Flächen und Körper
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DOWNLOAD Thomas Röser Flächen und Körper U A H C Stationenlernen Mathematik 7. Klasse O V Bergedorfer Unterrichtsideen S R Thomas Röser Bergedorfer Lernstationen Stationenlernen Mathematik 7. Klasse Downloadauszug aus dem Originaltitel: 7. Klasse Zuordnungen – Prozentrechnung – rationale Zahlen – Terme – geometrische Figuren – Stochastik zur Vollversion Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt. verfo U A H C S R O V zur Vollversion 1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das? Vorwort I – Theorie: Zum Stationenlernen 1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das? Unsere Gesellschaft wird seit geraumer Zeit durch Begriffe der Individualisierung gekennzeichnet: Risikogesellschaft heißt es bei Ulrich Beck1, Multioptionsgesellschaft nennt sie Peter Gross2 und für Gerhard Schulze ist es eine Erlebnisgesellschaft3. Jeder Begriff beinhaltet einen anderen inhaltlichen Schwerpunkt, doch egal, wie wir diesen Prozess bezeichnen, die Individualisierung – hier zu verstehen als Pluralisierung von Lebensstilen – schreitet voran. Damit wird die Identitäts- und Sinnfindung un zu einer individuellen Leistung. Diese Veränderunstitugen wirken sich zwangsläufig auch auf die Instituine tion Schule aus. Damit lässt sich vor allem eine tlich d er Heterogenität von Lerngruppen hinsichtlich der wie der indiv Lernkultur, der Leistungsfähigkeit sowie indivirübe er hinaus legt duellen Lernwege feststellen. Darüber esetz Nor rhein-Westbeispielsweise das Schulgesetz Nordrhein-Westensch […] falen im § 1 fest, dass:: „Jeder junge Mensch eine wirtschaftlich ohne Rücksicht auf seine wirtschaftliche Lage und hlecht ein Re Herkunft und sein Gesc Geschlecht Recht auf schuliche Bildu g, Erziehun sche Bildung, Erziehung und individuelle Förderung“ hat. D as klingt nac e Das nach einem hehren Zie Ziel – die Frage ist nur, wie wir d en könn ? dieses Ziel erreichen können? blematik differenziert entfaltet.“4 Schon an dieser Stelle wird offensichtlich, dass für diese Methode unterschiedliche Begriffe verwendet werden. Jedem Terminus wohnt eine (mehr oder weniger) anders geartete organisatorische Struktur inne. In den meisten Fällen werden die Begriffe Lernen an er Stationen und Stationenlernen synonym verwendet. Hiervon werden die Lern Lernstraße oder der Lernzirkel unterschieden. Bei diese diesen beiden Varianten werden in der Regel eine festge festgelegte Reihenfolge ständ keit des Durc sowie die Vollständigkeit Durchlaufs aller Staangt. Dara aus ergibt s tionen verlangt. Daraus sich zwangsläufig g isatorisch) auch eine festgelegte Ar(rein organisatorisch) eitszeit an der jeweil ne weitere beitszeit jeweiligen Station. Eine Unterscheidung bie Unterscheidung bietet die Lerntheke, an we welcher ich die Sch sich Schülerinnen und Sc Schüler mitt Mater Material bedienen kö ließend wiede er (meist e dienen können, um anschließend wieder eige ären Plätzen zu u arbe genständig) an ihren regulären arbeiten. U A H C S R O V ch möchte an dieser Stelle festhalten, n, dass es Ich ach mein dagogische nach meiner Einschätzung nicht das pädagogische ei zen müssAllheilmittel gibt, welches wir nu nur einsetzen le (pä hen Proten und damit wären a alle (pädagogischen) otz alledem alledem möchte mö bleme gelöst – trotz ich an dieser hode des St atione Stelle die Methode Stationenlernens präsene der Individ tieren, da dies diese Individualisierung Rechnung n kann. tragen e des S Merkmale Stationenlernens „‚Lernen an Stationen’ bezeichnet die Arbeit mit einem aus verschiedenen Stationen zusammengesetzten Lernangebot, das eine übergeordnete Pro- 1 2 3 Vgl.: Beck, Ulrich: Risikogesellschaft – Auf dem Weg in eine andere Moderne. Berlin 1986. Vgl.: Pongs, Armin; Gross, Peter: Die Multioptionsgesellschaft. In: Pongs, Armin (Hrsg.): In welcher Gesellschaft leben wir eigentlich? – Gesellschaftskonzepte im Vergleich, Band I. München 1999, S. 105–127. Vgl.: Schulze, Gerhard: Die Erlebnisgesellschaft – Kultursoziologie der Gegenwart. Frankfurt/Main, New York 1992. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag rme soll das Lernen Lerne an Stationen Von diesen Formen s Stationenlernen S tionenlernen n abgegrenzt ab bzw. das werden. smeth d iist hier zu verstehen als Diese Unterrich Unterrichtsmethode un errichtliches Ve ein unterrichtliches Verfahren, bei dem der unterrichtliche Gegens Gegenstand so aufgefächert wird, dass nen Stationen unabhängig voneinander die einzel einzelnen bearbeite werden können – die Schülerinnen und bearbeitet Sch Schüler können die Reihenfolge der Stationen somit eigenständig bestimmen; sie allein entscheiden, wann sie welche Station bearbeiten wollen. Damit arbeiten die Lernenden weitgehend selbstständig und eigenverantwortlich (bei meist vorgegebener Sozialform, welche sich aus der Aufgabenstellung ergeben sollte). Um der Heterogenität Rechung zu tragen, werden neben den Pflichtstationen, die von allen bearbeitet werden müssen, Zusatzstationen angeboten, die nach individuellem Interesse und Leistungsvermögen ausgewählt werden können. Aufgrund der Auffächerung des Gegenstandes in unterschiedliche Schwerpunkte und der Unterteilung in Pflicht- und Zusatzstationen, bietet es sich an, bei der Konzeption der einzelnen Stationen unterschiedliche Lernzugänge zu verwenden. Auch hier wäre eine weitere schülerspezifischere Differenzierung denkbar. Folglich ist es möglich, einen 4 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 4. zur Vollversion 1 1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das? inhaltlichen Schwerpunkt bspw. einmal über einen rein visuellen Text, zweitens mithilfe eines Bildes/ einer Karikatur und drittens über ein akustisches Material anzubieten, und die Lernenden dürfen frei wählen, welchen Materialzugang sie verwenden möchten, jedoch unter der Prämisse, einen zu bearbeiten. Unter diesen Gesichtpunkten wird offensichtlich, dass das Stationenlernen eine Arbeitsform des offenen Unterrichtes ist. Ursprung des Stationenlernens Die Idee des Zirkulierens im Lernablauf stammt ursprünglich aus dem Sportbereich. Das „circuit training“, von Morgan und Adamson 1952 in England entwickelt, stellt im Sportbereich den Sportlern unterschiedliche Übungsstationen zur Verfügung, sen. welche sie der Reihe nach durchlaufen müssen. gen Der Begriff Lernen an Stationen wurde hingegen zu ih en von Gabriele Faust-Siehl geprägt, die hierzu ihren hrift „Grund gleichnamigen Aufsatz in der Zeitschrift „Grundschule“ 1989 publizierte.1 S R Für die Gestaltung und eines Statioung u nd Konzeption e nenlernens istt es entscheidend, entsc eidend, dass sich der unterrichtliche verschiedene Teilaserrichtliche Gegenstand in v aufschlüsseln lässt, läs die in ihrer zu u be ipekte aufschlüsseln bearbeifolge u nander sin tenden Reihe Reihenfolge unabhängig voneinander sind. Damit darf jjedoch die abschließende Bündelung cht unter nicht unterschlagen werden. Es bietet sich daher oblem der Fragean, ein eine übergeordnete Problematik oder g zu u stelle e zu stellung an den Anfang stellen, welche zum Abon de schluss (dieser ist von der meth methodischen Reflexion en) erneut a ufgegr zu unterscheiden) aufgegriffen wird. O V gentliche Ablauf lässt sich in der Regel in Der eigentliche hasen u erteilen 1. Die thematische und vier Phasen unterteilen: che Hinfü methodische Hinführung – hier wird den Schülerinnen und Schüle Schülern einerseits eine inhaltliche Orientierung geboten und andererseits der Ablauf des Stationenlernens erklärt. Sinnvoll ist es an dieser Stelle gemeinsam mit den Lernenden die Vorteile, aber auch mögliche Schwierigkeiten der Methode zu besprechen. Hierauf folgt 2. ein knapper Überblick über die eigentlichen Stationen – dieser Überblick sollte ohne Hinweise der Lehrperson auskommen. Rein organisatorisch macht es daher Sinn, den jeweiligen Stationen feste (für die Lernenden nachvollziehbare) Plätze im Raum zuzuVgl.: Faust-Siehl, Gabriele: Lernen an Stationen. In: Grundschule, Heft 3/1989. Braunschweig 1989, S. 22ff. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag U A H C Der Ablauf des Stationenlernens enlernens 1 gestehen. 3. In der sich anschließenden Arbeitsphase erfolgt ein weitgehend selbstständiges Lernen an den Stationen. In dieser Phase können – je nach Zeit und Bedarf – Plenumsgespräche stattfinden. Zur weiteren Orientierung während der Arbeitsphase sollten zusätzliche Materialien, wie Laufzettel, Arbeitspässe, Fortschrittslisten o. Ä. verwendet werden. Diese erleichtern den Ablauf und geben den Lernenden eine individuelle Übersicht über die bereits bearbeiteten und noch zur Verfügung stehenden Stationen. Bei einem solchen Laufzettel sollte auch uch eine Spalte für weitere Kommentare, welche später päter die Reflexion unterstützen können, Platz finden. Darüber hinaus kann nden. D von den Schülerinnen Schülern ein Arbeitsn und Sch journal, ein Portfolio eine Dokumentenortfolio oder auch ein mappe geführt werden, Arbeitsergebnisse zu ührt werde n, um Arb sichern und den Arbe Arbeitsprozess reflektierend zu ern un begleiten. ausgearbeitetes Hilfes Hilfesystem egleiten. Ein E n zuvor a Ablauf indem kann den A lauf zusätzlich unterstützen, tzen, in Lernende anbieten ernende an geeigneter Stelle Hilfe a nbieten oder einfordern sich eine ei order können. Am Ende nde schließt s h 4. ein Reflexionsphase (auf inhaltlicher methodiRe nha altlicher und metho scher Ebene)) an. Die Rolle der Lehrk Lehrkraft Stationenlernen raft beim S t Als allererstes ist die L Lehrperson – wie bei fast alererstes is anderen Unterrichtsmethoden auch – „Organilen and eren Unte ich Berater von Lernprozessen“2. Sie stellt sator und un Berate den Lernenden zu bearbeitendes Materialein von de Aufgabenangebot zusammen. Der zentrale und Au Unterschied liegt jedoch darin, dass sie sich wähUn rend des eigentlichen Arbeitsprozesses aus der frontalen Position des Darbietens zurückzieht. Die Lehrkraft regt vielmehr an, berät und unterstützt. Dies bietet dem Lehrer/der Lehrerin viel stärker die Möglichkeit, das Lerngeschehen zu beobachten und aus der Diagnose Rückschlüsse für die weitere Unterrichtsgestaltung sowie Anregungen für die individuelle Förderung zu geben. „Insgesamt agiert die Lehrperson somit eher im Hintergrund. Als ‚invisible hand‘ strukturiert sie das Lerngeschehen.“3 Vor- und Nachteile des Stationenlernens Die Schülerinnen und Schüler übernehmen eine viel stärkere Verantwortung für ihren eigenen Lernprozess und können somit (langfristig!) selbst- 2 3 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 6. Ebenda. zur Vollversion 2 2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 7 sicherer und eigenständiger im, aber auch außerhalb des Unterrichts agieren. Diese hohe Eigenverantwortung bei zurückgenommener Anleitung durch die Lehrperson kann jedoch zu einer Überforderung oder mangelnden Mitarbeit aufgrund der geringen Kontrolle führen. Beidem muss zielgerichtet begegnet werden, sei es durch die schon erwähnten Hilfestellungen oder durch eine (spätere) Kontrolle der Ergebnisse. Eine Stärke des Stationenlernens besteht eindeutig in der Individualisierung des Unterrichtsgeschehens – die Lernenden selbst bestimmen Zeitaufwand und Abfolge der Stationen. Darüber hinaus können die unterschiedlichen Lerneingangskanäle sowie eine Differenzierung in Schwierigkeitsgrade als Ausgangspunkt des Lernprozesses genommen werden. Die Schülerinnen und Schüler können daa mit die ihnen gerade angemessen erscheinende ende Darstellungs- und Aufnahmeform erproben, erfahahren und reflektieren. Damit kann eine heterogene teroge e Lerngruppe „inhalts- und lernzielgleich unterrichtet ch unterrichte werden, ohne dass die Lernwege vereinheitlicht ge v ereinheitlicht werden müssen.“1 erhalb der er untersch dliche Fachdidaktiken Innerhalb unterschiedlichen herrscht seit se Jahren ein Konsens darüber, dass s sich das Leh -Lern-An e veränd n Lehr-Lern-Angebot der Schule verändern muss. Rein k ng im Sinne kognitive Wissensvermittlung es „Nürnb agt und wides „Nürnberger Trichters“ ist nicht gefragt spric allen aktuellen Erkenntnissen ken n der Lernderspricht twortlic lbstg psychologie. Eigenverantwortliches, selbstgestalves L ernen sind die zentralen tetes und kooperatives Lernen gogik des ne uen Ja Ziele der Pädagogik neuen Jahrtausends. Eine e Varia ante, diesen For mögliche Variante, Forderungen nachzuen, biete kommen, bietet das Station Stationenlernen. Warum? O V lernen n ermöglicht er Stationenlernen u. a.: dif 1. Binnendifferenzierung und individuelle Förderung, indem unterschiedliche Schwierigkeitsgrade angesetzt werden. Gleichzeitig können die Schülerinnen und Schüler auch ihre Kompetenzen im Bereich der Arbeitsorganisation ausbauen. 2. einen Methoden- und Sozialformenwechsel, sodass neben Fachkompetenzen auch Sozial-, Methoden- und Handlungskompetenzen gefördert werden können. 1 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/ 2010, S. 6. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag Stationenlernen benötigt – rein organisatorisch – s mus als allererstes Platz: Es muss möglich sein, jeder beits- Platz zuzuweisen. Station einen festen (Arbeits-) Die Lehrkraft benötigtt darüber h hinaus für die Vorbereitung im ersten Moment meh mehr Zeit – sie muss digen Ma erialien in au alle notwendigen Materialien ausreichender Anrfügung ste len und das heißt vor allem: zahl zur Verfügung stellen e benötigt Zeit für da Sie das Kopieren! Für d den weiteen Ablauf iist st es s aufgabe an ren sinnvoll, Funktionsaufgaben die Lernenden zu verteilen – so kann bspw. je eine ie Lernende Schülerin die S chülerin oder je ein Schüler hüler für eine Station d Verantwortung übernehmen: muss dafür Ve en: Sie/er m ss dafü Sorge tragen, da dass immer ausreichend Materialien S mer a usreichend Ma bereit liegen. U A H C S R n – Ei n kurzes Fazit Stationenlernen Ein Grundsätzlich – so behaupte ich – lässt sich Stationenlernen in allen Unterrichtsfächern durchführen. Grundsätzlich eignen sich auch alle Klassenstufen für Stationenlernen. Trotz alledem sollten – wie bei jeder Unterrichtskonzeption – immer die zu erwartenden Vorteile überwiegen; diese Aussage soll hingegen kein Plädoyer für eine Nichtdurchführung eines Stationenlernens sein! D. h. jedoch, dass – wie bei jeder Unterrichtsvorbereitung – eine Bedingungsanalyse unerlässlich ist! Wichtiger jed jedoch istt die Gru Grundeinstellung der och is Schülerinnen selbst: Viele Lernende rinnen und d Sch Schüler se wurden regelmäß regelmäßig mit lehrerzentriertem Frontalwurde g mi unterricht „unterh „unterhalten“ – die Reaktionen der Schüunterrich lerinnen und und S Schüler werden sehr unterschiedlich sein. Eine Lerngruppe wird sich über mehr Eigenvera verantwortung freuen, eine andere wird damit maßlos überfordert sein, eine dritte wird sich verweigern. Daher ist es unerlässlich, die Lernenden (schrittweise) an offenere Unterrichtsformen heranzuführen. Sinnvoll ist es daher, mit kleineren Formen des offenen Unterrichts zu beginnen; dies muss nicht zwingend ausschließlich in einem bestimmten Fachunterricht erfolgen – der Lernprozess einer Klasse sollte auch hier ganzheitlich verstanden werden! Absprachen zwischen den Kolleginnen und Kollegen sind somit auch hier unerlässlich – letztendlich kann im Gegenzug auch wieder das gesamte Kollegium davon profitieren. 2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 7 Ein Stationenlernen im Mathematikunterricht muss sich an den Inhalten und dem Aufbau der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss orientieren. Das Einschlagen von individuellen Lösungswegen, das Analysieren zur Vollversion 3 2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 7 von Lernergebnissen, das zielgerichtete Anwenden von Formeln, Rechengesetzen und Rechenregeln soll stets unter der Prämisse der Nutzbarkeit für das weitere Lernen und dem Einbezug in möglichst unterschiedliche kontextbezogene Situationen gesehen werden. Der Schüler soll „auf diese Weise Mathematik als anregendes, nutzbringendes und kreatives Betätigungsfeld erleben“1. 앬 Dabei sind folgende sechs allgemeine mathematische Kompetenzen Grundlage jeder Planung und unterrichtlichen Aufbereitung. Im Einzelnen handeln es sich um: 앬 앬 앬 앬 앬 앬 앬 mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen mathematisch modellieren mathematische Darstellungen verwenden mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen kommunizieren 앬 앬 앬 앬 Zahl Messen Raum und Form funktionaler funktiona er Zusamm Zusammenhang an Daten und Zufall S R Bezogen auf die Adressaten dieses Buches zum Stationenlernen – die Schüler der 7. Klasse Stationenler sse – müsn folg en mathematische hematische sen folgende inhaltsbezogene htigung finden: Kompetenzen Berücksichtigung 앬 앬 앬 앬 1 O V Die Vorstellung von on ra rationalen tional Zahlen entsprenotwe chend der Verwendungs Verwendungsnotwendigkeit Die sichere chere Anwendung d der er Grundrechenarten im Zahlbere Zahlbereich h der ration rationalen Zahlen Die Umformung Umformungsübungen süb zu Termen und Gleien (Term chungen (Term- und Äquivalenzumformungen) Das Nutzen utz von Rechengesetzen auch zum vorteilhaften Rechnen Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss, Carl Link Verlag, S. 6. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag 앬 앬 앬 앬 앬 앬 앬 U A H C Diese allgemeinmathematischen Kompetenzen petenzen gilt es inhaltsbezogen zu konkretisieren eien und mit e tischen Leitideen ner der fünf folgenden mathematischen in Einklang zu bringen: 앬 앬 Das sachgerechte Verwenden von Prozent- und einfacher Zinsrechnung Das mathematische Lösen von Sachaufgaben und deren Kontrolle Das Beschreiben von Lösungswegen und deren Begründung Die Selbstformulierung mathematischer Probleme und deren sachgerechte Lösung Das Erfahren und Anwenden des Grundprinzips Messen, insbesondere der Winkelsummen Das Umrechnen von Größen und deren situatiung onsgemäße Anwendung Die Konstruktion von Dreie Dreiecken Das Berechnen von Flächen Flächeninhalt und Umfang lelogramm und Trapez von Dreieck, Parallelogramm Das Beschreiben hreiben und Begrün Begründen von Eigenehungen g schaften und Bezi Beziehungen geometrischer Obekte jekte Das Zeic Zeichnen hnen und Konstruieren geometrischer ometr Figuren m itteln, in mitt ents entsprechenden Hilfsmitteln, insbesondere Netze und Schrägbilder hrägbilder Das U Untersuchen der Lösbarkeit ösbarkeit von Konstruktionstrukt onsaufgaben Das Auswerten werte von n Dars Darstellungen, ellungen, sta statistischer en Erhebungen Das Arbeiten beit n mit d dem em Koordi Koordinatensystem Das Erfasse Erfassen sen von Daten und deren grafische Dar stellung Darstellung Das IInterpretieren erpretie von Daten unter der Verwendung ung v von on Ke Kerngrößen Das B Bestimmen von einstufigen Zufallsexperimenten/Wahrscheinlichkeiten m 앬 앬 앬 앬 앬 앬 Dabei muss sich der unterrichtliche Gegenstand jeweils in mehrere voneinander unabhängige Teilaspekte aufgliedern lassen. Dies ist auch im Fach Mathematik möglich, obwohl häufig Themen auf den vorherigen aufbauen bzw. ohne Kenntnis der erarbeiteten Rechenregeln nicht lösbar sind. Innerhalb eines Themengebietes ist die Reihenfolge der strukturellen Erarbeitung in vielen Fragestellungen austauschbar und von daher effektiv mithilfe des Stationenlernens umzusetzen. zur Vollversion 4 II – Praxis: Materialbeiträge II – Praxis: Materialbeiträge In diesem Band werden sechs ausgearbeitete Stationenlernen präsentiert. All diese Stationenlernen ergeben sich i. d. R. aus den Unterrichtsvorgaben für die Klassenstufe 7. Alle Stationenlernen sind so konzipiert, dass diese ohne weitere Vorbereitung im Unterricht der weiterführenden Schulen eingesetzt werden können – trotz alledem sollte eine adäquate Bedingungsanalyse niemals ausbleiben, denn letztendlich gleicht keine Lerngruppe einer anderen! Die hier präsentierten Stationenlernen sind immer in Pflichtstationen (Station 1, 2, 3 …) und fakultative Zusatzstationen (Zusatzstation A, B …) unterteilt – die zu bearbeitende Reihenfolge ist durch die Schülerinnen und Schüler (!) frei wählbar. Die S Soden, zialformen sind bewusst offen gehalten worden, ern d. h. i. d. R. finden sich auf den Aufgabenblättern en Gru pkeine konkreten Hinweise zur geforderten Gruppengröße. Lernenden nutzen. Darüber hinaus können die Schülerinnen und Schüler auf ihrem Laufzettel auch weiterführende Hinweise und Kommentare zum Stationenlernen an sich, zur Arbeitsgestaltung o. Ä. vermerken – nach meiner Erfahrung wird diese Möglichkeit eher selten genutzt, kann dann jedoch sehr aufschlussreich sein! Unverzichtbar für jedes Stationenlernen ist eine abschließende ho Bündelung zum Wiederholen und Bündeln der zentralen Lerninhalte – auch hierfür wird jeweils us de eine Idee, welche sich aus den einzelnen Statiort. Mithilfe dieser Bündelung nen ergibt, präsentiert. nmal einzelne Erge sollen noch einmal Ergebnisse rekapituwendet und überprüft w liert, angewendet werden. In diesem d wer en die folge nden Stationenlernen präBand werden folgenden entiert: sentiert: 1.. 2 2. 3. 4 4. 5. 6. U A Zuordnun Zuordnung und Prozentrechnen Rationa Rationale Zahlen Terme und Gleichungen he Figuren ren Geometrische nd K er Flächen und Körper n die Stochastik Einführung in H C uch hie Somit können die Lernenden auch hier frei wählen, artner od ob sie die Aufgaben alleine, mit einem Partner oder pe bearbeiten wol innerhalb einer Gruppe wollen – davon lte jedoc ch keine Gruppe größer als abgesehen sollte jedoch n sein, da e e größ vier Personen eine größere Mitgliederzahl prozess i. d. R. eher behindert. Einige den Arbeits Arbeitsprozess Stationen sind jedoch auch so o konz rt wenige Stationen konzipiert rarbeit sinn worden, dass mindestens eine Partnerarbeit sinnvoll ist. S R O V de Schülerin in bzw. jeZurr Bea Bearbeitung sollte für jede alblatt b gen – die den Schüler ein Materialblatt bereitliegen gegen sind nur vor Ort (am Aufgabenblätter hingegen tsplatz) aus ulege Die Laufzettel Stationenarbeitsplatz) auszulegen. ls Üb bersicht für d ie S dienen als Übersicht die Schülerinnen und er – hier können önnen dies Schüler diese abhaken, welche Staearb tionen sie wann b bearbeitet haben und welche ihit noch fehlen, gleichzeitig erhalten sie nen somit nen kleinen inhaltlichen Überblick über hierbei einen alle Stationen – andererseits kann die Lehrkraft diese als erste Hinweise zur Arbeitsleistung der Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag ation nlerne beginnt mit einem Jedes dieser Stationenlernen aufzettel. Laufzettel. Anschlie end w Anschließend werden die jeweiligen Stationen (Pflichtsta i (Pflichtstationen und Zusatzstationen) mit jeweils einem Aufgabenblatt sowie einem Materialblatt pr präsentiert. Zu guter Letzt wird das Stationenlernen mit einem Aufgaben- und Materialblatt für die Bündelungsaufgabe abgerundet. Sinnvoll ist es, wenn jede Station einen festen Platz im Raum erhält. Dies erleichtert es vor allem den Schülerinnen und Schülern, sich zu orientieren. Um dies noch mehr zu vereinfachen, haben sich Stationsschilder bewährt. Auf diesen sollte mindestens die Stationsnummer vermerkt werden. Fakultativ könnte auch der Stationsname vermerkt werden. zur Vollversion 5 Flächen und Körper Laufzettel zum Stationenlernen Flächen und Körper Station 1 Unterschiedliche Vierecke Zusatzstation A Station 2 Winkelsummen en in leck n Vielecken Winkelsumme bei Vierecken H C Vierecke konstruieren Station 4 S R Flächeninhalt von Fläche inhalt v Parallelogramm aralle r und Trapez O V Station 5 U A Zusatzstation Zusa sta B Station 3 Rauminhalt von nhalt vo Prismen Prismen Zusammengesetzte Zus e Körper Zusatzstation Zusat station C Sachaufgaben Sachau gabe Zusatzstation D Netze von geraden Prismen Station 6 St Oberfläche von Prismen Kommentare: Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 6 Station 1 Aufgabe Unterschiedliche Vierecke Aufgabe: Übe das Zeichnen von unterschiedlichen Vierecken. 1. Zeichne in deinem Heft eine Raute mit ... 2. Zeichne in deinem Heft ins Koordinatensystem einen Drachen ABCD mit … 3. Zeichne in deinem Heft ein Parallelogramm ABCD mit … 4. Zeichne in deinem Heft ins Koordinatensystem ein Trapez ABCD mit … Um welches Trapez handelt es sich bei a), um welches bei b)? U A H C Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag S R Station ation 2 O V Aufgabe Winkelsumme nkelsum e bei Vierecken Vierec Aufgabe: A Berechne die Winkelsumme nke summ der Vierecke. erec 1. Vervollständige Tabelle vollständige die Ta belle auf dem Materialblatt. 2. Zeichne Vierecke in ein Koordinatensystem in dein Heft. eichne die folgenden l Miss Winkel. Kontrolliere die Winkelsumme. s die W 3. Benenne die Vierecke (Punkte, Seiten, Winkel), miss die Winkel und schreibe sie in dein Heft. Kontrolliere die Winkelsumme. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 7 Station 3 Aufgabe Vierecke konstruieren Aufgabe: Konstruiere Vierecke. 1. Konstruiere die folgenden Vierecke in deinem Heft. 2. Konstruiere in a) eine Raute und in b) einen Drachen in deinem Heft. 3. Kannst du aus den folgenden Angaben ein Viereck konstruieren? Versuche und begründe in deinem Heft. U A H C Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag S R Station ation 4 Aufgabe alt von Parallelogramm Pa allelogram und Trapez Flächeninhalt O V Aufgabe: A Berechne den Flächeninhalt von Parallelogramm und Trapez. ächeninh ara 1. Vervollständige Tabelle vollständige die Ta belle in deinem Heft, indem du jeweils den fehlenden Wert berechnest. ber chnest. 2. Miss Längen der beiden Parallelogramme, zeichne sie in dein Heft und s die Lä berechne den Flächeninhalt. 3. Miss die Längen der beiden Trapeze, zeichne sie in dein Heft und berechne den Flächeninhalt. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 8 Station 5 Aufgabe Rauminhalt von Prismen Aufgabe: Berechne den Rauminhalt eines Primas. 1. Übernimm die Tabelle in dein Heft und vervollständige sie, indem du die fehlenden Werte berechnest. b die 2. Berechne den Rauminhalt der folgenden Prismen in deinem Heft und gib 3 Lösungen in cm an. 3. Berechne den Rauminhalt des folgenden Prismas in deinem Heft. Hinweis: Teile die Grundfläche in zwei Trapeze. U A H C Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag S R Station ation 6 O V Aufgabe Oberfläche Oberfläc von Prismen Prism Aufgabe: A Berechne die Oberfläche von Prismen. erfläche v men 1. Berechne Heft die Oberfläche der folgenden Prismen und echne in deinem H eft di 2 gib die Lösungen L sungen in m an. echne in deinem Heft die Oberfläche der folgenden Prismen. 2. Berechne Die Körperhöhe h beträgt bei beiden Prismen 5 m. Gib die Lösungen in m2 und cm2 an. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 9 Zusatzstation A Aufgabe Winkelsummen in Vielecken Aufgabe: Berechne die Winkelsumme in Vielecken. 1. Verbinde auf dem Materialblatt das gegebene n-Eck mit der richtigen Winkelsumme. Prüfe ggf. mit der Formel zur Berechnung der Summe der Innenwinkel. 2. Miss die Winkel auf dem Materialblatt. Trage die Winkel ein. Schreibe die entsprechenden e ent Winkelgrößen auf. U A 3. Zeichne ein beliebiges Achteck in dein Heft. Miss die Winkel,, benenn benenne kontrolliere e sie und kon die Winkelsumme. Hinweis: Als Winkel kannst du neben den bi bisher bekannten ekannten η (Eta) und θ (Theta) verwenden. H C Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag S R Zusatzstation us zstationn B O V Aufgabe sammen esetzte Körper Kö Zusammengesetzte Aufgabe: Berechne den Rauminhalt auminhalt von zusammengesetzten Körpern. 1. Berechne in deinem Heft den Rauminhalt der zusammengesetzten Körper. n deine Suche eine Methode aus. he dir ein 2. Berechne in deinem Heft den Rauminhalt des Glastrapezes. 1 cm3 Glas wiegt 3 g. Wie viel Kilogramm wiegt das Trapez? Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 10 Zusatzstation C Aufgabe Sachaufgaben Aufgabe: Übe das Bearbeiten von Sachaufgaben. Bearbeite die Sachaufgaben nach dem folgenden Schema: 앬 앬 앬 Gegeben ist jeweils ein Sachverhalt und ein Arbeitsauftrag/eine Frage. Führe die Rechnung durch. Formuliere einen Antwortsatz. U A H C Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag S R Zusatzstation u zstationn D O V Aufgabe Netze tze von geraden g raden Prismen Pris Aufgabe: A Zeichne und prüfe Prismennetze. fe P risme 1. Welche lche dieser d Körper sind Prismen, welche nicht? Überlege und begründe in deinem Heft. 2. Zeichne chne die Netze der Körper in dein Heft. 3. Zeichne eigenständig das Netz eines Dreiecksprismas, sodass es a) zu einem Prisma zusammengesetzt werden kann. b) nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden kann. Überprüfe durch Ausschneiden und Zusammenkleben. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 11 Station 1 Material Unterschiedliche Vierecke Vierecke mit Symmetrie werden besondere Vierecke genannt. Die Anzahl der Symmetrien (Symmetrieachsen sind in den Figuren eingezeichnet) nimmt von oben nach unten zu. Ein Viereck besitzt die Eigenschaften der über ihm liegenden Vierecke, sofern diese durch einen Strich verbunden sind. allgemeines Viereck allgemeines Trapez Beispiel: Die Diagonalen einer Raute sind ind 6 cm und 4 cm. Sie stehen aufeinander senkrecht ufeina und halbieren si sich. Zeichnung mithilfe Diagonalen: mith lfe der Diago U A es symmetrisches Trapez Drachen Parallelogram C C M 3 cm 6 cm Raute H C Rechteck Quadra Quadrat A D 2 cm C 3 cm A C D 2 cm A B A B S R 1. a) … 7 cm und 5 cm langen Diagonalen. gonalen. O V b … 9 cm und 7 cm langen ang Diagonalen. onale b) 2. a) … ei einer Symmetrieachse durch A und C und Eckpunkten A (4|0), B (7|3), C (4|4), D (1|3) ner Symmetrie ac b) … einer S Symmetrieachse durch A und C und Eckpunkten A (2|2), B (9|3), C (10|6), D (7|7). 3. … der Seite a = 6 cm, dem Winkel α = 50° und der Seite d = 3,9 cm. 4. a) … A (2|1), B (6|1), C (7|3), D (1|3). b) … A (0|0), B (6|0), C (5|3), D (2|3). Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 12 Station 2 Material Winkelsumme bei Vierecken Ein Viereck lässt sich durch eine Diagonale/Gerade in zwei Dreiecke zerlegen. Daher ist die Winkelsumme in einem Viereck so groß, wie die der beiden Dreiecke zusammen, nämlich 2 · 180° = 360°. In einem Viereck gilt daher: α + β + γ + δ = 360°. Beispiel: C D 웃 웂 α = 60° γ = 105° 웁 her g gil Daher gilt: 60 + 90° + 105° + 10 60° 105° = 360° B H C 움 A 1. S R a) α 100° 1 β 70° γ δ b) 85° 45° 4 O V 60° U A β = 90° δ = 105° 125° c) d) 103° 87° 46° 53° 92° 128° 2. a) A (2|1), B (5|0), C (6|3) (6|3), D (3|3) b) A (1| (1|1), 1), B (8|2), 2), C (6|4), 6|4), D (3|4) (2|3), B (10|1), C (10|6), D (0|5) c) A (2| d) A (–1|–1 (–1|–1), B (5|2), C (2|4), D (0|3) 3. a) Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag b) c) zur Vollversion 13 Station 3 Material Vierecke konstruieren Will man ein Viereck konstruieren, so benötigt man fünf geeignete Angaben (Winkel oder Seiten), wobei man mindestens einen Winkel und zwei Seiten benötigt. Die Konstruktion wird in folgenden Schritten gegliedert: 앬 Planskizze: Beliebiges Viereck zeichnen und die fünf Angaben kennzeichnen 앬 Konstruktionsidee: Idee zur Konstruktion wird beschrieben 앬 Konstruktionslösung: Viereck mit gegebenen Maßen konstruieren Beispiel: Konstruiere ein Viereck ABCD mit den Seitenlängen a = 7,5 cm, b = 4 cm, c = 9 cm und den Winkeln β = 80° und γ = 100°. Planskizze: Konstruktionsidee: on : Gegeben: a, b, c, β, γ 1. Die Strecke cke A AB = 7,5 cm zeichnen. hne 2. Die Strecke Streck BC = 4 cm mit dem Win Winkel el β = 80° zeichnen. 3. Die Strecke CD = 9 cm eS mit dem Winkel γ = 100° 0° zeichnen. 4. Die Strecke eS e AD zeichne zeichnen. n. D CD c C 웃 웂 AD b d BC 움 웁 A AB a H C U A Konstruktionslösung: Konstruk D 9 cm A 7,5 cm C 100° 4 cm 80° B S R B O V 1. a) a = 10 cm, b = 6 cm, 1 m, c = 7 cm, β = 90°, 9 γ = 90° m, d = 4,4 cm, γ = 80°, δ = 85° b) b = 5 cm, c = 5 cm, c) a = 8 cm, b = 4 cm cm, d = 4 cm, α = 47°, β = 75° 8 γ = 130°, a = 3,7 cm, b = 4,3 cm d) α = 95°, β = 82°, 2. a) α = 69°, a = 6 cm b) a = 4,5 cm, α = 53°, β = 108°, c = 2,8 cm 3. a) AB = 7 cm, DA = 3,2 cm, BC = 3,6 cm, α = 72°, β = 56° b) AB = 6 cm, α = 101°, β = 56°, γ = 146°, δ = 57° Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 14 Station 4 Material Flächeninhalt von Parallelogramm und Trapez Die Flächeninhalte von Parallelogramm und Trapez werden so berechnet: Parallelogramm Flächeninhalt Parallelogramm: A = Grundseite (g) · Höhe (h) Höhe h Beispiel: g = 4 cm, h = 3 cm A = 4 cm · 3 cm = 12 c cm2 Grundseite g Trapez Grundseite c U A Flächeninhalt Trapez: A=a+c·h 2 Beispiel: B spiel: a = 5 cm, c = 4 cm, h = 3 cm Höhe h H C A = 5 cm + 4 ccm · 3 cm = 13,5 cm2 2 Grundseite a 1. a) g h A)) 6 cm 12 c cm B) 8,5 m C C) D) 2. a) S R c h A) 8m 5m 2m B)) 7 5m 7,5 4,2 m 3,1 m 6,88 cm2 12,2 cm 126,88 C C) 9 cm 11 cm ,2 m 14,2 D) 6,2 m 3,5 m2 93,5 O V 9,8 m 3. a) Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag b) a A A 38 cm2 9,4 m 56,4 m2 b) b) zur Vollversion 15 Station 5 Material Rauminhalt von Prismen Ein Prisma ist ein geometrischer Körper mit deckungsgleicher Grund- und Deckfläche. Um den Rauminhalt (Volumen) von Prismen zu berechnen, wird die Grundfläche mit der Körperhöhe multipliziert, daher gilt: V = G · hKörper. Ist die Grundfläche beispielsweise ein Dreieck, gehen wir so vor: gegeben: Grundfläche G: 2 · 10 cm2 = 60 cm2 G = g · h = 12 10 cm V = G · hKörper rper = 60 cm2 · 6 cm = 360 cm3 6 cm 1. H C Grundfläche G Körperhö hKörper Körperhöhe a) 55 m2 4m b) 66,6 6,6 cm2 S R c) d) 2. a) 2 U A hKörper = 6 cm 12 cm 4 4,6 m2 O V 0,9 m 2 2 g = 12 cm h = 10 cm Volumen V V 366 366,3 cm3 11,3 ,3 cm 510,76 cm3 120 cm b) m3 c) 0,18 m 22 cm 18 cm 9 cm 1,80 m 1,30 m 0,08 m 15 cm 12 cm 3. 30 cm 14 cm 12 cm 0,2 m Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 16 Station 6 Material Oberfläche von Prismen Die Oberfläche eines Prismas setzt sich z. B. bei einem Dreiecksprisma (vgl. das Netz) aus den Flächeninhalten A der beiden Dreiecksflächen (Grundfläche G und Deckfläche D, die beide gleich groß sind) und der Mantelfläche M (bestehend aus drei Rechtecksflächen R1, R2, R3) zusammen. Die Formel heißt: O = 2 · A + M 2,50 m R1 1,50 m 1,50 m R2 G U A 1m 1,20 m 2,50 m D 1,20 m R3 1m 1,50 1,5 0m H C O = 2 · 1 · 1,20 m2 + 1,50 m · 2,50 m + 1 m · 2,50 m + 1,50 m · 2,50 ,50 m 2 2 2 2 2 = 1,20 m + 3,75 m + 2,50 m + 3,75 m = 11,20 m2 S R 1. a)) b) O V 0,9 m c) 1,1 m 1,3 1, m 3m 4m 3 cm 9m 5m 0,8 ,8 m 2. a) 3m 8 cm 3 cm b) 9m 4m 8m 1,5 m 3m 2m 4m 6m Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 17 Zusatzstation A Material Winkelsummen in Vielecken Ein Vieleck besteht aus n Ecken. Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck beträgt (n – 2) · 180. Beispiele: Dreieck: (3 – 2) · 180 = 180°, Viereck: (4 – 2) · 180 = 360°, Fünfeck: (5 – 2) · 180 = 540° … 1. Sechseck 900° Siebeneck 1 260° Achteck 720 720° Neuneck 1 440° Zehneck 1 080° 2. a) b) D E C A O V 97° A α = 97° β= γ= δ= ε= H C S R E U A F D C B B α= β= γ= δ= ε= ζ (Zeta) = 3. Beispiel für ein Achteck: Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 18 Zusatzstation B Material Zusammengesetzte Körper Der Rauminhalt kann auch von zusammengesetzten Körpern berechnet werden, hier im Beispiel gibt es drei Möglichkeiten: 4 cm 4 cm 4 cm 10 cm 10 cm 10 cm 13 cm 13 cm 1. senkrechte Zerlegung 1. Rechteck: V1 = 4 cm · 10 cm · 2 cm = 80 cm3 2. waagerechte Zerlegung 1. Rechteck: V1 = 6 cm · 4 cm · 2 cm = 48 cm3 2. Rechteck V2 = 9 cm · 4 cm · 2 cm = 72 cm3 2 2.. Rechteck V2 = 13 cm · 4 c cm · 2 cm 3 = 104 cm U A 3. Erg änzung Ergänzung 1. mit Er Ergänzung V1 = 13 cm · 10 cm · 2 cm = 260 cm3 H C S R m3 Vgesamt = 80 cm3 + 72 c cm = 152 52 c cm3 50 cm 2 cm 2 cm 2 cm 13 cm 1. a) 4 cm 4 cm 4 cm gänzung 2. nur Ergänzung V2 = 9 cm · 6 cm · 2 cm = 108 08 c cm3 m3 Vgesamt = 48 cm3 + 104 cm m3 = 152 cm O V b) 4m Vggesamt = 260 cm3 – 108 cm3 samt = 152 cm3 c) 6m 2m 15 cm 15 1 cm 2m 50 cm 50 cm 2m 6m 14 m 8m 1600 cm 6m 2m 2m 8m 2. 8 cm 2 cm 9 cm 1,5 cm 14 cm 3 cm 10 cm Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 19 Zusatzstation C Material Sachaufgaben 1. Im Garten soll auf eine trapezförmige Fläche Rasen gesät werden. a) Berechne den Flächeninhalt der Rasenfläche. 20 m b) Reicht ein 10-kg-Samenpaket aus, wenn man pro m2 30 g Saatgut braucht? 20 m 12 m c) Bestimme die Kosten für den neuen Rasen, wenn 1 kg Rasensamen 5 € kostet. 20 m 25 m U A st, soll neu gefliest werden. Die Fliesen sen hab 2. Ein Kunstraum, welcher 8 m lang und 6 m breit ist, haben seite von 30 cm und einer ner Höhe von 20 cm. die Form eines Parallelogramms mit einer Grund Grundseite H C esen, wenn d ück gt blei ben und für de a) Bestimme die Anzahll der F Fliesen, die Fugen unberücksichtigt bleiben den azu gerech et we Verschnitt 15 % dazu gerechnet werden. S R egen zwe ei Angebote vor b) Es liegen zwei vor: gebot 1: Pa chalpr erlegen: 1 250 € Angebot Pauschalpreis für Fliesen und Verlegen: Angebot 2: In e sen. Der Pake preis b Angebot einem Paket sind 20 Fliesen. Paketpreis beträgt 15 €. Für ein m2 Fliesen we en 12 € Arbeitslohn berechnet echnet werden We er? Welches Angebot ist günstiger? O V 4,5 m in Hart plastikkörper hatt die folgenden Maße: 3. Ein Hartplastikkörper a) Der Körp Körper soll mit Wasser befüllt werde werden. Wie viel Liter passen in den Körper (1 l = 1 dm3)? 5,8 m 5m 6m 7,5 m b) Ein Tankwagen befüllt den Körper mit Wasser. Wie viel Liter Wasser kann der Tankwagen in einer Tour transportieren, wenn er insgesamt 36-mal hin und her fährt? c) Wie viel Liter würden in den Körper passen, wenn er nur zu 75 % mit Wasser befüllt werden darf? Wie oft muss jetzt der Tankwagen hin und her fahren? d) Der Körper soll gestrichen werden (ohne Boden). Berechne die Fläche, die gestrichen werden soll. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 20 Zusatzstation D Material Netze von geraden Prismen Die Grund- bzw. Deckflächen von Prismen können z. B. Dreiecke, Vierecke oder andere Vielecke sein. Dabei stehen die Seitenflächen senkrecht auf der Grundfläche und die Oberfläche kann aus Netzen konstruiert werden. Dreiecksäule Netz Dreiecksäule Deckfläche Deckfläche he U A 3 Mantelflächen elfläche Mantelfläche Ma telfläche Mantelfläche M Mantelfläche Grundfläche Grundfläche H C S R 1. a) b) b c) O V d) 2. a) b) 1 cm 5 cm 3 cm c) 1,4 cm 0,5 cm 4 cm 2,5 cm 1,5 cm 2 cm 3 cm 4 cm 3 cm 5 cm 2 cm 1 cm 6 cm 2 cm 4 cm Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 21 Abschließende Bündelung des Stationenlernens Material Aufgaben zur Wiederholung Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–D 1. Konstruiere die folgenden Vierecke (Planskizze, Konstruktionsidee, -lösung) und trage alle Punkte, Seiten, Seitenlängen und Winkel ein. Überprüfe die Winkelsumme. a = 5 cm, c = 4 cm, d = 6,8 cm, α = 112°, δ = 65° a = 6 cm, b = 3 cm, α = 110°, β = 85°, δ = 66° U A 2. Der Acker eines Bauers hat die Form eines Parallelogramms. und 24 m hoch. s. Er ist 73 m lang un a) Berechne die Fläche des Ackers (in m2, a, ha, km2)). n der Fläch eninhal 1560 m2 ist? b) Wie lang wäre der Acker (in cm, m, km), w wenn Flächeninhalt H C 3. Berechne die fehlenden Größen Trapeze. ßen der Trapez a) b) 5 cm 3,5 cm 4 cm ? A=? S R 9 cm c)) A = 18 m2 ? A = 2400 m2 6 cm 40 m 90 m 4. Eine Aluminiumprisma A minium hat die Form orm eines Dreieckprismas reieckprisma mit nebenstehenden Maßen. O V das Gewicht des Prismas, a) Berechne Be ismas, wenn 1 dm3 Aluminium 2,7 kg wiegt. Wie teuer Aluminium, wenn das Prisma eue ist 1 kg g Aluminium für 1 620 € verkauft wird? kauft wir 60 cm b) Das Prisma soll kompl komplett beklebt werden. Wie groß ist die Klebefläche Klebefläche (in m2)? ? 50 cm 100 cm 80 cm d) Zeichne e ein Ne Netz der Dreiecksäule. 9m 5. Berechne den Rauminhalt des nebenstehenden zusammengesetzten Körpers nach zwei verschiedenen Methoden. 8m 5m 6. Zeichne 3m 6m a) eine Raute mit 10 cm und 12 cm langen Diagonalen. b) ein Trapez ABCD ins Koordinatensystem mit Punkten A (2|1), B (9|1), C (8|3), D (5|3). Um welches Trapez handelt es sich? Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 22 Flächen und Körper – Lösungen Station 1: Unterschiedliche Vierecke 1. a), b) Lösung wie im Musterbeispiel; eine Diagonale zeichnen; Diagonale halbieren; in der Mitte der Diagonalen Senkrechte eintragen und jeweils den halben Diagonalwert abtragen. 2. a) b) C D 7 4 C 6 D 3 B 5 2 4 1 U A 3 A 0 1 2 3 4 5 6 7 A 2 1 0 3. C γ = 50° δ = 130° S R d = 3,9 b = 3,9 β = 130° α = 50° A B a=6 O V 4. a) sy symmetrisches Trapez 3 2 1 0 D 2 3 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 b b)) allgemeines Trapez C D 3 C 2 A 1 2 H C c=6 D 1 B 1 B B A 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 Station 2: Winkelsumme bei Vierecken 1. a) b) c) d) α 100° 85° 135° 103° β 70° 45° 87° 76° γ 60° 105° 46° 53° δ 130° 125° 92° 128° Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 23 2. Die Winkel haben folgende Größen: a) α = 82°, β = 90°, γ = 72°, δ = 116° b) α = 48°, β = 53°, γ = 135°, δ = 124° c) α = 149°, β = 76°, γ = 84°, δ = 51° d) α = 49°, β = 60°, γ = 120°, δ = 131° 3. a) b) γ = 105° δ = 57° δ = 108° γ = 138° α = 120° β = 68° α = 79° β = 45° c) U A γ = 65° H C 01° β = 101° S R δ = 86° α = 108° 8° O V Station 3: Vierecke konstruieren eren 1. a) Konstruktionsidee: e: m zeich kel β = 90° Seite a = 10 cm zeichnen; Winkel änge Seite b = 6 c mit Länge cm abtragen; Wink el γ = 90° mit Läng Winkel Länge Seite c = 7 cm abtra en; Punkt D mit Punkt A verbinden. abtragen; D c=7 δ = 117° d = 6,7 b=6 β = 90° α = 63° A b) Konstruktionsidee: Seite b = 5 cm zeichnen; Winkel γ = 80° mit Länge Seite c = 5 cm abtragen; Winkel δ = 85° mit Länge Seite d = 4,4 cm abtragen; Punkt A mit Punkt B verbinden. B a = 10 c=5 C γ = 80° D δ = 85° b=5 d = 4,4 α = 104° A Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag C γ = 90° a = 3,8 β = 91° B zur Vollversion 24 c) Konstruktionsidee: Seite a = 8 cm zeichnen, Winkel α = 47° mit Länge Seite d = 4 cm abtragen; Winkel β = 75° mit Länge Seite b = 4 cm abtragen; Punkt C und Punkt D verbinden. C c = 4,3 γ = 93° D δ = 145° b=4 d=4 β = 75° α = 47° A d) Konstruktionsidee: Seite a = 3,7 cm zeichnen; Winkel β = 82° mit Länge Seite b = 4,3 cm abtragen; Winkel γ = 130° abtragen und verlängerte Linie zeichnen; Winkel α = 95° abtragen und verlängerte Linie zeichnen; Schnittpunkt beider verlängerter Linien ist Punkt D. D δ= 53° c = 4,4 C γ = 130° d = 6,6 b = 4,3 U A α = 95° A 2. a) Bei der Raute haben alle vier Seiten die gleiche Länge, daher gilt: a = b = c = d = 6 cm. Weiter gilt: Winkel α = γ und Wink Winkel β = δ Also: 69° + 69° + 2x = 360° ó 2x = 222° ó x = 111°. Damit sind β = δ = 111°. chne Seite a = 6 cm und trage Winkel Zeichne α = 69° mit Län Länge d = 6 cm ab; Trage δ = 111° am P e c = 6 cm m ab; Punkt D mit Länge Ver d Punkt B und C. Verbinde O V b) Für F den Drachen gilt: a = d und d b = c; β = δ . Seite a = 4,5 cm zeichn zeichnen und Win Winkel ge d = 4,5 cm abtragen; btra α = 53° mit Län Länge el β = 108°/ Winke Winkel Winkel δ = 108° mit Länge c = b = 2,8 c ma Länge cm abtragen und Punkt C eintr en. eintragen. d=6 β = 82° B a = 3,7 H C S R B a=8 D C c=6 γ = 69° 69 δ = 111° b=6 β = 111° α = 69° 9 A B a=6 C γ = 91° c = 2,8 b = 2,8 B D δ = 108° β = 108° d = 4,5 a = 4,5 α = 53° A 3. a) Ja, es ist möglich mit diesen Angaben ein Viereck (hier ein allgemeines Trapez) zu konstruieren. Zeichne AB = a = 7 cm, trage α = 72° mit d = DA = 3,2 cm und β = 56° mit b = BC = 3,6 cm ab, verbinde Punkt C mit D. c=4 D d = 3,2 b = 3,6 α = 72° A C γ = 124° δ = 108° β = 56° a=7 B b) Nein, es ist nicht möglich mit diesen Angaben ein Viereck zu konstruieren, denn dafür fehlt die Angabe einer zweiten Seite. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 25 Station 4: Flächeninhalt von Parallelogramm und Trapez 1. g h A A) 6 cm 12 cm 72 cm2 B) 8,5 m 11 m C) 10,4 cm D) 9,8 m a c h A A) 8m 5m 2m 13 m2 93,5 m2 B) 7,5 m 4,2 m 3,1 m 18,135 m2 12,2 cm 126,88 cm2 C) 9 cm 11 cm 3,8 cm 38 cm2 14,2 m 139,16 m2 D) 6,2 m 5,8 m 9,4 m 56,4 m2 2. a) h = 1,5 A = g · h = 5 cm · 1,5 cm = 7,5 cm2 g=5 b) h=3 g=3 H C 3. a) h=2 c=3 S R a=6 b) c = 4,5 U A A = g · h = 3 cm · 3 cm = 9 cm2 h = 2,2 A = a + c · h = 6 cm · 3 cm · 2 cm = 9 cm2 2 2 A = a + c · h = 1 cm · 4,5 cm · 2,2 cm = 6,05 cm2 a)) O V 55 m2 4m 220 m3 b) 66,6 cm2 5,5 cm 366,3 cm3 c) 45,2 cm2 11,3 cm 510,76 cm3 d) 4,6 m2 120 cm 5,52 m3 a=1 2 2 Station 5: Rauminhalt Rauminhalt von v Prismen 1. Grundfläche Grundfläc G Körperhöhe hKörper Volumen V 2. a) V = 1,3 m · 0,9 m · 1,8 m = 1,053 m3; V = 1 053 000 cm3 2 15 cm · 18 cm · 9 cm · 22 cm; V = 3 267 cm3 b) V = 2 c) V = 12 cm · 18 cm · 8 cm; V = 1 728 cm3 Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 26 3. VTrapez = 12 cm · 20 cm · 7 cm · 30 cm = 3 360 cm3 2 Geteilt in zwei Trapeze: V = 3 360 cm3 · 2 = 6 720 cm3 Station 6: Oberfläche von Prismen 1. a) O = 0,8 m · 0,9 m + 2 · 1,1 m · 1,3 m + 0,8 m · 1,3 m = 4,62 m2 2 b) O = 2 · 0,03 m · 0,03 m + 4 · 0,08 m · 0,03 m = 0,0114 m2 c) O = 5 m · 3 m · 3 m + 2 · 4 m · 9 m + 5 m · 9 m + 3 m · 9 m = 168 m2 2 2. Individuelle Lösungen U A a) Zerlegen des Rechtecks liefert: O1 = (6 m · 3 m + 5 m · 2 m) · 2 = 56 m2 O2 = 8 m · 5 m + 2 m · 5 m + 5 m · 5 m + 4 m · 5 m + 3 m · 5 m + 6 m · 5 m = 140 m2 60 000 cm2 O = O1 + O2 = 56 m2 + 140 m2 = 196 m2 = 1 960 H C b) Zerlegen des Rechtecks liefert: ert: O1 = O2 = 2 · (2 · 2 m · 1,5 m + 2 · 1,5 m · 5 m + 1 · 2 m · 5 m) = 62 m2 O3 = 2 · 2,5 m · 9 m + 2 · 2,5 m · 5 m + 1 · 9 m · 5 m + 1 · 5 m · 5 cm = 140 m2 S R O = 62 m2 + 140 m2 = 202 m2 = 2 020 000 cm2 Zusatzstation Zusatzs station A: A Winkelsumme me in i Vielecken elecken O V 1. Sechseck – 720°, Siebeneck – 900°, 080°, Neuneck – 1 260°, Zehneck – 1 440° Sechs 00°, Achteck – 1 08 D 2. a) δ = 143° 43° E ε = 94° E b) C ε= 148° F γ = 106 ° ζ = 135° D δ = 122° α = 90° A γ = 83 ° β = 100° α = 97° A B β = 142° C B 3. Individuelle Lösung; die Winkelsumme muss 1 080° betragen, Winkel: α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 27 Zusatzstation B: Zusammengesetzte Körper 1. a) Methode Ergänzung: 1. Rechteck mit Ergänzung: V1 = 50 cm · 50 cm · 50 cm = 125 000 cm3 2. Rechteck nur Ergänzung: V2 = 15 cm · 15 cm · 50 cm = 11 250 cm3 VGesamt = 125 000 cm3 – 11 250 cm3 = 113 750 cm3 b) Methode waagerechte Zerlegung: 1. Rechteck: V1 = 8 m · 2 m · 14 m = 224 m3 2. Rechteck: V2 = 4 m · 6 m · 14 m = 336 m3 VGesamt = 224 m3 + 336 m3 = 560 m3 c) Methode senkrechte Zerlegung: U A 1. Rechteck = 3. Rechteck: V1 = V3 = 2 · 2 m · 8 m · 16 m = 512 m3; 2. Rechteck: V2 = 6 m · 2 m · 16 m = 192 m3 VGesamt = 512 m3 + 192 m3 = 704 m3 H C 2. Methode Ergänzung: 1. Trapez mit Ergänzung: V1 = 10 cm · 8 cm · 9 cm · 14 cm = 1 134 cm3 2 3 cm · 2 cm · 1,5 cm · 14 cm = 52 52,5 2. Trapez mit Ergänzung: ung: V2 = 2,5 cm m3 2 S R VGesamt = 1 134 34 cm3 – 52,5 cm3 = 1 081,5 cm3 Frage: Frage: viel Kilogramm wiegt Wie v eg das Glastrapez? 244,5g § 3,24 kg Rechnung: echn ng: 1 081,5 cm3 · 3 g/cm3 = 3 244, Antw Antwort: O V gt 3,24 kg. Das Glastrapez wiegt Zusatzstation n C: Sachaufgaben Sach 1. a)) Frage: Frage: Wie groß g ß ist der Flächeninhalt des Rasens? Rechnu ung: A = 25 m + 20 m · 12 m = 270 m2 Rechnung: 2 Antwor Antwort: b) Frage: Der Flächeninhalt beträgt 270 m2. Reicht ein 10-kg-Samenpaket aus? Rechnung: 30 g · 270 m2 = 8 100 g/m2 Antwort: c) Frage: Es werden 8,1 kg Rasensamen benötigt. Das 10-kg-Samenpaket reicht also aus. Wie teuer ist der neue Rasen? Rechnung: 8,1 kg · 5 € = 40,50 € Antwort: Das Säen des neuen Rasens kostet 40,50 €. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 28 2. a) Frage: Wie viele Fliesen werden benötigt? Rechnung: Fläche Kunstraum: 800 cm · 600 cm = 480 000 cm2 Fläche einer Fliese: 30 cm · 20 cm = 600 cm2 480 000 cm2 : 600 cm2 = 800 gegeben: G = 800, p = 115%; gesucht: W W = 800 · 115 : 100 = 920 Antwort: b) Frage: Es werden 920 Fliesen benötigt. Welches Angebot ist günstiger? Rechnung: Angebot 1: Alles inklusive: 1 250 € Angebot 2: Benötigte Pakete: 920 : 20 = 46 Pakete Kosten der Pakete: 46 · 15 € = 690 € Fläche Kunstraum: 48 m2 Arbeitslohn für 48 m2: 48 m2 · 12 € = 576 € 26 € Gesamtkosten: 690 € + 576 € = 1 266 Antwort: 3. a) Frage: nstige Angebot 1 ist um 16 € günstiger. U A H C er p assen in den K ör Wie viel Liter passen Körper? 00 dm3 = 180 000 l. Rechnung: V = 7,5 m · 4,5 m · 5 m · 6 m = 180 m3 = 180 000 2 Antwort: b) Frage: age: S R pa In den Körper passen 180 000 l. Wie Liter kann der Kran in einer T Tour transportieren? W viel L our transpo rtiere Rechnung: 180 1 000 l : 36 = 5 000 l Rechnung: An Antwort: Der Tankwagen transportie transportiert in einer Tou Tour 5 000 l Wasser. O V c) Frage: sen in den Kö Wie viel Liter passen Körper, wenn er nur zu 75 % befüllt wird und wie oft muss d der Kran dan dann hin und her fahren? g: ge geben G = 180000 00 l, p = 75 %; gesucht: W; Rechnung: gegeben: 80 000 00 l · W = 180 75 = 135 000 l 100 % 00 l : 5 000 l = 27 135 000 Antwort Antwort: d) Frage: Es passen bei 75 % nur noch 135 000 l in die Säule und der Tankwagen müsste 27-mal fahren. Wie groß ist die Anstrichfläche? Rechnung: O = 7,5 m · 4,5 m · 5 + 4,5 m · 6 m + 5 m · 6 m + 5,8 m · 6 m = 151,8 m2 2 Antwort: Die Anstrichfläche beträgt 151,8 m2. Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 29 Zusatzstation D: Netze von geraden Prismen 1. Bis auf c) (Pyramide) sind alle Körper Prismen, da sie Grund- und Deckfläche haben. 2. a) 2,5 b) 1,5 4 4 3 1 6 5 3 U A 2 c) 2 3 2 1,4 1,4 2 2,5 5 H C 1,4 1,4 3. z. B.: S R a) b) O V Abschließende schließende Bündelung B des Stationenlernens 1. a) D c=4 b) C δ = 65 ° D c=7 δ = 66 ° γ = 123° b=3 d = 3,7 b=7 α = 110° d = 6,8 A α = 112° A Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag C γ = 99° β = 85° a=6 B β = 60° a=5 B zur Vollversion 30 2. a) Frage: Wie groß ist die Fläche des Ackers? Rechnung: A = g · h = 73 m · 24 m = 1 752 m2 bzw. 17,52 a; 0,1 752 ha; 0,001752 km2 Antwort: b) Frage: Die Fläche des Ackers beträgt 1 752 m2 bzw. 17,52 a; 0,1752 ha; 0,001752 km2. Wie lang wäre der Acker (in cm, m, km), wenn der Flächeninhalt 1 560 m2 ist? Rechnung: 1 560 m2 = g · 24 m; g = 1 560 m2 : 24 m = 65 m bzw. 6 500 cm; 0,065 km Antwort: Der Acker wäre 65 m; 6 500 cm; 0,065 km lang. 3. a) A = 9 + 5 · 3,5; A = 24,5 cm2 b) 18 = 6 + 4 · h; h = 3,6 cm 2 2 c) 2 400 = 90 + c · 40; c = 30 m 2 4. a) Frage: U A Wie viel wiegt das Prisma? Rechnung: Der Rauminhalt eines Dreieckprismas berechnet echnet sich aus (Kör öhe), G (Grundfläche) · hKörper (Körperhöhe), c = 200 000 c cm3. hier: V = 80 cm · 50 cm · 100 cm 2 H C 2,7 wiegt 2 7 g, und somit 200 000 cm3 wiegen 540 540 000 g Umrechnen liefert: 1 cm3 wiegt bzw. 540 kg. Wenn 620 € verkauft werden, dann W 540 kg ffürr 1 62 nn kostet 1 kg ung per Dreisatz 1 62 (Rechnung 620 : 540) 3 €. Antwort: ge: b) Frage: Das Prisma wie € wiegt 540 kg und 1 kg Aluminium kost kostet 3 €. S R 2 Wie groß ist die Klebefläche (in m )? W R chnung: D orm für die Oberfläche e heißt O = 2 · A + M Rechnung: Die Formel (G kfläch 3 rechteckige Mantelf M (Grundund Deckfläche, Mantelflächen) m2 + 60 cm · 100 cm + 8 80 cm · 100 cm + 60 cm · 100 cm O = 2 · 80 · 150 cm O V 2 000 cm2 + 6 000 cm2 = 32 000 cm2 = 3,2 m2 = 12 000 cm2 + 6 000 cm2 + 8 000 Antwort: c) Die Klebef Klebefläche beträgt eträ 3,2 m2. R1 60 cm G R2 80 cm D 50 cm R3 60 cm Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 31 5. 1. Methode (in zwei Rechtecke unterteilen), 1. Rechteck: V1 = 6 m · 8 m · 9 m = 432 m3 2. Rechteck: V2 = 3 m · 8 m · 5 m = 120 m3 VGesamt = 432 m3 + 120 m3 = 552 m3 2. Methode (Ergänzung), 1. (mit Ergänzung): V1 = 9 m · 8 m · 9 m = 648 m3, 2. (nur Ergänzung): V2 = 3 m · 8 m · 4 m = 96 m3 VGesamt = 648 m3 – 96 m3 = 552 m3 6. a) b) 12 cm D 3 C D 2 U A 10 cm A C B A 1 0 0 1 2 3 4 5 6 B 7 8 9 H C S R O V Thomas Röser: Flächen und Körper © Persen Verlag zur Vollversion 32 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de U A Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben ben Sie Sie jetzt re Bewertung Bewerrtung auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre en IIhree Erfahru ngen mit ab und teilen Sie anderen Kunden Erfahrungen mit. H C S R O V © 20144 Persen Verlag, Ve Hamburg AAP Lehrerfachverlage achverlage G GmbH Alle Rechte vorbehalte vorbehalten. G Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. 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