das weitere Lernen und dem Einbezug in möglichst unterschiedliche kontextbezogene Situationen gesehen werden. Der Schüler soll „auf diese
Weise Mathematik als anregendes, nutzbringendes und kreatives Betätigungsfeld erleben“1.
앬
Dabei sind folgende sechs allgemeine mathematische Kompetenzen Grundlage jeder Planung und
unterrichtlichen Aufbereitung. Im Einzelnen handeln es sich um:
앬
앬
앬
앬
앬
앬
앬
mathematisch argumentieren
Probleme mathematisch lösen
mathematisch modellieren
mathematische Darstellungen verwenden
mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen
kommunizieren
앬
앬
앬
앬
Zahl
Messen
Raum und Form
funktionaler
funktiona
er Zusamm
Zusammenhang
an
Daten und Zufall
S
R
Bezogen auf die Adressaten dieses Buches zum
Stationenlernen
– die Schüler der 7. Klasse
Stationenler
sse – müsn folg
en mathematische
hematische
sen
folgende inhaltsbezogene
htigung finden:
Kompetenzen Berücksichtigung
앬
앬
앬
앬
1
O
V
Die Vorstellung von
on ra
rationalen
tional Zahlen entsprenotwe
chend der Verwendungs
Verwendungsnotwendigkeit
Die sichere
chere Anwendung d
der
er Grundrechenarten
im Zahlbere
Zahlbereich
h der ration
rationalen Zahlen
Die Umformung
Umformungsübungen
süb
zu Termen und Gleien (Term
chungen
(Term- und Äquivalenzumformungen)
Das Nutzen
utz
von Rechengesetzen auch zum
vorteilhaften Rechnen
Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss, Carl Link Verlag, S. 6.
Thomas Röser: Flächen und Körper
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앬
앬
앬
앬
앬
앬
앬
U
A
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C
Diese allgemeinmathematischen Kompetenzen
petenzen
gilt es inhaltsbezogen zu konkretisieren
eien und mit e
tischen Leitideen
ner der fünf folgenden mathematischen
in Einklang zu bringen:
앬
앬
Das sachgerechte Verwenden von Prozent- und
einfacher Zinsrechnung
Das mathematische Lösen von Sachaufgaben
und deren Kontrolle
Das Beschreiben von Lösungswegen und deren
Begründung
Die Selbstformulierung mathematischer Probleme und deren sachgerechte Lösung
Das Erfahren und Anwenden des Grundprinzips
Messen, insbesondere der Winkelsummen
Das Umrechnen von Größen und deren situatiung
onsgemäße Anwendung
Die Konstruktion von Dreie
Dreiecken
Das Berechnen von Flächen
Flächeninhalt und Umfang
lelogramm und Trapez
von Dreieck, Parallelogramm
Das Beschreiben
hreiben und Begrün
Begründen von Eigenehungen g
schaften und Bezi
Beziehungen
geometrischer Obekte
jekte
Das Zeic
Zeichnen
hnen und Konstruieren geometrischer
ometr
Figuren m
itteln, in
mitt ents
entsprechenden Hilfsmitteln,
insbesondere Netze und Schrägbilder
hrägbilder
Das U
Untersuchen der Lösbarkeit
ösbarkeit von Konstruktionstrukt
onsaufgaben
Das Auswerten
werte von
n Dars
Darstellungen,
ellungen, sta
statistischer
en
Erhebungen
Das Arbeiten
beit n mit d
dem
em Koordi
Koordinatensystem
Das Erfasse
Erfassen
sen von Daten und deren grafische
Dar
stellung
Darstellung
Das IInterpretieren
erpretie
von Daten unter der Verwendung
ung v
von
on Ke
Kerngrößen
Das B
Bestimmen von einstufigen Zufallsexperimenten/Wahrscheinlichkeiten
m
앬
앬
앬
앬
앬
앬
Dabei muss sich der unterrichtliche Gegenstand
jeweils in mehrere voneinander unabhängige Teilaspekte aufgliedern lassen. Dies ist auch im Fach
Mathematik möglich, obwohl häufig Themen auf
den vorherigen aufbauen bzw. ohne Kenntnis der
erarbeiteten Rechenregeln nicht lösbar sind. Innerhalb eines Themengebietes ist die Reihenfolge der
strukturellen Erarbeitung in vielen Fragestellungen
austauschbar und von daher effektiv mithilfe des
Stationenlernens umzusetzen.
zur Vollversion
4
II – Praxis: Materialbeiträge
II – Praxis: Materialbeiträge
In diesem Band werden sechs ausgearbeitete Stationenlernen präsentiert. All diese Stationenlernen
ergeben sich i. d. R. aus den Unterrichtsvorgaben
für die Klassenstufe 7. Alle Stationenlernen sind so
konzipiert, dass diese ohne weitere Vorbereitung
im Unterricht der weiterführenden Schulen eingesetzt werden können – trotz alledem sollte eine adäquate Bedingungsanalyse niemals ausbleiben,
denn letztendlich gleicht keine Lerngruppe einer
anderen!
Die hier präsentierten Stationenlernen sind immer
in Pflichtstationen (Station 1, 2, 3 …) und fakultative Zusatzstationen (Zusatzstation A, B …) unterteilt – die zu bearbeitende Reihenfolge ist durch die
Schülerinnen und Schüler (!) frei wählbar. Die S
Soden,
zialformen sind bewusst offen gehalten worden,
ern
d. h. i. d. R. finden sich auf den Aufgabenblättern
en Gru
pkeine konkreten Hinweise zur geforderten
Gruppengröße.
Lernenden nutzen. Darüber hinaus können die
Schülerinnen und Schüler auf ihrem Laufzettel
auch weiterführende Hinweise und Kommentare
zum Stationenlernen an sich, zur Arbeitsgestaltung o. Ä. vermerken – nach meiner Erfahrung wird
diese Möglichkeit eher selten genutzt, kann dann
jedoch sehr aufschlussreich sein! Unverzichtbar
für jedes Stationenlernen ist eine abschließende
ho
Bündelung zum Wiederholen
und Bündeln der
zentralen Lerninhalte – auch hierfür wird jeweils
us de
eine Idee, welche sich aus
den einzelnen Statiort. Mithilfe dieser Bündelung
nen ergibt, präsentiert.
nmal einzelne Erge
sollen noch einmal
Ergebnisse rekapituwendet und überprüft w
liert, angewendet
werden. In diesem
d wer
en die folge
nden Stationenlernen präBand
werden
folgenden
entiert:
sentiert:
1..
2
2.
3.
4
4.
5.
6.
U
A
Zuordnun
Zuordnung und Prozentrechnen
Rationa
Rationale Zahlen
Terme und Gleichungen
he Figuren
ren
Geometrische
nd K
er
Flächen und
Körper
n die Stochastik
Einführung in
H
C
uch hie
Somit können die Lernenden auch
hier frei wählen,
artner od
ob sie die Aufgaben alleine, mit einem Partner
oder
pe bearbeiten wol
innerhalb einer Gruppe
wollen – davon
lte jedoc
ch keine Gruppe größer als
abgesehen sollte
jedoch
n sein, da e
e größ
vier Personen
eine
größere Mitgliederzahl
prozess i. d. R. eher behindert. Einige
den Arbeits
Arbeitsprozess
Stationen sind jedoch auch so
o konz
rt
wenige Stationen
konzipiert
rarbeit sinn
worden, dass mindestens eine Partnerarbeit
sinnvoll ist.
S
R
O
V
de Schülerin
in bzw. jeZurr Bea
Bearbeitung sollte für jede
alblatt b
gen – die
den Schüler ein Materialblatt
bereitliegen
gegen sind nur vor Ort (am
Aufgabenblätter hingegen
tsplatz) aus
ulege Die Laufzettel
Stationenarbeitsplatz)
auszulegen.
ls Üb
bersicht für d
ie S
dienen als
Übersicht
die
Schülerinnen und
er – hier können
önnen dies
Schüler
diese abhaken, welche Staearb
tionen sie wann b
bearbeitet
haben und welche ihit noch fehlen, gleichzeitig erhalten sie
nen somit
nen kleinen inhaltlichen Überblick über
hierbei einen
alle Stationen – andererseits kann die Lehrkraft
diese als erste Hinweise zur Arbeitsleistung der
Thomas Röser: Flächen und Körper
© Persen Verlag
ation nlerne beginnt mit einem
Jedes dieser Stationenlernen
aufzettel.
Laufzettel.
Anschlie
end w
Anschließend
werden die jeweiligen Stationen
(Pflichtsta
i
(Pflichtstationen
und Zusatzstationen) mit jeweils
einem Aufgabenblatt sowie einem Materialblatt
pr
präsentiert. Zu guter Letzt wird das Stationenlernen mit einem Aufgaben- und Materialblatt für die
Bündelungsaufgabe abgerundet.
Sinnvoll ist es, wenn jede Station einen festen
Platz im Raum erhält. Dies erleichtert es vor allem
den Schülerinnen und Schülern, sich zu orientieren. Um dies noch mehr zu vereinfachen, haben
sich Stationsschilder bewährt. Auf diesen sollte
mindestens die Stationsnummer vermerkt werden.
Fakultativ könnte auch der Stationsname vermerkt
werden.
zur Vollversion
5
Flächen und Körper
Laufzettel
zum Stationenlernen Flächen und Körper
Station 1
Unterschiedliche
Vierecke
Zusatzstation A
Station 2
Winkelsummen
en in
leck n
Vielecken
Winkelsumme bei
Vierecken
H
C
Vierecke konstruieren
Station 4
S
R
Flächeninhalt
von
Fläche inhalt v
Parallelogramm
aralle r
und Trapez
O
V
Station 5
U
A
Zusatzstation
Zusa
sta
B
Station 3
Rauminhalt
von
nhalt vo
Prismen
Prismen
Zusammengesetzte
Zus
e
Körper
Zusatzstation
Zusat
station C
Sachaufgaben
Sachau
gabe
Zusatzstation D
Netze von geraden
Prismen
Station 6
St
Oberfläche von
Prismen
Kommentare:
Thomas Röser: Flächen und Körper
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zur Vollversion
6
Station 1
Aufgabe
Unterschiedliche Vierecke
Aufgabe:
Übe das Zeichnen von unterschiedlichen Vierecken.
1. Zeichne in deinem Heft eine Raute mit ...
2. Zeichne in deinem Heft ins Koordinatensystem einen Drachen ABCD mit …
3. Zeichne in deinem Heft ein Parallelogramm ABCD mit …
4. Zeichne in deinem Heft ins Koordinatensystem ein Trapez ABCD mit …
Um welches Trapez handelt es sich bei a), um welches bei b)?
U
A
H
C
Thomas Röser: Flächen und Körper
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S
R
Station
ation 2
O
V
Aufgabe
Winkelsumme
nkelsum e bei Vierecken
Vierec
Aufgabe:
A
Berechne die Winkelsumme
nke summ der Vierecke.
erec
1. Vervollständige
Tabelle
vollständige die Ta
belle auf dem Materialblatt.
2. Zeichne
Vierecke in ein Koordinatensystem in dein Heft.
eichne die folgenden
l
Miss
Winkel. Kontrolliere die Winkelsumme.
s die W
3. Benenne die Vierecke (Punkte, Seiten, Winkel), miss die Winkel und schreibe
sie in dein Heft. Kontrolliere die Winkelsumme.
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7
Station 3
Aufgabe
Vierecke konstruieren
Aufgabe:
Konstruiere Vierecke.
1. Konstruiere die folgenden Vierecke in deinem Heft.
2. Konstruiere in a) eine Raute und in b) einen Drachen in deinem Heft.
3. Kannst du aus den folgenden Angaben ein Viereck konstruieren?
Versuche und begründe in deinem Heft.
U
A
H
C
Thomas Röser: Flächen und Körper
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S
R
Station
ation 4
Aufgabe
alt von Parallelogramm
Pa allelogram und Trapez
Flächeninhalt
O
V
Aufgabe:
A
Berechne den Flächeninhalt
von Parallelogramm
und Trapez.
ächeninh
ara
1. Vervollständige
Tabelle
vollständige die Ta
belle in deinem Heft, indem du jeweils den fehlenden
Wert berechnest.
ber chnest.
2. Miss
Längen der beiden Parallelogramme, zeichne sie in dein Heft und
s die Lä
berechne den Flächeninhalt.
3. Miss die Längen der beiden Trapeze, zeichne sie in dein Heft und berechne
den Flächeninhalt.
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8
Station 5
Aufgabe
Rauminhalt von Prismen
Aufgabe:
Berechne den Rauminhalt eines Primas.
1. Übernimm die Tabelle in dein Heft und vervollständige sie, indem du die fehlenden
Werte berechnest.
b die
2. Berechne den Rauminhalt der folgenden Prismen in deinem Heft und gib
3
Lösungen in cm an.
3. Berechne den Rauminhalt des folgenden Prismas in deinem Heft.
Hinweis: Teile die Grundfläche in zwei Trapeze.
U
A
H
C
Thomas Röser: Flächen und Körper
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S
R
Station
ation 6
O
V
Aufgabe
Oberfläche
Oberfläc von Prismen
Prism
Aufgabe:
A
Berechne die Oberfläche
von Prismen.
erfläche v
men
1. Berechne
Heft
die Oberfläche der folgenden Prismen und
echne in deinem H
eft di
2
gib die Lösungen
L sungen in m an.
echne in deinem Heft die Oberfläche der folgenden Prismen.
2. Berechne
Die Körperhöhe h beträgt bei beiden Prismen 5 m.
Gib die Lösungen in m2 und cm2 an.
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9
Zusatzstation A
Aufgabe
Winkelsummen in Vielecken
Aufgabe:
Berechne die Winkelsumme in Vielecken.
1. Verbinde auf dem Materialblatt das gegebene n-Eck mit der richtigen Winkelsumme.
Prüfe ggf. mit der Formel zur Berechnung der Summe der Innenwinkel.
2. Miss die Winkel auf dem Materialblatt. Trage die Winkel ein. Schreibe die
entsprechenden
e ent
Winkelgrößen auf.
U
A
3. Zeichne ein beliebiges Achteck in dein Heft. Miss die Winkel,, benenn
benenne
kontrolliere
e sie und kon
die Winkelsumme.
Hinweis: Als Winkel kannst du neben den bi
bisher bekannten
ekannten η (Eta) und θ (Theta)
verwenden.
H
C
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S
R
Zusatzstation
us zstationn B
O
V
Aufgabe
sammen esetzte Körper
Kö
Zusammengesetzte
Aufgabe:
Berechne den Rauminhalt
auminhalt von zusammengesetzten Körpern.
1. Berechne in
deinem Heft den Rauminhalt der zusammengesetzten Körper.
n deine
Suche
eine Methode aus.
he dir ein
2. Berechne in deinem Heft den Rauminhalt des Glastrapezes.
1 cm3 Glas wiegt 3 g. Wie viel Kilogramm wiegt das Trapez?
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10
Zusatzstation C
Aufgabe
Sachaufgaben
Aufgabe:
Übe das Bearbeiten von Sachaufgaben.
Bearbeite die Sachaufgaben nach dem folgenden Schema:
앬
앬
앬
Gegeben ist jeweils ein Sachverhalt und ein Arbeitsauftrag/eine Frage.
Führe die Rechnung durch.
Formuliere einen Antwortsatz.
U
A
H
C
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S
R
Zusatzstation
u zstationn D
O
V
Aufgabe
Netze
tze von geraden
g raden Prismen
Pris
Aufgabe:
A
Zeichne und prüfe
Prismennetze.
fe P
risme
1. Welche
lche dieser
d
Körper sind Prismen, welche nicht? Überlege und begründe in deinem Heft.
2. Zeichne
chne die Netze der Körper in dein Heft.
3. Zeichne eigenständig das Netz eines Dreiecksprismas, sodass es
a) zu einem Prisma zusammengesetzt werden kann.
b) nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden kann.
Überprüfe durch Ausschneiden und Zusammenkleben.
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11
Station 1
Material
Unterschiedliche Vierecke
Vierecke mit Symmetrie werden besondere Vierecke genannt. Die Anzahl der Symmetrien
(Symmetrieachsen sind in den Figuren eingezeichnet) nimmt von oben nach unten zu. Ein Viereck
besitzt die Eigenschaften der über ihm liegenden Vierecke, sofern diese durch einen Strich verbunden sind.
allgemeines
Viereck
allgemeines
Trapez
Beispiel: Die Diagonalen einer
Raute sind
ind 6 cm und 4 cm. Sie
stehen aufeinander
senkrecht
ufeina
und halbieren si
sich. Zeichnung
mithilfe
Diagonalen:
mith
lfe der Diago
U
A
es
symmetrisches
Trapez
Drachen
Parallelogram
C
C
M
3 cm
6 cm
Raute
H
C
Rechteck
Quadra
Quadrat
A
D
2 cm
C
3 cm
A
C
D
2 cm
A
B
A
B
S
R
1. a) … 7 cm und 5 cm langen Diagonalen.
gonalen.
O
V
b … 9 cm und 7 cm langen
ang Diagonalen.
onale
b)
2. a) … ei
einer
Symmetrieachse
durch A und C und Eckpunkten A (4|0), B (7|3), C (4|4), D (1|3)
ner Symmetrie
ac
b) … einer S
Symmetrieachse durch A und C und Eckpunkten A (2|2), B (9|3), C (10|6), D (7|7).
3. … der Seite a = 6 cm, dem Winkel α = 50° und der Seite d = 3,9 cm.
4. a) … A (2|1), B (6|1), C (7|3), D (1|3).
b) … A (0|0), B (6|0), C (5|3), D (2|3).
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12
Station 2
Material
Winkelsumme bei Vierecken
Ein Viereck lässt sich durch eine Diagonale/Gerade in zwei Dreiecke zerlegen. Daher ist die
Winkelsumme in einem Viereck so groß, wie die der beiden Dreiecke zusammen, nämlich
2 · 180° = 360°.
In einem Viereck gilt daher: α + β + γ + δ = 360°.
Beispiel:
C
D
웃
웂
α = 60°
γ = 105°
웁
her g
gil
Daher
gilt:
60 + 90° + 105° + 10
60°
105° = 360°
B
H
C
움
A
1.
S
R
a)
α
100°
1
β
70°
γ
δ
b)
85°
45°
4
O
V
60°
U
A
β = 90°
δ = 105°
125°
c)
d)
103°
87°
46°
53°
92°
128°
2. a) A (2|1), B (5|0), C (6|3)
(6|3), D (3|3)
b) A (1|
(1|1),
1), B (8|2),
2), C (6|4),
6|4), D (3|4)
(2|3), B (10|1), C (10|6), D (0|5)
c) A (2|
d) A (–1|–1
(–1|–1), B (5|2), C (2|4), D (0|3)
3. a)
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b)
c)
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13
Station 3
Material
Vierecke konstruieren
Will man ein Viereck konstruieren, so benötigt man fünf geeignete Angaben (Winkel oder
Seiten), wobei man mindestens einen Winkel und zwei Seiten benötigt. Die Konstruktion wird
in folgenden Schritten gegliedert:
앬 Planskizze: Beliebiges Viereck zeichnen und die fünf Angaben kennzeichnen
앬 Konstruktionsidee: Idee zur Konstruktion wird beschrieben
앬 Konstruktionslösung: Viereck mit gegebenen Maßen konstruieren
Beispiel:
Konstruiere ein Viereck ABCD mit den Seitenlängen a = 7,5 cm, b = 4 cm, c = 9 cm und den
Winkeln β = 80° und γ = 100°.
Planskizze:
Konstruktionsidee:
on
:
Gegeben: a, b, c, β, γ
1. Die Strecke
cke A
AB = 7,5 cm
zeichnen.
hne
2. Die Strecke
Streck BC = 4 cm
mit dem Win
Winkel
el β = 80°
zeichnen.
3. Die
Strecke CD = 9 cm
eS
mit dem Winkel γ = 100°
0°
zeichnen.
4. Die
Strecke
eS
e AD zeichne
zeichnen.
n.
D
CD
c
C
웃
웂
AD
b
d
BC
움
웁
A
AB
a
H
C
U
A
Konstruktionslösung:
Konstruk
D
9 cm
A
7,5 cm
C
100°
4 cm
80°
B
S
R
B
O
V
1. a) a = 10 cm, b = 6 cm,
1
m, c = 7 cm, β = 90°,
9 γ = 90°
m, d = 4,4 cm, γ = 80°, δ = 85°
b) b = 5 cm, c = 5 cm,
c) a = 8 cm, b = 4 cm
cm, d = 4 cm, α = 47°, β = 75°
8 γ = 130°, a = 3,7 cm, b = 4,3 cm
d) α = 95°, β = 82°,
2. a) α = 69°, a = 6 cm
b) a = 4,5 cm, α = 53°, β = 108°, c = 2,8 cm
3. a) AB = 7 cm, DA = 3,2 cm, BC = 3,6 cm, α = 72°, β = 56°
b) AB = 6 cm, α = 101°, β = 56°, γ = 146°, δ = 57°
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14
Station 4
Material
Flächeninhalt von Parallelogramm und Trapez
Die Flächeninhalte von Parallelogramm und Trapez werden so berechnet:
Parallelogramm
Flächeninhalt Parallelogramm:
A = Grundseite (g) · Höhe (h)
Höhe h
Beispiel: g = 4 cm, h = 3 cm
A = 4 cm · 3 cm = 12 c
cm2
Grundseite g
Trapez
Grundseite c
U
A
Flächeninhalt Trapez:
A=a+c·h
2
Beispiel:
B
spiel:
a = 5 cm, c = 4 cm, h = 3 cm
Höhe h
H
C
A = 5 cm + 4 ccm · 3 cm = 13,5 cm2
2
Grundseite a
1. a)
g
h
A))
6 cm
12 c
cm
B)
8,5 m
C
C)
D)
2. a)
S
R
c
h
A)
8m
5m
2m
B))
7
5m
7,5
4,2 m
3,1 m
6,88 cm2
12,2 cm 126,88
C
C)
9 cm
11 cm
,2 m
14,2
D)
6,2 m
3,5 m2
93,5
O
V
9,8 m
3. a)
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b)
a
A
A
38 cm2
9,4 m
56,4 m2
b)
b)
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15
Station 5
Material
Rauminhalt von Prismen
Ein Prisma ist ein geometrischer Körper mit deckungsgleicher Grund- und Deckfläche. Um den
Rauminhalt (Volumen) von Prismen zu berechnen, wird die Grundfläche mit der Körperhöhe
multipliziert, daher gilt: V = G · hKörper. Ist die Grundfläche beispielsweise ein Dreieck, gehen wir so
vor:
gegeben:
Grundfläche G:
2 · 10
cm2 = 60 cm2
G = g · h = 12
10 cm
V = G · hKörper
rper
= 60 cm2 · 6 cm = 360 cm3
6 cm
1.
H
C
Grundfläche G
Körperhö hKörper
Körperhöhe
a)
55 m2
4m
b)
66,6
6,6 cm2
S
R
c)
d)
2. a)
2
U
A
hKörper = 6 cm
12 cm
4
4,6 m2
O
V
0,9 m
2
2
g = 12 cm
h = 10 cm
Volumen V
V
366
366,3 cm3
11,3
,3 cm
510,76 cm3
120 cm
b)
m3
c)
0,18 m
22 cm
18 cm
9 cm
1,80 m
1,30 m
0,08 m
15 cm
12 cm
3.
30 cm
14 cm
12 cm
0,2 m
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16
Station 6
Material
Oberfläche von Prismen
Die Oberfläche eines Prismas setzt sich z. B. bei einem Dreiecksprisma (vgl. das Netz) aus den
Flächeninhalten A der beiden Dreiecksflächen (Grundfläche G und Deckfläche D, die beide gleich
groß sind) und der Mantelfläche M (bestehend aus drei Rechtecksflächen R1, R2, R3) zusammen.
Die Formel heißt: O = 2 · A + M
2,50 m
R1
1,50 m
1,50 m
R2
G
U
A
1m
1,20 m
2,50 m
D
1,20 m
R3
1m
1,50
1,5
0m
H
C
O = 2 · 1 · 1,20 m2 + 1,50 m · 2,50 m + 1 m · 2,50 m + 1,50 m · 2,50
,50 m
2
2
2
2
2
= 1,20 m
+ 3,75 m
+ 2,50 m
+ 3,75 m
= 11,20 m2
S
R
1. a))
b)
O
V
0,9 m
c)
1,1 m
1,3
1, m
3m
4m
3 cm
9m
5m
0,8
,8 m
2. a)
3m
8 cm
3 cm
b)
9m
4m
8m
1,5 m
3m
2m
4m
6m
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17
Zusatzstation A
Material
Winkelsummen in Vielecken
Ein Vieleck besteht aus n Ecken. Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck beträgt
(n – 2) · 180.
Beispiele:
Dreieck: (3 – 2) · 180 = 180°, Viereck: (4 – 2) · 180 = 360°,
Fünfeck: (5 – 2) · 180 = 540° …
1.
Sechseck
900°
Siebeneck
1 260°
Achteck
720
720°
Neuneck
1 440°
Zehneck
1 080°
2. a)
b)
D
E
C
A
O
V
97°
A
α = 97°
β=
γ=
δ=
ε=
H
C
S
R
E
U
A
F
D
C
B
B
α=
β=
γ=
δ=
ε=
ζ (Zeta) =
3. Beispiel für ein Achteck:
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18
Zusatzstation B
Material
Zusammengesetzte Körper
Der Rauminhalt kann auch von zusammengesetzten Körpern berechnet werden, hier im
Beispiel gibt es drei Möglichkeiten:
4 cm
4 cm
4 cm
10 cm
10 cm
10 cm
13 cm
13 cm
1. senkrechte Zerlegung
1. Rechteck:
V1 = 4 cm · 10 cm · 2 cm
= 80 cm3
2. waagerechte Zerlegung
1. Rechteck:
V1 = 6 cm · 4 cm · 2 cm
= 48 cm3
2. Rechteck
V2 = 9 cm · 4 cm · 2 cm
= 72 cm3
2
2.. Rechteck
V2 = 13 cm · 4 c
cm · 2 cm
3
= 104 cm
U
A
3. Erg
änzung
Ergänzung
1. mit Er
Ergänzung
V1 = 13 cm · 10 cm · 2 cm
= 260 cm3
H
C
S
R
m3
Vgesamt = 80 cm3 + 72 c
cm
= 152
52 c
cm3
50 cm
2 cm
2 cm
2 cm
13 cm
1. a)
4 cm
4 cm
4 cm
gänzung
2. nur Ergänzung
V2 = 9 cm · 6 cm · 2 cm
= 108
08 c
cm3
m3
Vgesamt = 48 cm3 + 104 cm
m3
= 152 cm
O
V
b)
4m
Vggesamt
= 260 cm3 – 108 cm3
samt
= 152 cm3
c)
6m
2m
15 cm
15
1 cm
2m
50 cm
50 cm
2m
6m
14 m
8m
1600 cm
6m
2m
2m
8m
2.
8 cm
2 cm
9 cm
1,5 cm
14 cm
3 cm
10 cm
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19
Zusatzstation C
Material
Sachaufgaben
1. Im Garten soll auf eine trapezförmige Fläche Rasen gesät werden.
a) Berechne den Flächeninhalt der Rasenfläche.
20 m
b) Reicht ein 10-kg-Samenpaket aus, wenn man pro m2
30 g Saatgut braucht?
20 m
12 m
c) Bestimme die Kosten für den neuen Rasen, wenn 1 kg
Rasensamen 5 € kostet.
20 m
25 m
U
A
st, soll neu gefliest werden. Die Fliesen
sen hab
2. Ein Kunstraum, welcher 8 m lang und 6 m breit ist,
haben
seite von 30 cm und einer
ner Höhe von 20 cm.
die Form eines Parallelogramms mit einer Grund
Grundseite
H
C
esen, wenn d
ück
gt blei
ben und für de
a) Bestimme die Anzahll der F
Fliesen,
die Fugen unberücksichtigt
bleiben
den
azu gerech
et we
Verschnitt 15 % dazu
gerechnet
werden.
S
R
egen zwe
ei Angebote vor
b) Es liegen
zwei
vor:
gebot 1: Pa
chalpr
erlegen: 1 250 €
Angebot
Pauschalpreis
für Fliesen und Verlegen:
Angebot 2: In e
sen. Der Pake
preis b
Angebot
einem Paket sind 20 Fliesen.
Paketpreis
beträgt 15 €. Für ein m2 Fliesen
we
en 12 € Arbeitslohn berechnet
echnet
werden
We
er?
Welches Angebot ist günstiger?
O
V
4,5 m
in Hart
plastikkörper hatt die folgenden Maße:
3. Ein
Hartplastikkörper
a) Der Körp
Körper soll mit Wasser befüllt
werde
werden. Wie viel Liter passen in den
Körper (1 l = 1 dm3)?
5,8 m
5m
6m
7,5 m
b) Ein Tankwagen befüllt den Körper mit Wasser. Wie viel Liter Wasser kann der Tankwagen
in einer Tour transportieren, wenn er insgesamt 36-mal hin und her fährt?
c) Wie viel Liter würden in den Körper passen, wenn er nur zu 75 % mit Wasser befüllt werden darf? Wie oft muss jetzt der Tankwagen hin und her fahren?
d) Der Körper soll gestrichen werden (ohne Boden). Berechne die Fläche, die gestrichen
werden soll.
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20
Zusatzstation D
Material
Netze von geraden Prismen
Die Grund- bzw. Deckflächen von Prismen können z. B. Dreiecke, Vierecke oder andere Vielecke
sein. Dabei stehen die Seitenflächen senkrecht auf der Grundfläche und die Oberfläche kann aus
Netzen konstruiert werden.
Dreiecksäule
Netz Dreiecksäule
Deckfläche
Deckfläche
he
U
A
3 Mantelflächen
elfläche
Mantelfläche
Ma telfläche
Mantelfläche
M
Mantelfläche
Grundfläche
Grundfläche
H
C
S
R
1. a)
b)
b
c)
O
V
d)
2. a)
b)
1 cm
5 cm
3 cm
c)
1,4 cm
0,5 cm
4 cm
2,5 cm
1,5 cm
2 cm
3 cm
4 cm
3 cm
5 cm
2 cm
1 cm
6 cm
2 cm
4 cm
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21
Abschließende Bündelung des Stationenlernens
Material
Aufgaben zur Wiederholung
Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–D
1. Konstruiere die folgenden Vierecke (Planskizze, Konstruktionsidee, -lösung) und trage alle
Punkte, Seiten, Seitenlängen und Winkel ein. Überprüfe die Winkelsumme.
a = 5 cm, c = 4 cm, d = 6,8 cm, α = 112°, δ = 65°
a = 6 cm, b = 3 cm, α = 110°, β = 85°, δ = 66°
U
A
2. Der Acker eines Bauers hat die Form eines Parallelogramms.
und 24 m hoch.
s. Er ist 73 m lang un
a) Berechne die Fläche des Ackers (in m2, a, ha, km2)).
n der Fläch
eninhal 1560 m2 ist?
b) Wie lang wäre der Acker (in cm, m, km), w
wenn
Flächeninhalt
H
C
3. Berechne die fehlenden Größen
Trapeze.
ßen der Trapez
a)
b)
5 cm
3,5 cm
4 cm
?
A=?
S
R
9 cm
c))
A = 18 m2
?
A = 2400 m2
6 cm
40 m
90 m
4. Eine Aluminiumprisma
A minium
hat die Form
orm eines Dreieckprismas
reieckprisma mit nebenstehenden Maßen.
O
V
das Gewicht des Prismas,
a) Berechne
Be
ismas, wenn 1 dm3 Aluminium
2,7 kg wiegt. Wie teuer
Aluminium, wenn das Prisma
eue ist 1 kg
g Aluminium
für 1 620 € verkauft
wird?
kauft wir
60 cm
b) Das Prisma soll kompl
komplett beklebt werden. Wie groß ist die
Klebefläche
Klebefläche (in m2)?
?
50 cm
100 cm
80 cm
d) Zeichne
e ein Ne
Netz der Dreiecksäule.
9m
5. Berechne den Rauminhalt des nebenstehenden zusammengesetzten Körpers nach zwei verschiedenen Methoden.
8m
5m
6. Zeichne
3m
6m
a) eine Raute mit 10 cm und 12 cm langen Diagonalen.
b) ein Trapez ABCD ins Koordinatensystem mit Punkten A (2|1), B (9|1), C (8|3), D (5|3).
Um welches Trapez handelt es sich?
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22
Flächen und Körper – Lösungen
Station 1: Unterschiedliche Vierecke
1. a), b) Lösung wie im Musterbeispiel; eine Diagonale zeichnen; Diagonale halbieren; in der
Mitte der Diagonalen Senkrechte eintragen und jeweils den halben Diagonalwert abtragen.
2. a)
b)
C
D
7
4
C
6
D
3
B
5
2
4
1
U
A
3
A
0
1
2
3
4
5
6
7
A
2
1
0
3.
C
γ = 50°
δ = 130°
S
R
d = 3,9
b = 3,9
β = 130°
α = 50°
A
B
a=6
O
V
4. a) sy
symmetrisches Trapez
3
2
1
0
D
2
3
4
3
4
5
6
7
8
9
10
11
b
b)) allgemeines Trapez
C
D
3
C
2
A
1
2
H
C
c=6
D
1
B
1
B
B
A
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
Station 2: Winkelsumme bei Vierecken
1.
a)
b)
c)
d)
α
100°
85°
135°
103°
β
70°
45°
87°
76°
γ
60°
105°
46°
53°
δ
130°
125°
92°
128°
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23
2. Die Winkel haben folgende Größen:
a) α = 82°, β = 90°, γ = 72°, δ = 116°
b) α = 48°, β = 53°, γ = 135°, δ = 124°
c) α = 149°, β = 76°, γ = 84°, δ = 51°
d) α = 49°, β = 60°, γ = 120°, δ = 131°
3. a)
b)
γ = 105°
δ = 57°
δ = 108°
γ = 138°
α = 120°
β = 68°
α = 79°
β = 45°
c)
U
A
γ = 65°
H
C
01°
β = 101°
S
R
δ = 86°
α = 108°
8°
O
V
Station 3: Vierecke konstruieren
eren
1. a) Konstruktionsidee:
e:
m zeich
kel β = 90°
Seite a = 10 cm
zeichnen; Winkel
änge Seite b = 6 c
mit Länge
cm abtragen;
Wink
el γ = 90° mit Läng
Winkel
Länge Seite c = 7 cm
abtra
en; Punkt D mit Punkt A verbinden.
abtragen;
D
c=7
δ = 117°
d = 6,7
b=6
β = 90°
α = 63°
A
b) Konstruktionsidee:
Seite b = 5 cm zeichnen; Winkel γ = 80°
mit Länge Seite c = 5 cm abtragen;
Winkel δ = 85° mit Länge Seite d = 4,4 cm
abtragen; Punkt A mit Punkt B verbinden.
B
a = 10
c=5
C
γ = 80°
D
δ = 85°
b=5
d = 4,4
α = 104°
A
Thomas Röser: Flächen und Körper
© Persen Verlag
C
γ = 90°
a = 3,8
β = 91°
B
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24
c) Konstruktionsidee:
Seite a = 8 cm zeichnen, Winkel α = 47°
mit Länge Seite d = 4 cm abtragen;
Winkel β = 75° mit Länge Seite b = 4 cm
abtragen; Punkt C und Punkt D verbinden.
C
c = 4,3
γ = 93°
D
δ = 145°
b=4
d=4
β = 75°
α = 47°
A
d) Konstruktionsidee:
Seite a = 3,7 cm zeichnen; Winkel β = 82° mit
Länge Seite b = 4,3 cm abtragen;
Winkel γ = 130° abtragen und verlängerte
Linie zeichnen; Winkel α = 95° abtragen
und verlängerte Linie zeichnen; Schnittpunkt
beider verlängerter Linien ist Punkt D.
D
δ=
53°
c = 4,4
C
γ = 130°
d = 6,6
b = 4,3
U
A
α = 95°
A
2. a) Bei der Raute haben alle vier Seiten die
gleiche Länge, daher gilt:
a = b = c = d = 6 cm.
Weiter gilt: Winkel α = γ und Wink
Winkel β = δ
Also: 69° + 69° + 2x = 360° ó
2x = 222° ó x = 111°. Damit sind β = δ = 111°.
chne Seite a = 6 cm und trage Winkel
Zeichne
α = 69° mit Län
Länge d = 6 cm ab; Trage
δ = 111° am P
e c = 6 cm
m ab;
Punkt D mit Länge
Ver
d Punkt B und C.
Verbinde
O
V
b) Für
F den Drachen gilt: a = d und
d b = c; β = δ .
Seite a = 4,5 cm zeichn
zeichnen und Win
Winkel
ge d = 4,5 cm abtragen;
btra
α = 53° mit Län
Länge
el β = 108°/ Winke
Winkel
Winkel δ = 108° mit
Länge c = b = 2,8 c
ma
Länge
cm
abtragen und Punkt C
eintr en.
eintragen.
d=6
β = 82°
B
a = 3,7
H
C
S
R
B
a=8
D
C
c=6
γ = 69°
69
δ = 111°
b=6
β = 111°
α = 69°
9
A
B
a=6
C
γ = 91°
c = 2,8
b = 2,8
B
D δ = 108°
β = 108°
d = 4,5
a = 4,5
α = 53°
A
3. a) Ja, es ist möglich mit diesen Angaben ein
Viereck (hier ein allgemeines Trapez) zu
konstruieren.
Zeichne AB = a = 7 cm, trage α = 72° mit
d = DA = 3,2 cm und β = 56° mit b = BC
= 3,6 cm ab, verbinde Punkt C mit D.
c=4
D
d = 3,2
b = 3,6
α = 72°
A
C
γ = 124°
δ = 108°
β = 56°
a=7
B
b) Nein, es ist nicht möglich mit diesen Angaben ein Viereck zu konstruieren, denn dafür fehlt
die Angabe einer zweiten Seite.
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25
Station 4: Flächeninhalt von Parallelogramm und Trapez
1.
g
h
A
A)
6 cm
12 cm
72 cm2
B)
8,5 m
11 m
C)
10,4 cm
D)
9,8 m
a
c
h
A
A)
8m
5m
2m
13 m2
93,5 m2
B)
7,5 m
4,2 m
3,1 m
18,135 m2
12,2 cm
126,88 cm2
C)
9 cm
11 cm
3,8 cm
38 cm2
14,2 m
139,16 m2
D)
6,2 m
5,8 m
9,4 m
56,4 m2
2. a)
h = 1,5
A = g · h = 5 cm · 1,5 cm = 7,5 cm2
g=5
b)
h=3
g=3
H
C
3. a)
h=2
c=3
S
R
a=6
b)
c = 4,5
U
A
A = g · h = 3 cm · 3 cm = 9 cm2
h = 2,2
A = a + c · h = 6 cm · 3 cm · 2 cm = 9 cm2
2
2
A = a + c · h = 1 cm · 4,5 cm · 2,2 cm = 6,05 cm2
a))
O
V
55 m2
4m
220 m3
b)
66,6 cm2
5,5 cm
366,3 cm3
c)
45,2 cm2
11,3 cm
510,76 cm3
d)
4,6 m2
120 cm
5,52 m3
a=1
2
2
Station 5: Rauminhalt
Rauminhalt von
v Prismen
1.
Grundfläche
Grundfläc G
Körperhöhe hKörper
Volumen V
2. a) V = 1,3 m · 0,9 m · 1,8 m = 1,053 m3; V = 1 053 000 cm3
2
15 cm · 18 cm
· 9 cm · 22 cm; V = 3 267 cm3
b) V =
2
c) V = 12 cm · 18 cm · 8 cm; V = 1 728 cm3
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26
3. VTrapez = 12 cm · 20 cm · 7 cm · 30 cm = 3 360 cm3
2
Geteilt in zwei Trapeze: V = 3 360 cm3 · 2 = 6 720 cm3
Station 6: Oberfläche von Prismen
1. a) O = 0,8 m · 0,9 m + 2 · 1,1 m · 1,3 m + 0,8 m · 1,3 m = 4,62 m2
2
b) O = 2 · 0,03 m · 0,03 m + 4 · 0,08 m · 0,03 m = 0,0114 m2
c) O = 5 m · 3 m · 3 m + 2 · 4 m · 9 m + 5 m · 9 m + 3 m · 9 m = 168 m2
2
2. Individuelle Lösungen
U
A
a) Zerlegen des Rechtecks liefert:
O1 = (6 m · 3 m + 5 m · 2 m) · 2 = 56 m2
O2 = 8 m · 5 m + 2 m · 5 m + 5 m · 5 m + 4 m · 5 m + 3 m · 5 m + 6 m · 5 m = 140 m2
60 000 cm2
O = O1 + O2 = 56 m2 + 140 m2 = 196 m2 = 1 960
H
C
b) Zerlegen des Rechtecks liefert:
ert:
O1 = O2 = 2 · (2 · 2 m · 1,5 m + 2 · 1,5 m · 5 m + 1 · 2 m · 5 m) = 62 m2
O3 = 2 · 2,5 m · 9 m + 2 · 2,5 m · 5 m + 1 · 9 m · 5 m + 1 · 5 m · 5 cm = 140 m2
S
R
O = 62 m2 + 140 m2 = 202 m2 = 2 020 000 cm2
Zusatzstation
Zusatzs
station A:
A Winkelsumme
me in
i Vielecken
elecken
O
V
1. Sechseck
– 720°, Siebeneck – 900°,
080°, Neuneck – 1 260°, Zehneck – 1 440°
Sechs
00°, Achteck – 1 08
D
2. a)
δ = 143°
43°
E
ε = 94°
E
b)
C
ε=
148°
F
γ = 106 °
ζ = 135°
D
δ = 122°
α = 90°
A
γ = 83 °
β = 100°
α = 97°
A
B
β = 142°
C
B
3. Individuelle Lösung; die Winkelsumme muss 1 080° betragen, Winkel: α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ
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27
Zusatzstation B: Zusammengesetzte Körper
1. a) Methode Ergänzung:
1. Rechteck mit Ergänzung: V1 = 50 cm · 50 cm · 50 cm = 125 000 cm3
2. Rechteck nur Ergänzung: V2 = 15 cm · 15 cm · 50 cm = 11 250 cm3
VGesamt = 125 000 cm3 – 11 250 cm3 = 113 750 cm3
b) Methode waagerechte Zerlegung:
1. Rechteck: V1 = 8 m · 2 m · 14 m = 224 m3
2. Rechteck: V2 = 4 m · 6 m · 14 m = 336 m3
VGesamt = 224 m3 + 336 m3 = 560 m3
c) Methode senkrechte Zerlegung:
U
A
1. Rechteck = 3. Rechteck: V1 = V3 = 2 · 2 m · 8 m · 16 m = 512 m3;
2. Rechteck: V2 = 6 m · 2 m · 16 m = 192 m3
VGesamt = 512 m3 + 192 m3 = 704 m3
H
C
2. Methode Ergänzung:
1. Trapez mit Ergänzung: V1 = 10 cm · 8 cm · 9 cm · 14 cm = 1 134 cm3
2
3 cm · 2 cm
· 1,5 cm · 14 cm = 52
52,5
2. Trapez mit Ergänzung:
ung: V2 =
2,5 cm
m3
2
S
R
VGesamt = 1 134
34 cm3 – 52,5 cm3 = 1 081,5 cm3
Frage:
Frage:
viel Kilogramm wiegt
Wie v
eg das Glastrapez?
244,5g § 3,24 kg
Rechnung:
echn ng: 1 081,5 cm3 · 3 g/cm3 = 3 244,
Antw
Antwort:
O
V
gt 3,24 kg.
Das Glastrapez wiegt
Zusatzstation
n C: Sachaufgaben
Sach
1. a)) Frage:
Frage:
Wie groß
g ß ist der Flächeninhalt des Rasens?
Rechnu
ung: A = 25 m + 20 m · 12 m = 270 m2
Rechnung:
2
Antwor
Antwort:
b) Frage:
Der Flächeninhalt beträgt 270 m2.
Reicht ein 10-kg-Samenpaket aus?
Rechnung: 30 g · 270 m2 = 8 100 g/m2
Antwort:
c) Frage:
Es werden 8,1 kg Rasensamen benötigt. Das 10-kg-Samenpaket reicht
also aus.
Wie teuer ist der neue Rasen?
Rechnung: 8,1 kg · 5 € = 40,50 €
Antwort:
Das Säen des neuen Rasens kostet 40,50 €.
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28
2. a) Frage:
Wie viele Fliesen werden benötigt?
Rechnung: Fläche Kunstraum: 800 cm · 600 cm = 480 000 cm2
Fläche einer Fliese: 30 cm · 20 cm = 600 cm2
480 000 cm2 : 600 cm2 = 800
gegeben: G = 800, p = 115%; gesucht: W
W = 800 · 115 : 100 = 920
Antwort:
b) Frage:
Es werden 920 Fliesen benötigt.
Welches Angebot ist günstiger?
Rechnung: Angebot 1:
Alles inklusive: 1 250 €
Angebot 2:
Benötigte Pakete: 920 : 20 = 46 Pakete
Kosten der Pakete: 46 · 15 € = 690 €
Fläche Kunstraum: 48 m2
Arbeitslohn für 48 m2: 48 m2 · 12 € = 576 €
26 €
Gesamtkosten: 690 € + 576 € = 1 266
Antwort:
3. a) Frage:
nstige
Angebot 1 ist um 16 € günstiger.
U
A
H
C
er p
assen in den K
ör
Wie viel Liter
passen
Körper?
00 dm3 = 180 000 l.
Rechnung: V = 7,5 m · 4,5 m · 5 m · 6 m = 180 m3 = 180 000
2
Antwort:
b) Frage:
age:
S
R
pa
In den Körper passen
180 000 l.
Wie
Liter kann der Kran in einer T
Tour
transportieren?
W viel L
our transpo
rtiere
Rechnung: 180
1 000 l : 36 = 5 000 l
Rechnung:
An
Antwort:
Der Tankwagen transportie
transportiert in einer Tou
Tour 5 000 l Wasser.
O
V
c) Frage:
sen in den Kö
Wie viel Liter passen
Körper, wenn er nur zu 75 % befüllt wird und wie
oft muss d
der Kran dan
dann hin und her fahren?
g: ge
geben G = 180000
00 l, p = 75 %; gesucht: W;
Rechnung:
gegeben:
80 000
00 l ·
W = 180
75
= 135 000 l
100 %
00 l : 5 000 l = 27
135 000
Antwort
Antwort:
d) Frage:
Es passen bei 75 % nur noch 135 000 l in die Säule und der Tankwagen
müsste 27-mal fahren.
Wie groß ist die Anstrichfläche?
Rechnung: O = 7,5 m · 4,5 m · 5 + 4,5 m · 6 m + 5 m · 6 m + 5,8 m · 6 m = 151,8 m2
2
Antwort:
Die Anstrichfläche beträgt 151,8 m2.
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29
Zusatzstation D: Netze von geraden Prismen
1. Bis auf c) (Pyramide) sind alle Körper Prismen, da sie Grund- und Deckfläche haben.
2. a)
2,5
b)
1,5
4
4
3
1
6
5
3
U
A
2
c)
2
3
2
1,4 1,4
2
2,5
5
H
C
1,4 1,4
3. z. B.:
S
R
a)
b)
O
V
Abschließende
schließende Bündelung
B
des Stationenlernens
1. a) D
c=4
b)
C
δ = 65 °
D
c=7
δ = 66 °
γ = 123°
b=3
d = 3,7
b=7
α = 110°
d = 6,8
A
α = 112°
A
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C
γ = 99°
β = 85°
a=6
B
β = 60°
a=5
B
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30
2. a) Frage:
Wie groß ist die Fläche des Ackers?
Rechnung: A = g · h = 73 m · 24 m = 1 752 m2 bzw. 17,52 a; 0,1 752 ha; 0,001752 km2
Antwort:
b) Frage:
Die Fläche des Ackers beträgt 1 752 m2 bzw. 17,52 a; 0,1752 ha;
0,001752 km2.
Wie lang wäre der Acker (in cm, m, km), wenn der Flächeninhalt 1 560 m2 ist?
Rechnung: 1 560 m2 = g · 24 m; g = 1 560 m2 : 24 m = 65 m bzw. 6 500 cm; 0,065 km
Antwort:
Der Acker wäre 65 m; 6 500 cm; 0,065 km lang.
3. a) A = 9 + 5 · 3,5; A = 24,5 cm2
b) 18 = 6 + 4 · h; h = 3,6 cm
2
2
c) 2 400 = 90 + c · 40; c = 30 m
2
4. a) Frage:
U
A
Wie viel wiegt das Prisma?
Rechnung: Der Rauminhalt eines Dreieckprismas berechnet
echnet sich aus
(Kör
öhe),
G (Grundfläche) · hKörper (Körperhöhe),
c = 200 000 c
cm3.
hier: V = 80 cm · 50 cm · 100 cm
2
H
C
2,7
wiegt 2
7 g, und somit 200 000 cm3 wiegen 540
540 000 g
Umrechnen liefert: 1 cm3 wiegt
bzw. 540 kg. Wenn
620 € verkauft werden, dann
W
540 kg ffürr 1 62
nn kostet 1 kg
ung per Dreisatz 1 62
(Rechnung
620 : 540) 3 €.
Antwort:
ge:
b) Frage:
Das Prisma wie
€
wiegt 540 kg und 1 kg Aluminium kost
kostet 3 €.
S
R
2
Wie groß ist die Klebefläche (in m )?
W
R chnung: D
orm für die Oberfläche
e heißt O = 2 · A + M
Rechnung:
Die Formel
(G
kfläch 3 rechteckige Mantelf
M
(Grundund Deckfläche,
Mantelflächen)
m2 + 60 cm · 100 cm + 8
80 cm · 100 cm + 60 cm · 100 cm
O = 2 · 80 · 150 cm
O
V
2
000 cm2 + 6 000 cm2 = 32 000 cm2 = 3,2 m2
= 12 000 cm2 + 6 000 cm2 + 8 000
Antwort:
c)
Die Klebef
Klebefläche beträgt
eträ 3,2 m2.
R1
60 cm
G
R2
80 cm
D
50 cm
R3
60 cm
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31
5. 1. Methode (in zwei Rechtecke unterteilen),
1. Rechteck: V1 = 6 m · 8 m · 9 m = 432 m3
2. Rechteck: V2 = 3 m · 8 m · 5 m = 120 m3
VGesamt = 432 m3 + 120 m3 = 552 m3
2. Methode (Ergänzung),
1. (mit Ergänzung): V1 = 9 m · 8 m · 9 m = 648 m3,
2. (nur Ergänzung): V2 = 3 m · 8 m · 4 m = 96 m3
VGesamt = 648 m3 – 96 m3 = 552 m3
6. a)
b)
12 cm
D
3
C
D
2
U
A
10 cm
A
C
B
A
1
0
0
1
2
3
4
5
6
B
7
8
9
H
C
S
R
O
V
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C
S
R
O
V
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Ve
Hamburg
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G
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