Kalenderblätter 001

Kalenderblätter 001 - 200
Ich übergebe sie mit zweifelhaften Gefühlen der Öffentlichkeit. Daß es dieser Arbeit in ihrer Dürftigkeit und
der Finsternis dieser Zeit beschieden sein sollte, Licht in ein oder das andere Gehirn zu werfen, ist nicht
unmöglich; aber freilich nicht wahrscheinlich. [Ludwig Wittgenstein: Philosophische Untersuchungen]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
090605 Cantor
090606 Poincaré
090607 Wittgenstein
090608 Per aspera ...
090609 Weyl
090610 Nelson
090611 Zeilberger
090612 Leon Sanchez
090613 Zenkin
090614 Feferman
090615 Storz
090616 Cantor, Hilbert, Felscher
090617 Cantor, GCH
090618 Schütte
090619 Germain, Feferman & Levy
090620 Poincaré
090621 Petry
090622 Cantor, Darwinismus
090623 Cantor, Koepke, Bibel
090624 Domeisen
090625 Weyl
090626 Thiel
090627 Vlahovic
090628 Skolem
090629 Lorenzen
090630 Zeilberger
090701 Zenkin
090702 Zenkin
090703 Zenkin
090704 Zenkin
090705 Wildberger
090706 Wildberger
090707 Thomas Mann
090708 Wildberger
090709 Manin
090710 Kraus, Starkman
090711 Sponsel
090712 Cantor
090713 Dedekind
090714 Cantor
090715 Dedekind
090716 Bolzano, Dedekind, Zermelo
090717 de Bruin
090718 Skolem
090719 Nelson
090720 de Bruin
090721 de Bruin
090722 Aristoteles
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
090723 Aristoteles
090724 Wittgenstein
090725 Isles
090726 König
090727 Cantor, Busch, Goethe
090728 Wittgenstein
090729 Gell-Mann
090730 Jaynes
090731 Gibbs (Kline)
090801 Kline
090802 Thurston
090803 Jaynes
090804 Wette
090805 Bridgman
090806 Bridgman
090807 Bridgman, Eckhardt
090808 Bridgman
090809 Bridgman
090810 Fraenkel
090811 Laugwitz
090812 Arthur
090813 Schönflies, Hilbert, Cantor
090814 Shane
090815 Russell
090816 Hofstadter
090817 Cantor, Schütte, Wittgenstein
090818 Yessenin-Volpin
090819 Moore, Orwell
090820 Moore, D. Dr. sc. Hütte
090821 Schubring: Hegel, Diderot
090822 Spalt: Bolzano
090823 Schubring: Fries
090824 Richard
090825 WM: Richard
090826 WM: Richards Paradox
090827 Poincaré, Kronecker, Thurston
090828 Kronecker
090829 WM, Cantor
090830 Courant, Robbins
090831 Goethe, Stifter, Karl May, Cantor, Cervantes
090901 Courant, Robbins
090902 Wie Großmutter und Großvater Mathematik definierten
090903 Robinson
090904 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (1)
090905 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (2)
090906 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (3)
090907 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (4)
090908 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (5)
090909 Gauß, Voss
090910 Voss, Goethe
090911 Good
090912 Gadamer
090913 Laugwitz
090914 Skolem
090915 Laugwitz, Abel
090916 Cantor, Laugwitz
090917 Laugwitz, Dauben, Cantor
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
090918 Davis
090919 Wittgenstein
090920 l'Hospital, Laugwitz
090921 Weaver
090922 Blumschein
090923 Fraenkel, Gödel
090924 Mathlener
090925 Schönflies, Goethe, Cantor, Binärbaum
090926 Weaver
090927 Weaver
090928 Flynt
090929 Weaver
090930 Weaver, Spiele
091001 Schönflies, M in M
091002 Wittgenstein
091003 Swamy
091004 Anand
091005 Ankündigung Geschichte des Unendlichen
091006 Duden: Ende
091007 Lichtenberg
091008 Nelson
091009 Zermelo
091010 Zermelo, Cantor
091011 Mac Lane
091012 Mac Lane, Einstein
091013 Flynt
091014 Wittgenstein
091015 Stanworth
091016 Mac Lane, Supertasking
091017 Gramis
091018 Flynt
091019 Cantor, Schwarz
091020 Cantor
091021 Cantor, WM
091022 Mac Lane, MatheRealismus
091023 Flynt
091024 Jourdain
091025 Jourdain
091026 Cantor, WM
091027 Goodstein
091028 Goodstein
091029 Mac Lane
091030 Mathis
091031 Cantor, Zermelo, Grattan-Guinness
091101 Delaney
091102 Ist 0.999... = 1 ?
091103 Maddy, Metamath
091104 Mathis
091105 Brouwer, WM
091106 Brouwer, v. Neumann, Galilei
091107 Gödel
091108 Gödel
091109 Wittgenstein
091110 Brouwer, WM
091111 NN
091112 Zermelo
091113 Fredkin
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
091114 Zermelo
091115 Borel, Bagemihl
091116 Skolem, Fraenkel
091117 Slater
091118 NN
091119 Slater
091120 Liouville
091121 Cantor
091122 Astérix, Zermelo
091123 Fraenkel: Poincaré, Russel, Zermelo
091124 Zermelo: Poincaré
091125 NN
091126 Quine
091127 Prisoners and hats
091128 Prisoners and hats
091129 Prisoners and hats
091130 MacLane
091201 Lakoff and Núñez
091202 Lakoff and Núñez
091203 Lakoff and Núñez
091204 Cantor
091205 NN
091206 Aristoteles, aktual - potentiell
091207 Matheologie
091208 Taschner
091209 Chaitin
091210 Shadmi
091211 Boolos
091212 Feynman
091213 Platonisten, Formalisten und Realisten
091214 Cantor, Franzelin, Rilke
091215 NN
091216 Hörerzahl
091217 Ripota
091218 Galilei, Dialogo sopra i due sistemi di numerazione
091219 Meschkowski, Nilson
091220 Strauss
091221 Selbstbezug
1 Das Kalenderblatt 090605
Gott kennt eine Liste aller natürlichen Zahlen [*]. In welcher Form aber merkt er sich die reellen
Zahlen?
[*] Als Beispiel führe ich die Gesamtheit, den Inbegriff aller endlichen ganzen positiven Zahlen
an; diese Menge ist ein Ding für sich und bildet, ganz abgesehen von der natürlichen Folge der
dazu gehörigen Zahlen, ein in allen Teilen festes, bestimmtes Quantum, ein aphorismenon, das
offenbar größer zu nennen ist als jede endliche Anzahl. [...] Man vgl. die hiermit
übereinstimmende Auffassung der ganzen Zahlenreihe als aktual-unendliches Quantum bei S.
Augustin (De civitate Dei. lib. XII, cap. 19): Contra eos, qui dicunt ea, quae infinita sunt, nec Dei
posse scientia comprehendi. [Ernst Zermelo (Hrsg.): "Georg Cantor, Gesammelte
Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen
sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor - Dedekind. Nebst einem Lebenslauf
Cantors von Adolf Fraenkel." Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim (1966) p. 401f]
2 Das Kalenderblatt 090606
... it has come to pass that we have encountered certain paradoxes, certain apparent
contradictions that would have delighted Zeno the Eleatic and the school of Megara. And then
each must seek the remedy. For my part, I think, and I am not the only one, that the important
thing is never to introduce entities not completely definable in a finite number of words.
Whatever be the cure adopted, we may promise ourselves the joy of the doctor called in to
follow a beautiful pathologic case. [H. Poincaré: "The future of mathematics" (1908)]
3 Das Kalenderblatt 090607
Was ich lehren will, ist: von einem nicht offenkundigen Unsinn zu einem offenkundigen
übergehen. [Ludwig Wittgenstein : "Philosophische Untersuchungen" 464]
4 Das Kalenderblatt 090608
Non multa sed multum. (Rainer Rosenthal)
Per aspera ad tumultum.
5 Das Kalenderblatt 090609
... classical logic was abstracted from the mathematics of finite sets and their subsets ....
Forgetful of this limited origin, one afterwards mistook that logic for something above and prior to
all mathematics, and finally applied it, without justification, to the mathematics of infinite sets. ...
As Brouwer pointed out this is a fallacy, the Fall and Original sin of set theory even if no
paradoxes result from it. [Hermann Weyl: "Mathematics and logic: A brief survey serving as a
preface to a review of The Philosophy of Bertrand Russell", American Mathematical Monthly 53
(1946) 2–13]
6 Das Kalenderblatt 090610
Wenn ich die Aufgabe stelle
37460225182244100253734521345623457115604427833
+ 52328763514530238412154321543225430143254061105
und Sie der erste sind, der sie löst, dann haben Sie eine Zahl erschaffen, die vorher nicht
existierte. [Edward Nelson, Confessions of an Apostate Mathematician]
http://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/rome.pdf
7 Das Kalenderblatt 090611
Das Original-Kalenderblatt für heute, Fronleichnam, basiert auf einem 2001 in Augsburg
gehaltenen Vortrag (Augsburg bietet keinen guten Boden für Orthodoxien - das hat schon die
katholische Kirche schmerzlich erfahren müssen
http://de.wikipedia.org/wiki/Augsburger_Bekenntnis
) und lautet:
By hindsight, it is not surprising that there exist undecidable propositions, as meta-proved by
Kurt Gödel. Why should they be decidable, being meaningless to begin with! The tiny fraction of
first order statements that are decidable are exactly those for which either the statement itself, or
its negation, happen to be true for symbolic integers. A priori, every statement that starts "for
every integer n" is completely meaningless.
[Doron Zeilberger: "REAL" ANALYSIS Is A DEGENERATE CASE of DISCRETE ANALYSIS]
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf
8 Das Kalenderblatt 090612
It seems reasonable that Plato were platonic in Plato's times, but certainly surprising is the
persistence of that primitive way of thinking in the community of contemporary mathematicians...
[...] But for those of us who believe in the organic nature of our brains and in its abilities of
perceiving and knowing modelled through more than 3600 millions years of organic evolution,
platonism has no longer sense. And neither self-reference nor the actual infinity may survive
away from the platonic scenario. On the other hand, it seems convenient to recall the long and
conflictive history of both notions (would they have been so conflictive if they were consistent?);
and above all their absolute uselessness in order to know the natural world. Physics and even
mathematics could go without both notions. Experimental sciences as chemistry, biology and
geology have never been related to them. The potential infinity probably suffices. Even the
number of distinguishable sites in the universe is finite. Finite and discrete: not only matter and
energy are discrete entities, space and time could also be of a discrete -quantum- nature as is
being suggested from some areas of contemporary physics as superstring theory, loop quantum
gravity, euclidean quantum gravity, quantum computation, or black holes thermodynamics.
[Antonio Leon Sanchez: EXTENDING CANTOR’S PARADOX - A CRITIQUE OF INFINITY AND
SELFREFERENCE (2008)]
http://arxiv.org/abs/0809.2135v1
9 Das Kalenderblatt 090613
MY MAIN CONCLUSION.
Cantor's 'paradise' as well as all modern axiomatic set theory [AST] is based on the (selfcontradictory) concept of actual infinity. Cantor emphasized plainly and constantly that all
transfinite objects of his set theory are based on the actual infinity. Modern AST-people try to
persuade us to believe that the AST does not use actual infinity. It is an intentional and blatant
lie, since if infinite sets, X and N, are potential, then the uncountability of the continuum
becomes unprovable, but without the notorious uncountablity of continuum the modern AST as a
whole transforms into a long twaddle about nothing ... [Prof. Alexander A. Zenkin, Doctor of
Physical and Mathematical Sciences, Leading Research Scientist of the Computer Center of the
Russian Academy of Sciences.]
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/fb68.html
http://alexzen.by.ru/
10 Das Kalenderblatt 090614
I am convinced that the platonism which underlies Cantorian set theory is utterly unsatisfactory
as a philosophy of our subject [...] platonism is the medieval metaphysics of mathematics; surely
we can do better. [Solomon Feferman: "Infinity in Mathematics: Is Cantor Necessary?"]
Das aktual Unendliche wird für die Mathematik der wirklichen Welt nicht gebraucht. [Solomon
Feferman: IN THE LIGHT OF LOGIC, p. 30]
http://books.google.de/books?id=AadVrcnschMC&pg
Feferman
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU11.PPT#416,62,Folie 62
zeigt in seinem Aufsatz
Why a little bit goes a long way - Logical foundations of scientifically applicable mathematics
anhand einiger Fallstudien, dass alle gegenwärtig für wissenschaftliche Zwecke erforderliche
Mathematik in einem Axiomensystem ausgeführt werden kann, in dem das aktual Unendliche
nicht vorkommt.
Wie sich die Bilder gleichen (Giacomo Puccini, Tosca
http://de.wikipedia.org/wiki/Puccini
Libretto von Giuseppe Giacosa und Luigi Illica):
Laplace zu Napoleon (auf dessen Frage, wo denn Gott in seinem Werk vorkomme): Sire, ich
benötige diese Hypothese nicht.
11 Das Kalenderblatt 090615
Nachdem ich mich nun eingehender mit der Argumentation von Dr. Mückenheim beschäftigt
habe, und auch mehrere interessante Seiten von anderen Autoren im Internet gefunden habe,
[...] stelle ich aber fest, dass es durchaus durchdachte und durchgearbeitete Angriffen auf das
Konzept der transfiniten Zahlen gibt. Soweit ich dies beurteilen kann, laufen diese Arbeiten im
Allgemeinen auf die Aussage hinaus, dass die Annahme von Konzepten aktualer Unendlichkeit
zu Widersprüchen führt, die immer wieder durch Zusatzannahmen integriert werden müssen (die
Allmenge wird per Axiom ausgeschlossen, die Potenzmenge unendlicher Mengen wird
akzeptiert, aber z.B. die Summe der natürlichen Zahlen wird als inexistent erklärt, etc.) um zu
einem konsistenten Konzept zu kommen. [Albrecht Storz]
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/msg/111284e9fed50fdd?dmode=source
12 Das Kalenderblatt 090616
Mit Recht wird diese Arithmetik als die Königin der mathematischen Wissenschaften betrachtet
und Sie haben sie im Vorwort Ihres vortrefflichen „Berichts über Zahlentheorie" herrlich als
solche gepriesen.
Sie werden mir aber selbst zugeben, daß diese so schöne Königin sich zur Zeit noch in einer
fatalen Abhängigkeit von Geometrie und Analysis befindet. Ich weise nur auf die grossartigen
Arbeiten hin, welche heute unter dem Namen „Analytische Zahlentheorie" zusammengefasst
werden, für welche Sie in Göttingen einen so ausgezeichneten Vertreter in dem jungen Herrn
Landau haben, und auf Minkowski's glänzende und gediegene „Geometrie der Zahlen".
Die Königin ist also nicht frei von ihren beiden Rivalen; sie braucht sie noch Beide.
Das Schlimmste dabei ist aber dass diese ihre Helfer sie in den wichtigsten, ja elementarsten
Fragen im Stich lassen! Sie hat vergeblich bisher auf die Enthüllung des einigermaassen
versteckten „Gesetzes der Primzahlen" gewartet. Der so einfache "Große Fermatsche Satz",
von dem Fermat sicherlich einen simplen Beweis besessen hat (wie von ihm unzweideutig
gesagt worden ist) ist, meines Wissens, noch immer nicht bewiesen worden, und wird es mit den
analytischen Hilfsmitteln, auf die jetzt so viele bauen, wohl nie bewiesen werden.
Sogar das ganz elementare „Goldbachsche Theorem" steht ohne Begründung, jämmerlich
stöhnend, da.
Es giebt aber einen Königsweg, auf dem unsrer erlauchten Fürstin dieses und noch vieles
Grössere mühelos dargebracht wird; er ist ihr von der transfiniten Mengenlehre in ihrem zweiten
Theile zubereitet. [Georg Cantor an David Hilbert, 20. September 1912]
Was hingegen die Anwendungen der transfiniten Zahlen in anderen mathematischen Disziplinen
anlangt, so haben sich die Hoffnungen, welche man zunächst darauf setzte, nur in wenigen,
speziellen Fällen erfüllt. [Walter Felscher: "Naive Mengen und abstrakte Zahlen III", Bibl.
Inst., Mannheim (1979)]
http://www.amazon.de/Mengen-abstrakte-Zahlen-TransfiniteMethoden/dp/3411015535/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1286291135&sr=1-1
Der dritte Theil bringt die Anwendungen der Mengenlehre auf die Naturwissenschaften: Physik,
Chemie, Mineralogie, Botanik, Zoologie, Anthropologie, Biologie, Physiologie, Medizin etc. Ist
also das, was die Engländer „Natural philosophy" nennen. Dazu kommen aber auch
Anwendungen auf die sogenannten „Geisteswissenschaften", die meines Erachtens als
Naturwissenschaften aufzufassen sind; denn auch der "Geist" gehört mit zur Natur. [Georg
Cantor an David Hilbert, 20. September 1912]
Das Gesamtergebnis ist dann: das Unendliche findet sich nirgends realisiert; es ist weder in der
Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig - eine
bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken. [David Hilbert, Über das Unendliche, 24.
Juni 1925]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=26816
13 Das Kalenderblatt 090617
Lieber Herr Kollege X.
Als wir vor Kurzem von unsrer Sommerfrische in Oberhof zurückkehrten, fand ich Ihren
freundlichen Brief v. 16ten Sept. vor. So leid es mir thut, dass es mir durch verschiedene
Rücksichten auf meine Familie nicht vergönnt gewesen ist, mit Ihnen in Düsseldorf
zusammenzutreffen, freut mich andrerseits das Intereße, welches Sie der Mengenlehre
widmen. Wie oft seit einem Jahre wandten sich meine Gedanken unwillkürlich zu Ihnen mit der
Frage, ob wohl Ihre in Braunschweig mir entgegengetretene Theilnahme zu diesen
Forschungen sich erhalten werde.
Nichts kann mir willkommener und lieber sein, als gerade mit Ihnen die Elemente der
Mengenlehre zu diskutieren, da ich mir hiervon nur Gewinn für die Sache, Belehrung und
Förderung für mich selbst zu versprechen habe.
In meinen Untersuchungen habe ich, allgemein gesprochen, "fertige Mengen" im Auge und
verstehe darunter solche, bei denen die Zusammenfassung aller Elemente zu einem Ganzen,
zu einem Ding für sich möglich ist, so daß eine "fertige M." eventuell selbst als Element einer
andern Menge gedacht werden kann.
Es fragt sich, wann eine Zusammenfassung aller Elemente einer Menge zu einem Ding für sich
erfolgen kann und die Antwort ist:
"Dann, wenn ein Zusammensein aller Elemente der Menge, ihre Coexistenz ohne Widerspruch
gedacht werden kann".
Diese Bedingung ist aber keineswegs bei allen wohldefinierten Mengen erfüllbar, im
Besonderen (wie ich Ihnen schon vor einigen Jahren schrieb) nicht an der Totalität aller Alefs.
Derartige Mengen, die die Bedingung "fertig" nicht erfüllen, nenne ich absolut unendliche
Mengen.
Nehmen wir einmal an, es könnten alle Alefs coexistieren, so führt uns dies zu einem
Widerspruch.
Denn alsdann würden alle Alefs, wenn wir sie nach ihrer Größe geordnet denken, eine
wohlgeordnete, fertige Menge M bilden. Mit jeder wohlgeordneten fertigen Menge M von Alefs
ist aber nach dem Bildungsgesetz der Alefs ein bestimmtes Alef gegeben, welches der
Größe nach auf alle Individuen von M nächstfolgt.
Hier hätten wir also den Widerspruch eines Alefs, das größer wäre als alle Alefs, folglich auch
größer als es selbst.
Ich schließe also, daß alle Alefs nicht coexistent sind, nicht zu einem "Ding für sich"
zusammengefasst werden können, daß sie mit anderen Worten keine "fertige Menge" bilden.
Der Widerspruch erscheint mir so, als wenn wir von einer "endlichen Zahl" sprechen wollten, die
größer wäre als "alle endlichen Zahlen".
Nur ist hier der Unterschied, daß alle endlichen Zahlen eine fertige Menge bilden, die nach oben
von der kleinsten transfiniten Cardinalzahl Alef_0 gewissermaßen begrenzt wird.
Die absolute Grenzenlosigkeit der Menge aller Alefs erscheint als Grund der Unmöglichkeit, sie
zu einem Ding für sich zusammenzufassen.
In dem von Ihnen vorgetragenen Beispiele wird aber die Menge aller Alefs als eine "fertige M."
vorausgesetzt und damit löst und erklärt sich der Widerspruch, auf den Sie durch Anwendung
von Sätzen geführt werden, die nur für fertige Mengen bewiesen und gültig sind.
In der Hoffnung bald wieder von Ihnen zu hören, bitte ich Sie, mich Ihrer Gattin, wenn ich Ihr
auch persönlich unbekannt bin, freundlichst zu empfehlen als Ihren
hochachtungsvoll ergebenen
YZ
Die Anfangsbuchstaben der Lösungsnamen, in passende Folge gebracht, ergeben die heute
gebräuchliche Abkürzung für eine weitreichende Indiskretion, die im Wesentlichen einem
seinerzeit avantgarden deutschen Mathematiker zuzuschreiben ist, dessen Initialen auf eine
moderne, progressive und effiziente Hochschulform hinweisen.
[Lösung: X, Y, Z = Hilbert, Georg, Cantor. GCH, die Generalized Continuum Hypothesis wurde
von Felix Hausdorff aufgestellt, dessen Initialen auf die Fachhochschulen (FH) hindeuten.]
14 Das Kalenderblatt 090618
Definiert man die reellen Zahlen in einem streng formalen System, in dem nur endliche
Herleitungen und festgelegte Grundzeichen zugelassen werden, so lassen sich diese reellen
Zahlen gewiß abzählen, weil ja die Formeln und die Herleitungen auf Grund ihrer konstruktiven
Erklärungen abzählbar sind. [Kurt Schütte: "Beweistheorie", Springer (1960)]
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12.PPT#343,8,Folie 8
http://www.amazon.de/Beweistheorie-KurtSch%C3%BCtte/dp/B0000BNKI7/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1286292242&sr=1-1
15 Das Kalenderblatt 090619
In this article, I prove that the cardinality of infinite sets is always aleph. There is a unique
dimension for infinity. I also prove that infinity is always countable. The consequence of this
result is that the continuum is a countable set. This result has several consequences in
Mathematics, Probability and Statistics. It modifies not only our vision of the world, but also that
of modeling in Physics, Economics, Biology and Computer Science, among other fields.
Moreover, it opens the door to new concepts in Philosophy. [Laurent Germain: "The Continuum
is Countable: Infinity is Unique"]
http://arxiv.org/find/math/1/au:+Germain_L/0/1/0/all/0/1
Feferman and Levy showed that one cannot prove that there is any non-denumerable set of real
numbers which can be well ordered. Moreover, they also showed that the statement that the set
of all real numbers is the union of a denumerable set of denumerable sets cannot be refuted.
[Abraham A. Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Levy: "Foundations of Set Theory", North
Holland, Amsterdam (1973) p. 62]
http://www.amazon.de/gp/product/0720422701/ref=sib_rdr_dp
16 Das Kalenderblatt 090620
Vous n'avez pas le droit de nous dire : « Nous nous trompons, c'est vrai, mais vous vous
trompez aussi ». Nous tromper, pour nous, c'est un malheur, un très grand malheur, pour vous
c'est la mort. Ne dites pas non plus : est-ce que l'infaillibilité de l'arithmétique empêche les
erreurs d'addition ; les règles du calcul sont infaillibles, et pourtant on voit se tromper ceux qui
n'appliquent pas ces règles ; mais en revisant leur calcul, on verra tout de suite à quel moment
ils s'en sont écartés. Ici ce n'est pas cela du tout ; les logisticiens ont appliqué leurs règles, et ils
sont tombés dans la contradiction ; et cela est si vrai qu'ils s'apprêtent à changer ces règles et à
« sacrifier la notion de classe ». Pourquoi les changer si elles étaient infaillibles ? [...]
Il n'y a pas d'infini actuel ; les Cantoriens l'ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction.
[Henri Poincaré: "Science et méthode - Livre II, § V"]
http://fr.wikisource.org/wiki/Science_et_m%C3%A9thode/Livre_II
Wissenschaft und Methode, Berlin, Xenomos (1914)
http://www.amazon.de/Wissenschaft-Methode-HenriPoincar%C3%A9/dp/3936532311/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1286292884&sr=1-1
17 Das Kalenderblatt 090621
Most of the debate on the internet about Cantor's Theory is junk. The topic is a crank magnet.
Most of the people who participate in the debate, have no deep understanding of the issues.
However, hidden within all the noise, there does seem to be some signal.
While the pure mathematicians almost unanimously accept Cantor's Theory (with the exception
of a small group of constructivists), there are lots of intelligent people who believe it to be an
absurdity.
Typically, these people are non-experts in pure mathematics, but they are people who have
found mathematics to be of great practical value in science and technology, and who like to view
mathematics itself as a science.
These "anti-Cantorians" see an underlying reality to mathematics, namely, computation. They
tend to accept the idea that the computer can be thought of as a microscope into the world of
computation, and mathematics is the science which studies the phenomena observed through
that microscope. They claim that that paradigm encompasses all of the mathematics which has
the potential to be applied to the task of understanding phenomena in the real world (e.g. in
science and engineering).
Cantor's Theory, if taken seriously, would lead us to believe that while the collection of all
objects in the world of computation is a countable set, and while the collection of all identifiable
abstractions derived from the world of computation is a countable set, there nevertheless "exist"
uncountable sets, implying (again, according to Cantor's logic) the "existence" of a super-infinite
fantasy world having no connection to the underlying reality of mathematics. The anti-Cantorians
see such a belief as an absurdity (in the sense of being disconnected from reality, rather than
merely counter-intuitive).
The mathematicians claim that they can "prove" the existence of uncountable sets, and hence
there's nothing to be debated. But that merely calls into question the nature of "proof". Certainly
infinite sets and power sets exist as absractions. But, abstractions don't necessarily obey exactly
that same laws of logic as directly observable objects. Assuming otherwise can turn abstractions
into fantasies, and proofs into absurdities, and that's the crux of the anti-Cantorian's argument.
The pure mathematicians tend to view mathematics as an art form. They seek to create beautiful
theories, which may happen to be connected to reality, but only by accident. Those who apply
mathematics, tend to view mathematics as a science which explores an objective reality (the
world of computation). In science, truth must have observable implications, and such a "reality
check" would reveal Cantor's Theory to be a pseudoscience; many of the formal theorems in
Cantor's Theory have no observable implications. The artists see the requirement that
mathematical statements must have observable implications as a restriction on their intellectual
freedom.
The "anti-Cantorian" view has been around ever since Cantor introduced his ideas. [...] In the
contemporary mainstream mathematical literature, there is almost no debate over the validity of
Cantor's Theory. [...] It was the advent of the internet which revealed just how prevalent the antiCantorian view still is; there seems to be a never-ending heated debate in the Usenet
newsgroups sci.math and sci.logic over the validity of Cantor's Theory. Typically, the antiCantorians accuse the pure mathematicians of living in a dream world, and the mathematicians
respond by accusing the anti-Cantorians of being imbeciles, idiots and crackpots.
It is plausible that in the future, mathematics will be split into two disciplines - scientific
mathematics (i.e. the science of phenomena observable in the world of computation), and
philosophical mathematics, wherein Cantor's Theory is merely one of many possible formal
"theories" of the infinite.
[David Petry, sci.math, sci.logic, 20 Juli 2005]
http://groups.google.com/group/sci.logic/msg/02ee220b035488f9?dmode=source
18 Das Kalenderblatt 090622
Nun ist aber Husserl, wie ich bestimmt weiß und auch aus seinen hier gehaltenen Vorlesungen
über die Gottesbeweise und gegen den Darwinismus zweifellos hervorgeht, ein Theist und paßt
sowohl aus diesem Grunde ... viel mehr zum Lehrer katholischer Studenten, als die von Prof.
Riehl begünstigten Candidaten. [Cantor an Domkapitular Woker, 30. 11. 1895]
Namentlich scheint es mir, bei dem thatsächlich unzerreißbaren Zusammenhange aller
Facultäten untereinander, nicht gleichgültig zu sein, ob der Ordinarius für Philosophie in der
philosophischen Facultät Theist oder Atheist ist, ob er pro Darwinismo oder contra Darwinismum
wirkt.
Ich meinte keineswegs, daß die theol. Facultät direct für Husserl eintreten möchte, sondern war
der Ansicht, gestützt auf Pfarrer Schwermer's Auskunft über den Einfluß der dortigen theol.
Facultät auf die Regierung, daß es derselben nicht unmöglich wäre, eine private inofficielle
Begünstigung des von mir so warm empfohlenen Candidaten zu üben. [Cantor an Domkapitular
Woker, 15. 12. 1895]
Im Besitz Ihrer Postkarte v. 10. Jan. ersehe ich daraus, daß es Ihnen willkommen wäre,
Informationen zu erhalten über diejenigen Candidaten, welche momentan die betreffende
Commission Ihrer philos. Facultät beschäftigen. Es sind dies, soweit die mir zugegangenen
Berichte lauten, folgende:
1. SIEBECK in Gießen (1842)
2. AVENARIUS in Zürich (1843)
3. EUCKEN in Jena (1846)
4. NATORP in Marburg (1854)
5. SPITZER in Graz (1854)
6. GROSS in Gießen (1861)
7. BUSSE in Marburg (1862)
So sehr ich Ihnen in Bezug auf meinen jungen Freund HUSSERL, (geb. 1859) den Standpunct
des Tolerari posse empfehlen konnte, muß ich bei jenen sieben Namen meine großen
Bedenken in Folgendem zum Ausdruck bringen. [...] Ad. 5. Hat zu Anfang der Jahre ein Buch
über Darwinismus, seitdem nichts andres geschrieben. Ist vermuthlich Jude und radikal liberal in
jeder Beziehung. [Cantor an Heiner, 11. 1. 1896]
Es fragt sich nun, ob sie den eigentlichen Zweck wird erreichen können, nämlich die völlige
Vernichtung des Lebensprincips der Freimaurerei in allen ihren Schattirungen. Dieser Zweck ist
es aber, warum ich diesen Drachen bis in das Centrum seines schwarzblütigen Herzens hinein
genau untersucht und studiert habe, wobei ich glaube, von Gottes Gnade geleitet und
begünstigt worden zu sein. [Cantor an Hermite, 11. 2. 1896]
19 Das Kalenderbatt 090623
Cantor sah die Reihe seiner Alefs als „etwas Heiliges" an, als „die Stufen, die zum Throne
Gottes emporführen". [(Kowalewski: "Bestand und Wandel", München (1950) p. 201]
Und da das vor den König zu Ninive kam, stand er auf von seinem Thron und legte seinen
Purpur ab und hüllte einen Sack um sich und setzte sich in die Asche. [Jona 3,6]
Für Cantor war die transfinite Mengenlehre eine mathematische Repräsentation der göttlichen
Idee unendlicher Zahlen [ ..] Dieser ontologischen Begründung [...] war die Tatsache, daß etwa
die Folge aller Ordinalzahlen, die ja per definitionem alle Unendlichkeiten enthalten müsste, ein
widersprüchlicher Begriff war, gewissermaßen eine Bestätigung dafür, daß alle Unendlichkeiten
nicht Gegenstand des menschlichen Forschens und damit auch nicht der Mathematik sein
können. [W. Purkert, H.-J. Ilgauds: "Georg Cantor 1845-1918", Birkhäuser, Basel (1987) p. 156]
Forschet nicht, auf daß ihr das Gewissen verschonet. [1. Korinther 10,25]
Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, daß die Widerspruchsfreiheit der
Mathematik nicht mathematisch bewiesen werden kann. Wir können also niemals ausschließen,
daß es zwei sich widersprechende mathematische Aussagen gibt, die beide mathematisch
korrekt bewiesen werden können. (Wir glauben fest und unerschütterlich daran, daß es zwei
derartige Aussagen nicht gibt.) [Mathematisches Institut der Universität Bonn, Abteilung für
Grundlagenforschung der Mathematik, Mengenlehre, basierend auf Vorlesungen von Prof. Peter
Koepke ausgearbeitet von Manfred Burghardt, Bonn 1996, p. 3]
http://www.math.uni-bonn.de/people/logic/teaching/2002WS/skript_1.pdf
Unser Glaube ist der Sieg, der die Welt überwunden hat. [1. Johannes 5,4]
Weiter, liebe Brüder, betet für uns, daß das Wort des Herrn laufe und gepriesen werde wie bei
euch, und daß wir erlöst werden von den unverständigen und argen Menschen. Denn der
Glaube ist nicht jedermanns Ding. [2 Thessalonicher 3,1&2]
20 Das Kalenderblatt 090624
Die Methode der paarweisen Zuordnung von Elementen und die Projektion von Punkten setzen
voraus, dass bereits ausgewählt ist, was zugeordnet oder projiziert werden soll. Sie sagen nichts
darüber aus, wie diese Auswahl zustande kam, aus welcher Menge eine Teilmenge ausgewählt
wurde oder welche Abstände zwischen den ausgewählten Punkten liegen. Dort aber wo es
gerade darauf ankommt, solche Aussagen zu machen oder sie explizit oder implizit
mitzubenutzen, ist die Methode der Auswahl in die Beweisführung miteinzubeziehen. Zudem ist
zu beachten, dass diese Methoden keine Möglichkeit eröffnen, um infinite Prozesse in finite
Prozesse zu überführen und unendliche Mengen als vollendetes Ganzes aufzufassen. Aber nur
wo eine Methode zu einem Ende führt, führt sie zu einem Resultat und lässt die Feststellung zu,
dass alles erfasst ist. Lässt sich die Zuordnung, die Auswahl oder Projektion nicht zu Ende
führen, führt sie zu keinem Ergebnis, sondern nur zur tautologischen Feststellung, dass sie
endlos, unendlich ist. Ein Abbruch des Verfahrens ergibt kein Resultat, sondern trivialerweise
den Stand bei Verfahrensabbruch.
Damit ist Cantors Beweis der Existenz von überabzählbaren unendlichen Mengen und von
verschiedenen transfiniten Kardinalzahlen mittels Diagonalverfahren widerlegt und das Paradies
Hilberts verloren. [Norbert Domeisen: "Der Zauber Cantors oder das verlorene Paradies Philosophische Bemerkungen zum Unendlichen in der Mathematik"]
http://www.homepage.bluewin.ch/textarchiv/Logik/Infinitus.html
21 Das Kalenderblatt 090625
Brouwer made it clear, as I think beyond any doubt, that there is no evidence supporting the
belief in the existential character of the totality of all natural numbers, and hence the principle of
excluded middle in the form "Either there is a number of the given property g, or all numbers
have the property ~g" is without foundation. [...] The sequence of numbers which grows beyond
any stage already reached by passing to the next number, is a manifold of possibilities open
towards infinity; it remains forever in the status of creation, but is not a closed realm of things
existing in themselves. That we blindly converted one into the other is the true source of our
difficulties, including the antinomies - a source of more fundamental nature than Russell's
vicious circle principle indicated ["No totality can contain members defined in terms of itself"].
Brouwer opened our eyes and made us see how far classical mathematics, nourished by a
belief in the "absolute" that transcends all human possibilities of realization, goes beyond such
statements as can claim real meaning and truth founded on evidence. According to this view
and reading of history, classical logic was abstracted from the mathematics of finite sets and
their subsets. (The word finite is here to be taken in the precise sense that the members of such
set are explicitly exhibited one by one.) Forgetful of this limited origin, one afterwards mistook
that logic for something above and prior to all mathematics, and finally applied it, without
justification, to the mathematics of infinite sets. This is the Fall and Original sin of set theory
even if no paradoxes result from it. Not that contradictions showed up is surprising, but that they
showed up at such a late stage of the game!
[Hermann Weyl: "Mathematics and logic: A brief survey serving as a preface to a review of The
Philosophy of Bertrand Russell", American Mathematical Monthly 53 (1946) 2-13 ]
[Komaravolu Chandrasekharan: "Hermann Weyl, Gesammelte Abhandlungen, Band IV",
Springer (1968) p. 275f]
http://books.google.de/books?id=lNPriL6kG7AC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
Gödel takes the paradoxes very seriously; they reveal to him "the amazing fact that our logical
intuitions are self-contradictory." This attitude toward the paradoxes is of course at complete
variance with the view of Brouwer who blames the paradoxes not on some transcendental
logical intuition which deceives us, but on a gross error inadvertently committed in the passage
from finite to infinite sets. I confess that in this respect I remain steadfastly on the side
of Brouwer.
[H. Weyl: "Philosophy of Mathematics and Natural Science", Princeton, 1949]
[Komaravolu Chandrasekharan: "Hermann Weyl, Gesammelte Abhandlungen, Band IV",
Springer (1968) p. 602]
[Hermann Weyl: "Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft", Oldenbourg, 8. Aufl.
(2009)]
http://www.oldenbourgwissenschaftsverlag.de/olb/de/1.c.325917.de?_suche%5Bmode%5D=einfach&sv%5Bolb_vt%5
D=Weyl
22 Das Kalenderblatt 090626
Die konstruktivistische Grundlagenkritik hat [...] zweierlei bemängelt. Einmal sei es nicht
zulässig, von vorne herein zu unterstellen, dass es sich bei der Gesamtheit der reellen Zahlen
um eine Menge handle (ein Einwand, den wir wegen des Fehlens einer diese Menge
darstellende Aussageform schon aufgrund unserer früheren Betrachtungen nachvollziehen
können). Ja, mehr noch: Macht man diese unbegründete Voraussetzung, so erscheint die
Konstruktion der Dualfolge d* (durch die Definition der Glieder als dk ¨ 1 – bkk) als unzulässiger
Vorgriff auf Konstruktionsmittel, die noch gar nicht zur Verfügung stehen: die Definition der
Dualfolge d* bezieht sich ja, da diese Konstruktion an allen Stellen, also für alle bkk,
vorgenommen werden soll, auf die Gesamtheit aller Dualfolgen, der ja d* als unendliche
Dualfolge auch selbst angehört. Dann ist die angegebene spezielle Konstruktionsanweisung
aber sogar widersprüchlich, da sie nichts anderes folgert, als eine Dualfolge zu konstruieren, die
von allen Dualfolgen verschieden ist, also insbesondere von sich selbst. Dieser Widerspruch
freilich stellt nun ebenso die Annahme des Vorliegens einer Menge aller Dualfolgen in Frage wie
die Annahme ihrer Abzählbarkeit.
[Christian Thiel: "Philosophie und Mathematik", Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt
(1995) p.197f.]
http://www.amazon.de/Philosophie-Mathematik-Einf%C3%BChrung-WechselwirkungenMathematik/dp/3534059905/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1286454709&sr=1-1
23 Das Kalenderblatt 090627
The main part of the paper is devoted to show that the real numbers are denumerable. The
explicit denumerable sequence that contains all real numbers will be given. The general element
that generates the sequence will be written as well as the first few elements of that sequence.
That there is one-to-one correspondence between the real numbers and the elements of the
explicitly written sequence will be proven by the three independent proofs. [...] It is also proven
that the Cantor’s 1873 proof of non denumerability is not correct since it implicates non
denumerability of rational numbers. In addition it is proven that the numbers generated by the
diagonal procedure in Cantor’s 1891 proof are not different from the numbers in the assumed
denumerable set. [Slavica Vlahovica and Branislav Vlahovic: "Countability of the Real Numbers"]
arXiv:math.NT/0403169 v1 10 Mar 2004
24 Das Kalenderblatt 090628
The author [A. A. Fraenkel] is well known for his research in set theory as well as his published
textbooks in this subject. He has previously written the book "Einleitung in die Mengenlehre"
which appeared in three editions. The last edition which was published in 1928 was reprinted in
New York in 1946. Whereas "Einleitung in die Mengenlehre" contained an exposition of classical
set theory as well as a survey of modern theoretical research in the foundations of mathematics,
Fraenkel has now decided to write the present book as an account of the classical theory only.
The modern aspects of foundation theory will be discussed in another book under the title
"Foundations of Set Theory" which is due to appear about 1955. Presumably, the reason for this
division of the contents of "Einleitung in die Mengenlehre" into two different books is that the
subject matter has grown too large. The reviewer, however, is not enthusiastic about this division
since such a textbook as the present one will be read primarily by students and they might form
the impression that classical set theory is securely founded just as other parts of mathematics,
e.g. arithmetic. Such an impression would, however, be misleading. If it were not so, we could
omit the entire modern foundational research without real loss to mathematics. To the reviewer it
seems unfortunate that classical set theory is developed in a separate book so that all scruples or almost all of them - are reserved for the second volume. This might have the effect that most
readers of this present volume will probably not become acquainted with the criticisms at all. It is
true that some hints to such scruples are given, but most students might not think that they are
important. On the other hand, it must be conceded that the lack of knowledge of the results of
foundational research will not mean much to mathematicians who are not especially interested in
the logical development of mathematics. [Th. Skolem: "Review of: A. A. Fraenkel : Abstract Set
Theory. Amsterdam & Groningen, North-Holland Publishing Company, 1953. XII + 479 pp."
Mathematica Skandinavica 1 (1953) 313.]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=179577
25 Das Kalenderblatt 090629
Aristoteles unterscheidet als erster das Potentiell-Unendliche vom Aktual-Unendlichen - und
verbannt das Aktual-Unendliche aus der Philosophie und Mathematik. Der Gedanke der
Unendlichkeit Gottes, der aus dem Hellenismus stammt, verbindet sich - spätestens bei Thomas
- mit der von Aristoteles postulierten reinen Aktualität Gottes. So entsteht die christliche
Auffassung Gottes als aktualer Unendlichkeit. In der Renaissance, besonders bei Bruno,
überträgt sich die aktuale Unendlichkeit von Gott auf die Welt, Die endlichen Weltmodelle der
gegenwärtigen Naturwissenschaft zeigen deutlich, wie diese Herrschaft des Gedankens einer
aktualen Unendlichkeit mit der klassischen (neuzeitlichen) Physik zu Ende gegangen ist.
Befremdlich wirkt dem gegenüber die Einbeziehung des Aktual-Unendlichen in die Mathematik,
die explizit erst gegen Ende des vorigen Jahrhunderts mit G. Cantor begann. Im geistigen
Gesamtbilde unseres Jahrhunderts - insbesondere bei Berücksichtigung des existenzialistischen
Philosophierens - wirkt das Aktual-Unendliche geradezu anachronistisch. [...]
Der radikale Unterschied, der zwischen endlichen und unendlichen Dezimalbrüchen besteht,
wird von vornherein verwischt. Einen endlichen Dezimalbruch kann man hinschreiben, einen
unendlichen niemals. Von einer Aufeinanderfolge unendlich vieler Ziffern zu reden, ist also wenn es nicht überhaupt Unsinn ist - zumindest ein großes Wagnis. Hierüber wird im
mathematischen Unterricht zur Zeit aber meist kein Wort verloren. Es ist diese in der modernen
Mathematik seit dem 17. Jahrhundert latente Aktualunendlichkeit der reellen Zahlen, die mit
Cantor erstmalig völlig ans Licht tritt - und auf sie ist die gegenwärtige Anerkennung der
Cantorschen Unendlichkeitsauffassung zurückzuführen. [Paul Lorenzen: Das Aktual-Unendliche
in der Mathematik. Philosophia naturalis 4 (1957) 3-11]
http://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/ulorenze.htm#Das Aktual-Unendliche in der
Mathematik
26 Das Kalenderblatt 090630
An die Herren Geheimrat Hilbert und Prof. Dr. Cantor: Ich lasse mich entschuldigen. Euer
Paradies ist ein Paradies von Narren und mutet eher nach Hölle an.
Es gibt den berühmten Ausspruch von David Hilbert: "Aus dem Paradies, das Cantor uns
geschaffen, soll uns niemand vertreiben können."
Keine Sorge, lieber David und lieber Georg, ich versuche nicht, Euch rauszuschmeißen. Aber es
wird nicht mehr ganz so viel Spaß machen, denn Ihr werdet Euch nicht meiner Gesellschaft
erfreuen können. Ich gehe aus freien Stücken.
Viele Jahre lang habe ich auf dem Zaun gesessen. Ich wusste, es war ein Paradies der Narren,
aber was soll's? Wir Menschen sind alberne Geschöpfe, und es schadet niemandem, wenn wir
die Kunde verbreiten, dass ¡0, ¡1 usw. unabhängige Existenz besitzen. Zugegeben, einige
große Geister wie Gödel waren fanatische Platonisten und glaubten, dass unendliche Mengen
unabhängig von uns existieren. Doch wenn wir uns auf berühmte Namen verlassen wollten,
dann hätten wir die Wahrheit von Astrologie und Alchemie zu akzeptieren, aus dem Grunde,
weil Newton und Kepler sie billigten. Ein ebenso großer Mengentheoretiker, Paul Cohen, wusste
dass es nur ein Spiel mit Axiomen ist. Mit anderen Worten, Cohen ist ein echter Formalist,
während Hilbert den Formalismus nur als rhetorische Waffe gegen den Intuitionismus
gebrauchte und tief in seinem Herzen wirklich glaubte, das Paradies sei real.
Mein Entschluss fiel vor ungefähr einem Monat, während eines wundervollen Vortrags
(anlässlich der INTEGERS 2005 Konferenz zu Ehren von Ron Grahams siebzigsten
Geburtstag), den der (noch nicht graduierte) MIT-Student Jacob Fox gehalten hat (von dem wir
sicher in den nächsten Jahren noch einiges hören werden). Er führte einen Meta-Beweis, dass
eine extrem konkrete Frage zur Färbung von Punkten in einer Ebene zwei vollkommen
verschiedene Antworten besitzt (ich glaube es war 3 und 4), je nachdem, welche Axiome der
Mengenlehre man benutzt. Was ist die richtige Antwort?, 3 oder 4? Natürlich keine von beiden!
Die Frage war von Anfang an sinnlos, weil über die unendliche Ebene gesprochen wird, und
unendlich ist genau so fiktional (tatsächlich noch viel mehr) wie weiße Einhörner. Oft geht es
gut, und man erhält scheinbar vernünftige Antworten, aber wie Jacob Fox' Beispiel zeigt, sind
das Zufallstreffer.
Es ist wahr, das Hilbert-Cantor Paradies war lange Jahre praktisch notwendig, weil die
Menschen keine Computer zur Hilfe hatten. Deshalb waren viele kombinatorische Probleme
außer Reichweite, und sie mussten mogeln und abstrakten Unsinn benutzen, den Paul Gordan
zu Recht als Theologie kritisierte. Aber Hurra!, nun besitzen wir Computer, und die Kombinatorik
ist so weit fortgeschritten. Es gibt eine Menge an herausfordernden finiten Problemen die genau
so viel Spaß machen (in meinen Augen sogar viel mehr Spaß) und uns beschäftigen.
Aber keine Angst, Ihr Infinitarier in der Welt. Ihr mögt gern in Eurem Paradies der Narren
bleiben. Vieles von dem, was Ihr tut, ist ja auch interessant, denn wenn Ihr den semantischen
Unsinn weglasst, dann habt Ihr wunderschöne kombinatorische Strukturen, wie John Conways
surreale Zahlen, die mit "infiniten" Ordinalzahlen (und noch vielem darüber hinaus) fertig
werden. Aber Conway zeigte sehr genau (buchstäblich!) dass es "nur" ein (endliches!) Spiel ist.
Ihr mögt zwar gern in Eurem Cantor-Paradies bleiben, aber mancher überlegt sich vielleicht
doch, in meine Art von Paradies zu wechseln, das der finiten Kombinatorik. Ich will niemanden
beleidigen, aber der meiste Kram der Infinitarier ist so langweilig, und der Bourbakische
abstrakte Unsinn hat doch so einen bitteren Geschmack, dass es eher nach Hölle anmutet.
Aber auch wenn Ihr bei Cantor und Hilbert bleiben wollt, werde ich weiter mit Euch sprechen.
Schließlich ist der Verzehr von Fleisch noch alberner als der Glaube an das (aktual) Unendliche
– trotzdem spreche ich mit Fleisch fressenden Geschöpfen (und bin sogar mit einem
verheiratet). [Doron Zeilberger: "Opinion 68" (2005)]
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion68.html
27 Das Kalenderblatt 090701
Alexander Zenkin: OPEN LETTER (1. Teil)
TO: The Bulletin of Symbolic Logic
CC: The International Mathematical Union
Dear Professor Blass,
As you certainly guessed, the question is not only about a publication of my comments "Whether
the Lord Exists in G. Cantor's Transfinite 'Paradise'" to the scandally-known, quasi-"pedagogical"
W. Hodges' paper "An Editor Recalls Some Hopeless Papers" [...] in your BSL-journal. The
question is about much more important problems. I believe that BSL-papers like the W. Hodges'
one are a dangerous phenomenon from scientific, educational, and social points of view. There
are the following reasons to state that.
1. The main conclusion of the W. Hodges' paper that "there is nothing wrong with Cantor's
argument" is wrong fundamentally and therefore, having been proclaimed in the BSL, such a
conclusion disorients a wide scientific community (pedagogical, mathematical, logical,
philosophical, cognitive psychological, etc. ones) as to one of the most important problems of
the humankind culture as a whole - the problem on the veritable nature of Infinity.
2. The high symbolic logic level of the BSL-publications is a recognized standard of a metamathematical thinking and an attractive pattern for young generations of meta-mathematicians
and symbolic logicians. However a one-sided publishing BSL-policy (not to publish points of view
differing from the traditional set theoretical opinion) deprives the young generation of the
democratic right to make independently its own scientific choice between two historical,
contradictory points of view as to the true nature of Infinity: i.e., between the today traditional
Cantor's and all modern axiomatic set theory's opinion, on the one hand, and the opinion of
Aristotle, Leibniz, Kant, Gauss, Cauchy, Kronecker, Hermite, Poincare, Bair, Borel, Brouwer,
Wittgenstein, Weil, Luzin, Quine, and today - Sol. Feferman, Ja. Peregrin, V. Turchin, P.
Vopenka, etc. [...]
3. One of the most important reasons for my flat objection against the W. Hodges' and similar
meta-mathematical papers is their deforming influence on mathematical education and their
dangerous social consequences as a whole. As far back as the middle of 50s of the XX century,
the outstanding American mathematician, John von Neumann [...] warned: "Too much
formalization and symbolization in the theory of mathematics is dangerous for the healthy
development of the science of mathematics".
Fortsetzung folgt.
28 Das Kalenderblatt 090702
Alexander Zenkin: OPEN LETTER (2. Teil)
In the beginning of the 60s, a large group (about 75) of outstanding mathematicians of America
and Canada (including Richard Bellman of Rand Corporation, Richard Courant of New York
University, Н.О. Pollak of Bell Telephone Laboratories, George Polya of Stanford University,
Andre Weil of Institute for Advanced Study, and others) tried to attract attention of mathematical
community to the same problem - to the danger to provoke a stable disgust of pupils, students
and their parents (who, by the way, are today's Presidents, Government-men, Congressmen,
Government ministers, etc.) to mathematics by means of a premature, excessive, deterrent, and
simply thoughtless formalization of mathematical education.
In their known Memorandum "ON ТНЕ MATHEMATICS CURRICULUM OF THE HIGH
SCHOOL" (American Mathematical Monthly, 1962, March, 189-193) they, in particular, wrote.
"It would [...] bе а tragedy if the curriculum reform [...] should be misdirected and the golden
opportunity wasted. There are, unfortunately, factors and forces in the current scene which may
lead us astray. [...] premature formalization may lead to sterility; premature introduction of
abstractions meets resistance especially from critical minds who, before accepting an
abstraction, wish to know why it is relevant and how it could be used.
In its cultural significance as well as in its practical use, mathematics is linked to the other
sciences and the other sciences are linked to mathematics, which is their language and their
essential instrument. Mathematics separated from the other sciences loses one of its most
important sources of interest and motivation. [...]
We wish especially that the new curricula should reflect more the connection between
mathematics and science and carefully heed the distinction between matters logically prior and
matters which should have priority in teaching. Only in this way can we hope that the basic
values of mathematics, its real meaning, purpose, and usefulness will be made accessible to all
students [...]"
In conclusion, they again accentuate and expressed their "concern about а trend to excessive
emphasis on abstraction in the teaching of mathematics"
As the posterior history showed, this very serious, very anxious, and high professional warning
of outstanding mathematicians of the middle of the XX c. as to the danger of the "excessive
formalization and symbolization of mathematical education" was not heard.
Fortsetzung folgt.
29 Das Kalenderblatt 090703
Alexander Zenkin: OPEN LETTER (3. Teil)
Today the situation is further aggravated. The Vice-President of the International Mathematical
Union, Academician of the Russian Academy of Sciences, outstanding mathematician and
mathematical educator, professor Vladimir I. Arnold of Steklov Mathematical Institute (Moscow)
in his numerous papers of the last decade again tries hard to attract attention of mathematicians
and educational community to the catastrophic situation in modern mathematics and
mathematical education. The main reason is the same one – a (today already) global superformalization or, using his term, “bourbakization” [...] of the modern mathematics as a whole
(see, e.g., V.I. Arnold, "International Mathematical Congress in Berlin." [...])
“Our brain, - writes Arnold, - has two halves: one <the left-hemisphere> is responsible for the
multiplication of polynomials and languages <i.e., for the abstract, formal, rational thinking>, and
the other half <the right-hemisphere> is responsible for orientation of figures in space and all the
things important in real life <i.e., for the intuitive, visual, creative thinking>. Mathematics is
geometry when you have to use both halves.
In the middle of the XX Century, a [...] mafia of “left-hemispheric” mathematicians could exclude
geometry from mathematical education (firstly in France, and then in other countries), replaced
all informal aspects of this discipline by a training in a formal manipulation with abstract “notions”
<i.e., with empty names, terms, symbols, etc.>. All geometry, and consequently all connection of
mathematics with the real world and with other sciences was excluded from mathematical
education.
Such the “abstract” description of mathematics is unfit neither for education, nor for any practical
applications.
…Compelling miserable schoolboys/girls to learn such <formalized mathematics>, “lefthemispherical criminals” created a modern distinctly negative attitude of society and
governments to mathematics.
…The aversion to mathematics which government ministers, exposed to such the experience of
such the education in school, have is a healthy and valid reaction. Unfortunately, this their
disgust spreads on all mathematics without exclusions, and that can kill it as a whole”.
... these “left-hemispherical invalids” were able to cultivate whole generations of mathematicians
that don’t understand any other approach to mathematics and are able only to teach next
generations by the same way.
… It is awful to think what kind of pressure the Bourbakists put on (evidently nonsilly) students to
reduce them to formal machines! This kind of formalized education is completely useless for any
practical problem and even dangerous, leading to Chernobyl-type accidents. [...]
… Modern formalized (bourbakized) education in mathematics is an exact antithesis for teaching
the critical thinking and the true scientific foundations of mathematics. Such the mathematical
education is dangerous for a humankind as a whole”.
Schluss folgt.
30 Das Kalenderblatt 090704
Alexander Zenkin: OPEN LETTER (Schluss)
The “clinical” picture of the “bourbakism” drawn by Prof. Arnold verily can be called a mental
Acquired Immunodeficiency Syndrome of brain, i.e., shortly a MENTAL-AIDS. As an experience
testifies, the MENTAL-AIDS is a very infectious illness which affects especially easy an
unprotected kid’s brain, unfortunately, without any perspective to get well: as far back as XVIII c.
the great English philosopher G. Berkeley said that "a human-being mind, immersed in high
level abstractions from a young age, loses an adequate perception of the real world to its adult
age".
I shouldn't be surprised if many parents of modern schoolboys/girls and students would like to
bring an action against modern Cantorians and their official "scientific" communities and journals
because of their deliberate cultivation and propagation of such the dreadful infectious social
disease as that MENTAL-AIDS.
However that may be, today, in the very beginning of the XXI Century, we have a much more
painful diagnosis concerning prospects of modern mathematics and mathematical education.
I state and can prove that the main historical source of this dangerous social illness is just the
modern cantorianism with its pure abstract, ambitious transfinite constructions with an empty
ontology, based upon the only Cantor's theorem on the uncountability of real numbers. [...]
I am sure that there is a lot of judicious mathematicians and simply provident parents of future
mathematicians of genius who would not like that their children became "formal machines" used
to execute criminal, terroristic, anti-human "deductive" plans. I hope to have their active support.
Nobody, including the BSL-team, will save the Cantor's transfinite "paradise".
Sincerely yours,
Alexander Zenkin [...]
P.S.1. I have attentively read the enclosed BSL-reviewer's report [...] and regret too that the
report reviewer distorted the sense of the Comments-1 deliberately, high professionally and
fundamentally, and misled you and the mathematical and symbolic logic community as to
the important problems touched upon in the Comments-1. [...]
P.S.2. [...] my system VISAD (for VISual Anaysis of Data), based on the Cognitive Computer
Graphics (CCG) conception, has fulfilled a comparative analysis of CCG-images of the W.
Hodges' paper text and the anonymous BSL-reviewer's report text and has established that the
both authors are the same face <are as like as two peas>. - It is quite interesting result from the
professional scientific ethics point of view, is not so?
http://www.ccas.ru/alexzen/papers/OPEN_LETTER-2_to_the_BSL.doc
31 Das Kalenderblatt 090705
Modern mathematics as religion
[...] Most (but not all) of the difficulties of Set Theory arise from the insistence that there exist
'infinite sets', and that it is the job of mathematics to study them and use them.
In perpetuating these notions, modern mathematics takes on many of the aspects of a religion. It
has its essential creed---namely Set Theory, and its unquestioned assumptions, namely that
mathematics is based on 'Axioms', in particular the Zermelo-Fraenkel 'Axioms of Set Theory'. It
has its anointed priesthood, the logicians, who specialize in studying the foundations of
mathematics, a supposedly deep and difficult subject that requires years of devotion to master.
Other mathematicians learn to invoke the official mantras when questioned by outsiders, but
have only a hazy view about how the elementary aspects of the subject hang together logically.
Training of the young is like that in secret societies---immersion in the cult involves intensive
undergraduate memorization of the standard thoughts before they are properly understood, so
that comprehension often follows belief instead of the other (more healthy) way around. A long
and often painful graduate school apprenticeship keeps the cadet busy jumping through the
many required hoops, discourages critical thought about the foundations of the subject, but then
gradually yields to the gentle acceptance and support of the brotherhood. The ever-present
demons of inadequacy, failure and banishment are however never far from view, ensuring that
most stay on the well-trodden path. The large international conferences let the fellowship gather
together and congratulate themselves on the uniformity and sanity of their world view, though to
the rare outsider that sneaks into such events the proceedings no doubt seem characterized by
jargon, mutual incomprehensibility and irrelevance to the outside world. The official doctrine is
that all views and opinions are valued if they contain truth, and that ultimately only elegance and
utility decide what gets studied. The reality is less ennobling---the usual hierarchical structures
reward allegiance, conformity and technical mastery of the doctrines, elevate the interests of the
powerful, and discourage dissent. There is no evil intent or ugly conspiracy here---the practice is
held in place by a mixture of well-meaning effort, inertia and self-interest. We humans have a
fondness for believing what those around us do, and a willingness to mold our intellectual
constructs to support those hypotheses which justify our habits and make us feel good. [N J
Wildberger: "Set Theory: Should You Believe?"]
http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/views2.htm
32 Das Kalenderblatt 090706
Does mathematics require axioms?
Occasionally logicians inquire as to whether the current 'Axioms' need to be changed further, or
augmented. The more fundamental question---whether mathematics requires any Axioms ---is
not up for discussion. That would be like trying to get the high priests on the island of Okineyab
to consider not whether the Divine Ompah's Holy Phoenix has twelve or thirteen colours in her
tail (a fascinating question on which entire tomes have been written), but rather whether the
Divine Ompah exists at all. Ask that question, and icy stares are what you have to expect, then
it's off to the dungeons, mate, for a bit of retraining.
Mathematics does not require 'Axioms'. The job of a pure mathematician is not to build some
elaborate castle in the sky, and to proclaim that it stands up on the strength of some arbitrarily
chosen assumptions. The job is to investigate the mathematical reality of the world in which we
live. For this, no assumptions are necessary. Careful observation is necessary, clear definitions
are necessary, and correct use of language and logic are necessary. But at no point does one
need to start invoking the existence of objects or procedures that we cannot see, specify, or
implement.
The difficulty with the current reliance on 'Axioms' arises from a grammatical confusion [...]
People use the term `Axiom' when often they really mean definition. Thus the 'axioms' of group
theory are in fact just definitions. We say exactly what we mean by a group, that's all.
[..] Euclid may have called certain of his initial statements Axioms, but he had something else in
mind. Euclid had a lot of geometrical facts which he wanted to organize as best as he could into
a logical framework. Many decisions had to be made as to a convenient order of presentation.
He rightfully decided that simpler and more basic facts should appear before complicated and
difficult ones. So he contrived to organize things in a linear way, with most Propositions following
from previous ones by logical reasoning alone, with the exception of certain initial statements
that were taken to be self-evident. To Euclid, an Axiom was a fact that was sufficiently obvious to
not require a proof. This is a quite different meaning to the use of the term today. Those
formalists who claim that they are following in Euclid's illustrious footsteps by casting
mathematics as a game played with symbols which are not given meaning are misrepresenting
the situation.
[...] And yes, all right, the Continuum hypothesis doesn't really need to be true or false, but is
allowed to hover in some no-man's land, falling one way or the other depending on what you
believe. Cohen's proof of the independence of the Continuum hypothesis from the 'Axioms'
should have been the long overdue wake-up call. In ordinary mathematics, statements are either
true, false, or they don't make sense. If you have an elaborate theory of 'hierarchies upon
hierarchies of infinite sets', in which you cannot even in principle decide whether there is
anything between the first and second 'infinity' on your list, then it's time to admit that you are no
longer doing mathematics.
Whenever discussions about the foundations of mathematics arise, we pay lip service to the
'Axioms' of Zermelo-Fraenkel, but do we ever use them? Hardly ever. With the notable exception
of the 'Axiom of Choice', I bet that fewer than 5% of mathematicians have ever employed even
one of these 'Axioms' explicitly in their published work. The average mathematician probably
can't even remember the 'Axioms'. I think I am typical---in two weeks time I'll have retired them
to their usual spot in some distant ballpark of my memory, mostly beyond recall. [...] Do you
really think you need to have all the natural numbers together in a set to define the function on
natural numbers? Of course not---the rule itself, together with the specification of the kinds of
objects it inputs and outputs is enough. As computer scientists already know. [N J Wildberger:
"Set Theory: Should You Believe?"]
http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/views2.htm
33 Das Kalenderblatt 090707
Den folgenden Tag hatte er damit begonnen, dem Rê-Horachte ein Opfer von Brot und Bier,
Wein, Vögeln und Weihrauch darzubringen, hatte danach den Wesir des Nordens angehört, der
lange vor ihm redete, und dann, der Kopfschmerzen ungeachtet, die er sich dabei zugezogen,
den ganzen Rest des Tages den ersehnten Gesprächen mit Hausbetretern des Gottes
gewidmet. Der Hauptgegenstand dieser Beratungen, der Amenhotep gerade damals tief
beschäftigte, war der Vogel Bennu gewesen, auch >Sproß des Feuers< genannt, weil es hieß,
daß er mutterlos und eigentlich auch sein eigener Vater sei, da Sterben und Entstehen für ihn
dasselbe seien, indem er sich nämlich in seinem Nest aus Myrrhen verbrenne und aus der
Asche als junger Bennu wieder hervorgehe. Dies geschehe, behaupteten einige Lehrer, alle
fünfhundert Jahre, und zwar im Sonnentempel zu On, woselbst der Vogel, der seiner Gestalt
nach ein reiherähnlicher Adler und golden-purpurn von Farbe sein sollte, von Osten her, aus
Arabien oder auch Indien kommend, zu diesem Geschäft sich einfinde. Andere aber wollten
wissen, er bringe ein Ei dorthin, aus Myrrhen gemacht und so groß er es tragen könne, worin er
seinen verstorbenen Vater, also eigentlich sich selbst, verschlossen habe, und lege es auf den
Sonnenaltar nieder. Diese beiden Aussagen mochten nebeneinander bestehen - es besteht so
vieles nebeneinander, und verschiedene Dinge mögen gleich wahr und nur verschiedene
Ausdrucksformen derselben Wahrheit sein. Was aber Pharao erstens zu wissen oder was er
doch zu erörtern wünschte, war, wie weit die Zeitperiode von fünfhundert Jahren, die zwischen
den Geburten und Ei-Niederlegungen des Feuersprossen lag, wohl vorgeschritten sei, und wie
weit man sich also von seinem letzten Eintreffen einerseits und von seiner nächsten Ankunft
andererseits befinde, kurz, an welchem Punkte des Phönix-Jahres man halte. Die Meinung der
Priester ging überwiegend dahin, daß man ungefähr in der Mitte des Zeitraums schweben
müsse; denn wenn man noch nahe an seinem Anfange stände, so müßte eine Erinnerung an
das letzte Erscheinen Bennu's vorhanden sein, was nicht der Fall sei. Befände man sich aber
nahe dem Ende und Wiederbeginn der Periode, so müßte mit der nahen oder gar unmittelbar
bevorstehenden Rückkehr des Zeitvogels zu rechnen sein. Man rechne aber nicht damit, zu
eigenen Lebzeiten diese Erfahrung zu machen, und darum sei jener Mittel-Schluß geboten. Ja,
einige gingen so weit, zu vermuten, man werde allezeit in der Mittelschwebe verharren, und das
Geheimnis bestehe eben darin, daß der Abstand von der letzten Wiederkehr des Phönix
einerseits und seiner nächsten andererseits immer derselbe und immer ein mittlerer sei.
[Thomas Mann: "Joseph und seine Brüder", S. Fischer Verlag, 63. – 67. Tausend (1976) 1030.]
34 Das Kalenderblatt 090708
Why real numbers are a joke
According to the status quo, the continuum is properly modelled by the 'real numbers'. What is a
real number? Let's start with an easier question: What is a rational number? Here comes set
theory to our aid. It is, according to some accounts, nothing but an equivalence class of ordered
pairs of integers. Thus when my six year old daughter uses the fraction what she is really doing
is using the 'equivalence class' [...] Sequences generated by algorithms can be specified by
those algorithms, but what possibly could it mean to discuss a 'sequence' which is not generated
by such a finite rule? Such an object would contain an 'infinite amount' of information, and there
are no concrete examples of such things in the known universe. This is metaphysics
masquerading as mathematics. [N J Wildberger: "Set Theory: Should You Believe?"]
http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/views2.htm
35 Das Kalenderblatt 090709
Already during Cantor’s life time, the reception of his ideas was more like that of new trends in
the art, such as impressionism or atonality, than that of new scientific theories. It was highly
emotionally charged and ranged from total dismissal (Kronecker’s “corrupter of youth”) to highest
praise (Hilbert’s defense of “Cantor’s Paradise”). (Notice however the commonly overlooked
nuances of both statements which subtly undermine their ardor: Kronecker implicitly likens
Cantor to Socrates, whereas Hilbert with faint mockery hints at Cantor’s conviction that Set
Theory is inspired by God.) [Yuri I. Manin: GEORG CANTOR AND HIS HERITAGE (2002)]
http://aps.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0209/0209244v1.pdf
36 Das Kalenderblatt 090710
Abstract: The physical limits to computation have been under active scrutiny over the past
decade or two, as theoretical investigations of the possible impact of quantum mechanical
processes on computing have begun to make contact with realizable experimental
configurations. We demonstrate here that the observed acceleration of the Universe can
produce a universal limit on the total amount of information that can be stored and processed in
the future, putting an ultimate limit on future technology for any civilization, including a time-limit
on Moore's Law. The limits we derive are stringent, and include the possibilities that the
computing performed is either distributed or local. A careful consideration of the effect of
horizons on information processing is necessary for this analysis, which suggests that the total
amount of information that can be processed by any observer is significantly less than the
Hawking-Bekenstein entropy associated with the existence of an event horizon in an
accelerating universe. [Lawrence M. Krauss, Glenn D. Starkman: "Universal Limits on
Computatio" (2004)]
http://aps.arxiv.org/abs/astro-ph/0404510
37 Das Kalenderblatt 090711
Im folgenden wird die Geschichte des Grundlagenstreits in der Mathematik aus Sicht eines
mathematisch interessierten Laien (Psychologe und Psychotherapeut) dargestellt. Diese
Darstellung muss naturgemäß einseitig und unvollständig ausfallen, besonders was die
Mathematik im Ausland betrifft, aber auch wegen meines sehr begrenzten mathematischen
Wissens, das ich, was den Rahmen betrifft, durch kompetente Sekundärquellen (z.B. Schlote)
etwas auszugleichen versuche. Es ist daher hauptsächlich eine Dokumentation, welche
Denkschwierigkeiten sich für einen mathematisch interessierten Laien in der
Auseinandersetzung mit den Grundlagen der (Meta-) Mathematik ergeben. Für Anregungen,
Ergänzungen, Berichtigungen und Kritik bin ich daher sehr aufgeschlossen [mailto], besonders
für gemeinverständliche Formulierungen [im Sinne von Q] der wesentlichen mathematischen
Sachverhalte.
Der Grundlagenstreit im engeren Sinne umfasst grob betrachtet ein gutes halbes Jahrhundert,
ungefähr 1890-1940 und hatte in diesem Zeitraum seine Höhepunkte in den 1920iger und
1930iger Jahren (emotionale Spitze 1928). Genauer betrachtet hat dieser Streit aber sehr alte
Wurzeln und zieht sich als problematisches Thema durch die ganze Geistesgeschichte
(Mückenheim 2006). Inzwischen wissen die meisten nichts mehr von diesem Streit oder sie
wollen von ihm nichts mehr wissen; viele betrachten ihn auch als historisch und erledigt. Das ist
er aber für einige - Intuitionisten, Konstruktivisten und Finitisten - nicht, wofür letztlich Hilbert und
John von Neumann selbst auch einiges getan haben. Inzwischen scheint sich aber neben dem
unguten, formalistisch-technizistischen auch ein liberal-relativistischer Trend oder status quo
ausgebildet zu haben. Es gibt nicht mehr die eine Mathematik, sondern viele Mathematiken
(Geometrien wie Logiken oder Mengenlehren oder Metamathematiken oder ...) - und je nach
Axiomatik und zugelassenen Beweismitteln kann sich jeder die aussuchen, die er braucht oder
mag. In gewisser Weise könnte dadurch der Grundlagenstreit als erledigt angesehen werden.
Aber die liberal-relativistische Beliebigkeit passt nicht so recht zur Ideal-Vorstellung von "ewig
gültiger" Wahrheit, Sicherheit und Zuverlässigkeit, die sich mit der altehrwürdigen Mathematik
verknüpfte. Die Paradoxien haben Hochkonjunktur und bringen eine neue Effekt- und
Gauklermathematik hervor, wenn aus einer Kugel plötzlich zwei werden. Es scheint ein neues
Abrakadabra-Super-Axiom zu gelten, nämlich: Alles ist möglich, wenn wir es nur entsprechend
einrichten, nicht nur im "neuen" von Cantor geschaffenen Höllen-Paradies. [Rudolf Sponsel]
http://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/ggsidm/gdgsidm.htm
38 Das Kalenderblatt 090712
Sollten Sie Zeit haben, meine Arbeiten zu lesen, so werden Sie vielleicht finden, daß sehr
wenige mathematische Vorkenntnisse zum Verständnis derselben erforderlich sind. [Cantor an
Dr. F. Heman, Basel, 28. 7. 1887]
Zum Verständnis der Lehre vom Transfiniten bedarf es keiner gelehrten Vorbereitung in der
neueren Mathematik; sie kann für diesen Zweck eher schädlich als nützlich sein [...] [Cantor an
Pater Ignatius Jeiler, 20. 5. 1888]
39 Das Kalenderblatt 090713
Ich sehe die ganze Arithmetik als eine notwendige oder wenigstens natürliche Folge des
einfachsten arithmetischen Aktes, des Zählens, an, und das Zählen selbst ist nichts anderes als
die sukzessive Schöpfung der unendlichen Reihe der positiven ganzen Zahlen, in welcher jedes
Individuum durch das unmittelbar vorhergehende definiert wird; der einfachste Akt ist der
Übergang von einem schon erschaffenen Individuum zu dem darauffolgenden neu zu
erschaffenden. [p. 5]
Die Addition ist die Zusammenfassung einer beliebigen Wiederholung des obigen einfachsten
Aktes zu einem einzigen Akte, und aus ihr entspringt auf dieselbe Weise die Multiplikation. [p. 6]
[...] gerade diese Beschränktheit in der Ausführbarkeit der indirekten Operationen [Subtraktion,
Division] ist jedesmal die eigentliche Ursache eines neuen Schöpfungsaktes geworden; so sind
die negativen und die gebrochenen Zahlen durch ... den menschlichen Geist erschaffen, und es
ist in dem System aller rationalen Zahlen ein Instrument von unendlich viel größerer
Vollkommenheit gewonnen. [p. 6]
[...] so wie die negativen und gebrochenen rationalen Zahlen durch eine freie Schöpfung
hergestellt. [p. 10]
Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher nicht durch eine rationale Zahl
hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl [...] [p. 13]
Wächst eine Größe x beständig, aber nicht über alle Grenzen, so nähert sie sich einem
Grenzwert. [p. 20]
[Richard Dedekind: "Stetigkeit und Irrationale Zahlen", Vieweg, Braunschweig 1872, 5. Aufl.
1927, 6. Aufl. 1960.
Robert Fricke, Emmy Noether, Öystein Ore: "Richard Dedekind, Gesammelte mathematische
Werke" Vieweg, Braunschweig 1930]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN23569441X&DM...
40 Das Kalenderblatt 090714
Zum Verständniß bitte ich zu bemerken, daß meine Auffaßung der "Anzahlen" von Grund aus
toto coelo verschieden ist von derjenigen, die wir bei Graßmann, Dedekind, Helmholtz,
Weierstraß, Kronecker etc. finden [...] Mit jenen Anschauungen würde man nie auf die
transfiniten Zahlen gekommen sein, deren Begründung nur auf dem von mir eingeschlagenen
Wege möglich ist. [Cantor an Peano, 21. 9. 1895]
[...] wenn ich von Herrn Dedekind eine Antwort auf die 3-4 ihm in den Monaten Aug. u. Sept.
dieses Jahres geschriebenen Briefe erhalten haben würde. [...] Steht doch dieses mein
Fundament in diametralem Gegensatz zu dem Kernpunct seiner Untersuchungen, der in der
naiven Voraussetzung zu sehen ist, daß alle wohldefinirten Inbegriffe resp. Systeme auch immer
„consistente Systeme" seien. Sie haben sich also auch überzeugt, daß diese Dedekindsche
Voraussetzung eine irrige ist, was ich natürlich sofort nach Erscheinen der ersten Auflage seiner
oben genannten Schrift, anno 1887, gesehen habe. [Cantor an Hilbert, 15. 11. 1899]
Der Grund, warum ich mit der Herausgabe so lange (ich kann sagen jahrelang) gezögert, ist der,
daß das wesentliche und principielle Facit mich in Gegensatz zu zwei großen Autoritäten setzt,
zu Gauss und Dedekind, und zwar zu Beiden in ganz verschiedener Weise, weil sie in diesen
Puncten beide untereinander nicht harmoniren! Namentlich ist es mir in Bezug auf den Letzteren
unangenehm, weil ich weiss, daß es seine Lieblingsideen sind, die er in der sorgfältigst
ausgearbeiteten Schrift „Was sind und was sollen die Zahlen?" niedergelegt hat, denen ich mit
meiner Theorie entgegentrete. Ich habe ihm im August 1899 die Sache brieflich zur Prüfung
vorgelegt, alles Wesentliche habe ich ihm geschrieben, er hat nur ausweichend damals
geantwortet und was er damals sagte zeigt, daß er das Wesen der Sache noch nicht erkannt
hatte. Er wollte sie weiter prüfen; ich habe aber seit fünf Monaten nichts von ihm gehört. [...]
In der Vorrede der Dedekindschen Schrift heißt es: die Zahlentheorie "ein Theil der Logik"; die
Zahlen sind ihm "freie Schöpfungen des menschlichen Geistes".
Mein anderer Gegensatz zu Dedekind besteht, wie Sie ja wissen, darin, daß er jede bestimmte
Vielheit für consistent hält, also den Unterschied von consistenten und inconsistenten Vielheiten
nicht zugiebt! [Cantor an Hilbert, 27. 1. 1900]
Mit Dedekind's Schrift bin ich nie recht einverstanden gewesen. [Cantor an Jourdain, 18. 7.
1901]
41 Das Kalenderblatt 090715
Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet: die Zahlen sind freie
Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der
Dinge leichter und schärfer aufzufassen. [p. III]
[...] als solche Hauptpunkte erwähne ich [...] den Nachweis, daß die unter dem Namen der
vollständigen Induktion (oder des Schlusses von n auf n + 1) bekannte Beweisart wirklich
beweiskräftig, und daß auch die Definition durch Induktion (oder Rekursion) bestimmt und
widerspruchsfrei ist. Diese Schrift kann jeder verstehen, welcher das besitzt, was man den
gesunden Menschenverstand nennt; philosophische oder mathematische Schulkenntnisse sind
dazu nicht im geringsten erforderlich. [p. IV]
Für die Gleichförmigkeit der Ausdrucksweise ist es vorteilhaft, auch den besonderen Fall
zuzulassen, daß ein System S aus einem einzigen (aus einem und nur einem) Element a
besteht, d. h. daß das Ding a Element von S, aber jedes von a verschiedene Ding kein Element
von S ist. Dagegen wollen wir das leere System, welches gar kein Element enthält, aus
gewissen Gründen hier ganz ausschließen, obwohl es für andere Untersuchungen bequem sein
kann, ein solches zu erdichten. [p. 2]
Wenn man bei der Betrachtung eines einfach unendlichen, durch die Abbildung phi geordneten
Systems N von der besonderen Beschaffenheit der Elemente gänzlich absieht, lediglich ihre
Unterscheidbarkeit festhält und nur die Beziehung auffaßt, in die sie durch die ordnende
Abbildung phi zueinander gesetzt sind, so heißen diese Elemente natürliche Zahlen oder
Ordinalzahlen oder auch schlechthin Zahlen, und das Grundelement 1 heißt die Grundzahl der
Zahlenreihe N. In Rücksicht auf diese Befreiung der Elemente von jedem andern Inhalt
(Abstraktion) kann man die Zahlen mit Recht eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes
nennen. [p. 17]
[Richard Dedekind: "Was sind und was sollen die Zahlen?", Vieweg, Braunschweig 1887, 6.
Aufl. 1930, 8. Aufl. 1960.
Robert Fricke, Emmy Noether, Öystein Ore: "Richard Dedekind, Gesammelte mathematische
Werke", Vieweg, Braunschweig 1930.]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=46393
42 Das Kalenderblatt 090716
Es gibt schon im Reiche derjenigen Dinge, die keinen Anspruch auf Wirklichkeit, ja nur auf
Möglichkeit machen, unstreitig Mengen, die unendlich sind. Die Menge aller Sätze und
Wahrheiten an sich ist, wie sich sehr leicht einsehen lässt, unendlich; denn wenn wir irgend eine
Wahrheit, etwa den Satz, dass es Wahrheiten überhaupt gebe, oder sonst jeden beliebigen, den
ich durch A bezeichnen will, betrachten: finden wir, dass der Satz, welchen die Worte "A ist
wahr" ausdrücken, ein von A selbst verschiedener sei; denn dieser hat offenbar ein ganz
anderes Subject als jener. Sein Subject nämlich ist der ganze Satz A selbst. Allein nach eben
dem Gesetze, wie wir hier aus dem Satz A diesen von ihm verschiedenen, den ich B nennen
will, ableiten, lässt sich aus B wieder ein dritter Satz C ableiten, und so ohne Ende fort. Der
Inbegriff all dieser Sätze, deren jeder folgende zu dem nächst vorhergehenden in dem nur eben
angegebenen Verhältnisse steht, dass er denselben zu seinem Subjecte erhebt und von
demselben aussagt, dass er ein wahrer Satz sei, dieser Inbegriff - sage ich - umfasst eine
Menge von Theilen (Sätzen), die grösser als jede endliche Menge ist.
[Dr. Bernard Bolzano's Paradoxien des Unendlichen, herausgegeben aus dem schriftlichen
Nachlasse des Verfassers von Dr. Fr. Prihonsky, Leipzig bei C. H. Reclam sen. (1851),
reprografischer Nachdruck: Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt (1964) p. 13f]
http://www.amazon.de/Paradoxin-Unendlichen-Paradoxien-BernhardBolzano/dp/3836400421/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1286728781&sr=8-2
======================================
Es gibt unendliche Systeme.
Beweis *). Meine Gedankenwelt, d. h. die Gesamtheit S aller Dinge, welche Gegenstand meines
Denkens sein können, ist unendlich. Denn wenn s ein Element von S bedeutet, so ist der
Gedanke s', daß s Gegenstand meines Denkens sein kann, selbst ein Element von S.
*) Eine ähnliche Betrachtung findet sich in § 13 der Paradoxien des Unendlichen von Bolzano
(Leipzig 1851).
[Richard Dedekind: "Was sind und was sollen die Zahlen?", Vieweg, Braunschweig 1887, 6.
Aufl. (1930), 8. Aufl. (1960) p. 14. Robert Fricke, Emmy Noether, Öystein Ore: Richard
Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, Vieweg, Braunschweig (1930) p. 357]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=46393
=================================
Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen wir noch des folgenden,
seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind **) herrührenden Axiomes.
Axiom VII. Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element
enthält und so beschaffen ist, daß jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a}
entspricht, oder welche mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als
Element enthält. (Axiom des Unendlichen.)
**) "Was sind und was sollen die Zahlen?" § 5 Nr 66. Der von Herrn Dedekind hier versuchte
"Beweis" dieses Prinzips kann nicht befriedigen, da er von der "Menge alles Denkbaren"
ausgeht, während für unseren Standpunkt nach Nr. 10 der Bereich B selbst keine Menge bildet.
[E. Zermelo: "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I.", Math. Ann. 65 (1908)
261-281, p. 266f]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=38200
43 Das Kalenderblatt 090717
Consistency and Madness
Go to a mental hospital and I'll bet you will meet people there who call themselves Napoleon, or
Jesus Christ, or Elvis Presley, or Albert Einstein. For the sake of simplicity, let us take the man
with the Einstein complex. Now suppose that you take such a man apart and you decide to talk
with him, in order to convince him that Albert Einstein is dead and buried. And that his real name
is Johnson. And that he is just the man around the corner. No genious at all. Do you think you
are going to be successful?
You talk to him for more than one hour, trying to convice him that he should give up his picture
of the world. At last, you ask him if he has understood your arguments. I'll bet his answer will be
like the following: "Yes, of course I understand ! Because Albert Einstein, he is a genious. He is
so clever that he can understand, of course, any of your arguments. That's why. And what's
more, I am Albert Einstein."
Now replace "Einstein" by any mainstream mathematician and you're done.
Nobody can deny that people in a mental hospital have a consistent picture of the world. Now
the good news of consistency is that, once you are on the right track, you will remain on the right
track. The axiom system for Euclidian Geometry is a good example of this manner of being
consistent.
But here comes the bad news.
Once you are on the wrong track, you will always be on the wrong track.
There is no way to tell a mathematician that the axioms of the Zermelo Fraenkel / axiom of
Choice (ZFC) system are "not good". Because then he will defend himself as our would-be
Einstein character did. All of his arguments will be consistent with the system he believes in. He
wants to remain in his vicious circle, safe and well. Calling everybody else a "dude" and a
"crank" and a "zealot". And there is no way out. There is no cure for his madness. Because
mathematics is what mathematicians do. [Han de Bruijn: Natural philosophy]
http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/www/grondig/natural.htm#oo
44 Das Kalenderblatt 090718
Es scheint in der Tat, daß HILBERT die Cantorschen Anschauungen in ihrem alten
absolutistischen Sinne aufrechterhalten will, was mir sehr merkwürdig vorkommt; es ist
bezeichnend, daß er es nie nötig gefunden hat, auf den Relativismus einzugehen, den ich für
jede finit formulierte Mengenaxiornatik bewiesen habe. Er hat auch gesagt, daß er nicht aus
dem Cantorschen Paradies ausgetrieben werden will. Es ist sehr eigentümlich, diesen
Ausspruch mit dem früher erwähnten zu vergleichen, daß die Mengenlehre eine Krankheit ist.
Hilbert sagt außerdem, daß er weder den "lieben Gott" Kroneckers noch die vollständige
Induktion Poincarés, noch das Russell-Whiteheadsche Unendlichkeitsaxiom oder
Reduzibilitätsaxiom braucht.
Was das Unendlichkeitsaxiom betrifft, ist das wohl richtig, vielleicht auch was das
Reduzibilitätsaxiom betrifft — ich weiß das nicht - , aber was den Begriff der ganzen Zahl und
die vollständige Induktion betrifft, ist die Bemerkung Hilberts gewiß irreführend. Dies hat auch
Weyl sehr klar gezeigt in dem kleinen Aufsatze: "Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten
Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik", der auch im 6. Bande der Abh. a. d.
Math. Sem. d. Hamb. Univ. gedruckt ist. In der Tat basiert sich ja Hilbert sehr wesentlich auf
dem Begriff der ganzen Zahl und der vollständigen Induktion in der Metamathematik, und diese
stellt ja den logischen Inhalt seiner Theorie dar. Übrigens habe ich auf diesen Sachverhalt schon
in meinem Vortrag in Helsingfors 1922 aufmerksam gemacht.
Zum Schlusse möchte ich die Resultate besprechen, die ich in meiner schon erwähnten
Abhandlung „Über einige Grundlagenfragen der Mathematik" erreicht habe. Erstens habe ich
eine genauere Begründung des allgemeinen mengentheoretischen Relativismus gegeben, der
besonders die Konsequenz hat, daß das Absolut-nicht-abzählbare auf axiomatischer Grundlage
keine Existenzberechtigung hat.
[Thoralf Skolem: "Über die Grundlagendiskussionen in der Mathematik", Den Syvende
Skandinav. Matematikerkongr. Oslo (1929) 3-21. Selected Works in Logic, Jens Erik Fenstak
(Hrsg.), Scand. Univ. Books, Universitetsforlaget, Oslo (1970) 222f.]
http://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/ggsidm/gdgsidm.htm
45 Das Kalenderblatt 090719
Potential vs. Completed Infinity
Let us distinguish between the genetic, in the dictionary sense of pertaining to origins, and the
formal. Numerals (terms containing only the unary function symbol S and the constant 0) are
genetic; they are formed by human activity. All of mathematical activity is genetic, though the
subject matter is formal.
Numerals constitute a potential infinity. Given any numeral, we can construct a new numeral by
prefixing it with S.
Now imagine this potential infinity to be completed. Imagine the inexhaustible process of
constructing numerals somehow to have been finished, and call the result the set of all numbers,
denoted by Ù.
Thus Ù is thought to be an actual infinity or a completed infinity. This is curious terminology,
since the etymology of “infinite” is “not finished”.
We were warned.
Aristotle: Infinity is always potential, never actual. Gauss: I protest against the use of infinite
magnitude as something completed, which is never permissible in mathematics.
We ignored the warnings.
With the work of Dedekind, Peano, and Cantor above all, completed infinity was accepted into
mainstream mathematics. Mathematics became a faith-based initiative.
Try to imagine Ù as if it were real.
A friend of mine came across the following on the Web:
www.completedinfinity.com
Buy a copy of Ù!
Contains zero - contains the successor of everything it contains - contains only these.
Just $100.
Do the math! What is the price per number?
Satisfaction guaranteed!
Use our secure form to enter your credit card number and its security number, zip code, social
security number, bank’s routing number, checking account number, date of birth, and mother’s
maiden name. The product will be shipped to you within two business days in a plain wrapper.
My friend answered this ad and proudly showed his copy of Ù to me. I noticed that zero was
green, and that the successor of every green number was green, but that his model contained a
red number. I told my friend that he had been cheated, and had bought a nonstandard model,
but he is color blind and could not see my point.
I bought a model from another dealer and am quite pleased with it. My friend maintains that it
contains an ineffable number, although zero is effable and the successor of every effable
number is effable, but I don’t know what he is talking about.
I think he is just jealous.
The point of this conceit is that it is impossible to characterize Ù unambiguously, as we shall
argue in detail.
[...]
Over two and a half millennia after Pythagoras, most mathematicians continue to hold a religious
belief in Ù as an object existing independently of formal human construction.
[Edward Nelson: "Hilbert’s Mistake" (2007)]
http://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/hm.pdf
46 Das Kalenderblatt 090720
The Physics of Infinity
An interesting question is if actual infinities could arise in the physical world. Actually, they do in
our physical theories. Quantum field theory has to deal with infinite numbers and "renormalize".
Cosmology is even more abundant of infinities. How about Black Holes ? And the Great
Singularity, which is assumed to be at the Origin of the whole Universe ? Whew !
But Serious now.
Of course, there is no physical evidence that infinities actually do exist. Actually, there is physical
evidence that actual infinities do not exist. I have done my best to collect some substantial,
physical, empirical arguments. Most of these are certainly not my own. (Remember !)
If the universe was infinite in space and time, then it would'nt become dark at night. The whole
sky would be as bright as the sun itself. There would be an infinite number of stars, and all their
light would have reached us, since there would be an infinite time for it to travel. This
phenomenon is known as Olbers' Paradox. [ Google ("Olber's Paradox") gives more than 19,000
references ] What do you think of the ever increasing entropy in an infinite universe ?
Infinite vector spaces are used in Quantum Mechanics. However, they all have a complete base,
as if they were only vectorspaces with a very large dimension. In fact, these Hilbert spaces
cannot be distinguished from a large, but finite vectorspace, as every physicist knows from
experience.
Therefore, from a physical point of view, the Universe seems to be finite. Big Bang, Creation or
Whatsoever ... And if it is finite in space, then it must also be finite in time, and vice versa: the
Theory of Relativity leaves us no other choice.
[...]
Challenge to everyone:
Give me one valid counter-example: a piece of evidence that the Infinite is actually useful in
physics, in a theoretical or practical sense (independent of wishful mathematical thinking, of
course).
[Han de Bruijn: Natural philosophy]
http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/www/grondig/natural.htm#oo
47 Das Kalenderblatt 090721
Actual Infinite Sets
Here is the classical definition of an Infinite Set: a set is infinite iff it has the same cardinality as a
proper subset of itself. Popularization: An infinite set has the same number of elements as a
proper subset of itself.
I have major objections against this form of (actual) infinity, because it cannot be considered as
a "limiting case" / proper abstraction of something sensible. How to idealize something "real" to
actual infinity? Is there any empirical evidence that there can exist sets with the abovementioned
property in the world of physics? I can't see how, and I think nobody can.
So you have to prove something, mathematicians. You have to prove that this infinity concept of
yours does not fall out of the Blue Sky, that it is more than wishfull thinking, that it is more than
just phantasy. With other words: that it is a scientific instead of a (insert-your- favorite-here:
religious ? superstitious ?) concept. Occam's razor, remember !
I can accept very well that, for example, the natural numbers are "impossible of completion",
hence so to speak "infinite". But I can not accept that, for example, there are "as many" natural
numbers as there are even numbers. IMHO, there are twice as much. Simple. Please, don't
explain why I'm "wrong". I can reproduce the official "proof" entirely by myself. An argument of
my own holds approximately for every finite set of natural numbers. However, the bigger the set
the better. Taking the "limit", there are exactly twice as much natural as there are even numbers.
[...]
I am really ashamed, as a physicist, that there exist so many theories today in "fundamental"
physics, especially Particle Physics and Cosmology, which have explicitly adopted the "infinite",
such as the Singularity in Big Bang models. Quantum Electro Dynamics and its derivatives suffer
from infinities all the way long, and since those geniuses still seem to be proud of their "results",
there is no hope that a cure will be found soon. New discoveries are not done, not because
people aren't smart enough, they are just unwilling, or just too much brainwashed by their
mathematical background, or whatever.
The ultimate tragic in natural philosophy.
[...]
Again, I have no objections against that other form of infinity, called the Potential Infinite. It's a
great relief that most of classical analysis, especially differential and integral calculus, has been
well founded upon the potential infinite, almost from the start.
[Han de Bruijn: Natural philosophy]
http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/www/grondig/natural.htm#oo
48 Das Kalenderblatt 090722
Belief in the existence of the infinite comes mainly from five considerations:
(1) From the nature of time - for it is infinite.
(2) From the division of magnitudes - for the mathematicians also use the notion of the infinite.
[...]
Further, how can the infinite be itself any thing, unless both number and magnitude, of which it is
an essential attribute, exist in that way? If they are not substances, a fortiori the infinite is not. It
is plain, too, that the infinite cannot be an actual thing and a substance and principle.
[...]
This discussion, however, involves the more general question whether the infinite can be
present in mathematical objects and things which are intelligible and do not have extension, as
well as among sensible objects. Our inquiry (as physicists) is limited to its special subjectmatter, the objects of sense, and we have to ask whether there is or is not among them a body
which is infinite in the direction of increase.
We may begin with a dialectical argument and show as follows that there is no such thing. If
'bounded by a surface' is the definition of body there cannot be an infinite body either intelligible
or sensible. Nor can number taken in abstraction be infinite, for number or that which has
number is numerable. If then the numerable can be numbered, it would also be possible to go
through the infinite.
[...]
It is plain from these arguments that there is no body which is actually infinite.
But on the other hand to suppose that the infinite does not exist in any way leads obviously to
many impossible consequences: there will be a beginning and an end of time, a magnitude will
not be divisible into magnitudes, number will not be infinite. If, then, in view of the above
considerations, neither alternative seems possible, an arbiter must be called in; and clearly there
is a sense in which the infinite exists and another in which it does not. We must keep in mind
that the word 'is' means either what potentially is or what fully is. Further, a thing is infinite either
by addition or by division.
Now, as we have seen, magnitude is not actually infinite. But by division it is infinite. (There is no
difficulty in refuting the theory of indivisible lines.) The alternative then remains that the infinite
has a potential existence.
[...]
The infinite exhibits itself in different ways-in time, in the generations of man, and in the division
of magnitudes. For generally the infinite has this mode of existence: one thing is always being
taken after another, and each thing that is taken is always finite, but always different.
[Aristoteles: Physik (350 v. Chr.)]
http://www.greektexts.com/library/Aristotle/Physics/eng/index.html
49 Das Kalenderblatt 090723
But in the direction of largeness it is always possible to think of a larger number: for the number
of times a magnitude can be bisected is infinite. Hence this infinite is potential, never actual: the
number of parts that can be taken always surpasses any assigned number. But this number is
not separable from the process of bisection, and its infinity is not a permanent actuality but
consists in a process of coming to be, like time and the number of time.
With magnitudes the contrary holds. What is continuous is divided ad infinitum, but there is no
infinite in the direction of increase. For the size which it can potentially be, it can also actually be.
Hence since no sensible magnitude is infinite, it is impossible to exceed every assigned
magnitude; for if it were possible there would be something bigger than the heavens.
[...]
Our account does not rob the mathematicians of their science, by disproving the actual
existence of the infinite in the direction of increase, in the sense of the untraversable. In point of
fact they do not need the infinite and do not use it. They postulate only that the finite straight line
may be produced as far as they wish. It is possible to have divided in the same ratio as the
largest quantity another magnitude of any size you like. Hence, for the purposes of proof, it will
make no difference to them to have such an infinite instead, while its existence will be in the
sphere of real magnitudes.
[...]
It remains to dispose of the arguments which are supposed to support the view that the infinite
exists not only potentially but as a separate thing. Some have no cogency; others can be met by
fresh objections that are valid.
[Aristoteles: Physik (350 v. Chr.)]
http://www.greektexts.com/library/Aristotle/Physics/eng/index.html
50 Das Kalenderblatt 090724
For several terms at Cambridge in 1939, Ludwig Wittgenstein lectured on the philosophical
foundations of mathematics. A lecture class taught by Wittgenstein, however, hardly resembled
a lecture. He sat on a chair in the middle of the room, with some of the class sitting in chairs,
some on the floor. He never used notes. He paused frequently, sometimes for several minutes,
while he puzzled out a problem. He often asked his listeners questions and reacted to their
replies. Many meetings were largely conversation. These lectures were attended by, among
others, D. A. T. Gasking, J. N. Findlay, Stephen Toulmin, Alan Turing. [Cora Diamond (ed.):
"Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge 1939 from the notes
taken by R. G. Bosanquet, Norman Malcolm, Rush Rhees, and Yorick Smythies", The University
of Chicago Press, Chicago (1975)]
http://www.amazon.com/Wittgensteins-Lectures-Foundations-MathematicsCambridge/dp/0226904261/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1248181058&sr=8-1#reader
Imagine set theory's having been invented by a satirist as a kind of parody on mathematics. –
Later a reasonable meaning was seen in it and it was incorporated into mathematics. (For if one
person can see it as a paradise of mathematicians, why should not another see it as a joke?)
If it were said: "Consideration of the diagonal procedure shews you that the concept 'real
number' has much less analogy with the concept 'cardinal number' than we, being misled by
certain analogies, inclined to believe", that would have a good and honest sense. But just the
opposite happens: one pretends to compare the "set" of real numbers in magnitude with that of
cardinal numbers. The difference in kind between the two conceptions is represented, by a
skew form of expression, as difference of extension. I believe, and I hope, that a future
generation will laugh at this hocus pocus.
The curse of the invasion of mathematics by mathematical logic is that now any proposition can
be represented in a mathematical symbolism, and this makes us feel obliged to understand it.
Although of course this method of writing is nothing but the translation of vague ordinary prose.
"Mathematical logic" has completely deformed the thinking of mathematicians and of
philosophers, by setting up a superficial interpretation of the forms of our everyday language as
an analysis of the structures of facts. Of course in this it has only continued to build on the
Aristotelian logic.
[Rhees, von Wright, Anscombe (eds.): "Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations of
Mathematics", Wiley-Blackwell (1991)]
http://www.amazon.com/Remarks-Foundation-Mathematics-LudwigWittgenstein/dp/0631125051/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1248181778&sr=1-1
51 Das Kalenderblatt 090725
To most mathematicians, the title of this article will, I suppose, appear a bit strange: it is so
obvious that 265536 is a natural number that there would seem to be no rational basis for
questioning it. Yet there have been objections to the claim that all such exponential expressions
name a natural number, two of the best known being due to Paul Bernays and Edward Nelson.
Bernays, in "On Platonism in Mathematics", rhetorically questions whether 67257729 can be
represented by an "Arabic numeral" (he does not, however, press the discussion). By contrast,
Nelson, in "Predicative Arithmetic", develops a large body of theory which he then advances to
support his belief that 265536 is not a natural number or that, more generally,
exponentiation is not a total function. [...]
For while it does not limit the use of induction it does imply that the effect of induction is contextdependent. It also implies that when the objects of discussion are linguistic entities (and in this
paper the position advocated is that "natural numbers" or better "natural number notations" are
linguistic entities) then that collection of entities may vary as a result of discussion about them. A
consequence of this is that the "natural numbers" of today are not the same as the "natural
numbers" of yesterday. Although the possibility of such denotational shifts remains
inconceivable to most mathematicians, it seems to be more compatible with the history both of
the cultural growth (and of growth in individuals) of the number concept than is the traditional,
Platonic picture of an unchanging, timeless, and notation-independent sequence of numbers.
[David Isles: "What evidence is there that 265536 is a natural number?", Notre Dame Journal of
Formal Logic, 33,4 (1992) 485-480.]
http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.ndjfl/1093
634481&page=record
52 Das Kalenderblatt 090726
Man zeigt sehr leicht, daß die endlich definierten Elemente des Kontinuums eine Teilmenge des
Kontinuums von der Mächtigkeit ¡0 bestimmen [...]
Da aber das Kontinuum seiner Definition nach nicht abzählbar ist, muß es Elemente des
Kontinuums geben, die nicht endlich definiert sein können. [...]
"Für ein beliebiges Element des Kontinuums ist eine endliche Definition sicher vorhanden, oder
dies ist nicht der Fall."
3. Die bisher entwickelten Annahmen führen in merkwürdig einfacher Weise zu dem Schlusse,
daß das Kontinuum nicht wohlgeordnet werden kann. Denken wir die Elemente des Kontinuums
als wohlgeordnete Menge, so bilden jene Elemente, die nicht endlich definiert werden können,
eine Teilmenge, die gewiß Elemente des Kontinuums enthält. Diese Teilmenge ist aber dann
auch wohlgeordnete und enthält ein und nur ein erstes Element. Man beachte ferner, daß nach
den jetzt gültigen Annahmen das Kontinuum, wie jede wohlgeordnete Menge, eine lückenlose
Folge bestimmter Ordnungszahlen definiert; und zwar in der Weise, daß jedem Elemente des
Kontinuums eine und nur eine solche Ordnungszahl entspricht, wie auch umgekehrt. Es ist
demnach "die einem endlich definierten Elemente des Kontinuums entsprechende
Ordnungszahl", sowie auch "das einer endlich definierten solchen Ordnungszahl entsprechende
Element des Kontinuums" endlich definiert. Es müßte demnach in jener Folge eine erste nicht
endlich definierbare Ordnungszahl vorhanden sein. Dies ist aber unmöglich. Es gibt nämlich
eine bestimmte (wohlgeordnete) Menge endlich definierter Ordnungszahlen, die von der ersten
ab lückenlos aufeinander folgen. "Die der Größe nach auf alle diese zunächst folgende
Ordnungszahl" wäre aber durch das Gesagte endlich definiert, während sie doch - der Annahme
nach - nicht endlich definiert werden kann.
Die Annahme, daß das Kontinuum wohlgeordnet werden kann, hat demnach zu einem
Widerspruch geführt.
[Julius König: "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem.", Math. Ann.
61 (1905) 156-160]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=36554
53 Das Kalenderblatt 090727
Gleichzeitig unter Kreuzband ein merkwürdiges Werkchen von Bolzano, welches ich Ihnen
verehre, da ich zufällig noch ein Exemplar davon besitze.
Trotzdem darin Vieles, vielleicht das meiste verfehlt ist, war es für mich doch äußerst anregend,
namentlich durch die Widersprüche, welche er in mir erregt hat. [Cantor an Dedekind, 7. 10.
1882]
Mit Dedekind's Schrift bin ich nie recht einverstanden gewesen. [Cantor an Jourdain, 18. 7.
1901]
In Heft II vom XXII Bd der Annalen pag 249 lässt Klein wieder seinen Aufsatz über
Functionsstreifen abdrucken, den ich von jeher für das non plus ultra höheren Unsinns gehalten
habe, trotzdem sich darin Herr Klein auf die Weisheit des Herrn Kronecker beruft. Wenn Sie
meine Abhandl. „Grundlagen" aufmerksam gelesen haben, so werden Sie finden, daß ich auf
pag. 9, 10, 11 und auf pag. 19 und 20 gerade diese Ansichten Kroneckers auf schärfste angreife
und verurtheile; auf pag. 20 mache ich ihm in anderer Beziehung; jedoch zusammen mit
Dedekind (worüber er sich sehr aergert) ein Compliment [...] [Cantor an Mittag-Leffler, 9. 9.
1883]
Die erste alte Tante sprach:
Wir müssen nun auch dran denken,
Was wir zu ihrem Namenstag
Dem guten Sophiechen schenken.
Drauf sprach die zweite Tante kühn:
Ich schlage vor, wir entscheiden
Uns für ein Kleid in Erbsengrün,
Das mag Sophiechen nicht leiden.
Der dritten Tante war das recht:
Ja, sprach sie, mit gelben Ranken!
Ich weiß, sie ärgert sich nicht schlecht
Und muß sich auch noch bedanken.
[W. Busch: Kritik des Herzens. (1874)]
http://de.wikisource.org/wiki/Die_erste_alte_Tante_sprach
Für Ihre Auskunft in Bezug auf die französische Übersetzung von Paul du Bois Reymond's
jämmerlichem Werke über Funktionentheorie sage ich Ihnen vielen Dank [...]
[Cantor an Mittag-Leffler, 4. 8. 1888]
Und die „Acta" sollen gut genug dazu sein, dieses schmutzige Zeug zu verbreiten, sein eigenes
Journal will er dazu nicht nehmen. [...] für meine Arbeiten beanspruche ich Parteilichkeit, aber
nicht für meine vergängliche Person, sondern Parteilichkeit für die Wahrheit, welche ewig ist und
mit der souveränsten Verachtung auf die Wühler (u.a. Kronecker) herabsieht, die sich
einzubilden wagen, mit ihrem elenden Geschreibsel gegen sie auf die Dauer etwas ausrichten
zu können. [Cantor an Mittag-Leffler, 26. 1. 1884]
I am quite an adversary of Old Kant, who, in my eyes has done much harm and mischief to
philosophy, even to mankind; as you easily see by the most perverted development of
metaphysics in Germany in all that followed him, as in Fichte, Schelling, Hegel, Herbart,
Schopenhauer, Hartmann, Nietzsche, etc. etc. on to this very day. I never could understand that
and why such reasonable and enabled peoples as the Italiens, the English and the French are,
could follow yonder sophistical philistine, who was so bad a mathematician. And now it is that in
just this abominable mummy, as Kant is, Monsieur Poincaré felt quite enamoured, if he is not
bewitched by him. [Cantor an Russell, 19. 9. 1911]
Mit Mathematikern ist kein heiteres Verhältnis zu gewinnen.{{#}} [Goethe an Zelter, 18. 1. 1823.]
{{#}} Goethe schrieb eigentlich, was aber hier nicht so passend wirkt und etwas stört, "Mit
Philologen und Mathematikern ist kein heiteres Verhältnis zu gewinnen [...]".
54 Das Kalenderblatt 090728
§ 39 In mathematics description and object are equivalent. "The fifth number of the number
series has these properties" says the same as "5 has these properties". The properties of a
house do not follow from its position in a row of houses; but the properties of a number are the
properties of a position. [Ludwig Wittgenstein: "Philosophical Grammar", Basil Blackwell, Oxford
(1969)]
http://www.amazon.de/Philosophical-Grammar-LudwigWittgenstein/dp/0631123504/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1286647502&sr=1-1
http://uk.geocities.com/[email protected]/cantor/wittgensteinquotes.htm#rfm
55 Das Kalenderblatt 090729
Pure mathematics and science are finally being reunited and, mercifully, the Bourbaki plague is
dying out. [Murray Gell-Mann: "Nature Conformable to Herself", Bulletin of the Santa Fe Institute,
7 (1992) 7-10.]
56 Das Kalenderblatt 090730
The Hausdorff Sphere Paradox [...] (here X, Y, Z are disjoint sets which nearly cover the sphere,
and X is congruent to Y, in the sense that a rotation of the sphere makes X coincide with Y, and
likewise Y is congruent to Z. But what is extraordinary is the claim that X is also congruent to the
union of Y and Z, even though Y =/= Z). We are, like Poincaré and Weyl, puzzled by how
mathematicians can accept and publish such results; why do they not see in this a blatant
contradiction which invalidates the reasoning they are using?
Nevertheless, L. J. Savage (1962) accepted this antinomy as literal fact and, applying it to
probability theory, said that someone may be so rash as to blurt out that he considers congruent
sets on the sphere equally probable; but the Hausdorff result shows that his beliefs cannot
actually have that property. The present writer, pondering this, has been forced to the opposite
conclusion: my belief in the existence of a state of knowledge which considers congruent sets on
a sphere equally probable, is vastly stronger than my belief in the soundness of the reasoning
which led to the Hausdorff result.
Presumably, the Hausdorff sphere paradox and the Russell Barber paradox have similar
explanations; one is trying to define weird sets with self-contradictory properties, so of course,
from that mess it will be possible to deduce any absurd proposition we please.[...]
Russell's theory of types can dispose of a few paradoxes, but far from all of them. Even with the
best of good will on both sides, It would require at least another generation to bring about the
reconciliation of pure mathematics and science. For now, it is the responsibility of those who
specialize in infinite set theory to put their own house in order before trying to export their
product to other fields. Until this is accomplished, those of us who work in probability theory or
any other area of applied mathematics have a right to demand that this disease, for which we
are not responsible, be quarantined and kept out of our field. In this view, too, we are not alone;
and indeed have the support of many non-Bourbakist mathematicians.
[E. T. Jaynes: "Probability Theory: The Logic of Science", (Fragmentary Edition of March 1996)]
http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/cappb8.pdf
57 Das Kalenderblatt 090731
The pure mathematician can do what he pleases, but the applied mathematician must be at
least partially sane. [J. Willard Gibbs, zitiert in Morris Kline: "Mathematics: The Loss of
Certainty", Oxford University Press (1980) p. 285.]
http://www.amazon.de/Mathematics-Loss-Certainty-GalaxyBooks/dp/0195030850/ref=sr_1_cc_1?ie=UTF8&qid=1286734250&sr=1-1-catcorr
58 Das Kalenderblatt 090801
{{The pure mathematicians}} have followed a gleam that has led them out of this world. [...] The
fact that mathematics is valuable because it contributes to the understanding and mastery of
nature has been lost sight of [...] the work of the idealist who ignores reality will not survive. Most
intelligent people today still believe that mathematics is a body of unshakable truths about the
physical world, and that mathematical reasoning is exact and infallible. Mathematics: The Loss
of Certainty refutes this myth.
For centuries mathematics has been seen as the one area of human endeavor in which it is
possible to discover irrefutable, timeless truths. This work stresses the illogical manner in which
mathematics has developed.
[Morris Kline: "Mathematics: The Loss of Certainty", Oxford University Press (1980)]
http://www.amazon.de/Mathematics-Loss-Certainty-GalaxyBooks/dp/0195030850/ref=sr_1_cc_1?ie=UTF8&qid=1286627807&sr=1-1-catcorr
http://www.marco-learningsystems.com/pages/kline/obituary.html
59 Das Kalenderblatt 090802
This question brings to the fore something that is fundamental and pervasive: that what we are
doing is finding ways for people to understand and think about mathematics.
The measure of our success is whether what we do enables people to understand and think
more clearly and effectively about mathematics.
We have a facility for thinking about processes or sequences of actions that can often be used
to good effect in mathematical reasoning. One way to think of a function is as an action, a
process, that takes the domain to the range. This is particularly valuable when composing
functions. Another use of this facility is in remembering proofs: people often remember a proof
as a process consisting of several steps. In topology, the notion of a homotopy is most often
thought of as a process taking time. Mathematically, time is no different from one more spatial
dimension, but since humans interact with it in a quite different way, it is psychologically very
different.
On the most fundamental level, the foundations of mathematics are much shakier than the
mathematics that we do. Most mathematicians adhere to foundational principles that are known
to be polite fictions. For example, it is a theorem that there does not exist any way to ever
actually construct or even define a well-ordering of the real numbers. There is considerable
evidence (but no proof) that we can get away with these polite fictions without being caught out,
but that doesn’t make them right. Set theorists construct many alternate and mutually
contradictory “mathematical universes” such that if one is consistent, the others are too. This
leaves very little confidence that one or the other is the right choice or the natural choice.
[Bill Thurston: "On proof and progress in mathematics", Bull. of the American Math. Soc. 30, 2,
(1994) 161-177]
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9404/9404236v1.pdf
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU11
60 Das Kalenderblatt 090803
Recent history demonstrates that anyone foolhardy enough to describe his own work as
"rigorous" is headed for a fall. Therefore, we shall claim only that we do not knowingly give
erroneous arguments. We are conscious also of writing for a large and varied audience, for most
of whom clarity of meaning is more important than "rigor" in the narrow mathematical sense.
There are two more, even stronger reasons for placing our primary emphasis on logic and
clarity. Firstly, no argument is stronger than the premises that go into it, and as Harold Jeffreys
noted, those who lay the greatest stress on mathematical rigor are just the ones who, lacking a
sure sense of the real world, tie their arguments to unrealistic premises and thus destroy their
relevance.
Jeffreys likened this to trying to strengthen a building by anchoring steel beams into plaster. An
argument which makes it clear intuitively why a result is correct, is actually more trustworthy and
more likely of a permanent place in science, than is one that makes a great overt show of
mathematical rigor unaccompanied by understanding. Secondly, we have to recognize that there
are no really trustworthy standards of rigor in a mathematics that has embraced the theory of
infinite sets. Morris Kline (1980, p. 351) came close to the Jeffreys simile: "Should one design a
bridge using theory involving infinite sets or the axiom of choice? Might not the bridge collapse?"
The only real rigor we have today is in the operations of elementary arithmetic on finite sets of
finite integers, and our own bridge will be safest from collapse if we keep this in mind. [...]
Finally, some readers should be warned not to look for hidden subtleties of meaning which are
not present. [...] There are no linguistic tricks and there is no "meta-language" gobbledygook;
only plain English. We think that this will convey our message clearly enough to anyone who
seriously wants to understand it. In any event, we feel sure that no further clarity would be
achieved by taking the first few steps down that infinite regress that starts with: "What do you
mean by 'exists'?"
[E. T. Jaynes: "Probability Theory: The Logic of Science", (Fragmentary Edition of March 1996)]
http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/cpreambl.pdf
http://de.wikipedia.org/wiki/Edwin_Thompson_Jaynes
61 Das Kalenderblatt 090804
Eduard Wette: Die Selbstauflösung exakten Wissens auf Grund finiter Widersprüche in
Mathematik und Logik, 1 DVD-ROM Offiziell unterschlagene oder schwer zugängliche
Abhandlungen.
Produktbeschreibung
Die vorliegende DVD umfasst Arbeiten des Autors zur Mathematik und Logik (Teil 1) sowie zur
Astronomie und Physik (Teil 2) aus mehreren Jahrzehnten (1965 - 2007).
Teil1: Umsturz in der Mathematik
Teil2: Die Konsequenzen des Endlichen für die Naturwissenschaften
http://www.amazon.de/Selbstaufl%C3%B6sung-Widerspr%C3%BCche-unterschlageneAbhandlungen-DtschEngl/dp/3931680541%3FSubscriptionId%3D0JRA4J6WAV0RTAZVS6R2%26tag%3Dworldcator
g21%26linkCode%3Dxm2%26camp%3D2025%26creative%3D165953%26creativeASIN%3D393
1680541
[Contradiction within pure number theory because of a system-internal "consistency" deduction,
International Logic Review No. 9 (1974).]
http://www.verlag-drbachmaier.de/pdf_autoren/Inhaltsverzeichnis_wette.pdf
http://www.jstor.org/pss/2272968
The opposition to indirect proof, which Wette pursues in the name of strict finitism, goes beyond
Hilbert's finitist standpoint and well beyond Brouwer's intuitionism. According to the finitist
standpoint, as well as to Brouwer, indirect proofs are only to be prohibited when establishing
positive (existence) claims, not when used as a method for proving impossibility, and certainly
not in refuting assumptions. Wette considers even such applications as these of indirect proof to
be problematic", as he makes clear in criticizing the Gödel incompleteness theorem at the very
beginning of his paper "Vom Unendlichen zum Endlichen". At some points it sounds as though
he believes his results are in opposition with that theorem. [Paul Bernays: "Zum Symposium
über die Grundlagen der Mathematik", Dialectica, 25:171-195, 1971. (Translation by: Steve
Awodey)]
http://www.phil.cmu.edu/projects/bernays/Pdf/bernays28_2003-05-19.pdf
Ich glaube nicht, dass seine [Wettes] Behauptungen über Widersprüchlichkeiten
mathematischer Theorien zutreffen; aber es ist mir nicht gelungen, seinen Ausführungen so weit
zu folgen, dass ich einen bestimmten Fehler der Argumentation aufweisen könnte. [Paul
Bernays]
http://books.google.de/books?id=tiUpO-v5i9QC&pg=RA1-PA312&lpg=RA1PA312&dq=%22Eduard+Wette%22&source=bl&ots=t2Ss3C88b&sig=KnMim7bbtxg15v5ALTCgSrrzgk0&hl=de&ei=1jxwSr7SJ4ePsAbw7GUBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6#v=onepage&q=%22Eduard%20Wette%22
&f=false
Internationale Gesellschaft für interdisziplinäre Wissenschaften
http://www.interdis-wis.de/ueber_uns.htm
e-Mail: [email protected]
Kuratorium
Prof. Dr. Gottfried Anger, emer. Mathematik-Ordinarius der Martin-Luther-Universität Halle /
Wittenberg
Dr. Eduard Wette, Mathematiker, Metamathematiker, Hennef-Uckerath / Nordrhein, nach USBiographischem Institut einer der derzeit 500 bedeutendsten Denker, Autor von: „The SelfElimination of Exact Knowledge Through Finite Contradictions in Mathematics und Logic.”
http://www.interdis-wis.de/ueber_uns.htm
Ankündigung zum Seminar Transfinite Methoden über endlichen Gruppen Dozenten: Prof. Max
Likelihood, P.D. Dr. Albatross Frankinfueter, PhD Malvin Smith
Termin : Wird noch bekanntgegeben.
Literatur (Vorläufig) [...]
The Self-Elimination of Exact Knowledge Through Finite Contradictions in Mathematics and
Logic. (Eduard Wette) [...]
Themenliste (Vorläufig) [...]
4. Die Widersprüchlichkeit von ZFC, der Satz von Wette [...]
http://www.cip.ifi.lmu.de/~senjak/transgr/
(Offensichtlich ein Scherz, aber vom Institut für Informatik der LMU toleriert.)
62 Das Kalenderblatt 090805
The critical analysis which has given physics its new confidence [Einstein's "operational"
technique] has, up to the present, been almost exclusively confined to an examination of the
nature of the physical concepts which the physicist uses. But since mathematics is coming to
play an increasingly important role in the new physics, it is evident that a critical examination of
the nature of the fundamental concepts of mathematics is a task of the immediate future for the
physicist. It was therefore not without a certain amount of dismay that I suddenly became aware
that in the mathematics of the present day there are doubts, uncertainties, and differences of
opinion on fundamental questions which are at least not unlike the bewilderment of physics
when confronted with the new phenomena of the quantum domain. My awakening to a
consciousness of the situation in mathematics I owe to that extraordinary well written little book
by E.T. Bell, "The Queen of the Sciences". Within a few weeks of my reading this book A. F.
Bentley's "Linguistic Analysis of Mathematics appeared. This I skimmed hastily, gathering from it
a most vivid impression of the chaotic state of affairs in the "fundamental" fields of mathematics
[...]
These two expositions made it evident that Mengenlehre was that branch of mathematics in
which perhaps there were the most serious differences of opinion and in which fundamental
questions were most to the fore.
[...]
The reactions to this second acquaintance with Mengenlehre were as different as can well be
imagined from those of my first naive contact, when I suppose I got the usual kick out of feeling
that I was playing with the infinite. [P.W. Bridgman: "A physicist's second reaction to
Mengenlehre", Scripta Mathematica, Vol. II (1934)]
P.W. Bridgman (Präsident der Am. Phys. Soc, Nobelpreis für Physik 1946)
http://en.wikipedia.org/wiki/Percy_Williams_Bridgman
kam erstmals während seines Studiums 1900-1908 mit der Mengenlehre in Kontakt, ohne
jedoch seine Fähigkeiten zu kritischer Distanz dabei einzubüßen. Er war kein "Experte" und
stützt seine "second reaction" auf mehr oder weniger populärwissenschaftliche, aber den Kern
der Mengenlehre zutreffend darstellende Bücher wie Fraenkels "Einleitung in die Mengenlehre".
Wir werden in den folgenden Kalenderblättern die von diesem eindeutig denkfähigen Gelehrten
vorgestellte Analyse der Mengenlehre in Auszügen kennenlernen.
Wie es hier guter Brauch ist, kommen nicht nur Experten zu Wort, denn "the measure of our
success is whether what we do enables people to understand and think more clearly and
effectively about mathematics." [Bill Thurston, KB090802]
63 Das Kalenderblatt 090806
[...] the meaning of a term or concept is contained in those operations which are performed in
making application of the term or concept to relevant situations. I can only report that as a matter
of personal analysis I find this operational aspect at the bottom of all meaning, but my inference
is that other persons go through similar processes [...] we may perhaps say that self-consistency
is in some way intimately connected with real things. [...] The accepted method of proving that
some system of postulates does not conceal some contradiction is to exhibit some "real",
"existing" system which satisfies the postulates. Nothing further in the way of proof or analysis is
felt to be necessary; the feeling that actually existing things are not self-contradictory is so
elemental as almost to constitute a definition of what we mean by self-consistent. Now when we
are concerned with "things" we are evidently concerned with some form of experience, so that
we may make an even broader statement and say that experience is not self-contradictory. [...] it
is once obvious that the operational technique automatically secures to mathematics the sine
qua non of self-consistency, for operations actually carried out, whether physical or mental, are a
special form of experience, so that any mathematical concept or argument analyzed into actual
operations must have the self-consistency of all experience.
[P.W. Bridgman: "A physicist's second reaction to Mengenlehre", Scripta Mathematica, Vol. II,
1934]
64 Das Kalenderblatt 090807
If a non-terminating decimal is to be handled or arranged in sequence like a thing it is sufficient
to know how to handle and arrange a finite decimal of n digits, the number n being subject to no
restriction as to magnitude. The theorem would now demand that it is impossible to set up any
scheme for arranging all possible decimal fractions of n digits in a definite order, n being subject
to no restriction as to magnitude. But such a theorem is obviously false, for there are 10n
possible decimals of n digits [...] What is done in the actual diagonal Verfahren when translated
into this technique is this: it is shown that given a proposed array and any number n, no matter
how large, it is then possible to set up a decimal the first n digits of which are different from the
first n digits of any decimal to be found in the first n places of the proposed array. But this is
clearly not what is required.
[P.W. Bridgman: "A physicist's second reaction to Mengenlehre", Scripta Mathematica, Vol. II,
1934]
Für endliche, wenn auch beliebig lange Folgen funktioniert Cantors Diagonalverfahren nicht.
Bridgmans Überlegung dürfte unbestritten sein. Allerdings wird diese Tatsache auch von vielen
Freunden der Mengenlehre nicht erkannt. Hier ein Beispiel aus Borges' Universalbibliothek:
"Wenn wir diese Beschränkung aufheben und beliebig dicke Bücher zulassen, dann werden wir
sofort von dem eiskalten Hauch des Unendlichen getroffen. Man kann nämlich zeigen – und
diese Konstruktion geht auf Georg Cantor (1845 – 1918) zurück – daß die Bibliothek nicht alle
Bücher enthalten kann. Angenommen, wir hätten die Bücher der Bibliothek nach irgendeinem
Schema geordnet. Wir könnten nun alle Bücher in eine Liste eintragen, in der ersten Zeile steht
das erste Buch (die Zeile wäre dann eben recht lang), in der zweiten das zweite Buch und so
weiter. [...] Nun konstruieren wir ein Buch, welches mit Sicherheit noch nicht in der Liste
aufgeführt ist. Dazu nehmen wir den ersten Buchstaben des ersten Buches, in unserem Beispiel
ein A. Wir beginnen unser neu zu schreibendes Buch mit einem anderen Buchstaben, etwa mit
einem D. Als zweiten Buchstaben unseres Buches wählen wir einen, der vom zweiten
Buchstaben des zweiten Buches der Liste verschieden ist, und so weiter. Wir erhalten damit
eine Folge von Buchstaben, von der wir sicher sein können, daß sie unter den ersten
untersuchten Büchern nicht vorkommen. Denken wir uns jetzt diesen Prozeß ins
Unendliche fortgesetzt – oder doch wenigstens so weit, daß die vorhandenen Bücher
aufgebraucht sind – dann haben wir in der Tat ein Buch, welches sich von jedem Buch der Liste
in mindestens einem Buchstaben unterscheidet. Wir haben also gezeigt, daß es keinen solchen
Katalog aller Bücher geben kann!" [Ulrich Eckhardt: "Unberechenbar – zufällig – chaotisch. Die
Wissenschaft vom Unendlichen"]
http://www.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Bregenz.pdf
Nein, beliebig beleibt, aber endlich, genügt nicht. (Alle endlichen Elemente der Potenzmenge
von Ù bilden zusammen eine abzählbare Menge.) Für jedes endliche n können sämtliche
Kombinationen von n Buchstaben in die Bibliothek eingestellt werden. Cantors Diagonale greift
nicht *durch*. Und unendlich beleibte Bücher sind weder in Bibliotheken noch sonstwo zu
finden.
65 Das Kalenderblatt 090808
The ordinary diagonal Verfahren I believe to involve a patent confusion of the program and
object aspects of the decimal fraction, which must be apparent to any who imagines himself
actually carrying out the operations demanded in the proof. In fact, I find it difficult to understand
how such a situation should have been capable of persisting in mathematics. Doubtless the
confusion is bound up with the notion of existence; the decimal fractions are supposed to "exist"
whether they can be actually produced and exhibited or not. But from the operational point of
view all such notions of "existence" must be judged to be obscured with a thick metaphysical
haze, and to be absolutely meaningless from the point of view of those restricted operations
which can be allowed in mathematical inquiry.
This repudiation of the conventional proof by the diagonal Verfahren of the non-denumerability
of the non-terminating decimals will be found to be very similar in spirit, although not in detail, to
the argument in Bentley's book [Linguistic Analysis of Mathematics]. It may be worth while to
record that the argument above was reached by me independently of Bentley [...]
One can obviously say that all the rules for writing down nonterminating decimals formulatable
by the entire human race up to any epoch in the future must be denumerable [...]
I do not know what it means to talk of numbers existing independent of the rules by what they
are determined; operationally there is nothing corresponding to the concept. If it means anything
to talk about the existence of numbers, then there must be operations for determining whether
alleged numbers exist or not, and in testing the existence of a number how shall it be identified
except by means of the rules?
[P.W. Bridgman: "A physicist's second reaction to Mengenlehre", Scripta Mathematica, Vol. II,
1934]
66 Das Kalenderblatt 090809
[...] "point" has no meaning unless it is defined, and this involves the specification of some sort of
procedure. "All the points of a line" as a purely intuitional concept apart from the rules by which
points are determined, can have no operational meaning, and accordingly is to be held for
mathematics as an entirely meaningless concept. [...] "All the points of a line" means no more
than "All the rules for determining points on a line". [...] In other words, we have no more reason
to describe the points on a line as non-denumerable than the non-terminating decimals. The
repudiation of the diagonal Verfahren for the decimals at the same time removes all reason for
thinking the points on a line non-denumerable.
In fact, a consistent application of the operational criterion of meaning appears to demand the
complete discard of the notion of infinities of different orders. We never have "actual" infinites [...]
but only rules for operation which are not self-terminating. How can there be different sorts of
non-self-terminatingness? At any stage in the process the rule either permits us to go on and
take the next step or it does not [...] and that is all there is to it. [...] Mengenlehre is similarly
supposed to have established the existence of transcendentals by showing that all algebraic
numbers are denumerable. This proof I would reject, holding that the mere act of assigning
operational meaning to the transcendentals of itself ensures that they are denumerable. As a
matter of fact, only a few transcendentals have been established. Mengenlehre is powerless to
show whether any given number, such as e or pi, is transcendental or not, and the detailed
analysis necessary in any given case for establishing transcendence is not avoided by
Mengenlehre. From the operational view a transcendental is determined by a program of
procedure of some sort; Mengenlehre has nothing to add to the situation. And this, as far as my
elementary reading goes, exhausts the contributions which Mengenlehre has made in other
fields.
[P.W. Bridgman: "A physicist's second reaction to Mengenlehre", Scripta Mathematica, Vol. II,
1934]
67 Das Kalenderblatt 090810
"Der Nachweis transzendenter Zahlen durch das Diagonalverfahren erfolgt auf streng
konstruktivistischem Weg, und er ist sinnvoll und beweiskräftig für jeden (auch intuitionistischen)
Standpunkt, der überhaupt einer der üblichen Zuordnungsregeln zwischen den algebraischen
und den natürlichen Zahlen einen Sinn zuerkennt. In der Tat: Bleiben wir bei der oben
auseinandergesetzten Auffassung, wonach eine reelle Zahl gegeben - und zwar offenbar
konstruktiv gegeben - ist, sobald eine Regel vorliegt, die ihre Dezimalbruchentwicklung so weit
als gewünscht [*] zu bilden gestattet! [...] Es liege nun eine - z. B. die Cantorsche Zuordnungsregel [**] zwischen den algebraischen und den natürlichen Zahlen vor [...]. So ist die
r-te Dezimalstelle der r-ten algebraischen Zahl unserer Anzählung eine wohlbestimmte,
berechenbare Ziffer cr [...]. Wenn wir also [...] einen eindeutig bestimmten, Stelle für Stelle
berechenbaren Dezimalbruch durch eine Regel angegeben, die die r-te Ziffer dr als von cr
verschieden festsetzt, so erhalten wir eine reelle Zahl, die konstruktiv festgelegt und von jeder
algebraischen Zahl verschieden ist. Wir haben damit eine ganz bestimmte transzendente Zahl
konstruiert." [A. Fraenkel: "Zum Diagonalverfahren Cantors", Fundamenta Mathematicae
25 (1935) 45-50. Erwiderung auf P.W. Bridgman: "A physicist's second reaction to
Mengenlehre", Scripta Mathematica, Vol. II, 1934]
[*] Dann nehme ich alle Ziffern, bitte!
[**] Bekanntlich gibt es nur abzählbar viele Zuordnungsregeln. Verschweigt Fraenkel dies aus
Unwissenheit oder Unredlichkeit?
Vorher, auf S. 47, schrieb Fraenkel schon: "Natürlich ist es oft - bei irrationalen Zahlen in der
Regel - unmöglich, die Ziffernfolge der Darstellung einer gegebenen reellen Zahl zu überblicken,
und insofern kann allerdings die Operation der Entwicklung nicht 'vollendet' werden. Aber das ist
auch für den Beweis gar nicht nötig; es kommt nur darauf an, für jede fragliche reelle Zahl das
Gesetz zu haben, das ihre Entwicklung so weit als gewünscht fortzusetzen gestattet, und dies
ist, da die Zahlen der abzählbaren Ausgangsmenge gegeben [...] sein sollen, jedenfalls erfüllt
[...]."
Und damit ist es auch für die zu konstruierende Diagonalzahl erfüllt. [***]
Mit Bezug auf Bridgmans Kritik fährt Fraenkel auf S. 47 fort: "Die Betrachtung aller 'möglichen
Regeln', die zur Konstruktion nicht-abbrechender systematischer Brüche dienen können, ist
somit überflüssig, und damit entfallen die gegen die Gesamtheit dieser Regeln mit Recht
erhobenen Bedenken, man kann eindeutig eine Regel zur Entwicklung jeder gegebenen reellen
Zahl in einen nicht-abbrechenden n-albruch angeben." [****]
[***] In der Tat, die Diagonalzahl unterscheidet sich von jeder der ersten n Zahlen rn - und mehr
kann darüber nicht ausgesagt werden.
[****] Genau deswegen bilden alle "gegebenen" reellen Zahlen inklusive aller konstruierbaren
Diagonalzahlen eine Menge, die mit einer Untermenge der abzählbaren Menge aller Regeln in
Bijektion gesetzt werden kann.
Es sind nur abzählbar viele konstruierbare Zahlen "gegeben" (was die anderen Zahlen sein
sollen und mit welchem Recht man sie Zahlen nennen darf, bleibt unerfindlich --- sie werden nun
einmal benötigt, um die Überabzählbarkeit künstlich zu animieren), und es gibt eine
konstruierbare Liste, die alle Konstruktionsvorschriften für konstruierbare Zahlen enthält. Hier ist
sie. Die oft gedankenlos geäußerte Behauptung, eine solche Liste könne nicht konstruiert
werden, da durch Diagonalisierung ihre Unvollständigkeit nachweisbar wäre, ist leicht als falsch
erkennbar.
0
1
00
01
10
11
...
68 Das Kalenderblatt 090811
Wenn einige meinen, mit nicht-archimedischen Körpern habe man das Aktual-Unendliche
gerechtfertigt, so habe ich Vorbehalte. Man wird sagen können, Ω, Ω2, ΩΩ treten im Kalkül so
auf, als ob es sich um aktual unendlich große Zahlen handelte, denn sie sind größer als jede
"angebbare" Zahl, und entsprechend verhalten sich ihre Reziproken wie aktual unendlich kleine
Zahlen. Jedenfalls sind die Möglichkeiten des Kalküls in dieser Richtung gegenüber der
Standard- Analysis erweitert worden. Im Unterschied zu anderen Versionen der NichtstandardAnalysis erlaubt der Omegakalkül aber auch eine zwanglose Deutung unter Vermeidung des
aktual Unendlichen, wenn man Ù, –, ... nicht als fertige Mengen ansehen will. [D. Laugwitz:
"Zahlen und Kontinuum" B.I. Mannheim (1986)]
69 Das Kalenderblatt 090812
This does not, of course, prove anything inconsistent in Cantor’s notion of an infinite cardinal.
But it does show that it cannot automatically be assumed that any actual infinite will
automatically have a corresponding infinite number, an infinite cardinality. That is, it raises
questions about the applicability of Cantorian transfinite mathematics. In any case where there is
a requirement of a recursive connection between any pair of the things numbered, the Cantorian
conception of the infinite will not be valid. This is because the set N of natural numbers ordered
by the relation > (is ‘greater than’) is recursively connected if and only if every number is finite. If
limit ordinals (Cantor’s ω, ω2 etc.) are included, recursive connectedness fails. [Richard Arthur:
Leibniz and Cantor on the Actual Infinite (2001)] Philosopher and Leibniz scholar Richard
Arthur's critique of Cantor's arguments for an actual infinity
70 Das Kalenderblatt 090813
Ein gewichtiges Argument der Mengenlehrer gegen die sogenannten Cranks (d. h. die
Ungläubigen, die weder glauben, dass aktual unendliche Mengen existieren, noch, dass deren
axiomatische Postulierung irgend sinnvolle Ergebnisse zeitigen könnte) besteht in der
Behauptung, dass letztere nicht nur der Mengenlehre, sondern auch einander heftig
widersprechen. Das mag zuweilen wohl zutreffen, ist aber bei den Mengenlehrern nicht anders
und kann deswegen nicht als Argument für deren Superiorität dienen.
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus einer endlichen Zahl von
Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten; [A.
Schoenflies: "Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung, (1906) 19 - 25.]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=244547
Die mathematische Literatur findet sich, wenn man darauf acht gibt, stark durchflutet von
Ungereimtheiten und Gedankenlosigkeiten, die meist durch das Unendliche verschuldet sind. So
wenn z. B. im Sinne einer einschränkenden Bedingung die Forderung betont wird, daß in der
strengen Mathematik nur eine endliche Anzahl von Schlüssen in einem Beweise zulässig sei -
als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen.
[D. Hilbert: "Über das Unendliche", Math. Annalen 95 (1925) 161 - 190]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=26816
Manche Mengenlehrer widersprechen sich sogar selbst (denn was ist Zählen anderes als ein
Schließen von n auf n + 1).
Dies sind die ersten transfiniten Zahlen Cantors, die Zahlen der zweiten Zahlklasse, wie sie
Cantor nennt. Zu ihnen gelangen wir also einfach durch ein Hinüberzahlen über das
gewöhnliche abzählbare Unendlich, d. h. durch eine ganz naturgemäße und eindeutig
bestimmte, konsequente Fortsetzung des gewöhnlichen Zählens im Endlichen. [D. Hilbert: "Über
das Unendliche" (1925)]
Dort finden sich auch noch die folgenden Bemerkungen:
Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. [...] seine
Theorie der transfiniten Zahlen; diese erscheint mir aIs die bewundernswerteste Blüte
mathematischen Geistes und überhaupt eine der höchsten Leistungen rein verstandesmäßiger
menschlicher Tätigkeit. Was hat es nun damit für eine Bewandtnis? [...] das Unendliche findet
sich nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem
verstandesmäßigen Denken zulässig - eine bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und
Denken.
Schon Kant hat gelehrt - und zwar bildet dies einen integrierenden Bestandteil seiner Lehre - ,
daß die Mathematik über einen unabhängig von aller Logik gesicherten Inhalt verfügt und daher
nie und nimmer allein durch Logik begründet werden kann [...] [D. Hilbert: "Über das Unendliche"
(1925)].
I am quite an adversary of Old Kant, who, in my eyes has done much harm and mischief to
philosophy, even to mankind [G. Cantor an B. Russell 19. 9. 1911]. Kants Leistungen werden
also von Hilbert und Cantor durchaus kontrovers beurteilt, Freges und Dedekinds Leistungen
sogar von Hilbert allein:
[...] nein: Brouwer ist nicht, wie Weyl meint, die Revolution, sondern nur die Wiederholung eines
Putschversuches mit alten Mitteln, der seinerzeit, viel schneidiger unternommen, doch gänzlich
mißlang und jetzt zumal, wo die Staatsmacht durch Frege, Dedekind und Cantor so
wohlgerüstet und befestigt ist, von vornherein zur Erfolglosigkeit verurteilt ist. [D. Hilbert: "Die
Neubegründung der Mathematik. Erste Mitt.", Abhandl. d. Math. Seminars d. Univ. Hamburg,
Bd. 1 (1922) 157-177]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=42413
[...] daß die Mathematik über einen unabhängig von aller Logik gesicherten Inhalt verfügt und
daher nie und nimmer allein durch Logik begründet werden kann, weshalb auch die
Bestrebungen von Frege und Dedekind scheitern mußten. [D. Hilbert: "Über das Unendliche"
(1925)]
Die wohlgerüstete Staatsmacht? Schon nach drei Jahren erkennbar abgewirtschaftet?
71 Das Kalenderblatt 090814
I propose an algorithm that (in infinite time) will enumerate all of the real numbers between zero
and one.[...]
So essentially what the algorithm does is enumerate the real numbers between 0 and 1 in order
of their decimal length, from one on towards infinity. A quick analysis of the subroutine
enumerateReals will show that it indeed will enumerate, in finite time, all of the reals between 0
and 1 that have length of n, where n is any natural number. Therefore, if we call the function with
1, 2, 3, etc., etc., for an infinite amount of time we will get all of the real numbers between 0 and
1 of all lengths. [...]
The diagonalization proof presupposes that, at least in theory, there is a point in time when we
can stop and have all of the real numbers from 0 to 1 listed (namely the point in time after infinite
time has passed). But this presupposition is contrary to the very definition of infinity and infinite
time. It is a misconstrued use of the terms and is not admissible in a proof. [Andrew P. Shane:
"An Algorithm for the Enumeration of all Real Numbers Between 0 and 1" (1999)]
http://www.andyland.com/education/rensselaer/01999spring/paradox/cantorswrong.pdf
Viele Mengenlehrer behaupten (vermutlich zu recht), dass Sie einen Unterschied zwischen
potentiell unendlich und aktual unendlich nicht kennten. Sie müssten, wie auch Albrecht und ich,
Shanes Beweis eigentlich akzeptieren, denn zwar wird in jedem Schritt nur eine endliche
Ziffernfolge nummeriert, da jedoch kein letzter Schritt existiert, ist die Länge der nummerierten
Ziffernfolgen ohne Ende, d. h. unendlich. (Selbstverständlich könnte man das Ganze auch als
einen Schritt auffassen, wenn man möchte.)
So sollte man denken, aber so darf man nicht glauben. Glauben muss der Rechtgläubige
vielmehr, dass in unendlich vielen Schritten nur alle endlichen Folgen nummeriert werden,
wohingegen keine einzige aktual unendliche Ziffernfolge wie z.B. 1/3 drankommt. Die kämen in
unendlicher Zeit noch nicht dran, credemi, folglich erst in überunendlich vielen Schritten > ¶, die
aber noch längst nicht überabzählbar viele sind, jedenfalls nicht für 1/3.
Die natürlichen Zahlen kann man ja auch potentiell unendlich lange aufzählen, ohne dass ω
schon aktual drankäme. Somit wird eine Unendlichkeit ω erforderlich zwischen der für das
gewöhnlich Fußgängerzonenpublikum, ¶, und der zweiten, die damit allerdings zur dritten wird.
Ist auch nicht recht?
Wie heißt der wichtigste Lehrsatz für Asketen? Sich selber zu besiegen, das ist der schönste
Sieg. Leicht abgewandelt für Mengenlehrer: Sich selbst zu widerlegen, das ist die schönste
Widerlage.
72 Das Kalenderblatt 090815
The cardinal contradiction is simply this: Cantor has a proof that there is no greatest cardinal,
and yet there are properties (such as "x = x") which belong to all entities. Hence the cardinal
number of entities having a property must be the greatest of cardinal numbers. Hence a
contradiction [1, p. 31] {{aber nur falls die unendliche Folge der natürlichen Zahlen eine
Kardinalzahl besitzt, was ja ebenso unmöglich ist, denn dazu müsste man weiter zählen können,
als man zählen kann.}}
An existent class is a class having at least one member. [1, p. 47] {{Surely you are joking Mr.
Russell? The class without any member is not among the existent classes?}}
Whether it is possible to rescue more of Cantor's work must probably remain doubtful until the
fundamental logical notions employed are more thoroughly understood. And whether, in
particular, Zermelo's {{Auswahl-}} axiom is true or false {{ja, konnte ein Axiom für sich
genommen denn zu Ihrer Zeit noch wahr oder falsch sein, Herr Russell? Suchte und vermutete
man in der Mathematik damals etwa noch Wahrheit und Sinn?}} is a question which, while more
fundamental matters are in doubt, is very likely to remain unanswered. The complete solution of
our difficulties, we may surmise, is more likely to come from clearer notions in logic than from the
technical advance of mathematics; but until the solution is found we cannot be sure how much of
mathematics it will leave intact. [1, p 53] {{Ach, hätte doch Herr Cantor niemals beschlossen,
Mathematiker zu werden!}}
Note added February 5th, 1906. - From further investigation I now feel hardly any doubt that the
no-classes theory affords the complete solution of all the difficulties stated in the first section of
this paper. [1, p 53] {{Auch andere favorisierten zu jener Zeit das Klassenlose. Davon ist nach
100 Jahren nicht viel übrig geblieben: Kuba und Nordkorea. Aber die No-Classes-Theory wirkt
auch heute noch attraktiv, denn:}} The objections to the theory are [...] that a great part of
Cantor's theory of the transfinite, including much that it is hard to doubt, is, so far as can be
seen, invalid if there are no classes or relations. [1, p. 45] {{Is there anything that it is hard to
doubt in Cantor's theory?}}
The solution of the difficulties which formerly surrounded the mathematical infinite is probably
the greatest achievement of which our age has to boast. [2]
This is an instance of the amazing power of desire in blinding even very able men to fallacies
which would otherwise be obvious at once. [3]
[1] Bertrand Russell: "On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types",
Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1906) 29-53, Received November 24th, 1905. - Read December
14, 1905.
http://books.google.de/books/about/On_Some_Difficulties_in_the_Theory_of_Tr.html?id=vczfGw
AACAAJ&redir_esc=y
[2] Bertrand Russell: “The Study of Mathematics”. New Quarterly, Nov. 1907, 29-44. Reprinted in
B. Russell: "Philosophical Essays", Longmans, Green, London" (1910) sowie B. Russell:
"Mysticism and Logic and Other Essays" Longmans, Green & Co, London (1918). Nachdruck by
Unwin, Paperbacks (1986).
[3] Bertrand Russell: "What I believe" aus "Why I am not a Christian" (1957) p. 42. Bertrand
Russell: "Why I Am Not A Christian and Other Essays on Religion and Related Subjects", (Paul
Edwards, ed.), London: George Allen & Unwin (1957).
http://www.torrentz.com/4cfdc196f49eb34ea283163acfd1f79dffd667d1
http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
73 Das Kalenderblatt 090816
[...] was darauf hinausläuft, dass die Menge der ganzen Zahlen einfach nicht groß genug ist, um
die Menge der reellen Zahlen zu indizieren.
[...] Auf den ersten Blick scheint Cantors Argument nicht ganz überzeugend. Gibt es keine
Möglichkeit, es zu umgehen? Vielleicht könnte man eine umfassendere Liste erhalten, wenn
man die diagonal konstruierte Zahl d einbezöge. Bei näherer Prüfung wird man aber erkennen,
daß es nichts hilft, die Zahl d einzubeziehen, denn sobald man ihr einen bestimmten Ort in der
Tabelle zuweist, läßt sich die Diagonalmethode auf die neue Tabelle anwenden, und eine neue,
im Adreßbuch nicht vorhandene Zahl d' läßt sich konstruieren, die nicht in der Tabelle steht. Wie
oft man auch die Konstruktion einer Zahl vermittels der Diagonalmethode wiederholt und jene
dann hinzufügt, um eine "vollständigere" Tabelle zu erhalten, man hängt doch immer an dem
nicht zu vermeidenden Haken von Cantors Methode.
[D.R. Hofstadter: "Gödel, Escher, Bach: ein endloses geflochtenes Band", Klett-Cotta, Stuttgart,
5. Aufl. (1985) 453ff.]
Cantor ist eine tragische Figur. Zuerst entwarf er eine Methode zur Konstruktion von reellen
Zahlen, dann zeigte er, dass nicht alle reellen Zahlen konstruiert werden können. Dies erkannte
er aber ebensowenig wie Columbus erkannte, dass er Amerika entdeckt hatte. Dennoch ist kein
Zweifel. Das Stichwort wurde oben gegeben: Eine neue Zahl lässt sich konstruieren. (Es waren
also nicht einmal alle konstruierbaren Zahlen konstruiert.) Eine "umfassendere Liste" kann man
selbstverständlich damit erhalten. Niemand könnte nämlich verhindern, dass eine oder mehrere
oder (abzählbar) unendlich viele zur Verfügung stehende, d. h. existierende reelle Zahlen in
Cantors Liste eingefügt würden, so wie jeder späte Gast in Hilberts Hotel ein Unterkommen
findet. Doch vor ihrer eigenen Konstruktion stand die Diagonalzahl eben nicht zur Verfügung.
Cantors Haken besteht also darin, dass nicht alle reellen Zahlen existieren. Dass auch nicht alle
natürlichen Zahlen existieren, steht auf einem anderen Blatt. Deren Existenz wird schlicht
postuliert. Aber statt einer alle natürlichen Zahlen vollständig enthaltenden Liste könnte man
auch eine alle reellen Zahlen vollständig enthaltende Kiste annehmen.
74 Das Kalenderblatt 090817
Ich hätte mit Ihnen unter Anderm gern über die Königschen und Poincaréschen Versuche in der
Mengenlehre gesprochen, die meiner Meinung nach auf irrigen Grundsätzen beruhen und nur
geeignet sind, Verwirrung anzurichten.
König will zwei Arten von reellen Zahlen unterscheiden; solche, die "endliche Definitionen"
zulassen und solche, die "unendliche Definitionen" erfordern.
Eine jede Definition ist aber ihrem Wesen nach eine endliche, d. h. sie erklärt den zu
bestimmenden Begriff durch eine endliche Anzahl bereits bekannter Begriffe B1, B2, B3, ..., Bn.
"Unendliche Definitionen" (die nicht in endlicher Zeit verlaufen) sind Undinge.
Wäre Königs Satz, daß alle "endlich definirbaren" reellen Zahlen einen Inbegriff von der
Mächtigkeit ¡0 ausmachen, richtig, so hieße dies, das ganze Zahlencontinuum sei abzählbar,
was doch sicherlich falsch ist.
Es fragt sich nun, welcher Irrthum liegt dem angeblichen Beweise seines falschen Satzes zu
Grunde?
Der Irrthum (welcher sich auch in der Note eines Herrn Richard im letzten Hefte der Acta
mathematica findet, welche Note Herr Poincaré in dem letzten Hefte der Revue de
Métaphysique et de Morale mit Emphase herausstreicht) ist, wie mir scheint, dieser:
Es wird vorausgesetzt, dass das System {B} der Begriffe B, welche eventuell zur Definition von
reellen Zahlindividuen herangezogen werden müssen, ein endliches oder höchstens abzählbar
unendliches sei. Diese Voraussetzung muß ein Irrthum sein, da sich sonst der falsche Satz
ergeben würde: „das Zahlencontinuum hat die Mächtigkeit ¡0"
Irre ich mich, oder habe ich Recht?
[Cantor an Hilbert, 8. August 1906]
Cantor irrte sich.
Definiert man die reellen Zahlen in einem streng formalen System, in dem nur endliche
Herleitungen und festgelegte Grundzeichen zugelassen werden, so lassen sich diese reellen
Zahlen gewiß abzählen, weil ja die Formeln und die Herleitungen auf Grund ihrer konstruktiven
Erklärungen abzählbar sind. [Kurt Schütte, KB090618]
Daher gibt es keine überabzählbare Menge von Zahlen. Übrigens ist auch die Menge aller
jemals konstruierten Diagonalzahlen abzählbar.
Zur Existenz von Zahlen.
Die mathematische Definition der Existenz: "Wenn etwas ohne Widerspruch gedacht werden
kann, dann existiert es", ist zu grob und ungenau.
Die Existenz vieler Mengen kann ohne Widerspruch gedacht werden. Daraus folgt aber nicht,
dass alle Elemente dieser Mengen gedacht werden können. Beispiel: Die Menge der ersten
101000 natürlichen Zahlen. Diese Menge kann gedacht werden, nicht aber alle Elemente (z.
B. nicht solche, die zu ihrer Bezeichnung mehr als X + 1 Bit an Gedankenarbeit erfordern, wenn
der Denkende nur maximal X Bit aufbringen kann.) Andererseits ist ein sehr einfaches
Verständnis möglich, wenn nur der platonistische Absolutheitsanspruch aufgegeben wird und
die Liebe zu den Zahlen eher platonischen Charakter annimmt, nämlich das Folgende:
--- Wenn die Definition einer Zahl in einem Speicher existiert, dann existiert die definierte Zahl in
diesem Speicher.
--- Wenn die Definition einer Zahl in einem Speicher existieren kann, dann kann die betreffende
Zahl in diesem Speicher existieren.
--- Wenn die Definition einer Zahl in einem Speicher nicht existieren kann (weil die Definition der
Zahl mehr Speicherplatz benötigt, als der Speicher zur Verfügung stellt), dann kann die
betreffende Zahl in diesem Speicher nicht existieren.
--- Wenn die Definition einer Zahl nirgendwo existieren kann, dann gibt es diese Zahl nicht.
Denn: "In mathematics description and object are equivalent (Ludwig Wittgenstein, KB090728)
oder anders ausgedrückt: Es gibt keine ungedachten Gedanken. (Sollte diese Erkenntnis
revolutionär sein?)
75 Das Kalenderblatt 090818
I have seen some ultrafinitists go so far as to challenge the existence of 2100 as a natural
number, in the sense of there being a series of "points" of that length. There is the obvious "draw
the line" objection, asking where in 21, 22, 23, ..., 2100 do we stop having "Platonistic reality"?
Here this ... is totally innocent, in that it can be easily be replaced by 100 items (names)
separated by commas. I raised just this objection with the (extreme) ultrafinitist Yessenin-Volpin
during a lecture of his. He asked me to be more specific. I then proceeded to start with 21 and
asked him whether this is "real" or something to that effect. He virtually immediately said yes.
Then I asked about 22, and he again said yes, but with a perceptible delay. Then 23, and yes,
but with more delay. This continued for a couple of more times, till it was obvious how he was
handling this objection. Sure, he was prepared to always answer yes, but he was going to take
2100 times as long to answer yes to 2100 then he would to answering 21. There is no way that I
could get very far with this.
[Harvey M. Friedman: "Philosophical Problems in Logic"]
http://www.math.ohio-state.edu/~friedman/manuscripts.html
http://www.math.ohio-state.edu/~friedman/pdf/Princeton532.pdf
76 Das Kalenderblatt 090819
Nachdem das Thema "Existenz" durch die letzten Kalenderblätter nun für jeden denkbaren Kopf
eindeutig geklärt sein dürfte, erscheinen heute und morgen nochmals Gedanken zur
Relativitätstheorie (vgl. auch Skolem, KB090718).
The only possible conclusion [given the Lowenheim-Skolem Theorem] seems to be that notions
such as countablility and uncountability are inherently relative. [...] Our description of P(ω) as
uncountable, even though correct, must be understood relative to our own current point of view.
From another point of view this very set may be countable. But I want to argue that such
relativism, compelling though it is, is subject to the by now familiar predicament that any
statement of it, if it is to be intelligible at all, will have to be understood within a framework that
casts it as a straighforward error.
It is this which I take to be Skolem's paradox. The crux of the matter is this. If there is an implicit
relativization in our claim that P(ω) is uncountable (the claim which is established by Cantor's
argument), then it ought to be possible to make it explicit (just as it is possible to make explicit
any relativization in the claim that a physical object is moving). But it is possible to do so this
only insofar as it is possible to construe our discourse about sets as discourse about a particular
collection of objects, the collection to which such claims must be relativized. And this in turn is
not possible unless we endorse the fundamental error that there is a set which contains all the
sets we intend to talk about. When it is claimed that P(ω) is not unconditionally uncountable, we
have no way of understanding this except as the demonstrably false claim that it is not
uncountable at all. Admittedly, there are interpretations of the language of set theory under
which all the "right" sentences come out true [1]
Alles eine Sache der Interpretation und des Kontextes (der und des richtigen natürlich):
Es - gibt - keine - Widersprüche!
Manchmal frage ich mich: Ist es nur meiner ganz persönlichen, subjektiven Befindlichkeit
geschuldet, dass dieses Motto (abgesehen vom Versmaß natürlich) immer wieder
Reminiszenzen an Orwells Motto "Four legs good, two legs bad" [2] und die dort Mottierenden
weckt? (Vielleicht habe ich das Motto auch verdreht. Ich zitiere aus dem Gedächtnis, habe aber
schon 1984 Orwell gelesen.)
[1] A. W. Moore: "Set Theory, Skolem's Paradox and the Tractatus", Analysis 1985, 45.
http://analysis.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/45/1/13
[2] George Orwell: "Animal Farm"
http://de.wikipedia.org/wiki/Animal_Farm
http://www.amazon.de/Farm-Tiere-M%C3%A4rchen-GeorgeOrwell/dp/3257201184/ref=sr_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1286899645&sr=1-2
http://de.wikipedia.org/wiki/George_Orwell
77 Das Kalenderblatt 090820
The only possible conclusion [given the Lowenheim-Skolem Theorem] seems to be that notions
such as countablility and uncountability are inherently relative. [...] What we ourselves take to be
P(ω) never appears to be anything but uncountable. The relativist, convinced that our own point
of view is in turn limited, urges us to acknowledge the possibility that what we ourselves take to
be P(ω) is not - as viewed from some even higher vantage-point from which it may yet be
countable. But how are we to make sense of this? Certainly not by trying to view P(ω) from two
different points of view at once; that would be incoherent. Nor by trying to view it simply from this
point of view; that would make the possibility unintelligible. But if it were possible to view it from
an absolute standpoint, then relativism itself would lose its rationale and there could be no
objection to saying that P(ω) contained all of ω's subsets and that it was unconditionally
uncountable. So if we do deny the absolute uncountability of P(ω), then what exactly are we
denying and where, so to speak, are we denying it? (The mere fact that there are legitimate
concepts of countability and uncountability which do involve relativisation to certain domains is
beside the point. The relativist wants to insist that there are no absolute concepts of countability
and uncountability - that it makes no sense to describe P(ω) as unconditionally uncountable).
We, in mounting a general investigation into what sets are like, can only aspire to know whether
or not P(ω) is countable, as it were here. It is not. But we can have no grasp on any distinction
between what is true here and what is true simpliciter. So P(ω) is uncountable simpliciter. Yet
the very use of the word "here" appears to vindicate the relativist. There remains a real
predicament. That which cannot legitimately be stated (relativism) appears, for all that, to
impress itself upon us as soon as we step outside mathematical practice and reflect on what is
revealed therein. This predicament is directly analogous to that which Wittgenstein faces in the
Tractatus. There is no particular point of view in the world which can be spoken of as here: our
point of view is a limit of the world. That is, there is no particular set in the hierarchy of sets
which can be spoken of as the intended range of the quantifiers: they are intended to range over
the whole hierarchy (though not even this can properly be said). And here an intriguing
possibility arises. If we are prepared to extend the analogy with the Tractatus, then it will become
apparent that, despite the fact that relativism defies any coherent statement, the debate between
the relativist and the non-relativist is in a very deep sense irresoluble. For what the relativist
means is quite correct; only it cannot be said, [1]
Manches doch! Die Relativitätstheorie schimmert überall durch. Nichts (und nicht einmal das) ist
absolut. Generalsuperintendentist D. Dr. sc. Hütte knurrt [2]: "Das Zwölfprophetenbuch im AT
berichtet von 12 Propheten, das steht unwiderleglich fest." Zwei Absätze weiter fährt er fort
(Hervorhebung von mir): Wir haben also die *Wahl*, uns auf die in ihrer trostlosen
Überschaubarkeit Finitophobien stimulierende Anzahl von nur 12 Propheten zu beschränken
oder in sublimem Trotz an eine übererzählbare Unzahl von Propheten zu glauben.
[1] A. W. Moore: "Set Theory, Skolem's Paradox and the Tractatus", Analysis 1985, 45.
http://analysis.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/45/1/13
[2] Manuskript, verschollen. Aber eine analoge Relativierung ist aus der modernen
Beweistheorie bekannt.
78 Das Kalenderblatt 090821
Hegel stellt hier die Mathematik in völligen Gegensatz zur Natur, die Mathematik wird als
lebensfremd und formell verstanden, und Hegel bedauert, daß die Physik ihre Gesetze aus der
Mathematik bezieht anstatt sie mittels Vernunft zu konstruieren [...] Diderot z. B. hatte 1754 in
ähnlich scharfer Weise seine Voraussage eines baldigen Stillstands der Mathematik mit einem
Verdikt über ihren formell-abstrakten, von jeder Erfahrung und Existenz in der Natur
abgeschnittenen Charakter begründet. {{Was immer man von Hegel und Diderot halten mag ...,
sie waren Propheten!}} Diese Auffassung einer inhaltsleeren, nur formellen Mathematik hat nicht
nur erheblich die Tradition der deutschen Geistesgeschichte - bis hin zur Frankfurter Schule geprägt und fruchtbare Beziehungen zwischen Human- und Naturwissenschaften behindert
{{nein, inzwischen brüsteten sich sogar manche bis viele Mathematiker damit.}} [G. Schubring:
"Das mathematisch Unendliche bei J. F. Fries" in "Konzepte des mathematisch Unendlichen im
19. Jahrhundert" (G. König, Hrsg.), Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1990) 153-164]
79 Das Kalenderblatt 090822
Für uns heutige Mathematiker [...] ist z. B. die Menge Ù der natürlichen Zahlen eigentlich völlig
ungeordnet: wenn man sie in ihrer natürlichen Anordnung meint, so muß dies durch (Ù, <)
beschrieben werden: die Anordnung < ist der an sich unstrukturierten Menge Ù noch
hinzuzufügen. - Für Bolzano gilt ein gegensätzliches ontologisches Grundparadigma: Das
elementarste Ding ist der Inbegriff, das Ganze. Jedes Ganze ist aber schon von sich aus
gestaltet, strukturiert, geordnet. [...] Das Ganze ist stets größer als sein [wir müssen heute
deutlicher sprechen als Bolzano seiner Zeit: echter] Teil, auch beim Unendlichen. [...] Denn das
Ganze trägt ja bei ihm für gewöhnlich eine Struktur in sich! [...] Jedes Teil des Ganzen hat
seinen individuellen Platz in der Verbindung der Teile. [...] Offenkundig ist dieser Bolzanosche
(An-)Zahlbegriff weder mit dem Cantorschen Begriff der Ordinalzahl noch mit dessen Begriff der
Kardinalzahl identisch! Die Tatsache, daß Bolzanos (An-)Zahlbegriff ein anderer ist als die von
Cantor geprägten, stempelt ihn nun keineswegs per se als widersprüchlich oder gar falsch ab!
[...] Leider ist diese Bereitschaft, Bolzanos Denken auf seine innere Stimmigkeit hin zu
überprüfen, es also zunächst einmal ernst zu nehmen, bisher nirgends zu finden. [...] Sämtliche
Zugänge seit 1950 wurden notwendigerweise vor dem Hintergrund des nun die gesamte
Mathematik beherrschenden mengensprachlichen Paradigmas unternommen(notwendigerweise
deswegen, weil sie ansonsten keine Chance der Anerkennung durch die
Wissenschaftlergemeinschaft gehabt hätten). [...] Daß und worin sich dieses moderne
ontologische Grundparadigma von demjenigen Bolzanos unterscheidet, habe ich bereits
dargelegt. Die Konsequenzen, die sich aus dieser wesentlichen ontologischen Differenz
ergeben, sind bislang niemals benannt worden. Ganz im Gegenteil, diese Konsequenzen
wurden stets unter dem scheinheiligen Deckmantel der propagandistischen Fragerichtung: Ist
Bolzanos Theorie richtig? einseitig gegen Bolzano und für das herrschende Paradigma
ausgeschlachtet! [...] Dergleichen ist historisch Blindheit, methodologisch ein Armutszeugnis,
wissenschaftstheoretisch Illiberalität, ethisch Arroganz, politisch Totalitarismus und
philosophisch Dogmatismus. Daß es mathematisch auch noch falsch ist, fällt dabei kaum ins
Gewicht, sollte aber wenigstens am Rande festgehalten werden. [D.D. Spalt: "Die Unendlichkeit
bei Bernard Bolzano" in "Konzepte des mathematisch Unendlichen im 19. Jahrhundert" (G.
König, Hrsg.), Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1990) 189-218]
http://www.amazon.de/gp/product/3525403127/sr=81/qid=1286643218/ref=olp_product_details?ie=UTF8&me=&qid=1286643218&sr=8-1&seller=
80 Das Kalenderblatt 090823
Fries hat sich Zeit seines Lebens sehr aktiv mit Mathematik und den Naturwissenschaften
beschäftigt. Er hat nicht nur in seiner Jenaer Zeit als Privatdozent mathematische Vorlesungen
gehalten, er konnte in Heidelberg auch zusätzlich die Physik-Professur übernehmen. Über
Analysis hat er neunmal gelesen. [...] "Schulzes Beweis hält auch nicht Stich, denn er nimmt das
Unendliche für ein vollendetes Ganzes, was sich im Begriffe widerspricht." [...] "eine unendliche
Größe oder Kleinheit darf nie als ein gegebenes Ganzes angesehen werden" [...] Das
Differential einer (stetigen) Funktion ist nach Fries "der wissenschaftlich bestimmte Begriff einer
unendlich kleinen Grösse". Es hat nicht den Charakter einer Zahl, da es kein gemeinsames Maß
mit einer diskreten Zahl hat, es ist vielmehr eine Größe mit "schlechthin veränderlichem Maaß".
{{Eine Zahl muss ein gemeinsames Maß mit einer diskreten Zahl haben --- interessanter
Standpunkt.}} [...] Insbesondere kann als richtungweisend gelten, dass Fries die Stetigkeit von
Funktionen als Zwischenwertaxiom formulierte - mit der Implikation der Vollständigkeit des
Zahlengebietes [...] "wenn eine veränderliche Größe in der Natur den Werth a hatte und nachher
durch Wachsthum oder Abnahme den Werth b erhielt, so durchlief sie nothwendig in der
Zwischenzeit Zustände, in welchen sie einmal jeden möglichen Werth hatte, der größer als a
und kleiner als b oder umgekehrt ist". [G. Schubring: "Das mathematisch Unendliche bei J. F.
Fries" in "Konzepte des mathematisch Unendlichen im 19. Jahrhundert" (G. König, Hrsg.),
Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1990) 153-164]
http://www.amazon.de/gp/product/3525403127/sr=81/qid=1286643218/ref=olp_product_details?ie=UTF8&me=&qid=1286643218&sr=8-1&seller=
81 Das Kalenderblatt 090824
J'ai signalé autrefois, dans la Revue générale des sciences, un paradoxe relatif à la théorie des
ensembles. [...] Je voudrais reprendre la question ici, et la faire suivre de quelques réflexions sur
ce qu'on nomme l'axiome Zermelo. Mon paradoxe concerne l'ensemble E des nombres
susceptibles d'être définis par un nombre fini de mots. Cet ensemble est dénombrable. En effet,
la définition d'un nombre par un nombre fini de mots est un arrangement avec répétition des 26
lettres de l'alphabet. Rangeons par ordre alphabétique, d'abord tous les arrangements un à un,
puis à la suite tous ceux deux à deux, puis
tous ceux trois à trois, etc. [...]
Mais, étant donné un ensemble dénombrable de nombres, on sait qu'on peut trouver un nombre
n'appartenant pas à l'ensemble.
Pou définir un pareil nombre, aux chiffres
0123456789
faisons correspondre respectivement
1234567811
à chaque chiffre x correspond un autre chiffre phi(x) et phi(x) est distinct de x. [...]
Formons alors un nombre N [...] ainsi défini ne fait pas partie de E [...]
Voilà donc un nombre N, défini par un nombre fini de mots et n'appartenant pas à E, ce qui est
contradictoire avec la définition de E. Telle est la contradiction [...]
Si A est un ensemble infini non dénombrable, on peut toujours trouver un ensemble
dénombrable B contenu dans A. Un ensemble infini, c'est un ensemble tel que si a1 a2 ... ap
sont p éléments distincts de l'ensemble, on peut toujours trouver un élément distinct des
premiers, ap + 1 appartenant à l'ensemble. D'après cela, dans l'ensemble A on peut toujours
trouver une série d'éléments a1 a2 ... an aussi longue qu'on voudra contenue dans l'ensemble.
[...]
Mais une suite infinie a1 a2 ... an ... n'est définie que si l'on peut calculer an. [...] Pour démontrer
complètement la proposition, il faudrait donc prouver l'existence d'une règle permettant de
calculer an en fonction de n.
On peut il est vrai prendre arbitrairement an, mais on a l'embarras du choix. Cet embarras se
répète une infinité de fois. C'est là la difficulté. Dans les ensembles particulier on a en général la
possibilité d'une pareille règle. [...] Mais la chose est-elle toujours possible? Pour plus de clarté
nous énoncerons l'axiome Zermelo ainsi. [...] Dans une suite d'ensembles rangés, A1 A2 ... An ...
sans éléments communs, on peut prélever une suite d'éléments, a1 a2 ... an ... l'élément an étant
dans An. Ces propositions constitueront pour nous l'axiome Zermelo. [...]
On ne peut en effet se faire aucune idée d'un ensemble ne possédant pas cette propriété.
Avec notre restriction l'axiome Zermelo se démontre immédiatement. En effect reprenons les
arrangements de lettres dont j'ai parlé au début de ce traivail [...]
Je considère ces question comme curieuses, mais absolument oiseuses en mathématiques.
{{Und damit könnte dieser Artikel schließen.}} La vraie mathématique, celle qui nous fait
connaître le monde extérieur, n'a que faire des ensembles non dénombrables, et des objets non
susceptibles d'être définis par un nombre fini de mots. Ces objets n'existent qu'en un sens : leur
existence n'implique pas contradiction. Et encore n'est-ce pas sûr.
En géométrie il est vrai on considère des segments de droite, des arcs de courbe, etc. Ce sont
des ensembles de points non dénombrables. Mais tous les points obtenus par une construction
géométrique quelconque ont une position définie par un nombre fini des mots.
[Jules Richard: "SUR UN PARADOXE DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES ET SUR L'AXIOME
ZERMELO", L'enseignement mathématique 9 (1907) 94-98.]
http://de.wikipedia.org/wiki/Jules_Richard
82 Das Kalenderblatt 090825
Leben und Werk
Jules Antoine Richard lehrte an den Gymnasien (Lycées) von Tours, Dijon und Châteauroux. Er
promovierte erst im Alter von 39 Jahren an der Faculté des Sciences in Paris mit einem Thema
zur Oberfläche von Fresnel-Wellen. Er beschäftigte sich vor allem mit den Grundlagen der
Mathematik und Geometrie, wobei er sich auf Arbeiten von Hilbert, von Staudt und Meray
bezog. In einer philosophisch geprägten Abhandlungen über das Wesen der Axiome der
Geometrie diskutiert, kritisiert und verwirft er folgende Leitsätze:
1) Die Geometrie basiert auf willkürlich gewählten Axiomen - es gibt unendlich viele gleichwahre
Geometrien.
2) Die Axiome der Geometrie werden von der Erfahrung geliefert. Dabei findet eine deduktive
Entwicklung auf experimenteller Grundlage statt.
3) Die Axiome der Geometrie sind Definitionen (im Unterschied zu (1)).
4) Axiome sind weder experimentell erzwungen noch willkürlich gewählt.
Sie sind eine a priori notwendige Voraussetzung, denn erst durch sie ist Erfahrung überhaupt
möglich (eine auch von Immanuel Kant vertretene Anschauung).
Richard kam zu dem Ergebnis, dass die Begriffe der Identität zweier Objekte und der
Unveränderbarkeit eines Objektes zu vage sind und der Präzisierung bedürfen. Dies sollte durch
Axiome geschehen. Obwohl die nicht-euklidischen Geometrien um diese Zeit noch keine
Anwendung gefunden hatten (Albert Einstein hat seine allgemeine Relativitätstheorie erst 1915
aufgestellt), erklärt Richard bereits: "Wenn der Begriff des Winkels festgelegt wird, kann man
den Begriff der geraden Linie so wählen, dass die eine oder andere der drei Geometrien wahr
ist."
Über einen engeren Leserkreis hinaus bekannt geworden ist allerdings nur das Richardsche
Paradoxon, vor allem weil Poincaré ausgiebig davon Gebrauch gemacht hat, um die
Mengenlehre vergeblich zu desavouieren, woraufhin die Verfechter der Mengenlehre sich
genötigt sahen, diese Angriffe zurückzuweisen.
Das Richardsche Paradoxon
Das Paradoxon wurde zuerst in einem Brief von Richard an Louis Olivier, den Direktor der
Zeitschrift Revue générale des sciences pures et appliquées entwickelt und 1905 in der
Abhandlung "Les Principes des mathématiques et le problème des ensembles" veröffentlicht. In
den Principia Mathematica von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell wird das
Paradoxon mit sechs anderen Paradoxien zum Selbstbezug wiedergegeben. In einem der
wichtigsten Kompendien mit Werken zur mathematischen Logik, gesammelt von Jean van
Heijenoort, ist Richards Aufsatz ebenfalls enthalten. Das Richardsche Paradoxon inspirierte Kurt
Gödel und Alan Turing zu ihren berühmten Arbeiten. Kurt Gödel betrachtete seinen
Unentscheidbarkeits-Satz als Analogon zum Richardschen Paradoxon.
Richard benützte zur Konstruktion seines Paradoxons eine Version des Cantorschen
Diagonalverfahrens, um eine endlich definierte Zahl zu konstruieren, die in der Menge aller
endlich definierten Zahlen nicht enthalten ist.
Alle endlichen Definitionen und damit alle endlich definierten Dezimalzahlen bilden eine
abzählbare Menge. Diese Definitionen können lexikalisch geordnet und die definierten
Dezimalzahlen nummeriert und in Form einer Liste zusammengefasst werden. In dieser Liste
wird die n-te Ziffer p der n-ten Dezimalzahl durch die Ziffer p + 1 ersetzt, wenn p nicht gleich 8
oder 9 ist; andernfalls wird p durch die Ziffer 1 ersetzt. Hintereinander geschrieben bilden die
ersetzten Ziffern eine Dezimalzahl. Diese Dezimalzahl in der ursprünglichen Liste nicht
enthalten, weil sie sich von jedem Listeneintrag an mindestens einer Stelle unterscheidet,
nämlich von der n-ten Dezimalzahl an der n-ten Stelle. Sie ist aber durch den vorhergehenden
Absatz mit endlich vielen Wörtern definiert worden, gehört also zur Menge aller endlich
definierbaren Dezimalzahlen.
Obwohl Jules Richard niemals eine andere Version seines Paradoxons veröffentlicht hat, wird
es in der Literatur häufig mit dem Berryschen Paradoxon oder einer Variante des Paradoxons
von Grelling und Nelson verwechselt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Jules_Richard
(Aus der Version vom 4. 5. 2007 entnommen)
83 Das Kalenderblatt 090826
Other Versions of Richard's Paradox
(A) The version given in Principia Mathematica by Whitehead and Russell is similar to Richard's
original version, alas not quite as exact. Here only the digit 9 is replaced by the digit 0, such that
identities like 1.000... = 0.999... can spoil the result. {{Dies ist aber nicht der einzige Irrtum in
Russell's Lebenswerk.}}
(B) Berry's Paradox, first mentioned in the Principia Mathematica as fifth of seven paradoxes, is
credited to Mr. G. G. Berry of the Bodleian Library. It uses the least integer not nameable in
fewer than nineteen syllables; in fact, in English it denotes 111,777. But "the least integer not
nameable in fewer than nineteen syllables" is itself a name consisting of eighteen syllables;
hence the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables can be named in eighteen
syllables, which is a contradiction.
(C) Berry's Paradox with letters instead of syllables is often related to the set of all natural
numbers which can be defined by less than 100 (or any other large number) letters. As the
natural numbers are a well-ordered set there must be the least number which cannot be defined
by less than 100 letters. But this number was just defined by 65 letters including spatia.
(D) König's Paradox was also published in 1905 by Julius König. All real numbers which can be
defined by a finite number of words form a subset of the real numbers. If the real numbers can
be well-ordered, then there must be a first real number (according to this order) which cannot be
defined by a finite number of words. But the first real number which cannot be defined by a finite
number of words has just been defined by a finite number of words.
(E) The smallest natural number without interesting properties acquires an interesting property
by this very lack of any interesting properties.
(F) A loan of the Paradox of Grelling and Nelson. The number of all finite definitions is
countable. In lexical order we obtain a sequence of definitions D1, D2, D3, ... Now, it may
happen that a definition defines its own number. This would be the case if D1 read "the smallest
natural number". It may happen, that a definition does not describe its own number. This would
be the case if D2 read "the smallest natural number". Also the sentence "this definition does not
describe its number" is a finite definition. Let it be Dn. Is n described by Dn? If yes, then no, and
if no, then yes. The dilemma is irresolvable.
Solution of Richard's Paradox
The solution of Richard's paradox may be explained most easily by version (C). If all definitions
with less than 100 letters already are given, then also the sequence of letters Z = "the least
number which cannot be defined by less than 100 letters" does define a number. As an
example, let a = 01, b = 02, c = 03 etc. By "example" we have defined the number example =
05240113161205 and also the sequence Z would already define a number. Only by the change
of language from numeral to colloquial the apparent paradox occurs.
{{Im Gegensatz dazu "gibt es" (wer ist "es"?) nach Ansicht der Mengenlehrer (zu deren Nutz und
Frommen diese Erbauungslektüre gedacht ist) "reelle" Zahlen, die nicht real(-isierbar) sind, weil
sie in keiner Sprache definiert werden können --- denn das kartesische Produkt aller Symbole,
aller daraus gebildeten endlichen Wörter und aller ihrer Interpretationen/Bedeutungen ist
abzählbar. Weil aber Zahlen nirgendwoanders existieren als in Speichern, können Zahlen, die
auch dort nicht existieren können, gar nicht existieren}}
http://en.wikipedia.org/wiki/Jules_Richard
(Aus der Version vom 19. 4. 2007 entnommen.)
84 Das Kalenderblatt 090827
Das Internet wird bald das gesamte Wissen der Menschheit enthalten --- allerdings auch ein
paar Sachen, die darüber hinausgehen. Dazu zählt vermutlich das Folgende.
Henri Poincaré: "Later generations will regard Mengenlehre as a disease from which one has
recovered." (4. Mathematiker-Kongress, Rom 1908)
Obwohl dieses Zitat nicht nur im Internet allgegenwärtig ist, sondern auch in ernstzunehmenden
Büchern abgedruckt wurde und Skolem schon 1923 bekannt war, scheint Poincaré diesen Satz
so nicht gesagt zu haben, sondern "nur" den in KB090606 wiedergegeben Text.
Dass Leopold Kronecker Cantor vor seinen Hörern als Verderber der Jugend bezeichnet hätte,
worauf viele Quellen anspielen, u. a. Y. Manin (s. KB090709), ist bei der von Kronecker stets
bewiesenen Höflichkeit eher unwahrscheinlich. Zwar beschwert sich Cantor in einem Brief an
Mittag-Leffler vom 5. 9. 1891 bitterlich: "Allein zufällig erhalte ich in meinen Besitz eine
Nachschrift seiner in diesem Sommersemester über den Zahlbegriff an der Universität Berlin
gehaltenen öffentlichen Vorlesung und habe hier schwarz auf weiß den Beweis, daß er in der
schamlosesten Weise und ohne jede wissenschaftliche Begründung meine mathematischen
Arbeiten vor seinen unreifen urtheilslosen Zuhörern herabgesetzt hat." Doch über den Inhalt und
die Authentizität der Mitschrift ist nichts bekannt. Schönflies schreibt lediglich: "Es übersteigt
nicht das erlaubte Mass, wenn ich sage, dass die Kroneckersche Einstellung den Eindruck
hervorbringen musste, als sei Cantor in seiner Eigenschaft als Forscher und Lehrer ein
Verderber der Jugend." Doch Schönflies erwähnt auch: "Sie alle, gegen die er [Cantor] seiner
Bitterkeit freien Lauf lässt, deckt bereits die Erde, aber doch ist es vielfach unmöglich, die
Schärfe des Ausdrucks wörtlich wiederzugeben, die die Wallungen seines Blutes seinen Briefen
mitteilten." [A. Schönflies: "Die Krisis in Cantor's mathematischem Schaffen", Acta mathematica
50 (1927)]
"Set theory is based on polite lies, things we agree on even though we know they're not true. In
some ways, the foundations of mathematics has an air of unreality." William P. Thurston, dem
diese Aussage an vielen Stellen im Internet zugeschrieben wird, hält sie nicht für authentisch.
Vermutlich handelt es sich um eine verkürzte Wiedergabe verschiedener Äußerungen, darunter
der aus KB090802.
85 Das Kalenderblatt 090828
Das Internet wird bald das gesamte Wissen der Menschheit enthalten --- allerdings auch ein
paar Sachen, die darüber hinausgehen. Dazu zählt möglicherweise die folgende Meinung, die
Kronecker sicher [*] und zu recht [**] hegte. Jedenfalls konnte ich sie bisher nicht durch eine
Quelle außerhalb des Internets stützen. "I don't know what predominates in Cantor's theory philosophy or theology, but I am sure that there is no mathematics there." Möglicherweise ist die
Äußerung aus einem Gespräch kolportiert oder Kroneckers Korrespondenz entnommen.
[*] Cantor bestätigte dies in einem Brief an Mittag-Leffler vom 9. 9. 1883: Kronecker, der mich
Anfang des Juli besuchte, erklärte mir mit dem freundschaftlichsten Lächeln, dass er mit Hermite
über meine letzte Arbeit viel correspondirt habe, um ihm zu demonstriren, dass das Ganze nur
"Humbug" sei.
[**] Es ist nach Cantors Theorie möglich, alle natürlichen Zahlen n zu einer Menge M vereinigt
zu denken. Wenn das so ist, dann ist es auch möglich, die Vereinigung in der Weise zu denken,
dass jede Zahl n auf dem Umwege über einen intermediären Speicher S zu M hinzugefügt wird,
und zwar so, dass die Zahl n erst dann zu M hinzugefügt wird wenn die Zahl n + 1 in S
vorhanden ist.
Es ist angeblich möglich, zwei abzählbar-unendliche Mengen in eine Bijektion zu setzen. Also ist
es auch möglich, die Schritte
{n} U {n + 1} \ {n}
zu nummerieren, so dass gilt:
n ¨ {n} U {n + 1} \ {n} (#)
S ist eine Menge(nfunktion), die in jedem Schritt der ohne Ende zu denkenden, also
*unendlichen* Vereinigung mindestens eine natürliche Zahl enthält, die größer ist als die
Kardinalzahl der Menge M. Das Unendliche der Menge M ist ein anderes Unendliches als das
der Menge Ù. Das Unendliche der Menge M tritt aber in allen konstruktiven Fällen hervor, so bei
der Nummerierung (#), bei Cantors Abzählung der rationalen Zahlen und bei Cantors
Überzählung der reellen Zahlen. Die Mengenlehre erheischt demnach, möglichst unauffällig mit
zweierlei Maß zu messen, und also bleibt in Abwandlung des bekannten Mottos von Friedrich
Gustav Gauss nur festzustellen: Übermäßige Schärfe im analytischen Denken erzeugt einen
mengenialen Mangel an Vertrauen in das Transfinite.
86 Das Kalenderblatt 090829
Warum ist die Mengenlehre keine mathematisch exakte Wissenschaft?
Die Menge
{0} U {1} U {2} U ...
wird von allen Mengenlehrern als ω erkannt.
Die Menge
...((...(((({0} U {1}) \ {1}) U {2}) \ {2}) ... U {n}) \ {n})...
wird vermutlich von den meisten Mengenlehrern als {0} erkannt.
Die Menge
...((...(((({0} U {1}) \ {0}) U {2}) \ {1}) ... U {n}) \ {n - 1})...
wird von keinem Mengenlehrer erkannt. Sonst müsste er erkennen, dass seine Erkenntnisse
keine sind, denn:
Die Kardinalzahl M einer Menge M bleibt nach 1. ungeändert dieselbe, wenn an Stelle der
Elemente m, m', m'', ... von M andere Dinge substituiert werden. [E. Zermelo (Hrsg.): "Georg
Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer
(1932)] p. 412]
Die Substitution von n durch n + 1 ändert folglich die Kardinalzahl 1 der Menge {n} nicht. Jede
Menge mit einer Kardinalzahl ist aber eine existierende Menge. Oder sollte man aus dem Vorrat
aller existierenden natürlichen Zahlen nur eine gewisse Auswahl (man spricht auch von Teiloder Untermenge) zwecks Substitution verwenden dürfen?
Die Menge
... œ A3 œ A2 œ A1 œ M
wiederum wird von mindestens einem Mengenlehrer erkannt. An den drei Pünktchen vorn oder
hinten kann es also nicht liegen. Woran aber dann? Unwissenschaftliche Willkür! Darum ist die
Mengenlehre keine mathematisch exakte Wissenschaft.
87 Das Kalenderblatt 090830
Der Lebensnerv der mathematischen Wissenschaft ist bedroht durch die Behauptung,
Mathematik sei nichts anderes als ein System von Schlüssen aus Definitionen und Annahmen,
die zwar in sich widerspruchsfrei sein müssen, sonst aber von der Willkür des Mathematikers
geschaffen werden. Wäre das wahr, dann würde die Mathematik keinen intelligenten Menschen
anziehen. Sie wäre eine Spielerei mit Definitionen, Regeln und Syllogismen ohne Ziele und
Sinn. Die Vorstellung, daß der Verstand sinnvolle Systeme von Postulaten frei erschaffen
könne, ist eine trügerische Halbwahrheit.
[R. Courant, H. Robbins: "Was ist Mathematik?", Springer, Berlin (1962)]
http://www.amazon.de/Was-ist-Mathematik-RichardCourant/dp/354063777X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1286387326&sr=1-1
88 Das Kalenderblatt 090831
Grosser Vorhof des Palasts
Mephistopheles:
Hier gilt kein künstlerisch Bemühn;
Verfahret nur nach eignen Maßen!
Der Längste lege längelang sich hin,
Ihr andern lüftet ringsumher den Rasen;
Wie man's für unsre Väter tat,
Vertieft ein längliches Quadrat!
Aus dem Palast ins enge Haus,
So dumm läuft es am Ende doch hinaus.
[Johann Wolfgang von Goethe: Faust. Der Tragödie zweiter Teil.]
Hierauf vergeht der lange Winter, es kommt der Frühling und der unendlich dauernde Sommer und wenn die Mutter wieder vom heiligen Christe erzählt, daß nun bald sein Festtag sein wird,
und daß er auch diesmal herabkommen werde, ist es den Kindern, als sei seit seinem letzten
Erscheinen eine ewige Zeit vergangen, und als liege die damalige Freude in einer weiten,
nebelgrauen Ferne. Weil dieses Fest so lange nachhält, weil sein Abglanz so hoch in das Alter
hinaufreicht, so stehen wir so gerne dabei, wenn die Kinder dasselbe begehen und sich darüber
freuen. In den hohen Gebirgen unsers Vaterlandes steht ein Dörfchen mit einem kleinen, aber sehr
spitzigen Kirchturme, der mit seiner roten Farbe, mit welcher die Schindeln bemalt sind, aus
dem Grün vieler Obstbäume hervorragt und wegen derselben roten Farbe in dem duftigen und
blauen Dämmern der Berge weithin ersichtlich ist. Das Dörfchen liegt gerade mitten in einem
ziemlich weiten Tale, das fast wie ein länglicher Kreis gestaltet ist.
[Adalbert Stifter: Bergkristall]
Gerettete Millionen
»Ist aber Winnetou damit einverstanden? Ich soll nicht bloß dir, sondern auch ihm gehorchen.«
Da antwortete der Apatsche: »Was mein Bruder Shatterhand sagt oder thut, das ist ganz so, als
ob ich es gesagt oder gethan hätte. Meine Brüder mögen einig sein und nicht eher über die
Sache weitersprechen, als bis Old Shatterhand das tiefe Wasser gesehen hat.«
Er hatte jedenfalls einen guten Grund, dies Verlangen an uns zu stellen; darum war ich nun still.
Ich hatte übrigens meine Absicht erreicht, zu erfahren, was von der Grausamkeit oder Humanität
der Nijoras zu halten war, natürlich soweit das Wort Humanität auf Indianer in Anwendung
gebracht werden kann.
Die lange Schlange unseres Zuges bewegte sich schnell und ohne Windungen über nackten
Felsenboden hin. Es war ringsum kein Halm zu sehen. Darum erstaunte ich, als ich plötzlich
einen Wald oder richtiger gesagt, ein Wäldchen vor uns auftauchen sah, dessen Form ein
länglicher Kreis zu sein schien.
[Karl May: Im Thodesthale]
Zu dem Gedanken, das Unendlichgroße nicht bloß in der Form des unbegrenzt Wachsenden
und in der hiermit eng zusammenhängenden Form der im siebzehnten Jahrhundert zuerst
eingeführten konvergenten unendlichen Reihen zu betrachten, sondern es auch in der
bestimmten Form des Vollendet-unendlichen mathematisch durch Zahlen zu fixieren,
bin ich fast wider meinen Willen, weil im Gegensatz zu mir wertgewordenen Traditionen, durch
den Verlauf vieljähriger wissenschaftlicher Bemühungen und Versuche logisch gezwungen
worden, und ich glaube daher auch nicht, daß Gründe sich dagegen werden geltend machen
lassen, denen ich nicht zu begegnen wüßte.
[Georg Cantor: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre]
Längliches Quadrat, länglicher Kreis, Vollendet-unendlich? Ein Musensohn darf sich einen
solchen Lapsus wohl erlauben, aber ein Mathematiker?
Au fond bin ich eine sehr leichte Künstlernatur und bedaure stets, daß mein Vater mich nicht hat
„violiniste" werden laßen, darin ich jedenfalls am glücklichsten geworden wäre. Ich gehöre ja
mütterlicherseits einer Familie von Violinvirtuosen an. [...] Sie sehen also, daß ich meinen Beruf
verfehlt und dem Grundsatz „Ne sutor ultra crepidam" nicht gefolgt bin. [Cantor an Lemoine, 17.
3. 1896]
Ach so.
N.B.
Und ich will, daß Euer Wohlehrwürden erfahre, daß ich ein Ritter aus der Mancha bin mit Namen
Don Quijote und daß mein Beruf und mein Brauch ist, durch die Lande zu fahren, um alle Frevel
und Verbrechen abzutun und alles Schlechte gut und alles Krumme gerade zu machen.
[Miguel de Cervantes Saavedra: Der sinnreiche Junker Don Quijote von der Mancha, Erstes
Buch]
Cervantes, obwohl Künstler, spricht nicht von krummen Geraden, sondern nur davon, alles
Krumme gerade zu machen, was einen großen Unterschied ausmacht und ihn in
mathematischer Hinsicht über alle vorstehenden Musensöhne erhebt.
89 Das Kalenderblatt 090901
Das Kalenderblatt 090830 zum Thema "Was ist Mathematik?" (von R. Courant und H. Robbins,
Springer (2001)) war, wie es scheint, etwas zu lakonisch. Deshalb hier eine hoffentlich besser
verständliche, erweiterte Fassung.
In bester Absicht wird zuweilen die axiomatische Methode überbetont oder gar als allein selig
machender Weg gepriesen, wo es doch angebracht wäre, die Phantasie des Lesers zu stärken
und seine schöpferische Kraft anzuregen. [...] Zum Glück sind auch Courant und Robbins keine
Dogmatiker, sondern zeigen uns die geballte Kraft des mathematischen Denkens [...] [S.
Hildebrandt, Vorwort zur 4. Aufl.] {{Zum Unglück war leider Dieudonné, einer der Väter von
Bourbaki, ein Dogmatiker:}} Axiomatische Methoden seien strikt zu befolgen, ohne jedweden
Appell an die "geometrische Intuition". [...] diese Notwendigkeit habe er dadurch betont, daß
absichtlich kein einziges Diagramm in seinem Buch zu finden wäre. [S. Hildebrandt, Vorwort zur
4. Aufl.] {{Borniert! Ist doch jedes X ein besserer Beweis für den Zwischenwertsatz als
irgendeine Kette von isoliert dastehenden Symbolen, ganz gleich, welcher Provenienz.}}
Das vorliegende Werk [...] vermeidet die leider so oft geübte dogmatische Darstellungsform,
welche Wurzeln, Motive und Ziele der Mathematik verschleiert. [R. Courant: "Vorwort zur ersten
deutschen Ausgabe"]
Die Kapitel VI und VIII bilden eine zusammenhängende Einführung in die Differential- und
Integralrechnung vom Standpunkt des anschaulichen Verständnisses; [R. Courant, H. Robbins:
"Ratschläge für den Leser"]
Mit der Zeit schlug das Pendel nach der Seite der reinen Logik und Abstraktion aus, und zwar so
weit, daß eine gefährliche Trennung der "reinen" Mathematik von lebenswichtigen
Anwendungsgebieten entstand. Vielleicht war eine solche Entfremdung zwischen
Mathematikern und anderen Wissenschaftlern in den Zeiten kritischer Revision unvermeidlich.
Aber es scheint, und es ist jedenfalls zu hoffen, daß diese Periode der Isolation beendet ist. [...]
Eine neue organische Einheit von reiner und angewandter Wissenschaft und einen Ausgleich
zwischen abstrakter Allgemeinheit und den farbigen, konkreten Erscheinungen zu schaffen, ist
vielleicht die wichtigste Aufgabe für die nächste Zukunft. [...] Die Betonung des deduktivaxiomatischen Charakters der Mathematik birgt eine große Gefahr. [...] Der Lebensnerv der
mathematischen Wissenschaft ist bedroht durch die Behauptung, Mathematik sei nichts anderes
als ein System von Schlüssen aus Definitionen und Annahmen, die zwar in sich widerspruchsfrei
sein müssen, sonst aber von der Willkür des Mathematikers geschaffen werden. Wäre das wahr,
dann würde die Mathematik keinen intelligenten Menschen anziehen. Sie wäre eine Spielerei
mit Definitionen, Regeln und Syllogismen ohne Ziele und Sinn. Die Vorstellung, daß der
Verstand sinnvolle Systeme von Postulaten frei erschaffen könne, ist eine trügerische
Halbwahrheit. [...] Glücklicherweise vergessen schöpferische Menschen ihre dogmatischen
Vorurteile, sobald diese die konstruktive Leistung behindern. [R. Courant, H. Robbins: "Was ist
Mathematik?"]
{{Deswegen wird wohl jeder schöpferische Mensch dem Nobelpreisträger Murray Gell-Mann
beipflichten:}} Pure mathematics and science are finally being reunited and, mercifully, the
Bourbaki plague is dying out. [KB090729]
Während die Griechen die geometrischen Begriffe Punkt und Gerade zur Grundlage der
Mathematik wählten, ist es heute zum Leitprinzip geworden, dass alle mathematischen
Aussagen letzten Endes auf Aussagen über die natürlichen Zahlen zurückführbar sein müssen.
{{Aussagen zu verwenden ist also nur eine Modeströmung, die sich schnell wieder ändern kann.
Warum auch sollten Signale in Form von geschriebener Sprache höheren Beweisrang besitzen,
als Signale in jeder anderen Form? }} [...] Vom menschlichen Geist zum Zählen geschaffen,
haben die Zahlen keinerlei Beziehung zu der individuellen Natur der gezählten Dinge [R.
Courant, H. Robbins: "Die natürlichen Zahlen"] {{und niemals geschaffene Zahlen haben
überhaupt keine Beziehung, weder zu Dingen noch zu ihrem Schöpfer.}}
http://www.amazon.de/Was-ist-Mathematik-RichardCourant/dp/354063777X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1286387326&sr=1-1
Man beachte schließlich noch die geschmackvolle Gestaltung des Umschlags.
90 Das Kalenderblatt 090902
Vorschrift zu gelangen zur Kenntnis aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, welche enthalten
sind in den Dingen. (Titel des Papyrus Rhind [Eisenlohr: "Commentar zum Papyrus Rhind"
(1877)])
Wie Großmutter und Großvater Mathematik definierten
Den Gegenstand der reinen Mathematik bilden die Beziehungen, welche zwischen
irgendwelchen gedachten Elementen begrifflich herstellbar sind, indem wir sie als in einer
wohlgeordneten Mannigfaltigkeit enthalten ansehen; das Ordnungsgesetz dieser
Mannigfaltigkeit muß unserer Wahl unterliegen. [Papperitz; Jahresber. d. Deutsch. Math. Verein.
1 (1892) p. 36]
What is essential in mathematics is that its symbols should be capable of some interpretation ;
generally they are capable of many, and then, so far as mathematics is concerned, it does not
matter which we adopt. Mr Bertrand Russell has said that mathematics is the science in which
we do not know what we are talking about, and do not care whether what we say about it is true,
a remark which is expressed in the form of a paradox but which in reality embodies a number of
important truths. It would take too long to analyse the meaning of Mr Russells epigram in detail,
but one at any rate of its implications is this, that the symbols of mathematics are capable of
varying interpretations, and that we are in general at liberty to adopt whichever we prefer. [...]
The object of mathematics is to prove that certain premises imply certain conclusions; and the
fact that the conclusions may be as obvious as the premises never detracts from the necessity,
and often not even from the interest of the proof. [Hardy: "A course of pure mathematics" (1908)]
Pure mathematics is the class of all propositions of the form p implies q where p and q are
propositions containing one or more variables the same in the two propositions, and neither p
nor q contains any constants except logical constants. And logical constants are all notions
definable in terms of the following» „implication", the relation of a term to a class, of which it is a
member, the notion of „such that" the notion of relation and such further notions, as may be
involved in the general notion of propositions of the above form. [Russell: "The principles of
mathematics" (1903)]
Algebra is the science of pure time. [Hamilton, Trans. Roy. Irish Acad. 17 (1837) p. 293]
Mathematics is the science which draws necessary conclusions. [Peirce: "Linear associative
algebra" (1870)]
Diese psychologische Grundlage des Zahlbegriffes (nämlich das zeitliche Nacheinander des
Zählaktes) darf aber nicht dazu verführen, daß man mit W.R. Hamilton auch logisch die Zahl aus
der Zeit ableitet. Können wir schon psychologisch unter Umständen mehrere Denkinhalte
gleichzeitig auffassen, so ist es logisch überhaupt nicht nötig, über die Zeitfrage der Einheiten
irgend etwas auszumachen. [W. Wundt: "Logik", Bd. II (1907)]
Ich schließe daraus, daß die physische Geometrie Sätze von realem Inhalt behauptet [...] daß
die Axiome der Geometrie bestimmt werden nicht von bloßen Formen des Vorstellens, sondern
von Verhältnissen der realen Welt. [Helmholtz: "Über den Ursprung und die Bedeutung der
geometrischen Axiome" (1870)] {{Wie alles in der Mathematik. Weshalb sonst hätte Euklid sie
gewählt und hätte Gauss versucht, sie durch Messung zu prüfen (wenn er es denn versucht
hat)?}}
91 Das Kalenderblatt 090903
Gute Mathematiker schreiben präzise und eindeutig. Trotzdem vermeinen die führenden
Exegeten der Matheologie, oft das Wesentliche und häufig das Gegenteil des geschriebenen
Textes zwischen den Zeilen zu erkennen. Der folgende Absatz soll ihnen die Lektüre erleichtern.
(i) Infinite totalities do not exist
in any proper sense of the word
(i.e., either really or ideally).
More precisely, any mention,
or purported mention,
of infinite totalities is,
literally meaningless.
{{Dieser Text wird durch die folgenden Zeilen (deren Zwischenzeilen die Exegeten der
Matheologie kaum interessieren werden und die darum hier ausgelassen sind) in keinster Weise
relativiert.}}
(ii) Nevertheless, we should continue the business of Mathematics "as usual," i.e., we should act
as if infinite totalities really existed. [...] I must regard a theory which refers to an infinite totality
as meaningless in the sense that its terms and sentences cannot posses the direct interpretation
in an actual structure that we should expect them to have by analogy with concrete (e.g.,
empirical) situations. This is not to say that such a theory is pointless or devoid of significance.
{{Of course this is neither to say the contrary.}}
[A. Robinson: "Formalism 64" in W.A.J. Luxemburg, S. Koerner (eds.): "A. Robinson: Selected
Papers", North Holland, Amsterdam (1979)]
92 Das Kalenderblatt 090904 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (1)
Ich scheue mich nicht, dem Leser zu gestehen, daß die Bestimmung des Begriffes der Größe
[...] mir in der That mehr Mühe verursacht habe, als die Erklärung aller übrigen Begriffe in dieser
Wissenschaft; daß ich auch nirgends so oft meine Meinung geändert. [J. Berg (Hrsg.): "Bernard
Bolzano, Grössenlehre", Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart (1975), BolzanoGesamtausgabe, Reihe II, Band 7]
Also ist die Zahl nichts anderes, als die Einheit der Synthesis des Mannigfaltigen seiner
gleichartigen Vorstellung überhaupt, dadurch daß ich die Zeit selbst in der Apprehension der
Anschauung erzeuge. [I. Kant: "Kritik der reinen Vernunft", von dem Schematismus der reinen
Verstandesbegriffe, Hartknoch, Riga (1781)]
http://gutenberg.spiegel.de
Eine extensive Größe nenne ich diejenige, in welcher die Vorstellung der Teile die Vorstellung
des Ganzen möglich macht (und also notwendig vor dieser vorhergeht). [...] In allen
Erscheinungen hat das Reale, was ein Gegenstand der Empfindung ist, intensive Größe, d. h.
einen Grad. [...] Nun nenne ich diejenige Größe, die nur als Einheit apprehendiert wird, und in
welcher die Vielheit nur durch Annäherung zur Negation vorgestellt werden kann, die intensive
Größe. [I. Kant: "Kritik der reinen Vernunft", Elementarlehre II (1781)]
Unter extensiven Größen verstehe ich solche, welche aus gleichartigen Teilen
zusammengesetzt sind; sie bilden den Gegenstand der Mathematik; die intensiven nur insoweit,
als sie extensiv gemacht werden können, wenn man für sie eine Skala angeben kann, an der sie
sich messen und untereinander vergleichen lassen. Es würde für einen Philosophen
verdienstlich sein, solche Punkte anzugeben, in denen etwa eine exakte Untersuchung
anzubahnen sei, und wäre die erste Ausführung auch noch so grob, so hätte man doch eine
Hoffnung demnächst etwas weiter zu kommen. [C. F. Gauß nach S. V. Waltershausen: "Gauß
zum Gedächtnis", Leipzig (1856)]
Betrachten wir einen Gegenstand als gehörig zu einer Gattung von Dingen, deren je zwei und
zwei niemals ein anderes Verhältnis zu einander haben können, als daß sie einander entweder
gleich sind, oder daß sich das eine von ihm als eine Summe darstellt, die einen dem andern
gleichen Teil in sich faßt, [...] so betrachten wir diesen Gegenstand als eine Größe. [B. Bolzano:
"Paradoxien des Unendlichen", Reclam, Leipzig (1851), Nachdruck: Wiss. Buchgesellschaft,
Darmstadt (1964)]
Der Begriff der Einheit ist wie jeder andere Begriff an sich nichts Wirkliches, und nur die
Auffassung desselben in dem Gemüthe eines denkenden Wesens ist zu bestimmter Zeit
wirklich. Der Begriff der Einheit gehört aber nicht zu den gegenstandlosen, sondern
gegenständlichen Begriffen; d. h. es gibt Gegenstände, die diesem Begriffe entsprechen, die
Einheiten sind, und es gibt solcher Gegenstände nicht nur im Reiche der Dinge, die keine
Wirklichkeit haben, sondern auch unter den Dingen, die Wirklichkeit besitzen. Verstehen wir also
unter der Einheit nicht den Begriff der Einheit, sondern den Gegenstand des Begriffes; so halte
ich es für unrichtig zu sagen, daß die concrete Einheit nichts Existierendes sei. [B. Bolzano,
"Grössenlehre" (1975)]
Bolzano unterscheidet die (ganzen) Zahlen von den Größen. (Dies ist ein interessantes Beispiel
für die Juvenilität des uns heute so selbstverständlich und altehrwürdig erscheinenden
umfassenden Zahlbegriffs.) Allerdings ist, wie das einleitende Zitat zeigt, der Begriff der Größe
für Bolzano nicht unproblematisch.
93 Das Kalenderblatt 090905 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (2)
Größe heißt ein jedes Ding, welches einem andern gleich oder ungleich gesetzt werden kann.
Unter welchen Bedingungen zwei zu einem System gehörige Dinge gleich oder ungleich heißen,
muß jedesmal besonders festgesetzt sein. Lassen sich alle Dinge eines Systems so aufeinander
beziehen, so bilden sie ein System von gleichartigen Größen [H. Graßmann: "Lehrbuch der
Mathematik für höhere Lehranstalten", Teil 1: Arithmetik, Berlin (1861)]
Und ich glaube auch, daß es dereinst gelingen wird, den gesamten Inhalt aller dieser
mathematischen Theorien zu "arithmetisieren", d.h. einzig und allein auf den im engen Sinne
genommenen Zahlbegriff zu gründen, also die Modifikationen und Erweiterungen dieses
Begriffes (namentlich die Hinzunahme der irrationalen und kontinuierlichen Größen) wieder
abzustreifen, welche zumeist durch die Anwendungen auf Geometrie und Mechanik veranlaßt
worden sind. [L. Kronecker, Werke III, S. 253]
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. [L. Kronecker:
"Vortrag elliptische Funktionen", Berliner Naturforscher-Versammlung (1886)]
Ich sehe die ganze Arithmetik als eine notwendige oder wenigstens natürliche Folge des
einfachsten arithmetischen Aktes, des Zählens, an, und das Zählen selbst ist nichts anderes als
die sukzessive Schöpfung der unendlichen Reihe der positiven ganzen Zahlen, in welcher jedes
Individuum durch das unmittelbar vorhergehende definiert wird; der einfachste Akt ist der
Übergang von einem schon erschaffenen Individuum zu dem darauffolgenden neu zu
erschaffenden. [R. Dedekind: "Stetigkeit und Irrationale Zahlen", Vieweg, Braunschweig (1872)]
Welchen Nutzen aber die wenn auch nur begriffliche Unterscheidung von reellen Zahlengrößen
noch höherer Art gewähren wird, vermag ich gerade nach meiner Auffassung des in sich
vollkommenen reellen Zahlengebietes noch nicht zu erkennen. [R. Dedekind: a.a.O.] {{Das ist
auch nicht möglich, wenn Zahlen erschaffen werden und somit ohne einen Schöpfungsakt nicht
vorhanden sind.}}
So wie die negativen und gebrochenen rationalen Zahlen durch eine freie Schöpfung hergestellt,
und wie die Gesetze der Rechnungen mit diesen Zahlen auf die Gesetze der Rechnungen mit
ganzen positiven Zahlen zurückgeführt werden müssen und können, ebenso hat man dahin zu
streben, daß auch die irrationalen Zahlen durch die rationalen Zahlen allein vollständig definiert
werden. [R. Dedekind: a.a.O.] {{Das erlauben die berühmten Schnitte --- aber es gibt nur
abzählbar viele.}}
Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet: die Zahlen sind freie
Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der
Dinge leichter und schärfer aufzufassen. [R. Dedekind: "Was sind und was sollen die Zahlen?",
Vieweg, Braunschweig (1888)]
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D46393
Die einfachste Methode zur Profanisierung der ganzen Zahlen wurde bereits von Frege [G.
Frege: "Grundlagen der Arithmetik" (1884) § 68] vorgeschlagen und von Russell [B. Russell:
"The principles of mathematics I" (1903) § 111] übernommen: Die Kardinalzahl |n| der Menge n
ist die Menge aller Mengen, die zu n äquivalent sind.
Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes "gleichzahlig dem
Begriffe F" [G.Frege, Grundlagen der Arithmetik, Breslau (1884)].
94 Das Kalenderblatt 090906 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (3)
Jeder Menge M kommt eine bestimmte "Mächtigkeit" zu, welche wir auch ihre "Kardinalzahl"
nennen. "Mächtigkeit" oder "Kardinalzahl" von M nennen wir den Allgemeinbegriff, welcher mit
Hilfe unseres Denkvermögens dadurch aus der Menge M hervorgeht, daß von der
Beschaffenheit ihrer verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins
abstrahiert wird. [...] Da aus jedem einzelnen Elemente m, wenn man von seiner Beschaffenheit
absieht, eine "Eins" wird, so ist die Kardinalzahl selbst eine bestimmte aus lauter Einsen
zusammengesetzte Menge, die als intellektuelles Abbild oder Projektion der gegebenen Menge
M in unserm Geiste Existenz hat. [p. 282]
Es ist nicht überflüssig, wenn ich hervorhebe, daß der Begriff der Ordnungszahl, wie er vorhin
bestimmt worden ist, in dem Falle endlicher Ordnungszahlen durchaus nicht zusammenfällt mit
dem, was man gewöhnlich "Ordinalzahlwörter" (erstes, zweites etc.) nennt; diese sind nichts als
Bezeichnungen für den Ordnungsrang der Elemente einer wohlgeordneten Menge und ergeben
sich ohne weiteres durch Anknüpfung an unsere Ordnungszahlen, indem das letzte Element
einer endlichen wohlgeordneten Menge als das n te in der vorliegenden Reihenfolge bezeichnet
wird, wenn n die derselben wohlgeordneten Menge zukommende Ordnungszahl vorstellt.
Während so von meinem Standpunkte aus die "Ordinalzahlwörter" als das Letzte und
Unwesentlichste in der wissenschaftlichen Theorie der Zahlen sich ergeben, werden sie in zwei
kürzlich publizierten Arbeiten zum Ausgangspunkt für die Entwicklung des Zahlbegriffs
genommen. Es geschieht dies in den zwei Abhandlungen, welche Herr H. v. Helmholtz und
Herr L Kronecker in der Sammlung "Philosophische Aufsätze. Eduard Zeller zu seinem
fünfzigsten Doktor-Jubiläum gewidmet. Leipzig, bei Fues, 1887" haben drucken lassen [Beide
Autoren nennen "Ordnungszahl" das, was ich "Ordinalzahlwort" nenne [...]]. Sie vertreten den
extremen empiristisch-psychologischen Standpunkt mit einer Härte, die man nicht für möglich
halten würde, wenn sie nicht, in Fleisch und Blut zweimal verkörpert, hier entgegen träte. Es
wäre irrtümlich, wollte man glauben, der Gegensatz dieser Auffassungen und der meinigen wäre
etwa der von Nominalismus und Konzeptualismus einerseits, zum maßvollen aristotelischen
Realismus andererseits, den ich vertrete; vielmehr ist es höchst instruktiv, sich zu überzeugen,
daß bei diesen beiden Forschern die Zahlen in erster Linie Zeichen, aber nicht etwa Zeichen für
Begriffe, die sich auf Mengen beziehen, sondern Zeichen für die beim subjektiven Zählprozeß
gezählten Einzeldinge sein sollen. [p. 382f]
Eine der wichtigsten Aufgaben der Mengenlehre [...] besteht in der Forderung, die
verschiedenen Valenzen oder Mächtigkeiten der in der Gesamtnatur {{Natur? Wo kommen dort
überabzählbar viele Zahlen vor?}}, soweit sie sich unsrer Erkenntnis aufschließt, vorkommenden
Mannigfaltigkeiten zu bestimmen; dazu bin ich durch die Ausbildung des allgemeinen
Anzahlbegriffs wohlgeordneter Mengen oder, was dasselbe bedeutet, des Ordnungszahlbegriffs,
gelangt. [p. 387]
Frege, Russell u. a. wollen die Kardinalzahl, bzw. die Ordinalzahl definieren als die "Klasse"
oder den "Begriffsumfang" aller einer gegebenen Menge äquivalenten, bzw. ähnlichen Mengen.
Aber da eine solche "Klasse" bekanntlich keine eigentliche, "konsistente" Menge ist, so ergibt
sich bei dieser Definition schon gleich im Anfang die (von Russell immer abgelehnte)
Notwendigkeit, zwischen "Mengen" und "Klassen" zu unterscheiden. [Anm. von E. Zermelo, p.
353]
[Alle Seitenangaben aus E. Zermelo (Hrsg.): "Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen
mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer (1932)]
95 Das Kalenderblatt 090907 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (4)
Das Mißtrauen, das man der Arithmetik, der Lehre von den Zahlen entgegenbrachte, offenbart
sich schon deutlich genug in der Wortprägung "Irrationalzahl", d. h. "unvernünftige Zahl". {{Ist
das wirklich die rechte Übersetzung?}} [...] Wenn aber Kronecker weiter sagt, die ganze Zahl ist
das einzige, was wir in der Mathematik brauchen, die gebrochene und die irrationale Zahl sind
entbehrlich, so scheint mir das doch zu weit zu gehen. {{Es wäre zwar etwas mühsamer, jede
Irrationalzahl auf ganze Zahlen zurückzuführen, aber der unvernünftig großen Menge
undefinierbarer Irrationalzahlen wäre ein Riegel vorgeschoben.}} Denn gerade die Irrationalzahl
und der mit ihr so eng verbundene Begriff der Stetigkeit scheinen mir doch durch ihre eminente
Fruchtbarkeit in der gesamten Mathematik ihre Existenzberechtigung längst hinreichend
bewiesen zu haben und täglich von neuem zu beweisen. [...] Die Frage, was Irrationalzahlen
sind, ist nach den bisherigen Erörterungen dahin zu beantworten, daß sie sehr verschiedenes
sein können, und dies ganz von unserer Willkür abhängt. Ob man sie als "Schnitt" oder
"Zeichen" oder sonst etwas definieren will, ist schließlich Sache des persönlichen Geschmacks.
Wesentlich ist aber, daß sie in jedem Falle unsere eigene Schöpfung sind und durchaus nichts
Mystisches an sich haben. {{Die Schöpfung von mehr, als schöpfbar ist, erscheint doch recht
mythisch. Sollte auch Perron - ähnlich wie Cantor - nicht wissen, dass die Akzeptanz der
Mengenlehre die Akzeptanz undefinierbarer Definitionen erzwingt?}} Aber erst durch diese
Erkenntnis gewinnt die weitere Frage, was sollen die Irrationalzahlen, überhaupt einen Sinn.
{{Was sollen vor allem die unbenutzbaren?}} Denn wären sie nicht von uns selbst erschaffen,
wären sie etwas Aprioristisches, von außen an uns Herangekommenes, so würde uns ein Urteil,
was sie sollen, ohne metaphysische Spekulationen in keiner Weise möglich sein. Nachdem wir
aber die Zahlen selbst erschaffen, müssen wir uns wohl Rechenschaft darüber ablegen können,
warum wir sie gerade so erschaffen {{und warum so viele?}} und nicht anders; mit anderen
Worten: was wollten wir damit anfangen? [...] Geht die Division bei diesem Verfahren nicht auf,
so führt Hensel den Prozeß {{zur Bildung von p-adischen Zahlen}} einfach wieder ganz formal
nach links ins Unbegrenzte weiter. [...] Was liegt nun aber näher, als daß man als
Irrationalzahlen alle die Zahlzeichen einführt, die in gleicher Weise, aber unter Verzicht auf
Periodizität, gebildet sind? {{Ja, was? Eigentlich nichts. Und es ist sehr befriedigend, dass ein
ausgewiesener Kenner des Irrationalen diese Frage stellt. Da ist nur ein Problem, dass nämlich
auf diese Weise - vergleiche den binären Baum - niemals überabzählbar viele Zahlen entstehen
und damit die Lieblingsidee der Mengenlehrer fast ebenso ernsten Schaden leidet wie sie selbst
angerichtet hat.}} [O. Perron: "Was sind und sollen die irrationalen Zahlen?", Jahresber. DMV.
16 (1907)]
96 Das Kalenderblatt 090908 Zahl und Größe zu Urgroßmutters Zeiten (5)
Number primarily derived from instances of a concept: purely intellectual from the start.
Abstracts from concept of which they are instances, and pays attention merely to the iteration.
We have, in number proper, a unity, but not a unit. Fractions, irrationals, imaginaries, etc. arise
from introducing notion of a unit. We have strictly, in number, two unities, one a complex whole,
containing several of the smaller unity. But the unity of the whole is very loose, in that it is merely
formal: it is supposed to derive, from its being a whole, no quality but that of formal unity. The
simpler unities are regarded apart from all qualitative differences, in fact, qua unities in number,
they have no qualitative differences. But they are discrete, and the unity is prescribed, not
arbitrary. [B. Russell: Various Notes on Mathematical Philosophy (1896-98) p. 13]
Number, throughout the following discussion, will only be used of discreta; it will be taken as
always the result, not of comparison as to the more or less, but of acts of synthesis (or analysis)
of things whose qualitative or quantitative differences are disregarded. Pure number will denote
the formal result of acts of synthesis, so far as any result can be known in total abstraction from
the matter synthesized and from the specific qualities of the objects of the synthesis [B. Russell:
On the Relations of Number and Quantity (1897) p. 71]
Auf einem Mißverständnis der Untersuchungen G. Cantors und der Mengentheoretiker scheint
es zu beruhen, wenn z. B. J. Baumann (Kritische Bemerkungen zur modernen Mathematik,
Ostwalds Annalen der Naturphilosophie VI, p. 291; man vgl. auch die Bemerkungen in der
Zeitschr. f. philos. Kritik, Bd. 91) erklärt, Cantor schließe willkürlich einen Begriff ab, der nicht
abgeschlossen werden kann und behaupte dessen Existenz. {{Nein, das ist Verständnis!}} [A.
Voss: "Über das Wesen der Mathematik", Rede gehalten am 11. März 1908 in der öffentlichen
Sitzung der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften, erweitert und mit
Anmerkungen versehen, Teubner, Leipzig (1909)]
Bei der Annahme, dass es ein reelles Zahlensystem im klassischen Sinne gibt, handelt es sich
ja um eine Vorstellung, für die noch keine hinlängliche mathematische Begründung vorliegt. [K.
Schütte: "Beweistheorie", p. 341] {{Man benutze es einfach, dann hat man einen viel besseren
Beweis, als das, was eine "Beweistheorie" zu leisten vermag. Selbstverständlich nicht für
Überabzählbarkeit, auch wenn die Beweistheorie sie "beweisen" kann.}}
{{Und zum Schluss die Wurzel allen Übels:}} Derjenige, der meint, daß Unendliches Gottes
Kenntnisse übersteige, muß auch die Gotteslästerung begehen zu behaupten, daß Gott nicht
alle Zahlen kenne. [...] Welcher Verrückte würde so etwas sagen? [...] Was für elende
Geschöpfe müßten wir sein, wenn wir es wagten, dem Wissen Gottes Schranken aufzuerlegen?
[Augustinus, Der Gottesstaat, XII 18] {{Sollte Gott doch eine Liste aller reellen Zahlen
besitzen?}}
Informationen zum modernen Zahlbegriff des MatheRealismus findet man in meinem Buch:
Die Mathematik des Unendlichen (2006) Kapitel 10.
http://www.shaker.de/de/content/catalogue/index.asp?lang=de&ID=8&ISBN=978-3-8322-5587-9
97 Das Kalenderblatt 090909
Für das Jahr 1777 wurden Kometen [*], Kriege und Katastrophen prognostiziert. Was passierte?
Gauß wurde geboren. Mit etwas Numerologie [**] ergibt sich nun der Übergang zum
Kalenderblatt vom 9.9.9.
[*] natürlich mit schwefelgiftigen, atemberaubenden Schweifen
[**]
http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenmagie
Allerdings sagt Gauß (Briefwechsel mit Schumacher, Bd. II, p. 268 (1831) {{#}}): (Was nun Ihren
Beweis anbelangt), "so protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe
als einer vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine
facon de parler, indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen gewisse Verhältnisse so
nahe kommen als man will, während anderen ohne Einschränkung zu wachsen gestattet ist.''
Aber dieser Protest von Gauß bezieht sich zunächst auf den Gebrauch, welchen Schumacher
von der Betrachtung unendlicher Winkelräume in ganz unbestimmter Weise zum Beweise des
Satzes von der Winkelsumme im Dreieck gemacht hatte, wohl auch auf ähnliche Versuche, wie
z. B. den von Bertrand, das Parallelenaxiom zu beweisen. Sicher würde Gauß den Cantorschen
Begriffsbildungen, welche beabsichtigen, zu ermitteln, in welchem Sinne mit unendlichen
Mannigfaltigkeiten exakt „gerechnet'' werden kann, seine Zustimmung nicht versagt haben. {{De
mortuis nil nisi bene! Das gilt für Voss, aber auch für Gauß. Deswegen hätte Voss seine
Mutmaßungen besser für sich behalten sollen.}} [A.Voss: "Über das Wesen der Mathematik",
Rede gehalten am 11. März 1908 in der öffentlichen Sitzung der königlich bayerischen
Akademie der Wissenschaften, erweitert und mit Anmerkungen versehen, Teubner, Leipzig
(1909)]
http://www.archive.org/details/uberdaswesender00vossgoog
{{#}} Was nun aber {{einen Beweis Schumachers für die Winkelsumme von 180° in Dreiecken
mit zwei unendlich langen Seiten}} betrifft, so protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch
einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist.
Das Unendliche ist nur eine Facon de parler, indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen
gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während anderen ohne Einschränkung zu
wachsen verstattet ist. [...] in der Euclidischen Geometrie gibt es nichts absolut großes, wohl
aber in der Nicht-Euclidischen, dies ist gerade ihr wesentlicher Karakter. [Gauß an Schumacher,
12. 7. 1831]
98 Das Kalenderblatt 090910
Die Mathematik als Grundlage der gegenwärtigen Kultur.
Was wäre ohne sie die Physik oder die Astronomie, welche in ihren theoretischen Teilen ja
eigentlich nur Anwendungen der Mathematik sind; ja selbst die chemische Analyse entnimmt
ihre tiefsten Untersuchungen gegenwärtig dem Gebiete der mathematischen Abstraktion!
Diese kurzen Bemerkungen dürften hinreichen, um die Behauptung zu begründen, daß unsere
ganze gegenwärtige Kultur, soweit sie auf der geistigen Durchdringung und Dienstbarmachung
der Natur beruht, ihre eigentliche Grundlage in den mathematischen Wissenschaften findet.
Diese Überzeugung ist eine so überwältigende, sich jedem aufzwingende, daß die Mehrzahl der
Gebildeten der Mathematik im allgemeinen eine fast an Überschätzung grenzende Verehrung
entgegenbringt. [...]
Und doch ist die Mathematik, dieses Werk des Menschengeistes, mit dem sich an Alter kein
anderes vergleichen läßt, deren Anfänge wir mit Sicherheit über sechs Jahrtausende zurück
verfolgen können, noch immer die unpopulärste aller Wissenschaften! Allerdings gehört es zum
Wesen jeder wahren Wissenschaft, unpopulär zu sein. [...]
Durch einen solchen Rückblick offenbaren sich uns die Kräfte, von denen der Fortschritt der
Wissenschaft in Wahrheit abhängt. Die bloße Benutzung der Axiome würde jener
Begriffsmaschine [...] gleichen, die nur ein mehr oder minder sinnvolles Spiel der Kombinatorik
entstehen lassen würde. In der Fähigkeit des menschlichen Geistes, neue Erfahrungen zu
machen, aus ihnen allgemeine Anschauungen zu gewinnen, und diese wieder in rein
mathematische Begriffe umzusetzen, d. h. dem Zahlbegriffe unterzuordnen, beruht das stete
Wachstum der Wissenschaft, die sich selbst so mit immer reicherem Inhalte erfüllt.
Wie wäre es möglich gewesen, den Begriff der irrationalen Zahlen, ohne die Anschauung der
Kontinuität, den Begriff der Grenze ohne den der Bewegung zu gewinnen! {{Leider hat die
Mengenlehre damit ein Problem: Panta rhei ist out.}} Auch der Begriff der variablen Zahl {{was
für eine schlüpfrige Terminologie, Herr Voss!}} und der Funktion tritt erst da auf, wo der
Kausalitätsbegriff als das leitende Prinzip für das Verständnis aller Naturerscheinungen
angesehen wird. Und in der neuesten Zeit haben wir die Mengenlehre entstehen sehen, welche
ersichtlich der räumlichen Anschauung ihre Entstehung, ihre prinzipielle Begründung aber dem
reinen Zahlenreich verdankt {{und ihren Inhalt der leeren Menge, will sagen dem kleinen
Unterschiede zwischen dieser und nichts}}. Und wer vermöchte zu sagen, ob nicht auch künftig
neue Anschauungen wieder zu neuen Begriffsbildungen Veranlassung geben, die geeignet sind,
die vielfachen Schwierigkeiten, welche der gegenwärtige Zustand der Wissenschaft noch
vorfindet, in einfacherer Weise zu überwinden? {{Dazu wären wohl eher die alten, soliden
Begriffsbildungen geeignet.}}
Die Anschauung, eine gewisse Divinationsgabe unserer schaffenden Phantasie, die dem
eigentlichen künstlerischen Schaffen, der Poetik, zu vergleichen ist, bildet in letzter Instanz
immer den Keim, aus dem alle großen Fortschritte der Mathematik entspringen, während die
Verwandlung in die arithmetische oder Zahlensymbolik das Geschäft der reinen Wissenschaft
ausmacht. {{#}}
Und hierin erblicken wir den objektiven, d. h. unvergänglichen, Wert der reinen Mathematik, den
sie trotz ihres weltabgewandten Gewandes besitzt.
[A. Voss: "Über das Wesen der Mathematik", Rede gehalten am 11. März 1908 in der
öffentlichen Sitzung der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften, erweitert und mit
Anmerkungen versehen, Teubner, Leipzig (1909)]
http://www.archive.org/details/uberdaswesender00vossgoog
{{#}} Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre
Sprache, und dann ist es alsobald etwas ganz anderes. [Goethe: "Ferneres über Mathematik
und Mathematiker" - Goethes Werke: Vollständige Ausgabe letzter Hand, Band 50]
http://books.google.de/books?id=7EAQAAAAYAAJ&pg=RA1-PA181&lpg=RA1PA1...#v=onepage&q&f=false
99 Das Kalenderblatt 090911
Hilberts Hotel soll gereinigt werden. Jeder Gast wird gebeten, in der nächsten Stunde den Raum
mit der nächst höheren Zimmernummer zu belegen, in der nächsten halben den nächsten, usw.
Nach 2 Stunden sind alle Gäste verschwunden. Wo sind sie hin? Wie können sie zurückkehren?
[I.J. Good: Am. Math. Monthly 90 (1983) 582]
Selbstverständlich wird jeder (und vor allem der pingelige Gast von Nummer 1) nur ein Zimmer
beziehen, das ordentlich aufgeräumt ist und an der Tür eine Nummer aufweist. Also wird jeder
(und vor allem der Pingelige) stets seine Zimmernummer kennen - ohne Ende, vor und nach
jedem Glockenschlag.
Übrigens kann schon der erste Umzug nur dann problemlos erfolgen, wenn nicht alle Zimmer
belegt sind. Das hätte der Hotelier eigentlich selbst bemerken müssen. Es ist nämlich nicht nur
unsinnig, über die natürlichen Zahlen hinaus zählen zu wollen; es wäre schon hochstaplerische
Überbuchung, alle Zimmer vermieten zu wollen.
100 Das Kalenderblatt 090912
Keine Neuerung setzt sich ohne Widerstand durch. Ja, am Ende muss man sagen, je geringer
der Widerstand ist, den das Neue findet, je schneller sich das Neue durchsetzt, desto schneller
eilt es selber zum Veralten. [Hans-Georg Gadamer in seiner Eröffnungsrede zu den Salzburger
Festspielen 1981]
Freuen wir uns denn auf die nächsten 100 Kalenderblätter zur lauteren Erbauung der
Mengenlehrer.
101 Das Kalenderblatt 090913
Betrachten wir bei dieser Gelegenheit Cantors Diagonalverfahren, mit dem er die
Nichtabzählbarkeit der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 bewies. Wir wenden das Verfahren auf
die an der μ-ten Stelle abgebrochenen Dezimalzahlentwicklungen an und schreiben die Liste
auf, deren Existenz Cantor annimmt, welche bei uns aber bereits bewiesen ist: [...] Die reelle
Zahl [...] ist dann sicher von den ersten μ Zahlen unserer Liste verschieden. Sie muß sich unter
den späteren Zahlen befinden. {{Das ist eine sehr logische Schlussfolgerung. Merkwürdig, dass
Cantor und seine Jünger nie drauf kamen.}} Das Verfahren zeigt lediglich, daß σ größer als μ
sein muß. Cantor hingegen kann aus der Annahme, es gäbe eine Liste aller reellen Zahlen
zwischen 0 und 1, hier auf einen Widerspruch schließen. {{Aus der Annahme 0 = 1 kann man
übrigens ebenfalls und genau so berechtigt auf einen Widerspruch schließen.}}
Das ist ein Beispiel dafür, daß ein und derselbe Beweis zu ganz verschiedenen Sätzen führen
kann, je nachdem welchen Begriffe zugrunde liegen. (Bei uns ist das Ergebnis des
Diagonalverfahrens übrigens kein interessanter Satz, σ > μ war uns schon bekannt.) {{Wenn es
aber die reellen Zahlen gibt/gäbe: sind/wären die irrationalen dann zahlreicher als die rationalen
oder nicht?}} Der Platonist entzieht sich der Rechtfertigungspflicht, indem er von Entdeckungen
spricht; solche kann man nur zur Kenntnis nehmen, Erfindungen aber bedürfen der Legitimation.
{{Nicht aber in dem Falle, wo nur eine Ausrede erfunden wird, warum man nicht alle reellen
Zahlen (er-) finden kann - obwohl doch angeblich alle in Platons Ablage existieren (Ablage P
sozusagen).}} Leibniz gibt eine Rechtfertigung, auch Kant fordert von den Ideen den Bezug zum
Felde der Erfahrung. {{Deshalb wohl war Cantor beiden gegenüber skeptisch.}}
[Detlef Laugwitz: "Zahlen und Kontinuum", BI, Zürich (1986)]
102 Das Kalenderblatt 090914
Andere Mathematiker gingen so weit in skeptischer Richtung, daß sie die Mengenlehre ganz
verwarfen, so z. B. Poincaré. Er soll in einem Vortrage auf dem internationalen
Mathematikerkongreß in Rom 1908 gesagt haben, daß man einmal in der Zukunft dazu kommen
würde, die Mengenlehre als eine überwundene Krankheit anzusehen. Er meinte den Grund der
Antinomien in den sogenannten nichtprädikativen Definitionen gefunden zu haben. Diese
Ansicht teilt auch B. Russell, und H. Weyl spricht in seinem Werke „Das Kontinuum" denselben
Gedanken aus. Eine nicht-prädikative Definition ist eine, welche gewisse Dinge so
zusammenfaßt, daß darunter auch Dinge mitgerechnet werden, deren Definition wieder das
Ergebnis der Zusammenfassung voraussetzt.
[T. A. Skolem: Über die Grundlagendiskussionen in der Mathematik (1929)]
[T. A. Skolem . Selected works in logic, J. E. Fenstad, ed. Oslo: Scandinavian University Books
(1970) p. 214]
(Rudolf Sponsel und seiner sehr lesenswerten WebSite
http://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/ggsidm/gdgsidm.htm
verdanke ich den Hinweis auf diese Quelle.)
103 Das Kalenderblatt 090915
[...] den logischen Kurzschluß, der darin liegt, daß man das potentielle Unendlich der unbegrenzt
wachsenden Stellenzahl zu einem aktualen Unendlich macht und die Wurzel aus 2 der "nicht
abbrechenden Dezimalzahl" 1,4142... gleich setzt
[Detlef Laugwitz: "Zahlen und Kontinuum", BI, Zürich (1986)]
oder 2-1 + 2-2 + ... + 2-k + ... der natürlichen Zahl 1 gleich setzt.
Limn ض 1/n = 0 bedeutet: die variable Zahl 1/n wird niemals 0.
Für sie gilt immer (oder in der momentan bevorzugten Sprechweise: für all n gilt) 1/n > 0.
Aus demselben Grunde bedeutet
Limn ض 2-1 + 2-2 + ... + 2-n = 1
nichts anderes als
2-1 + 2-2 + ... + 2-n = 1 - 2-n
und 2-n wird niemals 0.
Da keine letzte natürliche Zahl L definierbar ist und sie, wenn es sie denn gäbe, ganz gewiss
nicht
2-L = 0
erfüllte, liegt in der Setzung
2-1 + 2-2 + ... + 2-n + ... = 1
der nämliche logische Kurzschluss, den Laugwitz tadelt.
If you disregard the very simplest cases, there is in all of mathematics not a single infinite series
whose sum has been rigorously determined.
[Niels Henrik Abel zitiert in G. F. Simmons: "Calculus Gems", New York (1992)]
With the exception of the geometric series, there does not exist in all of mathematics a single
infinite series whose sum has been determined rigorously.
[Niels Henrik Abel zitiert in E. Maor: "To infinity and beyond", Birkhäuser, Boston (1986)]
Ich weiß nicht, welches der beiden Zitate genauer ist - ist aber auch egal. Im entscheidenden
Teil stimmen die Versionen hinreichend überein: "There is in all of mathematics not a single
infinite series whose sum has been rigorously determined" {{because the finished infinite is not
part of mathematics and unfinished series haven't fixed sums}}.
104 Das Kalenderblatt 090916
Sind nämlich m und w irgend zwei einander ausschließende Charaktere, so betrachten wir den
Inbegriff M von Elementen
E = (x1, x2, ..., xν, ...),
welche von unendlich vielen Koordinaten x1, x2, ..., xν, ... abhängen, wo jede dieser Koordinaten
entweder m oder w ist. M sei die Gesamtheit aller Elemente E. {{Du hattest herrliche Gesichte --doch ohne eine Prise praktizierten Platonismus existiert diese Gesamtheit nicht. Aus den ZFCAxiomen lässt sich ihre Existenz nicht beweisen. Das Unendlichkeitsaxiom liefert lediglich
Fragmente: eine unendliche Liste von Elementen und allenfalls noch eine unendliche Liste von
Diagonalzahlen --- Überunendliches nicht.}}
Ich behaupte nun, daß eine solche Mannigfaltigkeit M nicht die Mächtigkeit der Reihe 1, 2, 3, ...,
ν, ... hat. {{Ich behaupte das auch, weil die Mannigfaltigkeit mangels Existenz gar keine
Mächtigkeit hat.}}
[G.Cantor: "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", Jahresbericht der DMV 1
(1890-91) 75-78]
[E. Zermelo: "Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts", Springer (1932), p. 278]
[p. 13] wir halten es auch für sinnlos, von der Menge aller Punkte des Kontinuums zu sprechen.
[p. 221] In den Bereich des Denkens gehören die Zahlen, in den Bereich der Anschauung das
Kontinuum. Für mich ist, es sei wiederholt, das Kontinuum nicht identisch mit der Menge —.
[Detlef Laugwitz: "Zahlen und Kontinuum", BI, Zürich (1986)] {{So ist's, so ist's, so ist's gepriesen sei D(ein) L(ied).}}
Allen stets zu gefallen ist Loos nur den Kindern Fortunens,
Wen'gen Erlesenen, ach, selten glückt's dem Verdienst;
Niemandem recht es zu machen, von Allen geschmäht und verhöhnt sein,
Bitter trägt dies der Mann, schmerzvoll entsagend das Weib.
Dennoch, verweigern die Götter grausam die Gunst mir des Mittlern,
Steh' ich und habe die Wahl, nur von den Aeussersten Ein's:
Einsam unentwegt folg ich den Spuren der Wahrheit,
Freudig verzichtend hinfür jeglichem Beifall der Welt.
[Georg Cantor an Burdach, 22. 1. 1900]
{{Auch diesem Leitsatz, dem hehren, versage den Beifall ich nicht.
Heut', so scheint's, bin mit der Welt ich vollkommen in Harmonie.}}
105 Das Kalenderblatt 090917
Die Bekämpfung des Infinitesimalen geschah zuweilen mit untauglichen oder unfairen Mitteln.
Untauglich war selbstverständlich Cantors "Beweis" für die Nichtexistenz des unendlich Kleinen.
Unfair war das Vorgehen mengentheoretisch orientierter Mathematiker gegen einen [...] Ansatz
von Veronese und Levi-Cività. Über diesen Streit kann man sich in den Bänden des
Jahresberichts der DMV aus den Jahren um 1900 unterrichten. [Detlef Laugwitz: "Zahlen und
Kontinuum", BI, Zürich (1986) p. 221]
He [Cantor] launched a thorough campaign to discredit Veronese's work as vigorously as he
could. [J.W. Dauben: "Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite", Princeton
Univ. Press (1990) p. 233]
{{Es gibt weder unendlich Kleines noch unendlich Großes. Die erste Hälfte dieser Wahrheit
kannt' er und wollte die den Urgrund der Wahrheit verschattende Fata Mathematicae
erbarrmungslos ausrrradieren. (Ein Schelm, wer AH dabei denkt. Aber ein kleiner aha-Jauchzer
der Erkenntnis wär' schon angemessen.)}}
106 Das Kalenderblatt 090918
Pure mathematics will remain more reliable than most other forms of knowledge, but its claim to
a unique status will no longer be sustainable.
For centuries mathematics has been seen as the one area of human endeavor in which it is
possible to discover irrefutable, timeless truths. Indeed, theorems proved by Euclid are just as
true today as they were when first written down more than 2000 years ago. That the sun will rise
tomorrow is less certain than that two plus two will remain equal to four.
However, the 20th century witnessed at least three crises that shook the foundations on which
the certainty of mathematics seemed to rest. [Goedel, Four-Color Theorem, Classification of
Finite Simple Groups. ...]
A problem that can be formulated in a few sentences has a solution more than ten thousand
pages long. The proof has never been written down in its entirety, may never be written down,
and as presently envisaged would not be comprehensible to any single individual. The result is
important and has been used in a wide variety of other problems in group theory, but it might not
be correct.
These three crises could be hinting that the currently dominant Platonic conception of
mathematics is inadequate. As Davies remarks:
{{These}} crises may simply be the analogy of realizing that human beings will never be able to
construct buildings a thousand kilometres high and that imagining what such buildings might
"really" be like is simply indulging in fantasies.
We are witnessing a profound and irreversible change in mathematics, Davies argues, which will
affect decisively its character:
{{Mathematics}} will be seen as the creation of finite human beings, liable to error in the same
way as all other activities in which we indulge. Just as in engineering, mathematicians will have
to declare their degree of confidence that certain results are reliable, rather than being able to
declare flatly that the proofs are correct.
Davies's article "Whither Mathematics?" (PDF, 448KB) is available at Mathematics: The Loss of
Certainty. Contact: Prof. Brian Davies
[email protected]
107 Das Kalenderblatt 090919
The expression "and so on" is nothing but the expression "and so on" [...] the sign "1, 1+1,
1+1+1 ..." is to be taken as perfectly exact; governed by definite rules which are different from
those for "1, 1+1, 1+1+1", and not a substitute for a series "which cannot be written down".
There is no such thing as "the cardinal numbers", but only "cardinal numbers" and the concept,
the form "cardinal number". Now we say "the number of the cardinal numbers is smaller than the
number of the real numbers" and we imagine that we could perhaps write the two series side by
side (if only we weren't weak humans) and then the one series would end in endlessness,
whereas the other would go on beyond it into the actual infinite. But this is all nonsense.
"This proposition is proved for all numbers by the recursive procedure". That is the expression
that is so very misleading. It sounds as if here a proposition saying that such and such holds for
all cardinal numbers is proved true by a particular route, or as if this route was a route through a
space of conceivable routes. But really the recursion shows nothing but itself, just as periodicity
too shows nothing but itself".
After all I have already said, it may sound trivial if I now say that the mistake in the settheoretical approach consists time and again in treating laws and enumerations (lists) as
essentially the same kind of
thing and arranging them in parallel series so that one fills in gaps left by the other.
[L. Wittgenstein: "Philosophical Grammar", Basil Blackwell, Oxford (1969), entnommen aus einer
Sammlung von E.D.Buckner: "THE LOGIC MUSEUM" (2005)]
http://uk.geocities.com/[email protected]/cantor/wittgensteinquotes.htm (leider nicht mehr
vorhanden)
108 Das Kalenderblatt 090920
f = x2 fl df/dx = 2x + dx
Das infinitesimale dx verschwindet, weil es viel kleiner ist als die endliche Größe 2x, erklärt der
Marquis de l'Hospital im ersten Lehrbuch des Calculus.
Aber was ist an der Stelle x = 0?, fragt D. Laugwitz in "Zahlen und Kontinuum" auf S. 25.
109 Das Kalenderblatt 090921
Although Zermelo-Fraenkel set theory (ZFC) is generally accepted as the appropriate
foundation for modern mathematics, proof theorists have known for decades that virtually all
mainstream mathematics can actually be formalized in much weaker systems which are
essentially number-theoretic in nature. [...] not only is it possible to formalize coremathematics in
these weaker systems, they are in important ways better suited to the task than ZFC [...] most if
not all of the already rare examples of mainstream theorems whose proofs are currently
thoughtto require metaphysically substantial set-theoretic principles actually do not; and set
theory itself, as it is actually practiced, is best understoodin formalist, not platonic, terms, so that
in a real sense set theory is not even indispensable for set theory. [...] set theory should not be
consideredcentral to mathematics.
Probably most mathematicians are more willing to be platonists about number theory than
about set theory, in the “truth platonism” sense that they firmly believe every sentence of first
order number theory has a definite truth value, but are less certain this is the case for set theory.
Those mathematicians who are unwilling to affirm that the twin primes conjecture, for example,
is objectively true or false are undoubtedly in a small minority; in contrast, suspicion that
questions like the continuum hypothesis or the existence of measurable cardinals may have no
genuine truth value seems fairly widespread.
Some possible reasons for this difference in attitudes towards number theory and set theory
are (1) a sense that natural numbers are evident and accessible in a way that arbitrary sets are
not; (2) suspicion that sets are philosophically dubious in a way that numbers are not; (3) the
existence of truly basic set-theoretic questions such as the continuum hypothesis which are
known to be undecidable on the basis of the standard axioms of set theory, and the absence of
comparable cases in number theory; and (4) the fact that naive set theory is inconsistent. The
classical paradoxes of naive set theory particularly cast doubt on the idea of a well-defined
canonical universe of sets in which all set-theoretic questions have definite answers.
One philosophically important way in which numbers and sets, as they are naively understood,
differ is that numbers are physically instantiated in a way that sets are not. Five apples are an
instance of the number 5 and a pair of shoes is an instance of the number 2, but there is nothing
obvious that we can analogously point to as an instance of, say, the set {{«}}. [...]
Unfortunately, the philosophical difficulties with set-theoretic objects platonism are extremely
severe. First, there is the ontological problem of saying just what sets are.[...]
Perhaps the most influential philosophical defense of set theory is the Quine-Putnam
indispensability argument. According to this argument, mathematics is indispensable for various
established scientific theories, and therefore any evidence that confirms these theories also
confirms the received foundation for mathematics, namely set theory. But as a result of work of
many people going back to Hermann Weyl, we now know that the kind of mathematics that is
used in scientific applications is not inherently set-theoretic, and indeed can be developed along
purely number-theoretic lines. This point has been especially emphasized by Feferman.
Consequently, contrary to Quine and Putnam, the confirmation of present-day scientific theories
provides no special support for set theory. [...]
This raises the possibility that the use of set theory as a foundation for mathematics may be an
historical aberration. We may ultimately find that ZFC really has no compelling justification and is
completely irrelevant to ordinary mathematical practice.
[Nik Weaver: "Is set theory indispensable?"]
http://www.math.wustl.edu/~nweaver/indisp.pdf
(Den Hinweis auf diesen lesenswerten Artikel verdanke ich Albrecht Storz.)
110 Das Kalenderblatt 090922
http://iesk.et.uni-magdeburg.de/~blumsche/M280.html
fasst jene Schlüsse zusammen die sich mir hier vor allem aus der fruchtbaren Zusammenarbeit
von Hermann Kraemer und W. Mückenheim aufdrängten. Das Land Sachsen-Anhalt möge mir
verzeihen dass ich den Wahl-Hallenser Georg Cantor nicht mehr als den größten Mathematiker
aller Zeiten ansehen möchte. Ich bin kein Mathematiker [...] {{Das schadet nicht, denn: "Zum
Verständnis der Lehre vom Transfiniten bedarf es keiner gelehrten Vorbereitung in der neueren
Mathematik; sie kann für diesen Zweck eher schädlich als nützlich sein [...]" [Cantor an Pater
Ignatius Jeiler, 20. 5. 1888]}}
Reelle Zahlen gelten als die geeignete Basis der Physik. Ein hauptsächlicher wenngleich
ziemlich illusionärer Grund dafür mag sein, dass sie die irrationalen "Zahlen“ enthalten. Die
irrationalen sind
allerdings stets nur aufgabenhaft definiert, beispielsweise als Wurzeln. Bekanntlich entziehen
sich solche gedanklich vorweggenommenen Lösungen von meist geometrischen Problemen
einer exakten Darstellung durch eine endliche Anzahl von Ziffern. Zwar sind sie
strenggenommen in den rationalen Zahlen nicht enthalten. Mit rationalen Zahlen kann man
ihnen jedoch beliebig nahe kommen. Folglich gibt es keinen praktischen Grund, der die
Bevorzugung reeller Zahlen rechtfertigen würde, sondern lediglich einen weitverbreiteten
Glauben, dass es viel mehr reelle als rationale Zahlen gäbe und somit — umfassender als – sei.
[...]
Gemäß Cantor’s Theorie gibt es verschiedene Stufen der Unendlichkeit. Dieser mathematische
Standpunkt ist einzigartig in der Wissenschaft. [...] Die folgende Studie sucht nach möglichen
Missverständnissen. Sie bezieht sich auf Cantor’s Originalarbeiten welche in Crelles Journal,
den Jahresberichten der Deutschen Mathem. Vereinigung, den Math. Annalen, etc.
Veröffentlicht wurden und die bequem im Internet erhältlich sind unter
[1] http://gdzdoc.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&didÔ9471
Von Interesse ist auch ein Buch von
[2] Shaughan Lavine: Understanding the Infinite. Cambridge/MA, Harvard Univ. Press 1994,
und viele vergebliche Versuche Cantor’s zweites Diagonalargument zu widerlegen wurden
analysiert von
[3] Wilfrid Hodges: An editor recalls some hopeless papers. The Bulletin of Symbolic Logic,
Volume 4, Number 1, March 1995.
http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0401/0401-001.ps
{{Bei der Lektüre dieses Artikels ist Skepsis angebracht. Es ist gibt Hinweise darauf, dass hier
wissenschaftsethische Prinzipien verletzt werden! Vgl. Das Kalenderblatt 090704}}
Die Studie profitiert auch von endlosen öffentlichen Diskussionen und einer Broschüre von
[4] Wolfgang Mückenheim: Die Geschichte des Unendlichen, Augsburg 2004.
{{
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Publ1.mht
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/MR/GUSkriptKap01.pdf
}}
Unter weiteren berücksichtigten Autoren waren Hermann Weyl, L. E. J. Brouwer, und
[5] David Hilbert: Über das Unendliche, Math. Annalen 1925
http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0095
[...] Cantor wunderte sich, dass jede Menge rationaler Zahlen derart abzählbar ist, unabhängig
davon wie viele Dimensionen sie hat. Er verallgemeinerte (unzulässig), dass die Struktur als
Kriterium dafür, ob eine Menge abzählbar ist oder nicht, keine Rolle spielen würde. Und er zog
daraus die (irrige) Schlussfolgerung dass nichtabzählbare Mengen eine größere Kardinalität als
abzählbare haben. [...] Während Cantor schließlich korrekt zwischen potentiell und aktual
Unendlichem unterschied, ignorierte er, dass das aktual Unendliche lediglich eine Fiktion und
kein quantitatives Maß ist. [...] Cantor hatte gewiss insofern Recht, als die reellen Zahlen nicht
abzählbar sind. Folgt daraus aber wirklich, dass es unendlich viel mehr reelle Zahlen gibt als die
bereits unendlich große Menge der rationalen? {{Nein, natürlich nicht. Es folgt lediglich, dass
nicht alle reellen Zahlen platonisch existieren.}} Die Mehrheit der Mathematiker teilt noch immer
Cantors intuitive (und völlig falsche) Vorstellung, dass die Menge der eellen Zahlen zwar
gewaltig aber quantifizierbar sei.
[Eckard Blumschein: "Was unterscheidet die reellen Zahlen von den rationalen?",
de.sci.mathematik (2005)]
http://de.nntp2http.com/sci/mathematik/2005/04/1fba7d7c2a99d6c891f2eaac80271228.html
http://www.hilpers.com/483702-cantors-kontinuum-eine-bestandsaufnahme
111 Das Kalenderblatt 090923
Vor allem ist die Bildung der wichtigsten Klasse paradoxer Mengen, nämlich der allzu
umfassenden Mengen (Antinomien von Burali-Forti, Russell usw.) durch unsere Axiome
ausgeschlossen. Denn diese gestatten, eine oder mehrere gegebene Mengen als
Ausgangspunkt nehmend, nur entweder die Bildung beschränkterer Mengen durch
Aussonderung bzw. Auswahl, oder die Bildung von Mengen, die in eng umschriebenem Maß
sozusagen umfassender sind, durch Paarung, Vereinigung, Potenzierung usw. Sind also
Mengen wie die aller Mengen, aller Ordnungszahlen, aller Dinge gewisser Art nicht von
vornherein gegeben, so kann auch nicht vermöge der Axiome auf ihre Existenz geschlossen
werden.
[A. Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin (1923) p. 214]
... a set is something obtainable from the integers (or some other well-defined objects) by
iterated application of the operation "set of" ... [K. Gödel: "What is Cantor’s continuum problem?"
in P. Benecerraf and H. Putnam (eds.): "Philosophy of Mathematics: Selected Readings" (1983)
p. 474]
Bilden wir Mengen? Iterativ? Bildeten sich diese nicht selbst, sind also schon immer
dagewesen? Ist tatsächlich ein zeitlicher Ablauf in ZF immanent? Bald gibt es eine Menge, bald
nicht. Darf man sie auch zerstören? Das wäre ja fast schon der weithin verfemte
MatheRealismus!
Betrachten wir die Alternativen:
Wenn eine Menge automatisch und ohne weiteres Zutun einfach da ist und seit dem
(matheologischen Urknall 1904/08 (eine ähnlich katastrophale Zahlenkombination für die
Mathematik wie 1914/18 für Deutschland)) vergnügt vor sich hin existierte, dann nützen
Fraenkels und Gödels Beschwörungen wenig. Denn dann ist mit dem Unendlichkeitsaxiom nicht
nur die Menge Ù, sondern auch automatisch deren Potenzmenge P(Ù) und deren Potenzmenge
P(P(Ù)) = P2(Ù) und deren Potenzmenge P3(Ù) usw. vorhanden. Das geht bis zu den größten
Kardinalzahlen, die existieren (die existieren dann ja auch alle!) oder postuliert werden (was
eigentlich überflüssig ist). Also "gibt es" Palle(Ù) - bis zum bitteren Ende, d. h. bis zur
Potenzmenge aller Potenzmengen von Ù.
Es ergibt sich der Widerspruch (bzw. er bestand schon immer, war einfach da, unbemerkt
anwesend - seit dem Urknall), dass diese Menge sich selbst enthalten muss (so wie P(Ù) als
Element Ù enthält), aber nicht enthalten kann, weil sonst ihre Kardinalzahl größer als ihre
Kardinalzahl wäre, was selbst für transfinite Kardinalzahlen, die bekanntlich einiges aushalten,
was gewöhnliche Zahlen verzweifeln lässt, nicht tolerierbar wäre. So geht es nicht! Diesen
Cantorschen Haken haben Fraenkel und Gödel wohl erkannt.
Die wohltemporierte Alternative lautet: Mengen werden in der Zeit gebildet (auch Abbildungen
wie Ù Ø – gehören dazu), manche Mengen werden niemals gebildet, zum Beispiel weil sie
keiner bilden will oder bilden kann. Wenn Mengen nicht einfach nur "sind" (nur { } "ist" und ω "ist"
- per Axiom), sondern nur sukzessive gebildet oder abgebildet werden können, dann kann die
Bildung einer Menge A, die ich so nenne, weil sie alle natürlichen Zahlen enthält (natürlich nicht
die Null, die vor 36 Jahren (?) den arglosen Ingenieuren in die DIN 5473 eingeschwärzt wurde)
entweder direkt erfolgen, so wie hier angedeutet. Am Anfang des Prozesses haben wir links die
Menge Ù und rechts die leere Menge. Dann wird das Element 1 nach rechts transferieriert, dann
das Element 2 usw. bis am Ende alle Element nach rechts gewandert sind:
{}
{1}
{1, 2}
...
A = {1, 2, 3, ...} = Ù
Ù
Ù \ {1}
Ù \ {1, 2}
...
Ù \ {Ù} = { }
Oder wir arbeiten mit einem Zwischenspeicher Z, wie hier angedeutet:
Ù
Ù \ {1}
Ù \ {1, 2}
Ù \ {1, 2, 3}
...
{}
{1}
{2}
{3}
...
{}
{}
{1}
{1, 2}
...
der stets ein Element enthält, weil er seinen Inhalt nicht preisgibt, bevor ihm eine neue
natürliche Zahl einverleibt wurde
Z = ...((...(((({1} U {2}) \ {1}) U {3}) \ {2}) ... U {n}) \ {n-1})...
und damit verhindert, dass alle natürlichen Zahlen sich in einer abgeschlossenen Menge
zusammenkuscheln können. Eine fehlt immer. Der allein seligmachende Zustand
{}
{}
A = {1, 2, 3, ...} = Ù
wird bei der Bildung von A einfach nicht erreicht --- nicht einmal nach unendlich vielen Schritten
(obwohl ein Beweis für alle n œ Ù nach Cantor bereits komplett ist, wenn die Reihenfolge für
jedes n œ Ù bestimmt ist). Dieses Problem ist natürlich bei jeder iterativen Bildung von Mengen
wie A vorhanden.
Wie man es also drehet und wendet: Bereits mäßige Schärfe im analytischen Denken erzeugt
einen Mangel an Vertrauen in das Transfinite.
112 Das Kalenderblatt 090924
Summary: A study of the philosophical and historical foundations of infinity highlights the
problematic development of infinity. Aristotle distinguished between potential and actual infinity,
but rejected the latter. lndeed, the interpretation of actual infinity leads to contradictions as seen
in the paradoxes of Zeno. lt is difficult for a human being to understand actual infinity {{not only
for a human being but for every intelligent being that can understand the intended meaning of
actual infinity at all}}. Our logical schemes are adapted to finite objects and events. {{Praises
be!}} Research shows that students focus primarily on infinity as a dynamic or neverending
process {{they may have read Fraenkel and Gödel, cp. KB 090923}}. Individuals may have
contradictory intuitive thoughts at different times without being aware of cognitive conflict. The
intuitive thoughts of students about both the actual (at once) infinite and potential (successive)
infinity are very complex. The problematic nature of actual infinity and the contradictory intuitive
cognition should be the starting point in the teaching of the concept infinity.
Dubinsky (2005b:261) wys ook daarop dat studente glo dat die vergelyking 0,99999... = 1 vals
is. {{Genau genommen, haben sie Recht. Weil das aktual Unendliche nun einmal nicht existiert,
ist 0,99999... allenfalls per Definition als Grenzwert ohne explizit hingeschriebenes LimesSymbol als 1 interpretierbar.}} Studente dink dat (1) 0,99999... 'n bietjie kleiner is as 1, die
naaste wat jy daaraan kan kom sonder om dit werklik te bereik; en (2) die verskil tussen die twee
(09999... en 1) oneindig klein is {{potentiell, ja}} — Tall noem dit die intreding van die
ifinitesimale (1978:6); of (3) dat 0,9999... die laaste getal voor 1 is. [p. 76]
Die Dissertation enthält schöne Fraktale und zahlreiche Escher-Graphiken.
[Rinette Mathlener: "DIE PROBLEMATIEK VAN DIE BEGRIP ONEINDIGHEID", Dissertation,
Magister Educationis, Universiteit van Suid-Afrika(2008)]
http://uir.unisa.ac.za/dspace/bitstream/10500/1927/1/dissertation.pdf
(Albrecht Storz danke ich für den Hinweis auf diese Quelle.)
113 Das Kalenderblatt 090925
Seit Cantor operieren die Mathematiker aber mit unendlichen Ketten; von ihm haben wir gelernt,
außer dem Schluß von ν auf ν + 1 den von {ν} auf ω, resp. von {aν} auf {aω} anzuwenden, und
hierin besteht eine außerordentliche Bereicherung der logischen Methoden. Allerdings ist zu
beachten, daß, wenn eine unendliche Kette vorliegt, die denselben Schluß von jedem ν auf das
folgende ν + 1 auszudehnen gestattet, die Möglichkeit des Schlusses von {ν} auf ω sich
keineswegs von selbst versteht, sondern jedesmal besonderer Untersuchung bedarf.
Fußnote: Der Nachweis der Zulässigkeit dieses Schlusses bildet bei vielen Cantorschen Sätzen
den Hauptgegenstand des Beweises.
[A. Schönflies: "Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", Jahresbericht DMV 15 (1906)
19-25]
Wie macht er das nur? Aha, hier in diesem dicken Buche steht es ja verzeichnet:
Klar ist zunächst, daß auf diese Weise allen Intervallen der Reihe (3) bestimmte Punkte der
Reihe (5) zugeordnet werden [...] und es erfährt daher der aus unsrer Regel resultierende
Zuordnungsprozeß keinen Stillstand. {{Das ist das Kennzeichen des Unendlichen!}} [...] Denken
wir uns, es seien nach unsrer Regel die ν ersten Zuordnungen ausgeführt [...] Von den übrig
gebliebenen Punkten unsrer Reihe (5) wird nun einer die unterste Stelle in dieser Reihe
einnehmen oder, was dasselbe heißt, den kleinsten Index haben, [...] {{und dann kommt's:}}
Folglich müssen nach unsrer Regel alle Glieder unsrer Reihe (5) bei der Vergebung schließlich
an die Reihe kommen, und es ist daher die Reihe (5) vollständig in der Reihe (6) enthalten.
[G. Cantor, "GESAMMELTE ABHANDLUNGEN MATHEMATISCHEN UND
PHILOSOPHISCHEN INHALTS Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus
dem Briefwechsel Cantor - Dedekind", Herausgegeben von Ernst Zermelo, Springer, Berlin
(1932) p. 239]
Hat der alte Hexenmeister
Sich doch einmal wegbegeben!
Und nun sollen seine Geister
Auch nach meinem Willen leben.
(Goethe)
http://de.wikipedia.org/wiki/Der_Zauberlehrling
Dasselbe Verfahren wenden wir nun auf den binären Baum an. Die Regeln zum Spiel: "Wir
erobern den binären Baum" findet man beschrieben unter Punkt 11) in
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/Pr%fcfung%20GU0907.pdf
Denken wir uns die Knoten des binären Baums nummeriert, und es seien die ν ersten Knoten
erobert. Von den übrig gebliebenen Knoten wird nun einer die unterste Stelle in dieser
Nummerierung einnehmen oder, was dasselbe heißt, den kleinsten Index haben. Der wird nun
erobert. [usw.] Folglich müssen nach unsrer Regel alle Knoten unsres Baums bei der
Vergebung schließlich an die Reihe kommen, und es ist daher der Baum vollständig erobert --natürlich auch alle Pfade, denn zu den bereits eroberten Pfaden kann nur dann ein weiterer
Pfad gedacht werden, wenn mindestens 1 Knoten noch unerobert ist. Das ist aber nicht der Fall.
114 Das Kalenderblatt 090926
Wohltemporierte Mengenlehre
The iterative conception can only help resolve the paradoxes if we view it as clarifying the
intuitive concept of a collection, not as introducing a new, distinct “set” concept. But this
clarification is elusive, as can be seen by looking at some of the versions of the conception
which have appeared in the literature:
Sets are ‘formed’, ‘constructed’, or ‘collected’ from their elements in a succession of stages . . .
([18], p. 506)
According to the iterative conception, sets are created stage-by-stage, using as their elements
only those which have been created at earlier stages. ([19], p. 183)
In the metaphor of the iterative conception, the steps that build up sets are “operations” of
“gathering together” sets to form “new” sets. ([21], p. 637)
Thus a set is formed by selecting certain objects . . . we want to consider a set as an object and
thus to allow it to be a member of another set . . . When we are forming a set z by choosing its
members, we do not yet have the object z, and hence cannot use it as a member of z. ([22], p.
322-323)
It should be apparent from this selection that the nature of the set-forming operation is extremely
unclear. There seems to be no general agreement even as to whether this is an actual operation
which could in any sense be carried out, or instead some kind of impenetrable metaphor. The
problem is apparent in Boolos’s remark that “a rough statement of the idea . . . contains such
expressions as ‘stage’, ‘is formed at’, ‘earlier than’, ‘keep on going’, which must be exorcised
from any formal theory of sets. From the rough description it sounds as if sets were continually
being created, which is not the case” ([4], p. 491). Yet Boolos does not follow his rough
statement with a more informative informal description that avoids the objectionable phrases,
and it seems doubtful that he could. Without these expressions there is no informal description.
This difficulty is connected to the ontological problem, about which none of the authors cited
above has anything meaningful to say: if we have no idea what sets are supposed to be,
obviously there is little we can say about how they are supposed to be formed. Yet the idea that
sets are in some sense “formed” from elements which enjoy some kind of “prior” existence is
crucial to the iterative conception’s ability to evade the classical paradoxes. The point is
supposed to be that the set of all sets, or the set of all ordinals, or Russell’s set, are illegitimate
on the iterative account precisely because they cannot be “formed”. So it seems fair to say that
the iterative conception successfully deals with the paradoxes only to the extent that it presents
a clear picture of the operation of set formation, which is to say, not at all.
[2] P. Benecerraf and H. Putnam, eds., Philosophy of Mathematics: Selected Readings (second
edition), 1983.
[4] G. Boolos, The iterative conception of set, in [2], 486-502.
[9] K. Gödel, What is Cantor’s continuum problem?, in [2], 470-485.
[18] C. Parsons, What is the iterative conception of set?, in [2], 503-529.
[19] M. D. Potter, Iterative set theory, Philosophical Quarterly 43 (1993), 178-193.
[20] W. V. Quine, Immanence and validity, Dialectica 45 (1991), 219-230.
[21] M. F. Sharlow, Proper classes via the iterative conception of set, J. Symbolic Logic 52
(1987), 636-650.
[22] J. R. Shoenfield, Axioms of set theory, in Handbook of Mathematical Logic, J. Barwise, ed.,
1977, 321-344.
[Nik Weaver: "Is set theory indispensable?"]
http://www.math.wustl.edu/~nweaver/indisp.pdf
115 Das Kalenderblatt 090927
[...] the power set operation is the basic step to be used in the “construction” of sets. Jané
explains why this causes trouble (a similar point is made by Lear [J. Lear, Sets and semantics,
Journal of Philosophy 74 (1977) 86-102]):
We must also have recourse to some form of the power set operation before setting up the
iterative conception. This is an important point that is often obscured and whose neglect might
lure us into believing that the power set axiom of ZF simply follows from the idea of iteration. The
reason given for the validity of this axiom is that if a set lies on a layer, so do all its subsets, and
therefore the set of all of them lies on the next layer. One question about this way of presenting
the matter is what is meant by “all subsets” of a set a. Perhaps from the standpoint that the
iterative conception only describes how the world of sets is actually structured there is really no
question to be asked (for if we can resort to the universe of sets, there is no difficulty in saying
what are all subsets of a; they are just those sets all of whose members are members of a). But
if we want to account for the set-theoretic universe as built by iterated
application of the power set operation, such an explanation is of no use whatever. Since we
cannot turn to the result of the iteration to tell what to do at each step, the notion of all subsets of
a given set cannot be taken for granted, but must be clarified at the outset. [I. Jané, The iterative
conception of sets from a Cantorian perspective, in Logic, Methodology, and Philosophy of
Science: Proceedings of the Twelfth International Congress, P. Hájek, D. Westertal, and L.
Valdés-Villanueva, eds., 2005, 373-393, p. 374]
This actually understates the problem, because however the notion of all subsets is clarified, if
the force of the iterative conception against the paradoxes is to be maintained this must be done
in a manner that allows us to retain some sense of “construction” or “formation” of power sets.
[Nik Weaver: "Is set theory indispensable?"]
http://www.math.wustl.edu/~nweaver/indisp.pdf
116 Das Kalenderblatt 090928
No matter how much the content of mathematics exploits paradox, mathematicians express
dedication to policing their doctrine against inconsistency. Mathematicians do not welcome
those who attempt inconsistency proofs of favored theories.
What was profound was that results were contextualized so that they ceased to be inconsistency
threats. The Löwenheim-Skolem paradox; Skolem's w-inconsistent model of Peano arithmetic
(also the conjunction of Gödel's completeness and incompleteness theorems); w-inconsistency
of Quine's "New Foundations" set theory; independence of the Axiom of Choice; etc. But
mathematics had always proceeded like this: e.g. Dedekind had taken Galileo's paradox as the
definition of infinity.
The alternative would be that the content of academic mathematics eventuates from sophistry
and majority preference. As to the latter, Paul Lorenzen says: You will become famous if you
please famous people -- and all famous mathematicians like axiomatic set theory.
I will refer to such considerations as professional discipline (or even coercion {{Zwang,
Nötigung}}). If this is the situation, then the profession will protect itself from heresies and
criticism not by superior reasoning {{ganz sicher nicht - siehe Das Kalenderblatt 090925 als
eines für viele Beispiele}}, but by additional professional discipline in conjunction with additional
casuistry.
[Henry Flynt: "IS MATHEMATICS A SCIENTIFIC DISCIPLINE?" (1994)]
http://www.henryflynt.org/studies_sci/mathsci.html
117 Das Kalenderblatt 090929
I have indicated that Zermelo-Fraenkel set theory does not have a clear philosophical basis in
either platonist or anti-platonist terms. It therefore becomes reasonable to ask what the
consequences would be of rejecting ZFC as a foundation for mathematics.
Some philosophers may naturally be reluctant to pursue this question because it could entail
having to tell mathematicians that they are practicing their subject incorrectly. The situation is not
quite as bad as that, since, after all, most mathematicians have little interest in foundations and
may have no particular commitment to ZFC. (Maddy [Naturalism in Mathematics, 1997] paints a
very different picture, but her “mathematicians” really seem to be set theorists.) {{Wie kann frau
nur so weltfern sein und das noch mit Realismus (1990) oder Naturalimus kennzeichnen?
Bewusste Täuschung, so wie die Bezeichnung Realismus in der Philosophie der Mathematik?}}
[...]
However, it is now a settled fact that power sets of infinite sets are not actually needed for the
vast bulk of mainstream mathematics. The philosophical stance which admits the natural
numbers but not its power set is called predicativism; it was originally put forward by Bertrand
Russell and Henri Poincaré, and there is a long line of research stretching back to Hermann
Weyl which establishes in detail its ability to encompass ordinary mathematics. [...] The basic
idea is that we accept the natural numbers and individual real numbers (or equivalently,
individual sets of natural numbers, which can still be pictured in terms of physical instantiation)
but do not assume the existence of a well-defined set of all real numbers (which cannot be
meaningfully understood in terms of physical instantiation).
[Nik Weaver: "Is set theory indispensable?"]
http://www.math.wustl.edu/~nweaver/indisp.pdf
118 Das Kalenderblatt 090930
Philosophisch erfordert ZFC den vagen Glauben an ein mystisches Universum von Mengen, das
unphysikalisch und zeitlos existieren müsste (und doch dürften irgendwie "nicht alle Mengen auf
einmal da sein", um die klassischen Paradoxien zu vermeiden).
Pragmatische betrachtet, passt ZFC sehr schlecht zur mathematischen Praxis, denn es
postuliert einen immensen Bereich an mengentheoretischer Pathologie, der überhaupt keine
Bedeutung für die gegenwärtige Mathematik besitzt. Wir meinen, dass ZFC sowohl theoretisch
als auch praktisch ungeeignet für die grundlegende Rolle ist, in die es gegenwärtig gepresst
wird.
[Nik Weaver: "Is set theory indispensable?"]
http://www.math.wustl.edu/~nweaver/indisp.pdf
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU11.PPT
Diese Meinung lässt sich weiter substantiieren: Entweder ist ZFC ungeeignet, das schöne und
praktisch wichtige, weil unterhaltsame und im Gegensatz zu Boxen, Doppelkopf, Dame, Räuber
und Gendarm, Siebzehn und vier, Elimination, Paint the King, Skat, Tennis, Ringen, Fechten,
Monopoly, Halma, Mensch ärgere dich nicht, Schiffe versenken, Schafe und Wolf, Angeln,
Rugby, Schafkopf, Death Match, Blindekuh, Fingerhakeln, Golf, Go, Gobang, Age of Empires,
Volley-, Paint-, Völker-, Fuß-, Speed- und Basketball, Bogenschießen, President, Dressur- und
Springreiten, Last Man Standing, Mühle, Fischerstechen, Hyperball, Kugelstoßen, CounterStrike, Fang den Hut, Poker, Schwarzer Peter, Auto-, Wagen-, Pferde-, Rad-, Hunde- und
Kamelrennen, Canasta, Battlefield, Bridge, Call of Duty, Motorradeln, Fuchsjagd, Maumau,
Eierlaufen, Cricket, Wir bauen uns ein Atomkraftwerk, Sup'Air Ball, Dudelsacken, Sackhüpfen
oder Schach niemals Aggressionen erregende, sondern sozial verträgliche Spiel "Wir erobern
den binären Baum" zu beschreiben, ..
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12.PPT
--- also entweder ist ZFC dafür ungeeignet, dann ist es vermutlich auch für vieles andere
ungeeignet, und wir sollten es ganz schnell vergessen, oder ZFC ist dazu in der Lage, dann
enthält (oder liefert) ZFC einen inneren Widerspruch. Unter der Voraussetzung des Tertium non
datur ist dieser Satz bereits gesichert, ohne dass eine Formalisierung des Spiels auch nur
versucht wurde. Und mit Tertium datur taugt ZFC sowieso nichts.
ACHTUNG: SPIELEN KANN SÜCHTIG MACHEN!
Bitte nicht, wie Kim Kyung-jae,
http://news.bbc.co.uk/2/hi/asia-pacific/2499957.stm
ohne Nahrungsaufnahme und Schlaf bis zum Spielende durchhalten wollen. Das ist gerade
beim Spiel "Wir erobern den binären Baum" mit einem erhöhten Gesundheitsrisiko verbunden.
119 Das Kalenderblatt 091001
Wir fragen zweitens, ob es Mengen gibt, die sich selbst als Element enthalten. Dies ist
unmöglich. Jeder Versuch, eine Menge dieser Art zu bilden oder vorzustellen, muß scheitern. Es
genügt in dieser Hinsicht, auf die im Mengenbegriff steckenden Grundeigenschaften
hinzuweisen. Als solche sind anzuführen:
1. Die Menge ist verschieden von jeder ihrer Teilmengen, insbesondere von jedem ihrer
Elemente.
2. Wenn irgendwelche Elemente zu einer Menge zusammengefaßt werden, so bleiben sie
sozusagen begrifflich invariant.
Die Menge repräsentiert daher einen neuen Begriff, der zu den einzelnen Begriffen, die die
Menge konstituieren, noch hinzukommt. Deshalb kann es Mengen, die sich selbst als Element
enthalten, nicht geben.
Die Russelsche Menge M aller Mengen m, die sich selbst nicht als Element enthalten, ist daher
nichts anderes, als die „Menge aller Mengen“.
[A. Schönflies: "Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", Jahresbericht DMV 15 (1906)
19-25]
Die Menge aller nicht roten Zipfelmützen ist selbst keine Zipfelmütze und gewiss keine rote
Zipfelmütze. Ist sie Element von sich selbst? Hier spielt die Interpretation eine Rolle. Ist "nicht
(rote Zipfelmütze)" gemeint? Oder ist "(nicht rote) Zipfelmütze" gemeint? Die Menge "von allem,
außer rotbezipfelten Mützen" enthält sich selbst. Das ist jedoch lediglich ein Problem der Logik,
kein Problem des Transfiniten, das hier ja gar nicht vorkommt, denn obiges "alles" ist endlich,
weil überhaupt alles endlich ist. Und daraus ergibt sich bereits die Lösung.
Die Menge aller denkbaren Gedanken ist selbst ein denkbarer Gedanke: Er erhöht die Anzahl
der Elemente der Menge aller denkbaren Gedanken, wenn dieser Gedankenmenge das nächste
Mal gedacht wird. (Wohltemporierte Mathematik, wie man sie schon aus ZFC kennt.)
Die Menge {{{...{{{1}}}...}}} würde sich selbst enthalten, wenn sie aktual unendlich viele
Klammern besäße, wenn man bis ω zählen könnte, wenn man die Summe 1/2n bis 1 addieren
könnte. Allein man kann es nicht.
Die Welt ist endlich. [Clemens, der Ire, in Thomas Mann: "Der Erwählte", Fischer, Frankfurt
(1975) p. 199 (weiter oben)]
120 Das Kalenderblatt 091002
Dedekind tried to describe an infinite class by saying that it is a class which is similar to a proper
subclass of itself. [...] I am to investigate in a particular case whether a class is finite or not,
whether a certain row of trees, say, is finite or infinite. So, in accordance with the definition, I
take a subclass of the row of trees and investigate whether it is similar (i.e. can be co-ordinated
one-to-one) to the whole class! (Here already the whole thing has become laughable.) It hasn’t
any meaning; for, if I take a "finite class" as a subclass, the attempt to co-ordinate it with the
whole class must eo ipso fail: and if I make the attempt with an infinite class – but already that is
a piece of nonsense, for if it is infinite, I cannot make an attempt to co-ordinate it. [...] An infinite
class is not a class which contains more members than a finite one, in the ordinary sense of the
word "more". If we say that an infinite number is greater than a finite one, that doesn't make the
two comparable, because in that statement the word "greater" hasn’t the same meaning as it
has say in the proposition 5 > 4!
The form of expression "m = 2n correlates a class with one of its proper subclasses" uses a
misleading analogy to clothe a trivial sense in a paradoxical form. (And instead of being
ashamed of this paradoxical form as something ridiculous, people plume themselves on a victory
over all prejudices of the understanding). It is exactly as if one changed the rules of chess and
said it had been shown that chess could also be played quite differently.
When "all apples" are spoken of, it isn’t, so to speak, any concern of logic how many apples
there are. With numbers it is different; logic is responsible for each and every one of them.
Mathematics consists entirely of calculations.
[L. Wittgenstein: "Philosophical Grammar", Basil Blackwell, Oxford (1969), entnommen aus einer
Sammlung von E.D.Buckner: "THE LOGIC MUSEUM" (2005)]
http://uk.geocities.com/[email protected]/cantor/wittgensteinquotes.htm (leider nicht mehr
vorhanden)
121 Das Kalenderblatt 091003
Several examples are used to illustrate how we deal cavalierly with infinities and unphysical
systems in physics.
[...] At this point, we can ask what all this {{Cantors Unendlichkeiten}} implies for physics and
physical systems. There are significant implications for physical systems if we accept the major
premise that rather than being merely potential, real infinities do exist. We shall now cite some
examples to illustrate some of these implications.
The case of an infinitely long line charge distribution is a simple example. In this case both the
length and the electric charge are of cardinality C for the continuum and consequently the ratio λ
representing the charge density is finite. The case of the thermodynamic limit invoked in
statistical mechanics is a fascinating counter-example. If we treat them as real infinities, then the
ratio N/V involves the number of atoms which is countable and thus of cardinality ¡0 whereas
the volume of the system is of cardinality C x C x C = C. For this ratio to be finite we must
require that C must equal a finite number times ¡0. This last statement is however, not true for
real infinities. Hence it follows that the finiteness of the number density N/V would not have been
possible if N and V were real infinities. Indeed the finiteness of the number density follows from
the fact that each of these quantities is finite to begin with, as was discussed earlier.
[...] We conclude by making a few general observations.
Thermodynamic systems are devoid of infinities and are inherently finite. N is countable and
large and V is measurable and macroscopically large but all physical parameters are finite and
measurable and finite, including the number density. There is a class of physical systems
containing infinities but which can be re-examined by using methods which have successfully
prevailed in thermodynamics and statistical mechanics, with a view to resolve the problem
infinities in these systems.
[...] Finally there may be physical systems containing real infinities which cannot be
transformed away. These systems may perhaps be understood only by a re-examination based
on Cantor’s transfinite mathematics. {{May or may not.}} In this context, it is useful to remember
that Cantor’s theory is well grounded in physical reality {{aha, oder besser noch: oho! Wie
das?}}: it is based on arithmetic and set theory. {{Das gilt ebenso für Astrologie, Numerologie
und Traumdeutung, zum Beispiel bei Traumspinnen. Aber ein Argument für den Eintritt in eine
der Sekten bietet diese Arbeit sicher nicht.}}
{{Anmerkung 9}} An interesting point in the history of mathematics is the continuum hypothesis:
that there is no cardinality bigger than ¡0 and smaller than C. This notion is neither proved nor
disproved. {{Meanwhile it has been proved: there is no cardinality bigger than ¡0. See, for
instance, KB090923.}}
[P. Narayana Swamy: "Infinities in Physics and Transfinite numbers in Mathematics" (1999)]
http://arxiv.org/abs/math-ph/9909033
122 Das Kalenderblatt 091004
Three beliefs that lend illusory legitimacy to Cantor’s diagonal argument
Whatever other beliefs there may remain for considering Cantor’s diagonal argument as
mathematically legitimate, there are three that, prima facie, lend it an illusory legitimacy; they
need to be
explicitly discounted appropriately. The first - Cantor’s diagonal argument defines a noncountable Dedekind real number; [...]
In the first case, we may define any natural number, expressed in binary notation, and
followed by a period and a non-terminating sequence of the integers 0 and 1, as a Cantorian
real number. Cantor’s
diagonal argument, then, considers any, given, 1-1 correspondence:
(*) n ¨ Cn
where n ranges over the natural numbers, and Cn is a Cantorian real number of the form
0.an1an2an3 ... ani ...,
where ani is either 0 or 1 for any given i. Cantor then defines the Cantorian number
0.b1b2b3 ... bi ...,
such that bi is not equal to aii for any i. Clearly,
0.b1b2b3 ... bi ...,
does not correspond to any natural number n in the given 1-1 correspondence (*). Since any
given natural number n can obviously be corresponded to the Cantorian number where n is
expressed in binary notation, and followed by a period and a non-terminating series of 0’s,
Cantor concludes that the Cantorian real numbers are uncountable.
It is not at all obvious, however, that the following conclusion can be drawn from the above
argument: Every Cantorian real number necessarily defines a Dedekind cut in the rational
numbers (or its equivalent Cauchy sequence of rationals).
For instance, consider the non-terminating series of the odd natural numbers
1, 3, 5, 7, ...
We can express this as the non-terminating binary series:
1, 11, 101, 111, ...,
and correspond to it the non-terminating sequence of rational numbers:
0.1, 0.11, 0.101, 0.111, ... .
Clearly, this last series oscillates; it can be computed by a classical Turing machine; and it
defines a Cantorian real number if we accept Turing’s implicit postulation that every “circle-free
a-machine” uniquely defines a non-terminating sequence of the integers 0 and 1. However,
equally clearly, it does not yield a Cauchy sequence of rational numbers that can be taken to
define a Dedekind real number.
Cantor’s argument should, therefore, be interpreted only as establishing that we cannot define
a number-theoretic function f(n) = Cn in such a way that the range of f(n) contains all, and only,
the Cantorian real numbers.
However, there may yet be some definable number-theoretic function, f(n), such that:
(a) its range contains all the Dedekind real numbers;
(b) it is undefined in the class R of Dedekind real numbers for some values in its domain;
(c) it is defined for these values in the extended class of Cantorian real numbers (which clearly
contains all the Dedekind real numbers).
The conclusion: We can neither conclude that Cantor’s diagonal argument determines an
uncountable Dedekind real number, nor conclude from it that the cardinality of the Dedekind real
numbers necessarily
differs from that of the Dedekind (Peano) natural numbers.
[Bhupinder Singh Anand, Three beliefs that lend illusory legitimacy to Cantor's diagonal
argument (2003)]
http://arxiv.org/abs/math.GM/0304310
123 Das Kalenderblatt 091005
Es geht wieder an: Dienstag, 6. 10. 2009, 14 Uhr s.t.
Gasthörer willkommen!
Die Geschichte des Unendlichen
Gegenstand der Vorlesung ist der Begriff des Unendlichen in Mathematik, Naturwissenschaft,
Philosophie und Religion sowie seine Entwicklung von der Antike bis zur Moderne. Neben
biographischen Notizen zu Leben und Werk der Protagonisten werden unter anderem folgende
Themen behandelt: Sehr große Zahlen. Wie viele Sandkörner passen ins Universum? Die
messbare Unendlichkeit. Wie viel Farbe braucht man, um eine unendlich große Fläche
anzustreichen? Unendlich minus unendlich kann man (manchmal) ausrechnen. Wie lange
dauert es, die Summe 1 + 1/2 + 1/3 + ... auf 100 zu bringen? Irrationale und transzendente
Zahlen. Wie viele Stellen der Zahl pi kennt man? Atome, Elementarteilchen, Quarks - und so
weiter? Wie groß ist das Universum? Warum wird es nachts dunkel? Die Entwicklung des
Universums vom Anfang bis ... Wann entstand die Sonne? Wie lange wird sie noch scheinen?
Die kosmischen Katastrophen. Gibt es ein Ende der Zeit? Kann Leben ewig währen?
Philosophische und religiöse Anschauungen vom Unendlichen. Kann man Gott beweisen? Ist
Gott unendlich? Logische Paradoxien. Zenons Pfeil, der nie ans Ziel kommt. Die Schildkröte des
Achilles. Das Lügnerparadoxon. Ein Barbier, der sich nur dann selbst rasieren darf (und muss),
wenn er dies nicht tut. Verschiedene Grade der Unendlichkeit. Cantors transfinite
Kardinalzahlen.
Literatur
W. Mückenheim: Kleine Geschichte der Mathematik, Skriptum, HSA (2001)
W. Mückenheim: Die Geschichte des Unendlichen, Skriptum HSA (2005)
Dieses Skriptum ist für Kursteilnehmer kostenlos.
W. Mückenheim: Die Mathematik des Unendlichen, Aachen (2006)
Ausleihbar in der Hochschulbibliothek, der Uni-Bibliothek oder über Fernleihe.
Evaluationskommentare:
Sehr gut gegliederte Vorlesung über ein interessantes Thema.
Was mir besonders gefallen hat? Einfach alles. Was soll man da noch sagen, die bisher
interessanteste Vorlesung.
Ein AW Fach, das einfach nur Spaß macht (1) und am Ende eine faire Prüfung mit fairer
Benotung (2).
Kommentar zum Kommentar: (1) Das gilt sicher nur für mathematisch Interessierte. (2) Das gilt
für alle.
Notenspiegel bisher: 48 mal 1, 47 mal 2, 25 mal 3, 9 mal 4, 6 mal 5.
www.MeinProf.de: Fünf Bewertungen, fünfmal 1,0 (Stand 1. 6. 2008).
124 Das Kalenderblatt 091006
Ende s: Das gemeingerm. Substantiv mhd. ende, ahd. enti, got. andeis, engl. end, schwed.
ända gehört mit der Grundbed. "vor einem Liegendes" zu der unter ant ... "entgegen"
behandelten idg. Sippe. Verwandte Bildungen sind z. B. gr. antios "gegenüberliegend", lat.
antiae "Stirnhaare", aind. ántya-h "der letzte". Als äußerster Punkt wird 'Ende' schon früh auch
zeitlich verstanden. Vielfach bezeichnet es zugleich das äußerste Stück, z. B. 'ein Ende Brot',
'ein Endchen Licht'. Nach seinen Geweihenden heißt der Hirsch Sechs-, Achtender usw.
Räumliche Ausbreitung zeigt 'an allen Ecken und Enden' für "überall". Abl.: enden (mhd. enden,
ahd. enton).
Finale: It. finale geht zurück auf lat. finalis "die Grenze, das Ende betreffend"
Finish Engl. finish "Abschluß" ist substantiviertes to finish "enden", das über afrz. fenir (=frz. finir)
auf lat. finire (zu finis "Grenze, Ende") zurückgeht (vgl. Finale). Finish, Finanzen, Finanzamt,
Finesse, Paraffin, raffiniert, Definition, final, Infinitiv; schließlich noch das LW fein.
[Der große Duden: Band 7, Etymologie, Herkunftswörterbuch der deutschen Sprache, BI
Mannheim (1963)]
unendlich ª ohne Ende. Da "es" nicht aufhört, endet, finalisiert, kann kein ander"es" in den
String neu einsteigen, ihn neu anfangen, beginnen, starten. Es gibt nicht die geringste Chance
für ω oder gar ω +.
125 Das Kalenderblatt 091007
Die Mathematik ist eine gar herrliche Wissenschaft, aber die Mathematiker taugen oft {{oft ist
übertrieben}} den Henker nicht. Es ist fast mit der Mathematik wie mit der Theologie {{das
erläutere ich
schon seit vielen Jahren, nicht mit Bezug zur Mathematik zwar, aber zum Transfiniten}}. So wie
die letzteren Beflissenen, zumal wenn sie in Ämtern stehen, Anspruch auf einen besonderen
Kredit von Heiligkeit und eine nähere Verwandtschaft mit Gott machen, obgleich sehr viele
darunter wahre Taugenichtse sind {{das ist nun aber wirklich übertrieben}}, so verlangt sehr oft
der so genannte Mathematiker für einen tiefen Denker gehalten zu werden, ob es gleich
darunter die größten Plunderköpfe gibt, die man finden kann, untauglich zu irgend einem
Geschäft, das Nachdenken erfordert, wenn es nicht unmittelbar durch jene leichte Verbindung
von Zeichen geschehen kann, die mehr das Werk der Routine {{zum Beispiel des
maschinenhaften "formalen Beweisens" im Transfiniten ohne einen Gedanken an die
Sinnlosigkeit solchen Tuns}}, als des Denkens sind. [G. C. Lichtenberg: "Schriften und Briefe" in
6 Bd. Carl Hanser, München (1971) p. 433]
Von vielen Mathematikern gern zitiert:
http://www.google.de/search?hl=de&source=hp&q=%22Mathematiker+taugen+oft
(fast immer aber ohne Quellenangabe).
Dazu erläuternd und ebenso altbekannt:
http://www.google.de/search?hl=de&source=hp&q=%22Ihr+seid+in+einem+Ballon
126 Das Kalenderblatt 091008
The induction principle is this: if a property holds for 0, and if whenever it holds for a number n it
also holds for n + 1, then the property holds for all numbers. For example, let t(n) be the property
that there exists a number m such that 2ÿm = nÿ(n + 1). Then t(0) (let m = 0). Suppose 2ÿm = nÿ(n
+ 1). Then
2ÿ(m + n + 1) = (n + 1)ÿ((n + 1) + 1), and thus if t(n) then t(n + 1). The induction principle allows
us to conclude t(n) for all numbers n. As a second example, let p(n) be the property that there
exists a non-zero number m that is divisible by all numbers from 1 to n. Then p(0) (let m = 1).
Suppose m is a non-zero number that is divisible by all numbers from 1 to n. Then mÿ(n + 1) is a
non-zero number that is divisible by all numbers from 1 to n + 1, and thus if p(n) then p(n+ 1).
The induction principle would allow us to conclude p(n) for all numbers n.
The reason for mistrusting the induction principle is that it involves an impredicative concept of
number. lt is not correct to argue that induction only involves the numbers from 0 to n; the
property of n being established may be a formula with bound variables that are thought of as
ranging over all numbers. That is, the induction principle assumes that the natural number
system is given. A number is conceived to be an object satisfying every inductive formula; for a
particular inductive formula, therefore, the bound variables are conceived to range over objects
satisfying every inductive formula, including the one in question.
In the first example, at least one can say in advance how big is the number m whose existence
is asserted by t(n): it is no bigger than nÿ(n + 1). This induction is bounded, and one can hope
that a predicative treatment of numbers can be constructed that yields the result t(n). In the
second example, the number m whose existence is asserted by p(n) cannot be bounded in
terms of the data of the problem.
lt appears to be universally taken for granted by mathematicians, whatever their views on
foundational questions may be, that the impredicativity inherent in the induction principle is
harmless—that there is a concept of number given in advance of all mathematical constructions,
that discourse within the domain of numbers is meaningful. But numbers are symbolic
constructions; a construction does not exist until it is made; when something new is made, it is
something new and not a selection from a pre-existing collection. There is no map of the world
because the world is coming into being. [Edward Nelson: "Predicative arithmetic", Princeton
University Press, Princeton (1986)]
http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/pa.pdf
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU11.PPT
Folie 63
127 Das Kalenderblatt 091009
Das Folgende schrieb ich für einen Fernstudenten (ja, auch solche sind willkommen!), der
Zermelos Beweis von 1904 gelesen hatte, aber nicht verstehen konnte. Mit meinen
Erläuterungen (gegeben in {{ }}, wie KB-Leser wissen) hat er nicht nur den Beweis sofort
verstanden, sondern auch, warum seine Bemühungen am Ende vergebens waren. Ich nehme
an, dass beides für diesen oder jenen dsm-Leser interessant ist.
Hier zunächst der Beweis. Die Notation habe ich geringfügig verändert, da Zermelo
Sonderzeichen verwendet hat.
Es sei M eine beliebige Menge von der Mächtigkeit |M|, deren Elemente mit m bezeichnet
werden mögen, M' von der Mächtigkeit |M'| eine ihrer Teilmengen, welche mindestens ein
Element m enthalten muß, aber auch alle Elemente von M umfassen darf [...] Die Menge aller
Teilmengen M' werde mit P(M) bezeichnet {{Zermelo schreibt "/\/\", gemeint ist die Potenzmenge
von M ohne die leere Menge}}.
Jeder Teilmenge M' denke man sich ein beliebiges Element m1' zugeordnet, das in M' selbst
vorkommt und das "ausgezeichnete" Element von M' genannt werden möge. So entsteht eine
"Belegung" γ von der Menge P(M) mit Elementen der Menge M von besonderer Art. Die Anzahl
dieser Belegungen γ ist gleich dem Produkt Πm' erstreckt über alle Teilmengen M' und ist daher
jedenfalls von 0 verschieden.
{{Beispiel 1: Sei M = {a, b}
Es gibt 1ÿ1ÿ2 = 2 zwei Belegungen der Elemente von P(M) = {{a}, {b}, {a, b}}, nämlich a, b, a und
a, b, b}}
Im folgenden wird nun eine beliebige Belegung γ zugrunde gelegt und aus ihr eine bestimmte
Wohlordnung der Elemente von M abgeleitet.
{{Beispiel 2: Sei M = {a, b, 1, 2, 3, ...}
Eine Belegung ist a, b, a, 1, 1, 1, ..., 2, 2, 2, ..., 3, 3, 3, ...
wobei {a}, {b}, {a, b} von a, b, a belegt werden, alle M', die eine 1 enthalten, mit 1 belegt werden,
alle M', die keine 1 aber eine 2 enthalten, mit 2 belegt werden, alle M', die weder 1 noch 2, aber
eine 3 enthalten, mit 3 belegt werden usw.}}
Definition: Als "γ-Menge" werde bezeichnet jede wohlgeordnete Menge Mγ aus lauter
verschiedenen Elementen von M, welche folgende Beschaffenheit besitzt: ist a ein beliebiges
Element von Mγ und A der "zugehörige" Abschnitt, der aus den vorangehenden Elementen x <*
a von Mγ besteht, so ist a immer das
"ausgezeichnete" Element von M - A. {{"x <* a" heißt: "x kommt in der Ordnung vor a"}}
Es gibt γ-Mengen innerhalb M. So ist z.B. m1, das ausgezeichnete Element von M' = M, selbst
eine γ-Menge {{man beachte: Das Element ist eine Menge! Auch Zermelo unterscheidet hier
noch nicht zwischen m und (m).}}, ebenso die (geordnete) Menge M2 = (m1, m2), wo m2 das
ausgezeichnete Element von M - m1 ist. {{Die γ-Menge der Belegung aus Beispiel 2 ist (a, b, 1,
2, 3, ...). Und jetzt folgt der sehr schöne Schluss:}}
Sind M'γ und M''γ irgend zwei verschiedene γ-Mengen (die aber zu derselben ein für allemal
gewählten Belegung γ gehören!), so ist immer eine von beiden identisch mit einem Abschnitte
der anderen. {{Denn in beiden Fällen ist m1 dasselbe ausgezeichnete Element von M. Wäre m'
das erste Element, in dem sich M'γ von M''γ unterscheidet, so müssten die Abschnitte A' und A''
identisch sein, somit auch die Komplementärmengen M - A' und M - A'', und, wegen identischer
Belegung, auch deren ausgezeichnete Elemente m' und m'', so dass m' nicht von m''
verschieden sein kann. Außerdem wird jedes Element x aus M benötigt, da es für jedes x eine
Untermenge M' = {x} gibt, für die nur x als ausgezeichnetes Element fungieren kann.}} [E.
Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math. Ann. 59 (1904) 514-516]
128 Das Kalenderblatt 091010
Das letzte Kalenderblatt enthielt Zermelos Beweis von 1904.
[E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math. Ann. 59 (1904) 514516]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=28526
Hier nun der Schluss oder besser: das Ende von Zermelos Überlegungen:
Jede Menge, für welche die Gesamtheit der Teilmengen usw. einen Sinn hat, darf als eine
wohlgeordnete, ihre Mächtigkeit als ein "Alef" betrachtet werden. So folgt also für jede transfinite
Mächtigkeit
|M| = 2 |M| = ¡0 |M| = |M|2 usw.
{{Wie weiter? Immer weiter? Gibt es eine wohlgeordnete Menge aller Ordinalzahlen? Welche
sollte wohl fehlen? Eine wandelbare Grenze wird ja von Platonisten abgelehnt.}}
Die weite Reise, welche Herbart seiner "wandelbaren Grenze" vorschreibt, ist
eingestandenermaßen nicht auf einen endlichen Weg beschränkt; so muß denn ihr Weg ein
unendlicher, und zwar, weil er seinerseits nichts Wandelndes, sondern überall fest ist, ein
aktualunendlicher Weg sein. Es fordert also jedes potentiale Unendliche (die wandelnde
Grenze) ein Transfinitum (den sichern Weg zum Wandeln) und kann ohne letzteres nicht
gedacht werden. Da wir uns aber durch unsre Arbeiten der breiten Heerstraße des Transfiniten
versichert, sie wohl fundiert und sorgsam gepflastert haben, so öffnen wir sie dem Verkehr und
stellen sie als eiserne Grundlage, nutzbar allen Freunden des potentialen Unendlichen, im
besonderen aber der wanderlustigen Herbartschen "Grenze" bereitwilligst zur Verfügung; gern
und ruhig überlassen wir die rastlose der Eintönigkeit ihres durchaus nicht beneidenswerten
Geschicks; wandle sie nur immer weiter, es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den
Füßen schwinden. Glück auf die Reise! [G. Cantor, "GESAMMELTE ABHANDLUNGEN
MATHEMATISCHEN UND PHILOSOPHISCHEN INHALTS", Herausgegeben von Ernst
Zermelo, Springer, Berlin (1932) p. 393]
Also folgen wir denn dieser freundlichen Einladung, betreten wohlgemuth die eiserne
Heerstraße und schreiten potent aber impotenziell voran: Es gibt dort Mannichfaltigkeiten zu
sehen:
Ù und P(Ù) und P(P(Ù)) = P2, P3, ..., Pn, ..., Pω, Pω+1, ... "usw."
Jede Potenzmenge enthält ihre Vorgängerin als ein Element. Auf der Heerstraße des
Transfiniten sind sie alle zu finden (wobei, in Klammern sei es angemerkt, die Vereinigung aller
nicht fehlen darf, sich selbst enthält und eine Kardinalzahl besitzt, eine Kardinalzahl sage ich
Ihnen - atemberaubend, die größer ist als sie selbst). Das Unendliche in Vollendung. Danach
kommt wirklich nichts mehr! (Jedenfalls mathematisch betrachtet, müsste x ∫ x der Schlussstein
sein. Es sei denn, ein Axiom für unerreichbare Kardinalzahlen bahnt einen Tunnel in die
matheologische Hölle der geistlosen Geister, die nimmer Rast noch Ruhe finden.)
Doch einfacher und übersichtlicher: Gibt es nicht "alle" und noch größere, aber wenigstens die
bemitleidenswert kleine unendliche wohl geordnete Menge Ù mit ¡0 Elementen, so kann das
erste Element dieser Wohlordnung mit ¡0 einfachen Transpositionen der leicht verständlichen
Form
1, 2, 3, ...
2, 1, 3, ...
2, 3, 1, ...
...
zum letzten gemacht werden, womit die unendliche wohlgeordnete Menge ein letztes Element,
also eine Ende aber wohl keinen Sinn mehr hat.
Und noch einfacher: Der binäre Baum besitzt matheologisch betrachtet mehr Pfade als Knoten,
also mehr Pfade als sich vom Randpfad 0.000... oder von einem von diesem unterschiedenen
Pfad unterscheiden können.
129 Das Kalenderblatt 091011
The clear understanding of formalism in mathematics has led to a rather fixed dogmatic position
which reads: Mathematics is what can be done within axiomatic set theory using classical
predicate logic. I call this doctrine the Grand Set Theoretic Foundation. [...]
Even in the 1940's, with the growth of abstract algebra, axiomatic set theory was not
regarded as a central doctrine. It was not until about 1950 that the Grand Set Theoretic
Foundation was finally complete and officially accepted under the slogan which might have read:
"Mathematics is exactly that subject which can be developed by logical rules of proof from the
Zermelo-Fraenkel axioms for set theory." This foundation scheme had its popular version in the
"new math" for schools. It also had its philosophical doctrine, a version of Platonism, that the
world of sets is that constructed in the standard cumulative hierarchy of all ranked sets. [...] The
Zermelo-Fraenkel axioms are then (a selection of) the facts true for all sets in this hierarchy. This
is sometimes claimed to describe the ultimate Platonic reality which underlies all mathematics:
Perhaps the Zermelo- Fraenkel axioms do not describe everything, but with a little more insight
we will understand all the axioms necessary and then at least in principle all mathematical
problems can be settled from the axioms.
It is my contention that this Grand Set Theoretic Foundation is a mistakenly one-sided view
of mathematics and also that its precursor doctrine (Dedekind cuts) was also one-sided.
[Saunders Mac Lane: "Mathematical models: A sketch for the philosophy of mathematics", The
American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 7 (1981) 462-472.]
http://en.wikipedia.org/wiki/MacLane
Der Mann, der die Welt hätte verändern können:
http://www.ams.org/notices/199510/maclane.pdf
(s. S. 1136 oben.)
130 Das Kalenderblatt 091012
We may list various difficulties with the grand foundation as follows:
First, it does not adequately describe which are the relevant mathematical structures to be
built up from the starting point of set theory. A priori from set theory there could be very many
such structures, but in fact there are a few which are dominant, one list being provided by
Bourbaki's "mother structures." [...]
Second, set theory is largely irrelevant to the practice of most mathematics. Most
professional mathematicians never have occasion to use the Zermelo-Fraenkel axioms, while
others do not even know them. If they did know the axioms, they would rapidly observe that
most of the mathematics they do could be satisfactorily based on a much weaker set of axioms
[...] {{zum Beispiel auf überhaupt keine Axiome, sondern auf die fundamentale Überlegung, dass
alle Mathematik, sofern sie sich auf die Realität bezieht, experimentell überprüfbar sein muss.
Doch was sagt Einstein? "Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen,
sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit."
[A. Einstein: Geometrie und Erfahrung" in "Mein Weltbild" Carl Seelig (Hrsg.), Ullstein, Frankfurt
(1966) p. 119]
Diese Antwort gibt er auf die Frage: "Wie ist es möglich, daß die Mathematik, die doch ein von
aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenständen
der Wirklichkeit so vortrefflich paßt? Kann denn die menschliche Vernunft ohne Erfahrung durch
bloßes Denken Eigenschaften der wirklichen Dinge ergründen?" Und hier ist bereits die
Prämisse falsch. Die Mathematik ist nicht von der Erfahrung unabhängig. Ohne Erfahrung wäre
das Gehirn leer. Die Mathematik passt genau deswegen so vortrefflich, weil sie aus der Realität
(zu der übrigens auch das menschliche Denken und, wenn es das denn gäbe, auch das
erfahrungsunabhängige bloße Denken gehört) entstanden ist.}}
The Grand Set Theoretic Foundation of mathematics has other, more technical
disadvantages. It does not answer the difficulties presented by the Gödel incompleteness
theorem. {{Im Gegenteil! Ohne aktuale Unendlichkeit zeigt sich, dass Gödels trostlose Sätze
falsch sind - es gibt für jede mathematische Aussage, nachdem sie konstruiert wurde, immer
wieder Hoffnung auf einen Beweis.}} [...]
The set-theoretic approach is by no means the only possible foundation for mathematics.
{{It is by any means an impossible foundation for mathematics.}}
[Saunders Mac Lane: "Mathematical models: A sketch for the philosophy of mathematics", The
American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 7 (1981) 462-472.]
http://home.dei.polimi.it/schiaffo/TFIS/philofmaths.pdf
131 Das Kalenderblatt 091013
So, even though, for example, the Hausdorff-Banach-Tarski paradox has been called the most
paradoxical result of the twentieth century, classical mathematicians have to convince
themselves that it is
natural, because it is a consequence of the Axiom of Choice, which classical mathematicians are
determined to uphold, because the Axiom of Choice is required for important theorems which
classical
mathematicians regard as intuitively natural. [Henry Flynt: IS MATHEMATICS A SCIENTIFIC
DISCIPLINE? (1994)]
http://www.henryflynt.org/studies_sci/mathsci.html
132 Das Kalenderblatt 091014
There is no path to infinity, not even an endless one. [§ 123]
It isn't just impossible "for us men" to run through the natural numbers one by one; it's
impossible, it means nothing. […] you can’t talk about all numbers, because there's no such
thing as all numbers. [§ 124]
An "infinitely complicated law" means no law at all. [§ 125]
There's no such thing as "all numbers" simply because there are infinitely many. [§ 126]
Does the relation m = 2n correlate the class of all numbers with one of its subclasses? No. It
correlates any arbitrary number with another, and in that way we arrive at infinitely many pairs of
classes, of which one is correlated with the other, but which are never related as class and
subclass. Neither is this infinite process itself in some sense or other such a pair of classes.
In the superstition that m = 2n correlates a class with its subclass, we merely have yet another
case of ambiguous grammar. [§ 141]
[L. Wittgenstein: "Philosophical Remarks", entnommen aus einer Sammlung von E.D.Buckner:
"THE LOGIC MUSEUM" (2005)]
http://uk.geocities.com/[email protected]/cantor/wittgensteinquotes.htm (leider nicht mehr
vorhanden)
133 Das Kalenderblatt 091015
The natural numbers are uncountable?
Given any simply infinite sequence of unique natural numbers, regardless of the specific identity
of the natural number at each position in the sequence, there is first element in the sequence, a
second element in the sequence, and so on, and so on, hence any simply infinite sequence of
unique natural numbers may be substituted for an infinite sequence of the natural numbers in
their natural order (i.e., 1, 2, 3, . . .). Which must mean that any such sequence is countable.
On the other hand, if L is the set of all simply infinite sequences formed from the two symbols '0'
and '1'. Let M be the set of all elements of L which are terminated in nothing but a string of
zeros. Reading from left to right, each unique element of M corresponds with a unique element
of the set of natural numbers. To see this, simply strip off the terminating string of zeros and
each element becomes a natural number in base two - e.g.;1000000000. . . = 1 = one
0100000000. . . = 01 = two
1100000000. . . = 11 = three
etc.
Next, substitute this set M for the set M used by Cantor in his 1891 proof that the power set of
natural numbers are uncountable (which originally used the set L whereas now we are using a
countable subset of L). Cantor's diagonal method will now create a member of this set M which
is guaranteed to not already be in the sequence. In order to reveal this unlisted element the
diagonal method will invert symbol one in the first sequence, symbol two in the second
sequence, symbol three in the third sequence, etc., etc. Since each position in the sequence
corresponds to a natural number, and all natural numbers are finite, the diagonal method can
not invert an infinite number of symbols to create the new element. Hence the new element must
be zero terminated - which must mean that it is a legitimate set of M which was not included in
the original sequence. Hence M is uncountable, but M is also a 1-1 analogue of the set of
natural numbers - hence the set of natural numbers is uncountable. [Andrew Stanworth (2004)]
http://sci.tech-archive.net/pdf/Archive/sci.logic/2004-07/0708.pdf
Die Mengenlehrer entgegnen zu Recht: "An infinite number of digits can be inverted by your
method." Denn welches sollte wohl die erste Stelle sein, an der nur noch Nullen aber keine "1"
mehr erscheinen können? Es gibt sie nicht.
Doch das ist kein Grund für die Mengenlehrer, sich zufrieden zurückzulehnen, denn hier zeigt
sich wieder einmal die Einäugigkeit diesbezüglicher Argumentationen.
Natürlich gibt "es" auch nicht aktual unendlich viele Stelle, in dem Sinne, dass ihre Anzahl alle
natürlichen Zahlen überträfe. Jede Stelle der Diagonalzahl von AS gehört zu einer natürlichen
Zahl. Das ganze Missverständnis basiert (wieder einmal) auf der zum Überleben der transfiniten
Mengenlehre unverzichtbaren, manchen Mengenlehrern aus Unkenntnis unterlaufenden, von
anderen mit taschenspielerischer Virtuosität beherrschten Vertauschung von aktual und
potentiell unendlich.
Jede Stelle und alle vorhergehenden Stellen der von AS gebildete Diagonalzahl gehört zu einer
natürlichen Zahl. Die Diagonalzahl besitzt eine natürliche Zahl von Stellen, doch diese Zahl ist
potentiell unendlich, das heißt, ihre Stellenzahl ist größer als die jeder vorgelegten natürlichen
Zahl. Oder genauer: die Diagonalzahl kann so weit konstruiert werden, dass ihre Stellenzahl
jede vorgelegte natürliche Zahl übertrifft. Und dennoch wird sie in jedem Konstruktionszustand
von mindestens einer natürlichen Zahl übertroffen.
134 Das Kalenderblatt 091016
Many students of set theory do not follow what I have called the "Grand Set Theoretic
Foundation" but instead follow Cantor to emphasize the intuitive notion of a set as a collection
which is a real object in its own right. For them set theory is not subsumed by the ZermeloFraenkel axiom system or by any other first-order formal system. It may be studied formally by
other means; using infinitary languages or second-order logic {{or omega-tasking. Wenn eine
Mathematikerin kein Uraltmodell sondern ein Ultramodel ist, dann beherrscht sie das ja,
selbstverständlich. Aber ebenso selbstverständlich muss sie das Supertasking [*] meiden wie
die Teufelin das Weihwasser, obwohl (!) Supertasking ein Untertasking des Omegataskings ist,
weil ja nicht öfter als omega-oft getaskt wird. Doch es bringt garantiert jede Hardware zum
Absturz.}} Such Cantorian sets are just as real as numbers. Indeed, one might say that number
theory is formalized only in part by Peano's arithmetic in just the way set theory is formalized,
but only in part, by Zermelo-Fraenkel. (There can be true properties of whole numbers not
demonstrated in Peano arithmetic.)
From this point of view, set theory is just another branch of mathematics {{wenn überhaupt}}. If
in this view set theory is not taken to be the foundation of mathematics {{relieving}}, it can be
assimilated with our proposal that mathematics consists of formal disciplines derived from a
variety of human activities. {{Human activities? Is omega-tasking a human activity? Well, in
some sense. At least believing in is - like worshipping of the devil (with a lot of formal rules).}}
[Saunders Mac Lane: "Mathematical models: A sketch for the philosophy of mathematics", The
American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 7 (1981) 462-472.]
http://home.dei.polimi.it/schiaffo/TFIS/philofmaths.pdf
[*]
http://groups.google.nl/group/sci.math/browse_frm/thread/5276b15032c5d79f?scoring=d&hl=en
hier auf Folie 22 in der schlanksten Version animiert:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12.PPT
sowie am Ende von Kalenderblatt 091010 in einer einfachen Version verwendet:
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/e1306f2c11f0f350?hl=de#
135 Das Kalenderblatt 091017
Hier eine Ankündigung von Jehanger und Angela Grami:
Cantor’s diagonal method has been the proof for the uncountable infinite set of real numbers to
be “larger” than the countable infinite set of natural numbers. In the following work Cantor’s
method is refuted and it is proven that the cardinality of real numbers is the same as the
cardinality of natural numbers. Contrary to Cantor’s method, this proof is constructive and
estimates directly the cardinality of the real numbers and compares it to the natural numbers by
constructing an injection to the prime numbers. The work is written in German and shall be
translated into English. Until then the German version is the only source for the proof. [J. Grami,
A. Grami: "Die reellen Zahlen sind abzählbar." (2009)]
www.real-numbers.de
136 Das Kalenderblatt 091018
The mathematician Frege demolished the more traditional attempts to explain and establish
number and mathematical certainty. (To his satisfaction, at any rate). Frege went on to try to
give natural numbers and arithmetic a sound rational basis. To him, this meant in part giving
them a basis in a scheme of calculation. Frege faced many obstacles. Brouwer, and
Wittgenstein in his later period, proclaimed that mathematics cannot be founded by logic, or by
another layer of calculations. Frege's work was ignored in Germany; then, when his system was
finally published, it was immediately wrecked by Russell's paradox. In spite of this, Frege's
program was ultimately upheld by the professional majority (against Brouwer, for example). The
mathematical logic elaborated by Frege, and his cohorts Boole, Cantor, Peano, Skolem,
Herbrand, Hilbert, etc., became the prevailing view, or contextualization, of elementary
arithmetic.
In no way is that a trivial remark or outcome. Calling themselves new hens, the foxes seized
control of the henhouse. Arithmetic had been reductionistically re-founded in a way which
nullified its traditional consistency and uniqueness.
By no means did the discovery that Frege's system was inconsistent kill it. Instead, it was
repaired and adopted: even though the problem of repair was obdurate, and vitiated the tenet of
uniqueness of the natural numbers which crystallized Frege's original goal. (The introduction of
type theory and the Axiom of Reducibility.) Thus, the majority was prepared to resort to
"scandalously artificial" devices to prop up a system which in its straightforward formulation was
inconsistent. -- Because the majority loved the new shell game. It must also be said that a
significant but weak minority opposed this course, e.g. Brouwer, Heyting, Weyl, Wittgenstein.
The lesson is that when an initially unpopular theory became popular, then prima facie
inconsistency did not kill it. It was upheld by casuistry, as it were -- even though it continued to
be opposed by a minority. [Henry Flynt: IS MATHEMATICS A SCIENTIFIC DISCIPLINE?
(1994)]
http://www.henryflynt.org/studies_sci/mathsci.html
137 Das Kalenderblatt 091019
So wie die Zahl ν der Ausdruck ist für eine bestimmte Anzahl von Setzungen der Einheit und für
deren Vereinigung, {{ja, auf das Unärsystem kann der Zahlbegriff bequem, sicher und korrekt
zurückgeführt werden}} schaffe ich zunächst eine neue Zahl ω, welche der Ausdruck dafür sein
soll, dass der ganze Inbegriff (ν) gegeben sei; ich kann ω als Grenze der Zahlen ν mir denken,
wenn darunter nichts anderes gemeint ist, als dass ω die erste nach allen ν geschaffene ganze
Zahl sei, d. h. die erste, welche grösser genannt werden soll, als alle ν. {{Wenn darunter nichts
anderes gemeint ist, sei's drum (und das ist schon Aberglaube). Gewiss ist jedoch: Die Zahl, die
nach einer ununterbrochenen Folge von natürlichen Zahlen steht, gibt nicht deren Kardinalzahl
an. Das erkennt man leicht hier
( ), 1
(1), 2
(1, 2), 3
(1, 2, 3), 4
...
Für jede derartige prüfbare Folge (von Zahlen, welche aus Einheiten bestehen und tatsächlich
von Menschen gezählt werden können) ist die Annahme Card(1, 2, 3, ..., n) > n eindeutig falsch.
Aber "im Unendlichen" ist die Mathematik nicht mehr so mathematisch genau; alles wird etwas
unscharf, verschwimmt in der flirrenden, gleißenden Gloriole des Unendlichen, der alle Zahlen
hat gezähelet, dass ihm auch nicht eine fehelet? Der Glaube versetzt bekanntlich Berge, aber
wer diese Täuschung erkennt, kann den Fehler in der Annahme |Ù| = ω nicht mehr verkennen.}}
Wende ich auf ω die Hinzufügung einer Einheit an, wie früher auf ν, so erhalte ich eine neue
Zahl ω + 1. {{Wie viele Einheiten wären denn da zu setzen?}} [Cantor an Dedekind, 5. 11. 1882]
Heute erhielt ich durch die Post einen Separatabdruck der "Mittheilungen zur Lehre vom
Transfiniten", mit der handschriftlichen Widmung: H. A. Schwarz in Erinnerung an die alte
Freundschaft zugeeignet vom Verf. Nachdem ich so Gelegenheit erhalten habe, diesen Aufsatz
mit Muße anzusehen, kann ich nicht verhehlen, daß mir derselbe als eine krankhafte Verirrung
erscheint. Was haben denn in aller Welt die Kirchenväter mit den Irrationalzahlen zu thun?!
Möchte sich doch die Befürchtung nicht bewahrheiten, daß unser Patient auf derselben schiefen
Ebene angelangt sei, von der der unglückliche Zöllner den Rückweg zur Beschäftigung mit
concreten wissenschaftlichen Aufgaben nicht mehr gefunden hat! Je mehr ich über diese beiden
Fälle nachdenke, umso mehr drängen sich mir die ähnlichen Symptome auf --. Möchte es doch
gelingen, den unglücklichen jungen Mann zu Beschäftigung mit concreten Aufgaben
zurückzuführen, sonst nimmt es mit demselben gewiß kein gutes Ende! [Hermann Amandus
Schwarz an Carl Weierstraß, 17. 10. 1887]
Zöllner, Johann Karl Friedrich, Astrophysiker, 1834-1882. Seit 1872 o. Professor der
Astrophysik; befaßte sich später eingehend mit philosophischen Studien und wurde überzeugter
Anhänger des Spiritismus.
http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Karl_Friedrich_Z%C3%B6llner
138 Das Kalenderblatt 091020
Die Bildung der Zahl ω erfolgt also durch das zweite Erzeugungsmoment, die der Zahl ω + 1
durch das erste. - Wendet man nun diese beiden Erzeugungsmomente wiederholt an, so kommt
man zu einer mit bestimmter Succession fortschreitenden Erweiterung unserer Zahlenreihe:
1, 2, 3, ..., ν, ... ω, ω + 1, ω + ν, 2ω, 2ω + 1 [...] σωk + ρωk-1 + ... + μω + ν, ... ... u. s. w. u.
s. w.
{{Und so geht es immer weiter. Man kann also jedenfalls bis zum Ende von Ù gelangen, wenn
man Cantor heißt oder Zermelo.}} Der erste Eindruck, welchen diese Reihe bei Ihnen
verursachen dürfte, wird der sein, dass man nicht sieht, wie man bei ihrer Fortsetzung zu einer
Art von Abschluss gelangen kann, der doch nöthig wäre, wenn uns dadurch eine neue
bestimmte Mächtigkeit und zwar die auf die Mächtigkeit erster Classe nächst folgende
Mächtigkeit der zweiten Classe geliefert werden soll. - Um diesen Abschluss zu bewirken,
kommt zu den beiden oben definierten Erzeugungsmomenten noch ein drittes Moment, ich
nenne es Beschränkungsmoment hinzu, welches in der Forderung besteht nur dann die
Schöpfung einer neuen ganzen Zahl mit Hülfe eines der beiden anderen Momente
vorzunehmen, wenn die Gesammtheit aller voraufgegangenen Zahlen in einer ihrem ganzen
Umfange nach bereits vorhandenen, bekannten Zahlclasse abzählbar ist. {{Damit ist jede
Zahlclasse abzählbar, nach Cantor zwar nur in nebelfernem "erweitertem Sinne", doch wie
Zermelo (in KB 091009) gezeigt hat, auch als ganz lineare Folge: "wäre nun m' das erste
Element ...". Das wollten die Gramis und die drei AS (Albrecht Storz mehrfach hier in dsm,
Andrew Shane (KB 090814) und Andrew Stanworth (KB 091015)) einfach nachmachen wenigstens für Ù.
Den nächsten Effect davon wusste ich ganz genau voraus, dass nämlich die hier
vertretenen Mengenlehrer wie von einem Skorpion gestochen auffahren und ein
Geheul anstimmen würden, dass die Leser sich in die Sandwüsten Afrika's, mit ihren
Löwen, Tigern und Hyänen versetzt glauben. Diesen Zweck habe ich, so scheint es,
wirklich erreicht. [Leicht modificirt nach G. Cantors Brief vom 1. 1. 1884 an G. MittagLeffler.]
Es ist eben nur Leuten wie Cantor oder Zermelo erlaubt, jede wohlzuordnende Menge bis zum
bittern Ende abzuzählen.}} Auf diesem Wege, mit Beobachtung aller dieser drei Momente kann
man mit der grössten Sicherheit zu immer neuen Zahlclassen und zu deren Mächtigkeiten
gelangen und die auf solche Weise erhaltenen neuen Zahlen sind dann immer durchaus von
derselben concreten Bestimmtheit und Realität wie die älteren. Ich wüsste also wahrlich nicht
was uns von dieser Thätigkeit des Bildens neuer ganzer Zahlen zurückhalten sollte, sobald es
sich zeigt, dass für den Fortschritt d. Wissenschaften die Einführung einer neuen von diesen
unzähligen Zahlclassen wünschenswerth oder gar unentbehrlich geworden ist; {{Ich wüsste da
schon einiges - aber es erübrigt sich, denn es hat sich schließlich gezeigt, dass die neuen
Zahlen für den Fortschritt der Wissenschaften nicht nur nicht unentbehrlich sondern sogar
hinderlich sind, weil sie manche (wenn auch vergleichsweise wenige) fähige Geister von einer
Beschäftigung mit wissenschaftlichen Themen abhalten.}}
[Brief von Georg Cantor am 5. 11. 1882 an Richard Dedekind] {{der darauf aus, wie ich finde,
begreiflichen Gründen nicht mehr antwortete.}}
139 Das Kalenderblatt 091021
Hat man ein n-fach ausgedehntes stetig zusammenhängendes Gebiet A und in ihm eine
überalldicht verbreitete, jedoch abzählbare Punctmenge (Mν), so ist für n ¥ 2 das Gebiet,
welches nach Abzug der Menge (Mν) von A übrig bleibt, auch noch stetig zusammenhängend, in
dem Sinne, dass je zwei Puncte N u. N' desselben durch unzählig viele continuirliche, analytisch
definirbare, innerhalb desselben Gebietes verlaufende Linien verbunden werden können auf
welchen also kein einziger Punct der Menge (Mν) liegt. Bewegung ist also in gewissem Sinne
auch in solchen Räumen möglich.
Die allgemeine Richtigkeit dieses Satzes erkennt man am leichtesten aus meinem Satze, dass,
wenn eine reelle Grössenreihe ω1, ω2, ..., ων vorliegt, in jedem Intervall (α, β) Grössen η
vorkommen, welch keinem ων gleich sind. [Cantor an Dedekind, 7. 4. 1882]
{{Nein, dieser Satz hat mit der Kontinuität von A\(Mν) nichts zu tun, denn wie man leicht sieht,
kann in A auch die überabzählbare Menge aller Punkte mit rein transzendenten Koordinaten
entfallen, ohne dass die Kontinuität leidet. Der Beweis steht im Anhang von: ["On Cantor's
important proofs", arXiv, math.GM/0306200]
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0306/0306200.pdf
p. 9-12.}}
An diese Sätze knüpfen sich Erwägungen über die Beschaffenheit des der realen Welt, zum
Zwecke begrifflicher Beschreibung und Erklärung der in ihr vorkommenden Erscheinungen,
zugrunde zu legenden dreidimensionalen Raumes. Bekanntlich wird derselbe sowohl wegen der
in ihm auftretenden Formen, wie auch namentlich mit Rücksicht auf die darin vor sich gehenden
Bewegungen als durchgängig stetig angenommen. Diese letztere Annahme besteht [...] in nichts
anderem, als daß jeder Punkt, dessen Koordinaten x, y, z in bezug auf ein rechtwinkliges
Koordinatensystem durch irgendwelche bestimmte reelle, rationale oder irrationale Zahlen
vorgegeben sind, als wirklich zum Raume gehörig gedacht wird, wozu im allgemeinen kein
innerer Zwang vorliegt und worin daher ein freier Akt unserer gedanklichen
Konstruktionstätigkeit gesehen werden muß. Die Hypothese der Stetigkeit des Raumes ist also
nichts anderes, als die an sich willkürliche Voraussetzung der vollständigen, gegenseitigeindeutigen Korrespondenz zwischen dem dreidimensionalen rein arithmetischen Kontinuum (x,
y, z) und dem der Erscheinungswelt zugrunde gelegten Raume. [G. Cantor: "Über unendliche
lineare Punktmannigfaltigkeiten Nr. 3", Math. Ann. 20 (1882) 113-121.]
Der Raum wird sich darum nicht scheren, was Mathematiker ihm zubilligen oder zumuten. Er ist
wie er ist - mit oder ohne freie Akte der Konstruktionstätigkeit.
140 Das Kalenderblatt 091022
The various earlier philosophies of mathematics [...] each arose out of the dominant aspects of
mathematics as then understood. For example, Platonism arose in Greece and applied to
mathematics there because it fitted Greek geometry; it has been popular among mathematicians
recently because it fitted well with the view that mathematics derives from axioms for sets.
Logicism arose together with the discovery and formalization of mathematical logic. Intuitionism
was the child of emphasis on numbers as the starting point of mathematics and on intuition as a
basis of topology. Formalism arose with the development of axiomatic methods and the
discovery that proof theory might give consistency proofs for abstract mathematics. Empiricism
sprang from the 19th-century view of mathematics as almost coterminal with theoretical physics;
it was much influenced by Kant's dichotomy between analytic and synthetic.
Now we search for a philosophy of mathematics better attuned to the present state of the
subject.
{{Die Antwort heißt: MatheRealismus.
mhtml:http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/MR.mht
http://arxiv.org/abs/math/0505649
}}
[Saunders Mac Lane: "Mathematical models: A sketch for the philosophy of mathematics", The
American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 7 (1981) 462-472.]
http://home.dei.polimi.it/schiaffo/TFIS/philofmaths.pdf
141 Das Kalenderblatt 091023
At the beginning of rational mathematics stands the result concerning the incommensurability of
the side and diagonal of a square. This severe embarrassment, which can be conceived as an
elementary refutation of mathematics, was instead co-opted as a program for the development
of mathematics. (With legitimacy of proof by contradiction as a crucial consideration allowing
this.) And yet the status of irrational numbers and the continuum of reals has been questionable
to this very day.
Already a precedent for this approach has been provided by historical studies of the Axiom of
Choice (with the Banach-Tarski paradox) by Gregory Moore and Stan Wagon. From their
excavations, we learn that Émile Borel published a book, Les Paradoxes de l'Infini (3rd ed.,
Paris, 1946), which on p. 210 said that the Banach-Tarski paradox amounts to an inconsistency
proof of the Axiom of Choice.
I do not take a compliant view of mathematics. I consider it as a historically given doctrinal
institution; placing in suspension any claim that there is an ideal perfect mathematics. Given
Hennix's combined historical and rational scrutiny of the development of mathematical doctrine, I
will propose that the main factor in the establishment of "truth" in mathematics is professional
procedure and discipline.
There already are many results which are inconsistency proofs in effect. Only professional
discipline forestalls the obvious interpretation of these proofs as inconsistency proofs. Quasiinconsistency proofs are neutralized or co-opted by negotiation and the addition of layers of
interpretation.
The most celebrated results of the twentieth century (probably earlier centuries as well) came
from skirting paradox while claiming not to land in it. A paradoxical positing is made deliberately,
and then is deflected so that, as interpreted, it is not a contradiction.
Truth is negotiated on the basis of manipulation of import by distorting interpretations.
Interpretation takes the form of discarding traditional intentions concerning mathematical
structure: the privileged position of Euclidian geometry; the invariance of dimension; the
association between integer and magnitude; uniqueness of the natural number series; etc.
From time to time, results are discovered which patently embarrass the conventional wisdom, or
controvert popular tenets. [The Gödel theorems.] Then follows a political manipulation, to distort
the unwanted result by interpretation so that it is seen to "enhance" the popular tenet rather than
to controvert it.
Even if my sense of the situation is right, the appearance of such a professionally compelling
proof would be a more a matter of packaging and selling than anything else. [...] The biggest
hurdle such an attempted proof faces is professional discipline. Whether inconsistency proofs
are recognized to have occurred is subject to entirely "political" manipulation.
[Henry Flynt: IS MATHEMATICS A SCIENTIFIC DISCIPLINE? (1994)]
http://www.henryflynt.org/studies_sci/mathsci.html
142 Das Kalenderblatt 091024
To the series of well-ordered aggregates belong an ascending series of finite and transfinite
ordinal numbers
(1) 1, 2, ..., ν, ..., ω, ω + 1, ..., γ, ...,
and the cardinal numbers [...] we can prove that the Alephs can be arranged in an unbroken and
ascending series
(2) ¡0, ¡1, ..., ¡ν, ..., ¡ω, ¡ω+1, ..., ¡γ ...,
which is ordinally similar to the series (1).
[...] Now, it can be proved without difficulty that the series (1) and (2) are well-ordered, and that if
they had a type, which must be an ordinal number, β, this is greater than any of the ordinal
numbers of (1). Since, then, all ordinal numbers are contained in (1), we can conclude that β > β,
a manifest contradiction {{Dieses Paradoxon tritt bereits bei den natürlichen Zahlen auf: Jede
Menge natürlicher Zahlen besteht aus einer natürlichen Anzahl von Zahlen. Da die Menge aller
natürlichen Zahlen keine natürliche Anzahl natürlicher Zahlen enthält, aber auch keine
unnatürliche Anzahl natürlicher Anzahlen enthalten kann, existiert ihre Anzahl nicht.}}
[...] the series (1) (which I call W) and (2) have no type and no cardinal number.
[...] Although we are thus forced to deny the existence of a cardinal number of any aggregate,
some part of which is equivalent to an aggregate like W, we cannot, it seems, deny the
existence of W itself. For not only is W a perfectly definite series, in the sense that every object
of thought either is or is not a member of W, and, in the former case, its position in W is uniquely
determined. {{Das ist doch das Argument für die Existenz aller natürlichen Zahlen: Jede ist als
solche eindeutig identifizierbar und besitzt ihren festen Platz in der Folge.}}
[...] Also, we may define aggregates (W, m1), where the element m1 follows all the elements of
W, and so on {{also à la Cantor einfach noch eins draufsetzen}}; we must, in fact, say that W is
similar to a segment alone of a (well-ordered) series U such that every well-ordered series is
similar either to it or to a segment of it. The conception of U excludes the contradiction that
suggests itself if we define an element subsequent to every element of U, for if we could so act,
our U could not be the U first defined; in words, U is an absolutely infinite series. {{Warum nicht
gleich so, schon bei Ù? Ù is an absolutely infinite sequence. Doch anstelle von "absolut
unendlich" sollten wir lieber "potentiell unendlich" sagen, denn absolut klingt fatal nach aktual und aktual ist ja factual gerade nicht absolut sondern höchstens abgebrochen unendlich.}}
[P.E.B. Jourdain: "On a Proof that every Aggregate can be well-ordered" Math. Annalen 60
(1905)]
143 Das Kalenderblatt 091025
{{P.E.B. Jourdain hatte soeben, in KB 091024, eine absolut (=potentiell) unendliche
wohlgeordnete Menge U aller Ordinalzahlen definiert:}}
Also, we may define aggregates (W, m1) {{es scheint, dass die Mengenlehre mit der
Kombination WM häufig in Konflikt gerät}}, where the element m1 follows all the elements of W,
and so on; we must, in fact, say that W is similar to a segment alone of a (well-ordered) series U
such that every well-ordered series is similar either to it or to a segment of it. The conception of
U excludes the contradiction that suggests itself if we define an element subsequent to every
element of U, for if we could so act, our U could not be the U first defined; in words, U is an
absolutely infinite series.
Now, it is quite evident that the elements of any aggregate (M) can be arranged in a series
similar to U or to a segment of U. For if we conceive any elements to be removed successively
from M, beginning with the series
(3)
m1, m2, ..., mν, ..., mω, mω+1, ..., mγ, ...
we ultimately exhaust the given aggregate M; for if we did not so exhaust it, there would be at
least one element (m') remaining {{jaja, an dieser Stelle sei es wiederholt: so denken die Leute,
die überall binäre Bäume pflanzen: Es geht immer so weiter, denn wenn nicht, so gäbe es ein
erstes m' à la Jourdain}} and, accordingly, we could form a well-ordered aggregate of which U
was a segment.
This last argument, now, seems to me to be the essential part of Zermelo's proof; for the 'γcovering' used as a basis for the well-ordering of the elements of M is not necessary, and, I
think, obscures the point at issue. {{Das ist der Sinn der Sache. Sonst merkte eh jeder gleich,
dass nach Zermelo (s. KB091009, KB091010) jede Menge linear und ohne Unterbrechung
wohlgeordnet werden kann - im Widerspruch zu Cantors Satz.}} [...] But, inversely, the series (3)
is easily seen to define a γ-covering, provided that the series (3) ultimately exhausts the
elements of M, as we have seen that it must do. It is not, then, necessary to use the artifice of a
γ-covering. We can more simply imagine the series (3) built up without this, and the essential
part of the proof is the same in both cases. [P.E.B. Jourdain: "On a Proof that every Aggregate
can be well-ordered" Math. Annalen 60 (1905)]
144 Das Kalenderblatt 091026
Eine Anwendung der Mengenlehre?
Was die abzählbaren Punktmengen betrifft, so bieten sie eine merkwürdige Erscheinung dar,
welche ich im folgenden zum Ausdruck bringen möchte (s. KB 091021). Denkt man sich aus
dem Gebiet A die abzählbare Punktmenge (M) entfernt und das alsdann übrig gebliebene
Gebiet mit A\(M) bezeichnet, so besteht der merkwürdige Satz, daß für n ¥ 2 das Gebiet A\(M)
nicht aufhört, stetig zusammenhängend zu
sein [Werke, p. 154].
Ich glaube aber auch ferner, und das ist der erste Punct, in welchem ich mich über die
Punctatomistik erhebe, dass die Gesammtheit der Körperatome von der ersten Mächtigkeit, die
Gesammtheit der Ätheratome von der zweiten Mächtigkeit ist und hierin besteht meine erste
Hypothese. [Cantor an Mittag-Leffler, 16. Nov. 1884].
Die hier gemachten Ausführungen über die "Constitution der Materie" findet man in ähnlicher
Form in [Werke, p. 275f]. Aber auch dort geht Cantor nicht genauer auf die Gründe ein, die für
seine Hypothese sprechen, daß die Körpermaterie die erste und die Aethermaterie die zweite
Mächtigkeit hat. [H. Meschkowski, W. Nilson: "Georg Cantor Briefe", Springer, Berlin (1991) 225]
{{Auf diese Gründe geht er bereits vorher ein:}} An diese Sätze {{s. ganz oben}} knüpfen sich
Erwägungen über die Beschaffenheit des der realen Welt, zum Zwecke begrifflicher
Beschreibung und Erklärung der in ihr vorkommenden Erscheinungen, zugrunde zu legenden
dreidimensionalen Raumes. [Werke, p. 156]
{{Man mag nun nach der Logik von Cantors Folgerung fragen, wenn man weiß, dass es auch
überabzählbare Punktmengen (M) gibt, die diese merkwürdige Erscheinung darbieten, dass
A\(M) nicht aufhört stetig zusammenhängend zu sein. Ohne dieses Wissen ist Cantors o.g.
Modellvorstellung aber plausibel. Ich glaube daher nicht, dass Cantor die von mir in
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0306/0306200.pdf
gezeigte Tatsache bewusst war und behaupte weiterhin: This proof shows in a striking manner
how the use of transfinite set theory veils even most simple structures. Deswegen kann ich mich
auch nicht entschließen, Cantors folgende Position zu akzeptieren:}}
Durch die von mir an die Spitze der Mannigfaltigkeitslehre gestellten Begriffe mache ich mich
anheischig, die sämtlichen Gebilde der algebraischen sowohl wie der transzendenten Geometrie
nach allen ihren Möglichkeiten zu erforschen, wobei die Allgemeinheit und Schärfe der
Resultate von keiner andern Methode übertroffen werden dürfen. [Werke, p. 208]
[Werke = E. Zermelo: "Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und
philosophischen Inhalts", Springer (1932) p. 154].
145 Das Kalenderblatt 091027
Betrachten wir die Basis-2-Entwicklung einer natürlichen Zahl
13 = 23 + 22 + 20 = 23 + 22 + 1
und drücken die Exponenten > 2 ebenfalls in der Basis 2 aus
3 = 21 + 1 = 2 + 1
so erhalten wir die reine Darstellung zur Basis 2:
13 = 22+1 + 22 + 1
Die Darstellung zur Basis 3 würde so aussehen:
13 = 32 + 3 + 1
und wäre bereits rein.
Die Goodsteinfolge G(n) = n, n', n'', ... einer natürlichen Zahl n ergibt sich, wenn man in ihrer
reinen Basis-2-Darstellung überall 2 durch 3 ersetzt und die so sich ergebende Zahl n' um 1
vermindert, sodann in der reinen Basis-3-Darstellung überall 3 durch 4 ersetzt und die so sich
ergebende Zahl n'' um 1 vermindert usw.
Beispiel 1: Das erste Glied der Folge G(2)
n = 2 = 21
liefert das zweite Glied
n' = 31 - 1 = 2
und das dritte Glied
n'' = 2 - 1 = 1
denn die Basis 3, die in n'' durch 4 ersetzt würde, ist in n' nicht vorhanden. Im nächsten Schritt
wird die Null erreicht, womit die Folge per Definition endet. Diese Goodsteinfolge ist also G(2) =
2, 2, 1, 0
Beispiel 2: Das erste Glied der Folge G(13)
n = 13 = 22+1 + 22 + 1
liefert das zweite Glied
n' = 33+1 + 33 + 1 - 1 = 33+1 + 33 = 108
Im nächsten Schritt wird die rechte Potenz angeknabbert:
n'' = 44+1 + 44 - 1 = 44+1 + 3ÿ43 + 3ÿ42 + 3ÿ4 + 3 = 1279
Nach drei weiteren Schritten ist die 3 verbraucht und im vierten geht es dem vorletzten Term an
den Kragen, dann also 3ÿ8 Ø 2ÿ8 + 7.
Große n führen offenbar zu rasant ansteigende Folgen. Trotzdem sagt der Satz von Goodstein,
dass jede Folge G(n) nach endlich vielen Schritten bei 0 endet (denn wenn die Basis größer
geworden ist als die
Zahl, gibt es nichts mehr zu ersetzen und die wiederholte Subtraktion von 1 zieht die Folge auf
0.)
Zum "Beweis" ersetzt man die Basis sogleich durch ω.
22+1 + 22 + 1
wird damit zu
a = ωω+1 + ωω + 1
Die nächsten Folgenglieder besitzen also dieselbe Basis ω, werden jedoch in jedem Schritt um 1
kleiner:
a' = ωω+1 + ωω
a'' = ωω+1 + ωω - 1 = ?
ωω - 1 erzwingt nun die Verminderung von ωω um 1. Wie das? Und wie geht das? Wenn man
von Unendlich 1 abzieht, hat man doch immer noch Unendlich!?
(Fortsetzung folgt.)
[R. Goodstein: "On the restricted ordinal theorem", Journal of Symbolic Logic, 9 (1944) 33-41]
http://curvebank.calstatela.edu/goodstein/goodstein.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem
146 Das Kalenderblatt 091028
Goodsteinfolgen (Ende): Der Konvergenz"beweis".
ωω - 1 erzwingt nun die Verminderung von ωω um 1. Wie das? Und wie geht das? Wenn man
von Unendlich 1 abzieht, hat man doch immer noch Unendlich!?
Es geht gar nicht, ist hier aber auch nicht erforderlich. Es wird jeweils zu einem Folgenglied wie
n = 22+1 + 22 + 1
ein Ausdruck mit der durch ω ersetzten Basis gebildet
t = ωω+1 + ωω + 1
Dann wird die Basis um 1 erhöht und die Subtraktion von 1 durchgeführt, hier
n' = 33+1 + 33
und abermals ein Ausdruck mit der durch ω ersetzten Basis
t' = ωω+1 + ωω
gebildet usw:
n'' = 44+1 + 44 -1
n'' = 44+1 + 3ÿ43 + 3ÿ42 + 3ÿ4 + 3
t'' = ωω+1 + 3ÿω3 + 3ÿω2 + 3ÿω+ 3
...
Die Folge (t) = t, t', t'', ... der transfiniten Ordinalzahlen ist streng monoton fallend, da die Basis ω
immer dieselbe bleibt und lediglich die Subtraktionen erfolgen. Die Goodsteinfolge (n) = n, n', n'',
... ist eine Minorante von (t). Wenn (t) nach endlich vielen Schritten bei 0 endet, so muss auch
(n) nach endlich vielen Schritten bei 0 enden.
Endet aber jede streng monoton fallende Folge transfiniter Ordinalzahlen nach endlich vielen
Schritten? Dazu sagt die Mengenlehre:
Es ist schon etwas verwirrend: Zählt man von unten nach oben, so kann man unendlich lange
zählen, ohne die nächste Grenzzahl zu erreichen, denn man findet immer einen Nachfolger, der
kleiner als die nächste Grenzzahl ist. Hat man dagegen eine absteigende Folge von
Ordinalzahlen, so muss man bei jeder Grenzzahl einen Sprung nach unten machen, denn einen
direkten Vorgänger gibt es nicht. [...] Allgemein gilt: Jede strikt absteigende Folge von
Ordinalzahlen erreicht nach endlich vielen Schritten ihr kleinstes Folgenelement und bricht dann
ab. [...] Wenn man sich die Beweismethode auf diese Weise veranschaulicht, so scheint sie
vollkommen natürlich zu sein. [Jörg Resak: "Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 4, Die
Fundamente der Mathematik 6, Goodsteinfolgen, Ordinalzahlen und transfinite Induktion",
(2008)]
http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap46.htm
Das ist der Clou: Aufwärts zählen erfordert unendlich viele Schritte (und noch viel mehr),
abwärts geht's von jedem Punkt in endlich vielen Schritten. Ein Beweis für die alte
Pilotenweisheit: Runter kommen sie immer. Hier der Verbraucher-Tipp der Woche: Leihen Sie
sich ω €. Die Rückzahlung schaffen Sie sogar, wenn Sie aus dem Niedriglohnsektor kommen,
denn mit jeder beliebigen absteigenden Folge machen Sie noch ein Geschäft. Wieder eine
schöne und volkswirtschaftlich wertvolle Anwendung der Mengenlehre.
Ist wirklich alles da, was der Mengenlehrer beim Aufstieg zu erkennen wähnt?
147 Das Kalenderblatt 091029
How does it happen that some important facets of the real world can in fact be accurately
analyzed by austere deductions from axioms? In other words, how does it happen that logic fits
the world; how can one account for the extraordinary and unexpected effectiveness of formal
mathematics?
This issue can also be stated for particular cases: How is it that the formal calculation by
Newtonian mechanics of the motions of bodies turns out to fit their actual motions? Why is it that
the formal deduction of the possible groups of symmetry is matched by those groups as they
occur in the world? Why is it that the theoretical properties of boundary value problems for
differential equations describe so well so many aspects of electricity, optics, mechanics,
hydrodynamics, and electrodynamics? How is it that the differential calculus seems to work both
for physics and for the economists' problems of local maxima?
Such questions of the relations of formal logical deductions to actual events raise metaphysical
problems to which I have no adequate answer. {{But I have. The world is matched by meaningful
mathematics, which does not need axioms but confirmation by reality. That part of mathematics,
namely set theory, which is rigorously deduced from axioms does not match anything of the
world - but this wisdom has been hidden and suppressed with great care.}}
In the practice of mathematics this notion of absolute rigor is certainly present; but a
mathematician, in addition to being guided by his concepts of precision, is guided also by his
understanding of the breadth and depth of his subject. By "breadth" I refer to the other objects
within or without mathematics to which this subject applies, while the issue of "depth" involves
judgment as to the choice of abstractions which will lead to the heart of the problems at issue.
We can today clearly understand notions of rigor and formulate them in metamathematical
terms, but there is no comparable analysis of breadth or depth of mathematical research. For
example, why are the simple axioms for group theory so powerful?
One aspect of such an analysis is the choice of the direction for mathematical research: What
topic should be studied next? On this there can be sharp opinions, for example, with Bourbaki.
In the hands of Dieudonné: this doctrine of chosen directions has become firm, not to say
frozen. It reads: "To see whether you are doing good mathematics, look to see what Bourbaki
notices; if your subject has not come to their favorable notice, it is not worth doing," Such a
dogma can be stifling {{drum: To see whether you are doing good mathematics, look to see what
Bourbaki notices; if your subject has come to their favorable notice, then its worth is dubious.}}
[Saunders Mac Lane: "Mathematical models: A sketch for the philosophy of mathematics", The
American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 7 (1981) 462-472.]
http://home.dei.polimi.it/schiaffo/TFIS/philofmaths.pdf
148 Das Kalenderblatt 091030
I have seen many proofs of Cantor's theorem that the irrationals (or reals) are uncountable, and
none is at all convincing. [...]
The primary operational fact here is that no matter how many irrationals you have to count,
you will always have an integer available to count it with. Always. Therefore, the claim that there
are more irrationals or reals than integers or rationals is nonsense.
Supporters of Cantor reply that this chart need not be in any order. It can be a random
chart. That is, a11 can be higher or lower than a12 or a42. And line 2 can be a higher or lower
irrational than line 1 or 3. But this is not to the point, since whether random or in series the chart
can never be postulated to be complete. This fact is not proof that the interval is uncountable. It
is proof that Cantor's assumptions are false. [...]
Cantor also claims that the irrationals are infinitely more dense than the rationals. But the
rationals are already infinitely dense. You cannot get more dense than continuous. You cannot
get more dense than infinitely dense. The rationals, by themselves, are continuous. They have
no space between them on the number line. You cannot get more dense than that. You may
ask, if the rationals are already continuous, how can you add the irrationals to them? Where do
they fit on the number line? The answer is that they don't fit in that way. Numbers and number
lines are abstractions. You do not "add" the irrationals to the rationals, like adding three oranges
to two oranges. Rationals and irrationals are relationships between numbers— therefore they
are not the same order of abstraction as the numbers themselves. Besides, at infinity, the
irrationals and the rationals are the same thing. Just as .9 repeating is the same as 1 at infinity,
the distance between some rational and some irrational goes to zero at infinity. There is no
distance between .9 repeating and 1—that is what a continuous numberline means. It works the
same way with the rationals and irrationals. You do not need to find room for the irrationals on
an infinitely dense rational numberline. At infinity, one is an overlay of the other, just as .9
repeating is an overlay of 1. This means that there is no such thing as an uncountable set.
[Miles Mathis: "Introductory Remarks on Cantor"]
http://milesmathis.com/cant.html
(Ich danke Eckard Blumschein für den Hinweis auf diese Quelle.)
149 Das Kalenderblatt 091031
Das System Taw aller Alefs bildet in ihrer Größenordnung eine dem System Ω ähnliche und
daher ebenfalls inkonsistente absolut unendliche Folge.
Es erhebt sich nun die Frage, ob in diesem System Taw alle transfiniten Kardinalzahlen
enthalten sind. Gibt es, mit anderen Worten, eine Menge, deren Mächtigkeit kein Alef ist?
Diese Frage ist zu verneinen und der Grund dafür liegt in der von uns erkannten Inkonsistenz
der Systeme Omega und Taw. [...]
Das System Taw aller Alefs ist nichts anderes als das System aller transfiniten Kardinalzahlen.
Alle Mengen sind daher in einem erweiterten Sinne "abzählbar", im besonderen alle "Kontinua".
[Cantor an Dedekind, 28. 7. 1899, abgedruckt in E. Zermelo: "Georg Cantor, Gesammelte
Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer (1932), p. 446f]
Zermelo merkt hierzu auf S. 451 an: Augenscheinlich denkt sich Cantor den Zahlen von Ω
sukzessive und willkürlich Elemente von V zugeordnet in der Weise, daß jedes Element von V
nur einmal zur Verwendung kommt. Dieses Verfahren müßte entweder einmal zum Abschlusse
kommen [...] Hier wird also die Zeitanschauung angewendet auf einen über alle Anschauung
hinausgehenden Prozeß und ein Wesen fingiert, daß sukzessive willkürliche Auswahlen treffen
könne und dadurch eine Teilmenge V´ von V definieren, die durch die gestellten Bedingungen
eben nicht definierbar ist. Erst durch Anwendung des
"Auswahl-Axioms", das die Möglichkeit einer simultanen Auswahl {{simultan bedeutet
gleichzeitig - ohne Zeitanschauung bedeutet es nichts}} postuliert [...] Bedenken dieser Art
haben denn auch wenige Jahre später den Herausgeber bestimmt, seinen eigenen Beweis des
Wohlordnungssatzes (Math. Ann. 59, S. 514; 1904) rein auf das Auswahlaxiom ohne
Verwendung inkonsistenter Vielheiten zu begründen. {{Aber mit Verwendung des
Aufwärtszählens und vor allem mit Verwendung der Komplementärmenge und also des
Abwärtszählens. Zermelos Beweis ist zweifelhaft - ebenso wie seine Edition der Cantor-Briefe:}}
The final section of the correspondence with Cantor starts only in July 1899. This was the part
from which extracts were published in the edition of Cantor's papers by Zermelo using the
transcriptions made by Cavaillès.
The standard of editing of the extracts is bad.[...] The collection begins with a letter from Cantor
of 28 July 1899. lt is the most famous of them all [...] lt is often cited in the literature on the
foundations of mathematics {{like here in the Kalenderblatt}}, and was translated into English in
[J. van Heijenoort: "From Frege to Gödel ..." (1967, Cambridge, Mass.) 113-117.]
There does not exist a letter in this form.
[I. Grattan-Guinness: "The Rediscovery of the Cantor-Dedekind Correspondence", Jahresbericht
DMV 76 (1974) p. 126f.]
150 Das Kalenderblatt 091101
A second negative effect of transfinite theory is that by positioning transfinite theory as the basis
arithmetic and logic, transfinite theorists have accomplished the unintended goal of basing
mathematics on mystical concepts: namely, the completed infinity. Such a result is highly
attractive to the mystical mind. Again, classical logicians would abhor the idea of basing
reasoning on mystical concepts, but the mystical mind adores it... gaining further acceptance for
transfinite theory.
This leads to one of the weirdest twists in modern mathematics: The intuitionalist school, led by
LEJ Brouwer actually demanded a higher degree of logical rigor than the Logicists school that
was happy with a mathematics founded on the slippery slope of transfinite theory, completed
infinities and paradoxes. Of course, we have seen the same twists in politics. The "people's"
party is generally a pseudonym for a dictatorship. Tax reform almost always leads to higher
taxes. Intuitionism in mathematics does not mean that people rely on their "intuition." Intuitionist
school demands that all axioms be based on comprehendible ideas. The logistical schools holds
that the axioms don't really matter, so long as symbolic logic used is consistent. The ideas
expressed by the symbols can be insane.
[...]
In my opinion, the fact that schools no longer teach logic is the worst effect of transfinite theory.
[Kevin Delaney: "Curing the Disease"]
http://descmath.com/diag/cure.html
151 Das Kalenderblatt 091102
Die Google-Suche zur Frage:
Ist 0.999... = 1?
http://www.google.de/search?hl=de&q=0.999+1&btnG=Suche&meta=&aq=f&oq=
liefert mehr als 1.000.000 Ergebnisse für 0.999 1 in 0,37 Sekunden.
Ist 0,9 = 1? Niemand wird zustimmen. Und 0,99 oder 0,999 oder ...? Selbstverständlich existiert
zwischen jeder Folge von n Neunen und 1 die Differenz 10-n > 0. Aber wenn man unendlich
viele Neunen hat?
Darauf gibt es drei Antworten:
Die Freunde des potentiell Unendlichen behaupten, dass die Liste
1
1, 2
1, 2, 3
...
alle natürlichen Zahlen enthält, weil von jeder gesagt werden kann, in welcher Zeile sie erstmals
auftritt. Benutzt man diese Zahlen als Indizes für die Neunen in Neunerfolgen, so erweist sich,
dass jede Neunerfolge endlich und von 1 verschieden ist.
Die Freunde des aktual Unendlichen behaupten: ES gibt eine niemals endende Neunerfolge.
Diese Folge kann man aber nur definitorisch erzeugen. Aktual unendlich viele Ziffern lassen sich
offenbar nicht hinschreiben. Überdies beinhaltet die Definition (wie alles aktual Unendliche)
einen Widerspruch. Denn alle mit natürlichen Zahlen indizierbaren Stellen sind bereits von allen
endlichen Neunerfolgen aufgebraucht worden. Der aktual unendlichen Neunerfolge bleibt nichts,
jedenfalls keine natürlich indizierte Ziffer, um sich von allen endlichen Neunerfolgen zu
unterscheiden, was jede endliche Neunerfolge kann. Und schon zu jeder endlichen Neunerfolge
existiert eine längere endliche Neunerfolge. Durch die Bijektion
0.999...9 ñ 1, 2, 3, ..., n
wo n gleichzeitig die letzte Ziffer 9 indiziert und die Anzahl der Ziffern 9 angibt, erweist sich, dass
die aktual unendliche Folge außen vor bleibt. Das hat nichts damit zu tun, dass es keine letzte
natürliche Zahl gibt. Die Bijektion erfasst alle natürlichen Zahlen ohne Ansehen der Position.
Wie die heutige Mathematik zeigt, können viele Mathematiker mit diesem Widerspruch
umgehen, indem sie behaupten, es sei gar keiner (obwohl Bijektionen ihnen in anderen
Zusammenhängen als scharfe Beweismittel dienen). Bei Anwendung der Freudschen
Verdrängungstechnik gibt ES (das Freudsche "Es"?) die Ziffernfolgen für 0,999..., ◊2, π usw.
Doch die Autosuggestion endet bei den 2¡0 aktual unendlichen Ziffernfolgen, die nicht durch
eine der ¡0 endlichen Regeln bis zu jeder Stelle definiert sind. Hier setzt der reine Glaube ein,
oder der Matheologe zweifelt, scheitert und ist für sein Fach unbrauchbar geworden (falls er die
Matheologie gewählt hatte - nicht zu verwechseln mit Mathematik).
Aber auch die Freunde des potentiell Unendlichen müssen mit einem Widerspruch
zurechtkommen, denn die oben gezeigte Liste ist ja in vertikaler Richtung aktual unendlich.
Um diese Probleme zu vermeiden, sollte man einfach den dritten Weg wählen und MatheRealist
werden. Es gibt weder aktual noch potentiell unendliche ununterbrochene Ziffernketten. Man
kann zwar beliebig große natürliche Zahlen konstruieren, aber man kann keine regellose
Ziffernkette mit mehr als 10100 Ziffern konstruieren, weil dazu die Mittel fehlen und immer fehlen
werden.
Die natürlichen Zahlen sind also potentiell unendlich in dem Sinne, dass man zu jeder eine
größere konstruieren kann, aber eine geschlossene Folge gibt ES nicht. Deswegen sind auch
die Spalten in der obigen Liste nicht aktual unendlich - und alle Widersprüche verschwinden wie
Schnee im August. Unter diesem Aspekt ist 0,999... lediglich eine etwas umständliche
Schreibweise für 1.
(Ich danke Carsten Schultz für die Anregung zu diesem Kalenderblatt.)
152 Das Kalenderblatt 091103
Our contemporary orthodoxy: to show that there are so-and-sos is to prove "so-and-sos exist"
from the axioms of set theory. {{Man beachte: contemporary = heutig, zeitgenössisch, modern im Gegensatz zu dauerhaft, zeitlos, unveränderlich}} [Penelope Maddy: "Mathematical
Existence", Bull. Symbolic Logic 11 (2005) 351]
http://www.jstor.org/pss/1578738
Inspired by Whitehead and Russell's monumental Principia Mathematica, the Metamath Proof
Explorer has over 8,000 completely worked out proofs, starting from the very foundation that
mathematics is built on and eventually arriving at familiar mathematical facts and beyond. Each
proof is pieced together with razor-sharp precision {{schon mal eine Rasierklinge unter dem
Mikroskop betrachtet?}} using a simple substitution rule that practically anyone (with lots of
patience) can follow, not just mathematicians. Every step can be drilled down deeper and
deeper into the labyrinth until axioms of logic and set theory—the starting point for all of
mathematics {{Das ist pure Ideologie. Die Behauptung ist ebenso tendenziös wie falsch und galt
allenfalls solange "die Mitläufer Bourbakis das Sagen in der Mathematik hatten mit dem
Schlachtruf: Alle Mathematik ist Mengenlehre. Diese Auffassung von der Mathematik
beherrschte aber bisher nur eine relativ kurze Episode von einem Jahrhundert in der langen
Geschichte der Mathematik" [D. Laugwitz: "Zahlen und Kontinuum", BI (1988) p. 99]}} — will
ultimately be found at the bottom. You could spend literally days exploring the astonishing tangle
of logic leading, say, from the seemingly mundane theorem 2+2=4 back to these axioms.
Essentially everything that is possible to know in mathematics can be derived from a handful of
axioms known as Zermelo-Fraenkel set theory, {{including the Binary Tree? Da scheint's noch
zu hapern - wie überall, wo Widersprüche lauern}} which is the culmination of many years of
effort to isolate the essential nature of mathematics and is one of the most profound
achievements of mankind {{why should not another see it as a joke? (Wittgenstein) - wieder
andere betrachten es als einen Schandfleck auf der Geistesgeschichte der Menschheit.}} The
Metamath Proof Explorer starts with these axioms to build up its proofs. There may be symbols
that are unfamiliar to you, but we show in detail how they are manipulated in the proofs, and in
principle you don't have to know what they mean. In fact, there is a philosophy called formalism
which says that mathematics is a game of symbols with no intrinsic meaning. {{In fact there is a
philosophy called MatheRealism which says that formalism is not a philosophy.}} With that in
mind, Metamath lets you watch the game being played and the pieces manipulated according to
simple and precise rules, one step at a time. {{Was nützt die Präzision, wenn das Ergebnis
falsch ist? Was nützen die Beteuerungen der Henne, wenn das Ei faul ist?}}
http://us.metamath.org/mpegif/mmset.html
http://www.topology.org/sci/maths.html
153 Das Kalenderblatt 091104
Hilbert's Hotel is not a paradox, it is a very bad logical mistake, from the first paragraph. It is
based on the same terrible mistake that underlies all transfinite math. The mistake is believing
that the word "transfinite" can mean something. What it means in practice is really "transinfinite."
Mathematicians believe that something can exist beyond infinity.
If you accept the addition of 1 to infinity, then it means that you don't understand infinity to
begin with. All the math that takes place in the transinfinite is quite simply false. Notice that I do
not say it is physically baseless, or mystical, or avant garde, or any other half-way adjective. It is
false. It is wrong. It is a horrible,
terrible mistake, one that is very difficult to understand. It is further proof that Modern math and
physics have followed the same path as Modern art and music and architecture. It can only be
explained as a cultural pathology, one where self-proclaimed intellectuals exhibit the most
transparent symptoms of rational negligence. They are outlandishly irrational, and do not care
that they are. They are proud to be irrational. They believe—due to a misreading of Nietzsche
perhaps—that irrationality is a cohort of creativity. Or it is a stand-in, a substitute. A paradox
therefore becomes a distinction. A badge of courage. A brave acceptance of Nature's refusal to
make sense (as Feynman might have put it.) If we somehow survive this cultural pathology, the
future will look upon our time in horror and wonderment. How did we ever reach such fantastic
levels of intellectual fakery and denial, especially in a century steeped in the warnings of Freud
to beware of just this illness?
[Miles Mathis: "Introductory Remarks on Cantor"]
http://milesmathis.com/cant.html
154 Das Kalenderblatt 091105
We can create in mathematics nothing but finite sequences, and further, on the ground of the
clearly conceived 'and so on', the order type ω, {{und damit Zahlen wie 0,999...}} but only
consisting of equal elements, so that we can never imagine the arbitrary infinite binary fractions
as finished {{aus Brouwers Dissertation, p. 143}}. [Dirk van Dalen: "Mystic, Geometer, and
Intuitionist: The Life of L.E.J. Brouwer", Oxford University Press (2002)]
Eine irrationale Zahl, die weder als Reihe noch als Folge definiert werden kann, die also keiner
einfachen Gesetzmäßigkeit unterliegt, stellt eine unendlich große Informationsmenge dar.
Solche irrationale Zahlen existieren in unserem Universum nicht - und ein "anderswo" ist äußerst
fraglich. Auch diese Überlegung bestätigt unsere Erkenntnis, daß eine überabzählbare Menge
von Zahlen nicht existiert. Die übliche Lehrmeinung, daß eine irrationale Zahl "beliebig genau"
approximierbar sei, ist unbedacht und falsch - nicht aufgrund von Zeitmangel, sondern wegen
der Endlichkeit des verfügbaren Speicherplatzes. [W. Mückenheim: "Die Geschichte des
Unendlichen", 4. Aufl., HS-Augsburg (2009) 113]
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Publ1.mht
155 Das Kalenderblatt 091106
These XIII in Brouwers Doktorarbeit (Anhang): Over de grondslagen der wiskunde (Februari
1907, holländisch) lautet schlicht: "De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet", frei übersetzt
etwa: Cantors zweite Zahlenklasse gibt es nicht. Das ist also eine Grundlage der Mathematik.
http://www.archive.org/details/overdegrondslag00brougoog
He quickly discovered that his ideas on the foundations of mathematics would not be readily
accepted. {{Naja, das ist kein Beweis für irgendwas.}}
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Brouwer.html
Wir beginnen mit der Beschreibung des zu axiomatisierenden Systems und mit der Angabe der
Axiome. Eine kurze ErIäuterung des Sinnes der einzelnen Symbole und Axiome lassen wir
nachfolgen [...] Es ist übrigens selbstverständlich, daß man bei axiomatischen Untersuchungen,
wie die unsere, die Ausdrucksweise "Sinn eines Symbols" oder "Sinn eines Axioms" nicht
wörtlich nehmen darf: diese Symbole und Axiome haben (im Prinzip wenigstens) keinerlei Sinn,
{{das haben wir doch schon lange vermutet!}} sie vertreten nur (in mehr oder minder
vollständiger Weise) gewisse Begriffsbildungen der unhaltbar gewordenen "naiven
Mengenlehre". Wenn wir von "Sinn" sprechen, so ist damit also stets der Sinn der ersetzten
Begriffe der "naiven Mengenlehre" gemeint {{die bekanntlich sinnlos, da unhaltbar geworden ist,
womit auch eine Ersetzung ihrer Begriffe, wie oben schon angemerkt, vollkommen sinnlos ist}}.
{[Fußnote:}} Der Gegenstand dieser Arbeit stimmt in vielen Teilen mit dem meiner DoktorDissertation: Der axiomatische Aufbau der allgemeinen Mengenlehre, Budapest, September
1925 (ungarisch),
überein. [J. v. Neumann: "Die Axiomatisierung der Mengenlehre", Mathematische Zeitschrift,
XXVII (1928) 669 -752]
Die Dissertation muss doch wahr und richtig sein? Also entweder müsste Brouwer seinen
Doktortitel posthum zurückgeben oder v. Neumann. Aber ach, wenn wir so streng sein wollten,
so würde auch Dottore Galilei wieder zum gewöhnlichen Signore. Denn seine akademische
Position erwarb er im Wesentlichen*) durch die Ausmessung der Hölle:Due lezioni
all’Accademia fiorentina circa la figura, sito e grandezza dell’Inferno di Dante.
http://www.ethbib.ethz.ch/exhibit/galilei/galileo1a.html
*) Also in 1588 Galileo received a prestigious invitation to lecture on the dimensions and location
of hell in Dante's Inferno at the Academy in Florence. Fantoni left the chair of mathematics at the
University of Pisa in 1589 and Galileo was appointed to fill the post [...] Not only did he receive
strong recommendations from Clavius, but he also had acquired an excellent reputation through
his lectures at the Florence Academy in the previous year.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Galileo.html
Um sogleich etwelchen Süffisanzen zu begegnen: Mein erstmaliger Nachweis der
Vakuumpolarisation unterhalb der Paarerzeugungsschwelle (Göttingen, Mai 1979, deutsch) ist
bisher nicht widerlegt worden.
156 Das Kalenderblatt 091107
Wir bilden die Grundzeichen in eineindeutiger Weise auf natürliche Zahlen ab. {{Gödel bedient
sich eines}} formalen Systems P, für welches wir die Existenz unentscheidbarer Sätze
nachweisen wollen. P ist im wesentlichen das System, welches man erhält, wenn man die
Peanoschen Axiome mit der Logik der PM überbaut (Zahlen als Individuen, Nachfolgerrelation
als undefinierten Grundbegriff). {{Gödel codiert jedes Zeichen mit einer natürlichen Zahl. Er
ordnet jeder Zeichenkette eindeutig eine Gödelnummer G zu (die er natürlich noch nicht so
nennt), indem die Codezahl des n-ten Zeichens als
Exponent der n-ten Primzahl auftritt. Beispiel: Seien a, b, c die Codezahlen der Zeichen A, B, C,
so ist
G(ABC) = 2aÿ3bÿ5c
Gödel codiert die Grundzeichen: "0" durch 1, "f" durch 3, ..., ")" durch 13, die Zahlen durch
Primzahlen p > 13, Klassen von Zahlen durch Quadrate der p usw. Zum Beispiel bedeutet ff0
"der zweite Nachfolger von 0" und trägt die Gödelnummer 23ÿ33ÿ51 = 1080. Das
Gleichheitszeichen verwendet Gödel nicht als Grundzeichen, sondern stellt es nach dem
Vorgang der PM
http://quod.lib.umich.edu/cache/a/a/t/aat3201.0001.001/00000001.tif.20.pdf
dar: This definition states that x and y are to be called identical when every predicative function
satisfied by x is also satisfied by y.
http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;q1=13.01;
rgn=full%20text;idno=aat3201.0001.001;didno=aat3201.0001.001;view=pdf;seq=00000198
}}
Dementsprechend ist dann eine Formel eine endliche Folge natürlicher Zahlen und eine
Beweisfigur eine endliche Folge von endlichen Folgen natürlicher Zahlen. Die
metamathematischen Begriffe (Sätze) werden dadurch zu Begriffen (Sätzen) über natürliche
Zahlen bzw. Folgen von solchen und daher (wenigstens teilweise) in den Symbolen des
Systems PM selbst ausdrückbar. [...] Man kann z. B. eine Formel F(v) aus PM mit einer freien
Variablen v (vom Typus einer Zahlenfolge) angeben, so daß F(v) inhaltlich interpretiert besagt: v
ist eine beweisbare Formel. Nun stellen wir einen unentscheidbaren Satz des Systems PM, d.h.
einen Satz A, für den weder A noch non-A beweisbar ist, folgendermaßen her:
Eine Formel aus PM mit genau einer freien Variablen, u. zw. vom Typus der natürlichen Zahlen
(Klasse von Klassen) wollen wir ein Klassenzeichen nennen. Die Klassenzeichen denken wir
uns irgendwie in
eine Folge geordnet, bezeichnen das n-te mit R(n) und bemerken, daß sich der Begriff
"Klassenzeichen" sowie die ordnende Relation R im System PM definieren lassen. Sei α ein
beliebiges Klassenzeichen; mit [α; n] bezeichnen wir diejenige Formel, welche aus dem
Klassenzeichen α dadurch entsteht, daß man die freie Variable durch das Zeichen für die
natürliche Zahl n ersetzt. [...]
Nun definieren wir eine Klasse K natürlicher Zahlen folgendermaßen:
n ε K ª nonBew [R(n); n]
(1)
(wobei Bew x bedeutet: x ist eine beweisbare Formel). {{Gödel drückt die Negation durch
Überstreichung aus.}} [...] es gibt ein Klassenzeichen S, so daß die Formel [S; n] inhaltlich
gedeutet besagt, daß die natürliche Zahl n zu K gehört. S ist als Klassenzeichen mit einem
bestimmten R(q) identisch, d. h. es gilt
S = R(q)
für eine bestimmte natürliche Zahl q. Wir zeigen nun, daß der Satz [R(q); q] in PM
unentscheidbar ist. Denn angenommen der Satz [R(q); q] wäre beweisbar, dann wäre er auch
richtig, d.h. aber nach dem obigen q würde zu K gehören, d.h. nach (1) es würde nonBew [R(n);
n] gelten, im Widerspruch mit der Annahme. Wäre dagegen die Negation von [R(q); q]
beweisbar, so würde non(n ε K) d. h. Bew [R(q); q] gelten. [R(q); q] wäre also zugleich mit seiner
Negation beweisbar, was wiederum unmöglich ist.
[Kurt Gödel: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter
Systeme I", Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931) 173–198]
Warum hielt Wittgenstein nichts von Gödels Unvollständigkeitssatz?
157 Das Kalenderblatt 091108
Warum hielt Wittgenstein nichts von Gödels Unvollständigkeitssatz? Wir sind auf Vermutungen
angewiesen, jedoch sind dies begründete Vermutungen. Denn nach allem, was wir über
Wittgenstein wissen (vgl. z. B. KB091002, KB091014), hielt er nichts von der aktualen
Unendlichkeit der Menge, die Gödel als selbstverständlich voraussetzt: "Die {{will sagen: alle}}
Klassenzeichen denken wir uns irgendwie in eine Folge geordnet, bezeichnen das n-te mit R(n)
und bemerken, daß sich der Begriff 'Klassenzeichen' sowie die ordnende Relation R im System
PM definieren lassen." [p. 175]
Ohne diese aktuale Unendlichkeit schlägt der Beweis aber fehl, denn es gibt keine Menge aller
beweisbaren Aussagen und damit auch keine vollständige Nummerierung dieser Aussagen.
Eine Aussage über alle Gödelnummern ist notwendig falsch. Dies ist eine simple Tatsache, die
nichts mit der weltanschaulichen oder axiomatischen Forderung nach der Existenz des
Unendlichen zu tun hat. Im Lichte dieser Erkenntnis bietet Gödels "Beweis" nicht mehr als die
platte Behauptung "dieser Satz ist nicht beweisbar" (denn wäre er es, so wäre er falsch) und ist
nicht besonders aufregend. Aussagen wie "die Vorderseite ist die Rückseite" existieren seit
2500 Jahren, und Hilbert kannte sie bereits, bevor er sein Programm konzipierte. Gödel stellt
dies auch selbst fest: "Die Analogie dieses Schlusses mit der Antinomie Richard springt in die
Augen; auch mit dem 'Lügner' besteht eine nahe Verwandtschaft, denn der unentscheidbare
Satz [R(q); q] besagt ja, daß q zu K gehört, d.h. nach (1), daß [R(q); q] nicht beweisbar ist." [p.
175]
Zu jedem [R(q); q] kann ein weiterer Satz konstruiert werden, der [R(q); q] entscheidet oder
feststellt, dass es sich dabei nicht um Mathematik handelt; dazu bedarf es keines "erweiterten
Systems" - denn kein System schöpft alle n aus Ù vollständig aus. Diese Erkenntnis ist übrigens
nicht neu: "Der wahre Grund für die Unvollständigkeit, welche allen formalen Systemen der
Mathematik anhaftet, liegt, wie im II. Teil dieser Abhandlung gezeigt werden wird {{der ist
niemals erschienen}}, darin, daß die Bildung immer höherer Typen sich ins Transfinite fortsetzen
läßt [...] während in jedem formalen System höchstens abzählbar viele vorhanden sind. Man
kann nämlich zeigen, daß die hier aufgestellten unentscheidbaren Sätze durch Adjunktion
passender höherer Typen (z. B. des Typus ω zum System P) immer entscheidbar werden.
Analoges gilt auch für das Axiomensystem der Mengenlehre." [p. 191]
[Kurt Gödel: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter
Systeme I", Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931) S.173–198]
Essenz aus Gödels Erkenntnis: Die formalen Systeme können mit den wild wuchernden Typen
nicht mithalten. Neben einer Erweiterung der ersteren käme da also auch eine Beschränkung
der letzteren auf ein vernunftgemäßes Maß in Betracht. Leider haben sich viele Mathematiker so
ins Netz des Transfiniten verstrickt (wenn auch die meisten nur als Mitläufer), dass sie es eher
vorziehen, die Mathematik schmachvoll geschändet und verleumdet zu sehen, als die einzig
richtige Konsequenz zu ziehen und die Ursache all der unmathematischen Wahnvorstellungen,
mit denen sie gegenwärtig durchseucht ist, auf der Müllkippe der Geschichte zu entsorgen.
158 Das Kalenderblatt 091109
Generality in mathematics is a direction, an arrow pointing along the series generated by an
operation. And you can even say that the arrow points to infinity; but does that mean that there
is something – infinity – at which it points, as at a thing? Construed in that way, it must of course
lead to endless nonsense. [§ 142]
If I were to say "If we were acquainted with an infinite extension, then it would be all right to talk
of an actual infinite", that would really be like saying, "If there were a sense of abracadabra then
it would be all right to talk about abracadabraic sense perception". [§ 144]
Set theory is wrong because it apparently presupposes a symbolism which doesn't exist instead
of one that does exist (is alone possible). It builds on a fictitious symbolism, therefore on
nonsense. [§ 174]
[L. Wittgenstein: "Philosophical Remarks", entnommen aus einer Sammlung von E.D.Buckner:
"THE LOGIC MUSEUM" (2005)]
http://uk.geocities.com/[email protected]/cantor/wittgensteinquotes.htm (leider nicht mehr
vorhanden)
159 Das Kalenderblatt 091110
Brouwer, in his dissertation, refutes the well-ordering theorem by pointing out that in the case of
the continuum most of the elements are unknown, and hence cannot be ordered individually 'So this matter also turns out to be illusory.' (Diss. p. 153) [...] Examples of (according to
Brouwer) meaningless word play are the second number class and the higher power sets. [Dirk
Van Dalen: "Mystic, Geometer, and Intuitionist: The Life of L.E.J. Brouwer", Oxford University
Press (2002) 113f]
http://books.google.de/books?id=nYzD4z57PMC&printsec=frontcover&dq=Mystic,+geometer,+a
nd+intuitionist&ei=mEX4SvzWNqO8zgSt2dW5Aw#v=onepage&q=&f=false
Cantors unendliche Menge endlicher Zahlen enthält einen Selbstwiderspruch. Das genaue
Gegenteil ist richtig. Die Menge der im Universum realisierbaren natürlichen Zahlen ist endlich,
weil maximal N Ziffern zur Verfügung stehen, aber ihre Elemente können beliebig groß werden beschränkt lediglich durch Mangel an Erfindungsreichtum oder Interesse; eine prinzipielle
Schranke für die Darstellung großer Zahlen mit endlichem Speicherplatz ist nicht erkennbar.
Deswegen liefern die natürlichen Zahlen bezüglich ihrer Größe - neben der Ewigkeit und der
grenzenlosen Expansion des Universums - das klassische Beispiel für potentielle Unendlichkeit.
Sie ist kein Heiligtum, kein "ganz besonderer Zustand, in dem andere Gesetze gelten", wie
romantische Rechenkünstler raunen. Das Unendliche ist jedem profanen Interessenten
zugänglich. Wir betreten es schon, wenn wir nur 1, 2, 3, ... zu zählen beginnen. Aber es geht
uns nicht wie Goldmarie, die im Märchen von Frau Holle in einen Brunnen fällt und sich in einem
zauberhaften Land mit sprechenden Bäumen und Backöfen wiederfindet. Wir können zählen
und zählen, wir gelangen zu größeren und größeren Zahlen, einige müssen wir überspringen,
doch weiter ereignet sich in diesem Prozeß nichts. Um ihn sinnvoll zu bezeichnen, genügt das
von WALLIS eingeführte Symbol oo.
[W. Mückenheim: "Die Geschichte des Unendlichen", 4. Aufl., HS-Augsburg (2009) 114]
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Publ1.mht
160 Das Kalenderblatt 091111
Wenn man "mehr" im Sinne von Cantor definiert, dann ist Ihre Frage entscheidbar: Es gibt mehr
irrationale Zahlen als rationale Zahlen! Wenn man "mehr" im Sinne eines NN-Mückenheimschen
Kompromisses ordnungstheoretisch definiert, dann gibt es nicht mehr irrationale Zahlen als
rationale Zahlen und auch nicht mehr rationale als irrationale.
Herzliche Grüße, NN {{orthodoxer Mengenlehrer
Doch wie verhält es sich objektiv mit diesen speziellen Objekten, die man mit international
vereinbarten Zeichen so hinschreiben kann, dass jedermann weiß, was gemeint ist?}}
161 Das Kalenderblatt 091112
[... ] main part of Zermelo's energy [...] development of infinitary languages. In contrast to the
finitary systems treated by Skolem and Gödel, they alone seemed to be able to allow an
adequate formulation of "genuine mathematics".
The question of the antinomy of Richard and of the Skolem doctrine must eventually be
discussed seriously, now, were frivolous dilettantism is again at work to discredit the whole area
of research. [...] I believe I have finally found in my "principle of foundation"
("Fundierungsprinzip") the right instrument for explaining whatever is in need of elucidation. But
nobody understands it. {{Das Problem kannte also auch Zermelo schon.}} [Zermelo in a letter to
Reinhold Baer, 7 Oct 1931]
Moreover, his fight against the "Skolem doctrine" was also lost.
Nobody understands it, just as nobody has yet reacted to my Fundamenta article - not even my
good friends in Warsaw. After all, Hilbert once said that it takes fifteen years before a paper is
read. {{Da habe ich aber Glück, dass mein Artikel
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0505/0505649.pdf
schon fünf Jahre nach Erscheinen so genau gelesen, ausführlich diskutiert und detailliert
beschlechtachtet wird - wenn auch unverstanden: Denn ich bin ja für die physikalischen
Beschränkungen des MatheRealismus gar nicht verantwortlich - wirklich nicht! Ich weigere mich
nur, sie zu verdrängen!}} Now Hilbert himself had quick success with his "geometry", but was it
really such a great achievement? {{Zumindest gegenwärtig wird ZFC als viel wichtiger
angesehen als Geometrie.}} [Zermelo in a letter to Reinhold Baer, 7 Oct 1931]
Skolem proved a generalization to countable sets of first-order sentences, the well-known
Löwenheim-Skolem theorem (1920): Every countable set of first-order sentences which has a
model, has a countable one. It is therefore not strong enough to fix the intended set-theoretic
universe - a consequence that roused Zermelo's sharp opposition and would strongly influence
his further foundational research.
[Heinz-Dieter Ebbinghaus: "Ernst Zermelo, An Approach to His Life and Work", Springer (2007)
194ff.]
162 Das Kalenderblatt 091113
Digital Philosophy (DP) is a new way of thinking about the fundamental workings of processes in
nature. DP is an atomic theory carried to a logical extreme where all quantities in nature are
finite and discrete. This means that, theoretically, any quantity can be represented exactly by an
integer. Further, DP implies that nature harbors no infinities, infinitesimals, continuities, or locally
determined random variables. This paper explores Digital Philosophy by examining the
consequences of these premises. [...] Digital Philosophy makes sense with regard to any system
if the following assumptions are true:
All the fundamental quantities that represent the state information of the system are ultimately
discrete. In principle, an integer can always be an exact representation of every such quantity.
For example, there is always an integral number of neutrons in a particular atom. Therefore,
configurations of bits, like the binary digits in a computer, can correspond exactly to the most
microscopic representation of that kind of state information.
In principle, the temporal evolution of the state information (numbers and kinds of particles) of
such a system can be exactly modeled by a digital informational process similar to what goes on
in a computer. Such models are straightforward in the case where we are keeping track only of
the numbers and kinds of particles. For example, if an oracle announces that a neutron decayed
into a proton, an electron, and a neutrino, it’s easy to see how a computer could exactly keep
track of the changes to the numbers and kinds of particles in the system. Subtract 1 from the
number of neutrons, and add 1 to each of the numbers of protons, electrons, and neutrinos.
The possibility that DP may apply to various fields of science motivates this study.
http://www.digitalphilosophy.org/
http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Fredkin
163 Das Kalenderblatt 091114
Nun ist Unbeweisbarkeit auch in der Mathematik bekanntlich keineswegs gleichbedeutend mit
Ungültigkeit, da doch eben nicht alles bewiesen werden kann, sondern jeder Beweis wieder
unbewiesene Prinzipien voraussetzt. Um also ein solches Grundprinzip zu verwerfen, hätte man
seine Ungültigkeit in besonderen Fällen oder widersprechende Konsequenzen feststellen
müssen; aber hierzu hat keiner meiner Gegner einen Versuch gemacht. {{Dann will ich ihn
unternehmen. Es gibt nur abzählbar viele endliche Definitionen (und unendliche Definitionen gibt
es überhaupt nicht), daher ist es unmöglich, jeder von überabzählbar vielen Untermengen ein γElement zuzuordnen.}} [...] Aber das allgemeine Axiom, das ich mir nach dem Vorgange anderer
Forscher in diesem neuen Falle auf beliebige Mengen anzuwenden erlaubte, findet sich eben
nicht unter den Peanoschen Prinzipien, und Herr Peano versichert selbst, daß er es auch nicht
aus ihnen herleiten könne. Er begnügt sich damit, dies festzustellen, und das Prinzip ist für ihn
erledigt. [...]
Mag diese Evidenz {{für die häufige Anwendung des Auswahlaxioms}} auch bis zu einem
gewissen Grade subjektiv sein, so ist sie doch jedenfalls eine notwendige Quelle
mathematischer Prinzipien, wenn auch kein Gegenstand mathematischer Beweise, und die
Behauptung Peanos, daß sie mit Mathematik nichts zu tun habe, wird offenbaren Tatsachen
nicht gerecht. {{Offenbar hatte Herr Peano Recht.}} [...]
Solange nun die hier vorgelegten relativ einfachen Probleme den Hilfsmitteln Peanos
unzugänglich bleiben, und solange andererseits das Auswahlprinzip nicht positiv widerlegt
werden kann {{das wurde schon vor vier Jahren, 1904, getan, in einem Beitrag von König, der
feststellte, dass es nur abzählbar viele Definitionen gibt, woraus die Unordnung alles
Überabzählbaren positiv folgt}}, wird man die Vertreter der produktiven Wissenschaft nicht
hindern dürfen, sich dieser "Hypothese" wie man es meinetwegen nennen möge, fernerhin zu
bedienen und ihre Konsequenzen im weitesten Umfange zu entwickeln, zumal ja doch nur auf
diesem Wege etwaige Widersprüche eines Standpunktes aufgedeckt werden könnten. {{Da gibt
es ein Problem: Wenn sich der Standpunkt zu weit verfestigt hat, dann wird es unmöglich,
Widersprüche aufzudecken - auch wenn sie existieren. "From time to time, results are
discovered which patently embarrass the conventional wisdom, or controvert popular tenets.
Then follows a political manipulation, to distort the unwanted result by interpretation." (Henry
Flynt in KB 091023)}}
[Ernst Zermelo: "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung", Mathematische Annalen
(1908) 107-128]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=38191
164 Das Kalenderblatt 091115
Borel's thesis is that the overwhelming majority of numbers will always remain inaccessible to
the human race as we know it, in the sense that it will never be possible to define these numbers
effectively in such a manner that any two mathematicians will be certain that they are speaking
about one and the same entity.
If an enumerable set, such as that of the natural numbers, is considered instead of the unit
interval, then the assignment of equal probabilities to the elements of this set reduces to zero
the global probability of any number of accessible integers, which, according to Borel, is absurd
because it precludes the possibility of ever getting one of these numbers, so that every choice
leads to an inaccessible number. {{Denken Sie sich eine Zahl ... Die Auswahl ist sehr
beschränkt.}}
Borel discusses the familiar decomposition of the circumference of a circle into an enumerable
number of mutually exclusive, congruent sets of points. He asserts that it is not possible to
attribute equal probabilities to these sets without running into contradictions, and that it is
therefore necessary to attribute unequal probabilities to them. "But then we contradict the
Euclidean principle of equality, according to which two superposable figures are equal." As the
construction of these sets "requires the use of Zermelo's axiom, our conclusion is that it is
necessary to choose between Zermelo's axiom and Euclid's axiom according to which two
superposable figures are equal, that is to say, identical from all points of view, and that, in
particular, equal probabilities correspond to them. The simultaneous application of the two
axioms leads, in fact, to a contradiction." (Borel, needless to say, chooses "Euclid's axiom.") {{Er
war eben ein richtiger Mathematiker.}} This argument is open to objections. First, it is not
inconceivable that a nonmeasurable set can be constructed without the intervention of Zermelo's
axiom. {{Dann müsste offensichtlich das Auswahlaxiom durch eine andere sinnlose
Voraussetzung ersetzt werden.}} Secondly, there is another way in which two superposable
figures may be "identical from all points of view," without having equal probabilities correspond
to them, and that is, by having no probabilities correspond to them {{warum dann nicht gleich
Mathematik ohne Sinn und Verstand überhaupt?}}. Euclid's axiom cannot be interpreted as
stating that congruent figures—if the "figures" in question are not the elementary Euclidean ones
{{entweder sind es "figures" und damit "elementary Euclidian", oder es sind überhaupt keine
"figures"}} —have probabilities and that these probabilities are equal. [...] Complex numbers
were once considered meaningless, whereas today some mathematicians consider Zermelo's
axiom and its consequences meaningless. {{Tatsächlich kann man mit Hilfe dieser Frage die
Mathematiker von den Matheologen unterscheiden.}} Borel's notion of accessibility, although of
heuristic significance, seems too subjective, temporal, and, by precluding intrinsically the
possibility of delimiting the realm of the accessible {{zugegeben, zum Entgrenzen eignen sich
Paradoxien wie die von Hausdorff-Banach-Tarski nur zu gut}}, vague, according to his own
standards, to "define in a precise manner a science of the accessible and of the real." {{Genau
das tut er, so gut er kann, und Zermelo tut es nicht, denn er widmet sein Leben
(glücklicherweise nur partiell) der Cantorschen Matheologie des Unzugänglichen und Irrealen.}
[F. Bagemihl: "Review: É. Borel: 'Les nombres inaccessibles', Gauthier-Villars, Paris (1952)",
Bull. Amer. Math. Soc. 59,4 (1953) 406-409]
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/118
3518025
165 Das Kalenderblatt 091116
Skolem's conclusion was that the notions of set theory are relative to the universe of sets under
consideration (Skolem 1923, p. 224):
The axiomatic founding of set theory leads to a relativity of set theoretic notions, and this
relativity is inseparably connected with every systematic axiomatization.
Later Skolem even strengthened his opinion by what can be regarded the essential motto of socalled "Skolem relativism" (Skolem 1929, p. 48): There is no possibility of introducing something
absolutely uncountable, but by a pure dogma.
Because of this relativistic attitude he avoided traditional set theory and became negligent of
problems concerned with semantical notions.
Fraenkel was not sure about the correctness of the proof of the Löwenheim-Skolem theorem.
von Neumann instantly recognized the importance of the result but he reacted with scepticism
about the
possibility of overcoming the weakness of axiomatizations they reveal (1925, p. 240).
[Heinz-Dieter Ebbinghaus: "Ernst Zermelo, An Approach to His Life and Work", Springer (2007)
199f.]
166 Das Kalenderblatt 091117
Cantor offered several proofs that there is no one-one correlation between the real numbers and
the natural numbers, but only the presumption that there are infinite numbers can turn whatever
impossibility there is here into a seeming demonstration that the number of the real numbers is
greater than the number of natural numbers. {{Da es keine aktual unendlich vielstellige reelle
Zahl gibt, ist auch die Diagonale in Cantors bekanntestem "Beweis" niemals fertig. Bis zu jeder
Ziffer handelt es sich um eine rationale Zahl.}}
Cantor defined real numbers in terms of Cauchy sequences of rationals, specifically in terms of
equivalence classes of such sequences (Suppes [26], pp161, 181). But he merely presumed
there were such equivalence classes, not realising that Russell's Paradox, amongst other things,
required such a presumption to be justified in any particular case. Now it was on the basis of this
assumption that Cantor was able to prove that the real number system, unlike the rational
number system, was complete, i.e. that every Cauchy sequence of real numbers, unlike every
Cauchy sequence of rational numbers, has a limit ([26], p185). And that leads to the
representation of every real number as not just the would-be limit of a sequence of finite
decimals, but also a limit which is actually reached, so that a real number is identical with a
certain infinite decimal ([26], pp189, 191). The fact that there cannot be such completed decimal
expansions therefore shows that the sets Cantor used to define the reals do not exist: the
Cauchy sequences of rationals equivalent to a given one do not form a set (c.f. [27], p92).
Now in addition to the above, well-known 'proofs' of the non-denumerability of certain sets, in
terms of unending decimals, and in terms of the subsets of the natural numbers, Cantor also
gave a proof of the non-denumerability of the reals which rested solely on the completeness of
the real number system (Dauben [8], p51, Grattan-Guinness [10], pp185-6, see also §6.2). But
the Platonically real limit he there presumed to exist is now shown not to exist, which means we
remain compelled to see the infinite as an undifferentiated lack of number.
[8] Dauben, J.W., Georg Cantor Princeton U.P., Princeton, 1990.
[10] Grattan-Guinness, I., From the Calculus to Set Theory 1630-1910, Duckworth, London,
1980.
[26] Suppes, P., Axiomatic Set Theory, Van Nostrand, Princeton N.J., 1960.
[27] Tiles, M., The Philosophy of Set Theory, Blackwell, Oxford, 1989.
[Hartley Slater: "The Uniform Solution of the Paradoxes" (2004)]
http://www.philosophy.uwa.edu.au/about/staff/hartley_slater/publications/the_uniform_solution_o
f_the_paradoxes
Weitere Publikationen von Slater:
http://www.philosophy.uwa.edu.au/about/staff/slater/publications
167 Das Kalenderblatt 091118
I've just read your paper about the inconsistency of transfinite set theory.
{{W. Mückenheim: "A severe inconsistency of transfinite set theory" (2004)
http://arxiv.org/pdf/math.GM/0408089
}} I think is a so beautiful paper because I was really tired about superfluous papers in the
present times. It is so interesting that you are saying but I was reading some things about
nonstandard analysis these days and I saw that your proof is based on the arquimedian property
of real numbers. Do you think that this theorem can be extended to nonstandard analysis and
over a Leibniz continuum?
Congratulations for this paper. NN
168 Das Kalenderblatt 091119
The situation with the Set-Theoretic Paradoxes is more intricate [...] It starts, I think, with losing
contact with the material world, for certainly even finite sets are not directly perceptual. A flock is
not the birds in it, nor even the mereological sum of them, and that can lead one to think that
sets are quite abstract objects, not connected with the material world. But the flock is the birds
seen together rather than separately, so it is a perceptual aspect of the mereological object,
something it is 'seen as' (c.f. Maddy [13]). So while sets are never material things, as such, the
link with the material world is not lost entirely, and in fact the number in such a flock of birds is a
second order relation between a material thing (the mereological sum) and some property (being
a bird) (Slater [25], Chs 8, 9). [...]
Of course, an infinite series of things could never be gathered into such a seen unity. The totality
of its members could never be available to any kind of intuition, since they cannot be completely
given. But why the latter fact should mean there aren't any infinite totalities was also forgotten
recently - except by the Intuitionists, of course. Indeed, against them (c.f. [27] p92), cannot
consistent theories be formulated, which state that there are even non-denumerable sets? But,
of course, Skolem's Paradox shows such theories must have a denumerable model. And the
points above now show that they cannot have any other.
What is non-denumerable are not numbers but functions of numbers, as is readily seen through
diagonalisation. For if, for all n, fn(x) is a function of the natural numbers then for no m can one
have, for instance, fm(n) = fn(n) + 1. If we were to define 'real numbers' not in terms of Platonic
limits, but merely convergent sequences of rationals, as the Intuitionists have done, then we
would be identifying 'real numbers' with certain functions, since sequences are functions from
the natural numbers. But the name 'real number' is then a mis-nomer, since a function is not a
number, even if each of its values is one. There is no numerical representation, as a result, of
the length of the diagonal in a unit square, for instance. This length is available geometrically,
but all arithmetic can do is produce a function which generates a series of approximations. The
function is then a representation of the geometric ratio, but naturally is not equal to it. The
'irrational number' is not available 'extensionally' only 'intensionally' it might be said.
[13] Maddy, P., Realism in Mathematics, Clarendon Press, Oxford, 1990.
[25] Slater B.H., Against the Realisms of the Age, Ashgate, Aldershot,
1998.
[27] Tiles, M., The Philosophy of Set Theory, Blackwell, Oxford, 1989.
[Hartley Slater: "The Uniform Solution of the Paradoxes" (2004)]
http://www.philosophy.uwa.edu.au/about/staff/hartley_slater/publications/the_uniform_solution_o
f_the_paradoxes
169 Das Kalenderblatt 091120
Joseph Liouville zeigte 1844, dass transzendente Zahlen existieren. Er bewies zunächst den
heute nach ihm benannten Satz: Ist a ist eine algebraische Zahl vom Grade n, so besitzt die
Ungleichung
|a - u/v| < 1/vn+1
(1)
nur endlich viele rationale Lösungen u/v.
Ein Minimalpolynom p(x) der Irrationalzahl a besitzt keine rationale Nullstelle u/v, denn
andernfalls könnte p(x) durch den zugehörigen Linearfaktor (x - u/v) dividiert werden, und es
ergäbe sich als Quotient ein Polynom q(x) kleineren Grades, das aber ebenfalls die Wurzel a
besäße.
Also ist der Wert des Minimalpolynoms von a für ein rationales Argument x = u/v immer von Null
verschieden.
0 ∫ |p(u/v)| ¥ 1/vn
(2)
Letzteres folgt mit v > 0 und weil der Zähler ganzzahlig ist, aber nicht verschwindet.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es zwischen der Nullstelle a und dem größeren rationalen
Abszissenwert u/v eine Stelle x, a < x < u/v, an der die Funktion p(x) dieselbe Steigung besitzt
wie die Sekante von der Nullstelle zum Funktionswert p(u/v) an der Stelle u/v. Diese Steigung
p'(x) ist endlich und kann durch eine endliche, positive Konstante C abgeschätzt werden. Mit
p(a) = 0 folgt
|p(u/v)/(a - u/v)| = |p'(x)| § C (3)
Setzen wir (2) in (3) ein, so ergibt sich (für v > 0)
1/vn § |a - u/v|ÿC
(4)
(4) und (1) führen auf
1/(Cÿvn) § |a - u/v| < 1/vn+1
und damit werden die (in jedem Falle als positiv voraussetzbaren) Nenner v, welche (1) erfüllen
können, durch die Konstante C in der Ungleichung
v<C
beschränkt. (1) kann nur von solchen Brüchen erfüllt werden, deren Werte in der Nähe der
Irrationalzahl a liegen und deren Nenner nicht größer als C sind. Das sind nur endlich viele, was
zu beweisen war.
[J. Liouville: "Sur des Classes Trés Étendues de Quantités dont la Valeur n'est ni Rationnelle ni
même Réductible à des Irrationnelles Algebriques", Comptes Rendus Acad. Sci. (Paris) 18
(1844) 883-885 und
910-911.]
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU10.PPT#377,7,Folie 7
Beispiele: Die Grenzwerte der unendlichen Reihen (mit n = 1 ... oo)
Σ 1/2n!
Σ 1/22n!
Σ 1/bcd
...
n!
sind transzendente Zahlen. Und ein paar andere wie e oder π sind auch bekannt.
Auf dem Feld der Transzendenzforschung ergab sich übrigens 1934 eine merkwürdige
Koinzidenz,
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU10.PPT#372,6,Folie 6
zwischen Russland und Deutschland, ebenso wie schon 1869.
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU06.PPT#350,17,Folie 17
Anmerkung: Jede transzendente Zahl kann eineindeutig auf eine endliche Folge von Symbolen
(nämlich ihre Definition) abgebildet werden. Die Anzahl aller endlichen Folgen ist abzählbar.
170 Das Kalenderblatt 091121
Was die transfiniten Ordnungszahlen betrifft, ist es mir wahrscheinlich, daß ich schon 1877 eine
Vorstellung von ihnen gehabt habe. Den Begriff der Abzählbarkeit bildete ich mir erst 1873.
[Cantor 1905, 31. Aug. an Jourdain]
Zum Gebrauch der Wendung "abzählbare Anzahl" bei Cantor.
Die Beschränkung, dass jedes neu zu bildende Symbol α eine in der ersten Classe abzählbare
Anzahl von Zahlen vor sich haben soll, ist nothwendig, um die zweite Classe zu erhalten. [...]
In der ersten Classe abzählbar sind alle Zahlen der zweiten Classe welche kleiner sind als eine
von ihnen. [...]
alle diese Zahlen < ωω sind in der ersten Classe abzählbar, wie Sie sich durch das Verfahren
überzeugen können, welches ich in Borchardts Journal Bd. 77, pag 258 angewandt habe um zu
zeigen, dass alle reellen algebraischen Zahlen in der ersten Zahlenclasse abzählbar sind [...]
Die Beschränkung, dass jedes neu zu bildende Symbol α eine in der ersten Classe abzählbare
Anzahl von Zahlen vor sich haben soll, ist nothwendig, um die zweite Classe zu erhalten.
[Cantor 1882, 12. Nov. an Mittag-Leffler]
Meine Unendlichkeitssymbole, welche nach einem bestimmten Bildungs-resp.
Entstehungsgesetz successive auf Grund vorangegangener Zahlen und Unendlichkeitssymbole,
letztere immer in abzählbar unendlicher Anzahl, geschaffen werden [...] [Cantor 1882, 17. Okt.
an Mittag-Leffler ]
Der Ring [...] enthält alle abzählbaren Typen und zwar ist jeder abzählbare Typus entweder ein
Typus des Ringes {{dazu muss man wissen, dass Cantor wohlgeordnete Typen als
Ordinalzahlen bezeichnet, mitunter auch als ganze Zahlen.}} [Cantor 1907, 8. Aug. an Hilbert]
So haben wir nun in Formel (19) S zerlegt in eine endliche oder abzählbar unendliche Anzahl
[...] [ E. Zermelo: "Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und
philosophischen Inhalts", Springer (1932), p. 243]
Apropos: Viele englischsprachige Lehrbücher, wie z. B. Fraenkel et al. sprechen von countable
sequence, countable ordinals usw.
Insbesondere seit nicht nur von Zahlenmengen, sondern auch von Zahlen als Mengen
gesprochen wird, ist mein unschuldiges Sätzchen "Die Anzahl aller endlichen Folgen ist
abzählbar" nicht tadelnswert, nicht
zu tadeln und somit tadellos. Nicht einmal eine "unglückliche Wortwahl" könnte ein Kritiker
konstatieren - wenn es nur halb ein Kenner wäre.
171 Das Kalenderblatt 091122
L’anniversaire d’Astérix et Obélix. GANZ GALLIEN? NEIN! 50 Jahre lang ließen sich die Römer
von den unbeugsamen Galliern verprügeln, obwohl das Ergebnis stets von vornherein feststand.
Wie erklärt sich der immense Erfolg dieser Serie? Eine wesentliche Voraussetzung ist wohl,
dass es nicht mehr so viele Römer gibt, zumindest unter den Lesern der Geschichte.
Dieser Tage feiert auch der FC ZOPFL sein 100-jähriges Jubiläum, ein unbesiegter Club - und
dabei doch so gut wie unbekannt. Die Statuten des ZOPFL FC schreiben nämlich vor, dass der
Spielstand beim Anpfiff auf 1:0 gesetzt wird und die Tordifferenz unabhängig vom Spielverlauf
konstant bleibt. Darum wird der Club geschnitten und totgeschwiegen. Unbesiegbarkeit ist nicht
immer gern gesehen - insbesondere, wenn es unter den potentiellen Gegnern noch viele
Fußballspieler gibt.
Und schließlich gedenken wir des 105-jährigen von Zermelos gefeiertem Wohlordnungssatz.
Denn auch hier spricht ein Unbesiegbarer. In einem an Herrn Hilbert gerichteten Brief stellt er
fest, dass jede endliche Menge wohlgeordnet werden kann (was auch vorher niemand bestritten
hat) und schließt dann: Wenn alle Anfangsabschnitte einer Menge schon wohlgeordnet sind,
dann ist auch die Menge selbst wohlgeordnet. Also kann jede beliebige Menge wohlgeordnet
werden.
Vermutlich hat er selbst und auch sein Briefpartner (und auch alle anderen Leser, falls es solche
gab, haben) nicht bemerkt, dass hier die Existenz des Behaupteten vorausgesetzt wird. Denn
um die zum Beweis für jede beliebige Menge benötigte überabzählbare Vereinigung bilden zu
können, muss es bereits beliebige überabzählbare wohlgeordneten Mengen geben. Unter der
Annahme ist aber nichts mehr zu beweisen. Eine wesentliche Voraussetzung für Zermelos
Erfolg ist also, dass es nicht mehr so viele Mathematiker gibt, zumindest unter den Lesern der
Geschichte.
172 Das Kalenderblatt 091123
Die Erörterung der intuitionistischen Anschauung werde abgeschlossen durch Hinweis auf einen
namentlich von Poincaré betonten und u.a. von Russell aufgenommenen speziellen Gedanken,
der heute nicht mehr im Vordergrund des Interesses steht, aber noch einige Aufmerksamkeit
verdienen dürfte. In vielen der Fälle, wo in der Mengenlehre und Logik Widersprüche auftreten,
wird ein spezieller Vertreter m eines gewissen Allgemeinbegriffs unter Zuhilfenahme der
Gesamtheit M aller möglichen Vertreter jenes Allgemeinbegriffs definiert; man spricht dann von
einer nicht-prädikativen Definition. [...] In die Definition der umfassendsten γ-Folge einer Menge
(aus Zermelos erstem Beweis des Wohlordnungssatzes) geht die Gesamtheit aller γ-Folgen
dieser Menge ersichtlich ein. [Fraenkel, Adolf: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin
(1923) 174]
Das ist zwar richtig, aber es ist gar nicht das Problem. Das Problem ist, dass es (von speziellen
und für Zermelos Beweis unwesentlichen Ausnahmen abgesehen) für keine einzige
überabzählbare γ-Folge einen Existenzbeweis gibt.
Mit Zermelos (*) Schritt-Argument ergäbe sich zum Beispiel der Satz: Alle Anfangsabschnitte A
der wohlgeordneten Menge — sind endlich.
Beweis (nach Zermelo (*), Schritt 5): Sei x aus — \ A das auf A in der Wohlordnung von —
folgende Element. Sei A U {x} der erste unendliche Anfangsabschnitt der Menge —.
Widerspruch. Ein endlicher Anfangsabschnitt mit einem weiteren Element vereinigt, ist ebenfalls
ein endlicher Anfangsabschnitt.
Diese Schlussweise ist falsch: Sei L die Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte von —
und sei x aus — \ L das nächste Element aus einer Wohlordnung von —, dann ist L U {x} nach
Definition von L kein endlicher Anfangsabschnitt mehr. Für endliches L ist L U {x} aber eine
endliche Menge. Also kann auch L nicht endlich sein.
Das Analoge geht für abzählbar Mengen: Sei L die Vereinigung aller abzählbaren
Anfangsabschnitte von — und sei x aus — \ L das nächste Element aus einer Wohlordnung von
—, dann ist L U {x} nach Definition von L kein abzählbarer Anfangsabschnitt. Für abzählbares L
ist L U {x} aber eine abzählbare Menge. Also ist auch L nicht abzählbar.
Die Vereinigung aller abzählbaren Anfangsabschnitte ist somit keine abzählbare Menge. Die
Vereinigung aller abzählbaren γ-Mengen ist nicht abzählbar. Aber ist sie noch eine γ-Menge,
also wohlgeordnet? Weshalb sollte sie? Wie oben gezeigt, versagt hier das Zermelosche SchrittArgument (das das "erste Element" und damit auch dessen Vorgänger benutzt). Es bleibt
lediglich die unbegründete Annahme, dass auch in überabzählbaren Fällen die Vereinigung von
γ-Mengen eine γ-Menge sei.
(*) E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math. Ann. 59 (1904)
514-516.
173 Das Kalenderblatt 091124
Den hier vertretenen Standpunkt einer in letzter Linie auf Intuition beruhenden produktiven
Wissenschaft hat neuerdings auch Herr H. Poincaré der Peanoschen "Logistik" gegenüber in
einer Reihe von Aufsätzen*) geltend gemacht, in denen er auch dem Auswahlprinzip, das er für
ein unbeweisbares, aber unentbehrliches Axiom ansieht, durchaus gerecht wird.**) Dabei ist er
aber, weil seine Gegner sich vorzugsweiseder Mengenlehre bedienten, im Angriff soweit
gegangen, die ganze Cantorsche Theorie, diese ursprüngliche Schöpfung genialer Intuition und
spezifisch mathematischen Denkens, mit der von ihm bekämpften Logistik zu identifizieren und
ihr ohne Rücksicht auf ihre positiven Leistungen {{als da wären?}} lediglich auf Grund der noch
ungeklärten "Antinomieen'' jede Existenzberechtigung abzusprechen.***) [...] Nach Herrn
Poincaré##) soll aber eine Definition nur dann "prädikativ" und logisch allein zulässig sein, wenn
sie alle solchen Gegenstände ausschließt, welche von dem definierten Begriffe "abhängig" sind,
d. h. durch ihn irgendwie bestimmt werden können. Demnach hätte in dem hier angeführten
Beispiele die Menge M, welche selbst erst durch die Gesamtheit der Θ-Ketten bestimmt ist, von
der Definition dieser Ketten ausgeschlossen werden müssen, und meine Definition, welche M
selbst als Θ-Kette rechnet, wäre "nicht-prädikativ" und enthielte einen circulus vitiosus. {{Es geht
nicht so sehr um die Definition, sondern um die Voraussetzung, Herr Zermelo. Vielleicht hilft
Ihnen ein Beispiel: Sie zeigen, dass man in einen elfstöckigen Autobus bequem einsteigen
kann, wenn man vom Dach eines zehnstöckigen Autobusses kommt. Das ist richtig. Nur gibt es
keine zehnstöckigen Autobusse. Aber Sie behaupten, bewiesen zu haben, dass man in
elfstöckige Autobusse bequem einsteigen kann.}} In zwei ganz analogen Fällen, deren letzterer
sich auf die "γ-Mengen" eines Beweises von 1904 bezieht, wird dies ausdrücklich als Kritik
meines Beweisverfahrens ausgeführt.###) {{Poincaré konnte halt noch denken.}}
*) "Les mathématiques et la logique", Revue de Métaphysique et de Morale t. 13; t. 14, p. 17, p.
294, p. 866.
**) ibid. 14, p. 311-313: "C'est donc un jugement synthétique a priori sans Iequel la théorie
cardinale serait impossible, aussi bien pour les nombres finis que pour les nombres infinis."
***) ibid. 14, p. 316: „Il n'y a pas d'infini actuel; les Cantoriens l'ont oublié, et ils sont tombés
dans la contradiction." {{s. KB090620}}
##) Rev. d. Mét. e. d. Mor. 14, p. 307.
###) ibid. p. 314 und 315.
[Ernst Zermelo: "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung", Mathematische Annalen
(1908) 107-128]
174 Das Kalenderblatt 091125
Lieber Herr Mueckenheim,
es ist so - die moderne Mengentheorie ist ein Anathema fuer Platonisten. Der einzige Ausweg
waere die gesamte moderne Mengentheorie aufzugeben. Diesen Pfad haben haben Kronecker,
Poincaré, Brouwer und z.T. H. Weyl betreten; er ist unter den Namen "Intuitionismus" in die
Geschichte eingegangen. Hilbert hat diesen Standpunkt vehement angegriffen. Diese Phase ist
als "Grundlagenkrise" bekannt (etwa 1920er Jahren). Erst in dem spaeten 20. Jh. haben
Philosophen, Mathematiker und Logiker wieder angefangen, neu ueber die Grundlagen
nachzudenken. Die Lage ist m.E. auch heute nicht richtig zufriedenstellend. Wie in der Religion
lernt man mit Ungereimtheiten zu leben.
Mit freundlichen Gruessen, NN
175 Das Kalenderblatt 091126
As a foundation for mathematics, then, set theory is far less firm than what is founded upon it; for
common sense in set theory is discredited by the paradoxes. Clearly we must not look to the settheoretic foundation of mathematics as a way of allaying misgivings regarding the soundness of
classical mathematics. Such misgivings are scarce anyway, once such offenses against reason
as the infinitesimal
have been set right. [...]
For the one thing we insist on, as we sort through the various possible plans for passable set
theories, is that our set theory be such as to reproduce, in the eventual superstructure, the
accepted laws of classical mathematics. This requirement is even useful as a partial guide when
in devising a set theory we have to choose among intuitively undecidable alternatives. We may
look upon set theory, or its notation, as just a conveniently restricted vocabulary in which to
formulate a general axiom system for classical mathematics - let the sets fall where they may.
{{Priorität hat also in jedem Falle die Mathematik. Und wenn die Mengenlehre nicht in der Lage
ist, die einfache und eindeutige Tatsache zu reproduzieren, dass der Binäre Baum nicht mehr
Pfade als Knoten aufweisen kann, dann ist sie ungeeignet.}}
[Willard V. O. Quine: "The ways of paradox and other essays", Harvard University Press (1966)
p. 31f]
http://books.google.de/books?id=YReOv31gdVIC&source=gbs_navlinks_s
176 Das Kalenderblatt 091127
When discussing the validity of the Axiom of Choice, the most common argument for not taking it
as gospel is the Banach-Tarski paradox. Yet, this never particularly bothered me. The argument
against the Axiom of Choice which really hit a chord I first heard at the Olivetti Club, our
graduate colloquium. It’s an extension of a basic logic puzzle, so let’s review that one first.
100 prisoners are placed in a line, facing forward so they can see everyone in front of them in
line. The warden will place either a black or white hat on each prisoner’s head, and then starting
from the back of the line, he will ask each prisoner what the color of his own hat is (ie, he first
asks the person who can see all other prisoners). Any prisoner who is correct may go free.
Every prisoner can hear everyone else’s guesses and whether or not they were right. If all the
prisoners can agree on a strategy beforehand, what is the best strategy?
[...] the first guy counts the total number of white hats. If it is odd, he says “white”, and if it is
even, he says “black”. Then the guy in front of him can count the number of white hats he can
see, and if differs from the parity the first guy counted, he knows his hat is white. But now the
next guy knows the parity of white hats the first guy saw, and whether or not the second guy had
a white hat, so he can compare it to the white hats he sees, and find out if his own hat is white.
This argument repeats, and so everyone except the first guy guesses correctly.
Its interesting to notice that a larger number of hat colors poses no problem here. For any set
of hat colors, the prisoners can pick an abelian group structure on. Then, the first prisoner
guesses the ’sum’ of all the hat colors he can see. The next guy can then subtract the sum of
the hat colors he sees from the hat color the first guy said to find his own hat color. Again, this
argument repeats, and so everyone except the first guy gets out. For the case of black and
white, the previous argument used black = 0 (mod 2) and white = 1 (mod 2).
This is all well and good, but it doesn’t seem to help the countably infinite prisoners in the
second puzzle. Since they can’t hear anyone else’s guess, they can’t set up a similar system for
passing on information. So what can they do?
[Greg Muller: "The Axiom of Choice is Wrong", September 13, 2007]
http://cornellmath.wordpress.com/2007/09/13/the-axiom-of-choice-is-wrong/
Nach einem Vortrag von Mike O’Connor und einer älteren Veröffentlichung hier:
http://mathforum.org/wagon/fall05/p1035.html
177 Das Kalenderblatt 091128
Fortsetzung des KB 091127
{{Es sitzen abzählbar unendlich viele Gefangene in einer Reihe hintereinander. Sie können nicht
hören, was ihre Hintermänner sagen. Trotzdem können alle außer endlich vielen die Farben
ihrer Hüte erraten - wenn denn das Auswahlaxiom richtig ist.}} So what can they do?
First, instead of thinking of hat colors, they just turn white into 1 and black into 0 (like above).
Then, a possible scenario of hats on their heads is an infinite sequence of 1’s and 0’s. Call two
such sequences ‘equivalent’ if they are equal after a finite number of entries. This is an
equivalence relation, and so we can talk about equivalence classes of sequences.
Next, the prisoners invoke the Axiom of Choice to pick an element in each equivalence class,
which they all agree on and memorize. Now, when they are put in line and get a hat, they will be
able to see all but a finite part of the sequence, and so they can all tell what equivalence class
they are in. Their strategy is then to guess as if they were in the pre-chosen element in that
equivalence class.
How well does this work? Well, the sequence they are actually in and the representative
element they picked with the axiom of choice must be equivalent, so they are the same after a
finite number of entries. Therefore, after a finite number of incorrect guesses, each prisoner will
miraculously guess his hat color correctly!
This solution is also pretty stable, in that most attempts to make the puzzle harder don’t break
it. The warden can know their plan and even know their precise choice of representative
sequences. If so, he can make sure any arbitrarily large finite number of them are wrong, but he
can’t get an infinite number of them. Also, the number of hat colors can be arbitrarily big; the
same solution works identically.
This last point is pretty trippy. In the two color case, its very reasonable for any prisoner to
guess his hat color correctly, and also for arbitrarily large numbers of them to get it right in a row.
Effectively, at no finite point in the guessing do the results of the optimal strategy appear to differ
from random guessing. However, if there are uncountably many hat colors, then the probability
of any prisoner randomly guessing his hat color is 0. One can reasonably expect no prisoners to
be correct for random guessing, so when eventually that first prisoner guesses correctly, the
warden should be rightly shocked (though not as shocked as he will be when all but a finite
number of prisoners guess correctly).
I find this solution deeply troubling to the intuitive correctness of the axiom of choice. Sure,
this is based primarily on my intuition for finite things and a naive hope that they should extend
to infinities. I think particularly troubling is in the uncountably many colors case, where any given
prisoner has no chance to guess his hat color correctly, and yet almost all prisoners are correct.
[Greg Muller: "The Axiom of Choice is Wrong", September 13, 2007]
http://cornellmath.wordpress.com/2007/09/13/the-axiom-of-choice-is-wrong/
Nach einem Vortrag von Mike O’Connor und einer älteren Veröffentlichung hier:
http://mathforum.org/wagon/fall05/p1035.html
178 Das Kalenderblatt 091129
The issue I have with the infinite solution [...] is in this sentence: “Next, the prisoners invoke the
Axiom of Choice to pick an element in each equivalence class, which they all agree on and
memorize.” The difficulty is that AC doesn’t provide a means to choose the elements of the
equivalence classes (EC). It just says “it can be done”.
{{Nochmal zum Mitdenken: Das Auswahlaxiom (AC) sagt: Es kann etwas getan werden, aber
das Axiom sagt nicht, wie es getan werden kann. Die Ingeniosität der Mengenlehrer bei der
Vermeidung von Widersprüchen übertrifft selbst die Ingeniosität deutscher Ingenieure. Darin
sind die Mengenlehrer unerreicht.}}
It’s not a magic incantation that presents the actual EC elements. If there were an algorithm for
choosing the EC elements, you wouldn’t need AC. But the prisoners need an actual algorithm.
I got a (probably warranted) dismissive reply to this objection from the list maintainer, but I still
don’t see how AC provides a solution. “Assume AC” doesn’t solve the problem: the prisoners
have to be able to identify the EC element, and without an algorithm they can’t do it.
{{Man hat also eine Untermenge von n Elementen, wobei n auch unendlich sein kann, aber um
eine Element herauszupicken, bräuchte man einen Algorithmus? Tja, das Schwarmverhalten
und seine Vorteile sind nicht nur in der Tierwelt von Bedeutung. Wenn man eine große Menge
vorgesetzt bekommt, dann findet man einfach keinen Ansatzpunkt. Obwohl doch jede Menge
wohlgeordnet werden kann und dann einfach das erste Element gewählt werden könnte. Gab es
nicht einmal einen Esel, der zwischen zwei Elementen verhungert ist? Ein Mengenlehrer könnte
sogar den Esel noch übertreffen. Er wäre vermutlich fähig, vor einem Element zu verhungern,
wenn kein Algorithmus zur Auswahl bereitgestellt wäre.}}
Of course you can’t have an ”actual” infinite set of prisoners either {{und auch keine unendliche
Folge von Ziffern. Das ist nämlich des Rätsels Lösung: Offenbar ist AC vollkommen richtig. Aus
jeder vorgegebenen Untermenge kann man ein Element aussuchen --- nur wird AC nicht
gebraucht, weil es gar keine unendlich Menge von Untermengen gibt.}}, so maybe this is a
pointless nitpick. {{Nein nein, das ist schon eine wichtige Erkenntnis.}} But the semantics of the
word problem imply that one should find a method. That’s not captured by invoking AC, which
amounts to saying “assume a method exists” (for choosing the EC element).
[Oren Cheyette, Diskussionsbeitrag, September 14, 2007]
http://cornellmath.wordpress.com/2007/09/13/the-axiom-of-choice-is-wrong/
179 Das Kalenderblatt 091130
By now there are substantially different models of set theory, satisfying one or another special
axiom - the axiom of constructibility, Martin's axiom, or the axiom of determinateness. The
striking result of these technical developments is that different models of set theory give different
answers to specific mathematical problems. The continuum hypothesis is true on the Gödel
axiom of constructibility, but false in certain Cohen models of set theory. Whitehead's problem
provides another striking example. He considered a homomorphism f: A Ø G of one abelian
group A onto another such group G, in the case when the kernel is just the (additive) group of
integers. In case G is a free abelian group, the epimorphism splits (that is, there is a
homomorphism h: G Ø A with fh = 1. Whitehead asked: Conversely, if such an f always splits, is
G free? It now turns out that the answer may be yes or no, depending on the model of set
theory. This is one of many striking cases where explicit mathematical problems have different
answers, depending on the model used for set theory. (See Eklof [2].)
Mathematics, we hold, deals with multiple models of the world. It is not subsumed in any one
big model or by any one grand system of axioms.
The idea that set theory is relative is not new; it was clearly stated for axiomatic set theory by
Skolem in 1922 [9]. We intend simply to draw some of the philosophic consequences of that
relativity. For the Platonist, there is a real world of sets, existing forever, described only
approximately by the Zermelo-Fraenkel axioms or by their modifications. It may be that some
final insight will give a definite axiom system, but the sets themselves are the underlying
mathematical reality.
In our view, such a Platonic world is speculative. It cannot be clearly explained as a matter of
fact (ontologically) or as an object of human knowledge (epistemologically). Moreover, such
ideal worlds rapidly become too elaborate; they must display not only the sets but all the other
separate structures which mathematicians have described or will discover. The real nature of
these structures does not lie in their often artificial construction from set theory, but in their
relation to simple mathematical ideas or to basic human activities.
Hence, we hold that mathematics is not the study of intangible Platonic worlds, but of tangible
formal systems which have arisen from real human activities.
2. Paul C. Eklof, Whitehead's problem is undecidable, this Monthly, 83 (1976) 775-787.
9. Th. Skolem, Einige Bemerkungen zur axiomatische Begründung der Mengenlehre. Fifth
Congress of Scandinavian Mathematicians, 1922, Helsingfors, 1923, pp. 2 17-232.
[Saunders Mac Lane: "Mathematical models: A sketch for the philosophy of mathematics", The
American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 7 (1981) 462-472]
http://home.dei.polimi.it/schiaffo/TFIS/philofmaths.pdf
180 Das Kalenderblatt 091201
Lakoff and Núñez's avowed purpose is to begin laying the foundations for a truly scientific
understanding of mathematics, one grounded in processes common to all human cognition.
They find that four distinct but related processes metaphorically structure basic arithmetic: object
collection, object construction, using a measuring stick, and moving along a path.
[...] Lakoff and Núñez hold that mathematics results from the human cognitive apparatus and
must therefore be understood in cognitive terms. WMCF {{Where Mathematics Comes From}}
advocates (and includes some examples of) a cognitive idea analysis of mathematics which
analyzes mathematical ideas in terms of the human experiences, metaphors, generalizations,
and other cognitive mechanisms giving rise to them. Idea analysis is distinct from mathematics
and cannot be performed by mathematicians unless they are trained in cognitive science.
Lakoff and Núñez start by reviewing the psychological literature, concluding that humans
appear to have an innate ability, called subitizing, to count, add, and subtract up to about 4 or 5.
They document this conclusion by reviewing the literature, published in recent decades,
describing experiments with infant subjects. For example, infants quickly become excited or
curious when presented with "impossible" situations, such as having three toys appear when
only two were initially present.
The authors argue that mathematics goes far beyond this very elementary level thanks to a
large number of metaphorical constructions. For example, they argue that the Pythagorean
position that all is number, and the associated crisis of confidence that came about with the
discovery of the irrationality of the square root of two, arises solely from a metaphorical relation
between the length of the diagonal of a square, and the possible numbers of objects.
Much of WMCF deals with the important concepts of infinity and of limit processes, seeking to
explain how finite humans living in a finite world could eventually conceive of the actual infinite.
Thus much of WMCF is, in effect, a study of the epistemological foundations of the calculus.
Lakoff and Núñez conclude that while the potential infinite is not metaphorical, the actual infinite
is. Moreover, they deem all manifestations of actual infinity to be instances of what they call the
"Basic Metaphor of Infinity."
WMCF emphatically rejects the Platonistic philosophy of mathematics. They emphasize that all
we know and can ever know is human mathematics, the mathematics arising from the human
intellect. Whether a transcendent mathematics, independent of human thought, can be said to
exist is probably an unanswerable question, and perhaps even a meaningless one.
[George Lakoff, Rafael E. Núñez: "Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind
Brings Mathematics into Being", Basic Books (2000)]
http://www.pdf-search-engine.com/where-mathematics-comes-from-pdf.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Where_Mathematics_Comes_From
181 Das Kalenderblatt 091202
First, there is a major misunderstanding from which many misinterpretations follow. {{Das
passiert des öfteren auch andernorts.}} We have the impression that Gold didn't really get the
main thesis of our book: It is the human embodied mind that brings mathematics into being.
{{Und ohne jenen ist diese nicht! Insbesondere gibt es also keine Absonderlichkeiten wie
unkennbare Zahlen, sondern allenfalls den absonderlichen Gedanken, dass solche
Absonderlichkeiten zur Mathematik gehören könnten.}} This is precisely what the subtitle of the
book explicitly indicates. "Embodiment" thus, with its strong biological and cognitive constraints,
is a fundamental theoretical component that gives shape and continuity to the entire book. It is
under this view that the cognitive mechanisms we describe, among which conceptual metaphor
is one of the most important ones, make sense at all: Conceptual metaphor has explanatory
power precisely because they are empirically observable embodied mechanisms that satisfy
strong biological and cognitive constraints. The term "embodiment" and its related concepts
appear all over the book, to the point that both summarizing theoretical chapters at the end are
entitled "The Theory of Embodied Mathematics" (Chapter 15) and "The Philosophy of Embodied
Mathematics" (Chapter 16). In Gold's review, however, the term embodiment is not even
mentioned once!
This is not just picky terminology. Understanding the role of embodiment and its biological and
cognitive constraints {{and the physical constraints, one might add}} is extremely important to
get an idea of what our book is about. So when Gold refers to conceptual metaphors as being
"essentially isomorphisms" she presents an inaccurate picture, which leads her to miss some
fundamental points of the book, as well as the continuity and overall structure of it. [...] It is
simply a confusion between disciplines to refer to conceptual metaphors as "isomorphisms." Our
book is within the discipline of cognitive science and its subject matter is the cognitive science of
mathematical ideas. To refer to conceptual metaphors as isomorphisms is to assume that the
book is within the discipline of mathematics, which it is not. Our book is an attempt to give an
account of mathematical ideas and inferences in terms of biologically and cognitively plausible
mechanisms of the human mind, such as conceptual metaphors.
For example, the conceptual metaphor Arithmetic As Object Collection to which Gold refers is
not a mere descriptive isomorphism. It is the embodied cognitive mechanism that gives an
account of why the empirically observed expressions that exist in human (even technical)
communication such as "three is bigger than two" or "four is smaller than eight" have the precise
meaning they have, despite the fact that numbers in themselves don't have size. We believe
that, because Gold misses the deep role of embodiment in our theoretical account throughout
the book {{sie ist leider nicht die einzige.}}
We would also like to clarify a couple of technical details regarding how conceptual metaphors
work. Gold says, correctly, that the Basic Metaphor of Infinity (BMI) is the most important
metaphor in the book, and she points out (also correctly) that the BMI is not an isomorphism
(that's right!). Gold accurately observes that the Basic Metaphor of Infinity characterizes
"something genuinely new" (i.e., an end to an
unending process: actual infinity). Unfortunately, she seems not to understand what conceptual
metaphors are and how they differ in kind from disembodied mathematical isomorphisms (which
are literal, not metaphorical). As a result, she mistakenly claims that the BMI introduces an
"ambiguity of how to go from the intermediate states to the final state", leaving "a gap that needs
more explanation." It is incorrectly taking conceptual metaphors to be mathematical
isomorphisms that generate that gap. Conceptual metaphors, being human cognitive
mechanisms have many properties not captured by
isomorphisms. As we say it explicitly in pages 45 and 46, "conceptual metaphors do not just
map preexisting elements of the source domain onto preexisting elements of the target domain.
They can also introduce new elements into the target domain" (italics in the book). These
elements are not inherent to the target domain. [...]
The moral here is this: It is totally consistent with what we know about human cognitive
mechanisms that actual infinity could be a metaphorical idea. Via a specific conceptual
metaphor (the BMI), an unending iterative process that goes on and on can be conceptualized
as a process with an actual end and an actual final resultant state. {{Ja, leider ist es völlig
consistent mit dem, was wir über die Menschen wissen.}}
Reply to Bonnie Gold's review of "Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind
Brings Mathematics into Being" by George Lakoff and Rafael E. Núñez (2001).
http://www.maa.org/reviews/wheremath_reply.html
182 Das Kalenderblatt 091203
In mathematical terms, Lakoff and Nunez define a metaphor as a mapping from a source
domain, which is familiar, to a target domain, which is less so. This correspondence also
preserves inferences. That is, statements linked in the source domain are mapped onto similarly
linked statements in the target domain. They begin their discussion of mathematical metaphor by
discussing at length the four basic grounding metaphors of arithmetic. The first maps ideas
involving object collections onto arithmetic. The size of a pile of bricks, for example, suggests a
number, and a bigger pile suggests a greater number; our understanding of the notion
arithmetical closure. The source domain - the pile of bricks - is an object collection, and the
target domain is arithmetic. This the first of four basic grounding metaphors for arithmetic.
Another is that of the measuring stick. The length of a physical segment is associated with the
size of a number, and so on. Similar metaphorical correspondences exist between arithmetic
and motion.
Throughout the book the authors attempt to demystify mathematical thought, stressing that the
source of mathematical ideas is not radically different from the source of other, more
commonplace notions. They point out, for example, that our understanding of algebraic variables
is similar to our understanding of pronouns. "Whoever did this was sick" should be compared to
"If X + 2 = 7, then X = 5". Contrariwise they show that misunderstanding can also flow from
these prosaic notions. {{In fact. Religious belief and superstition are based on the same
grounds.}}
The book requires a bit more mathematics than many general readers are likely to possess, but
one of its pleasures is that it treats numerous areas of mathematics and doesn't skip over all the
details. In the more technical second half of the volume, the authors deal with infinity and the
many applications of the basic metaphor of infinity (BMI), proposing that the idea of an actual
(not merely potential) infinity derives metaphorically from the notion of the result of a process.
Not surprisingly, we conceptualize the result of an infinite unending process in analogy to the
result of a completed process that does have an end. {{Den darin begründeten Fehler sollten
sogar geistig Minderbemittelte erkennen können.}} The authors hypothesize that all cases of
actual infinity in mathematics derive from different and often nonobvious applications of the BMI.
Transfinite cardinal numbers and ordinal numbers, for example, stem from quite distinct uses of
the BMI, one having to do with infinite collections, the other with infinite lists {{and none having
to do with a world that is independent of human thinking. Hence no individual excluded from
human thinking can result}}.
This review of Where Mathematics Comes From appeared in the Winter issue of The American
Scholar. (copyright 2002)
Where Mathematics Comes From, written by George Lakoff and Rafael Nunez, published by
Basic, and reviewed here by John Allen Paulos.
http://www.math.temple.edu/~paulos/lakoff.html
183 Das Kalenderblatt 091204
Einer besonderen Vertretung des pp Cantor wird es nicht bedürfen, zumal die eine der
angekündigten Privatvorlesungen über den wahren Autor der Jak. Böhmeschen Schriften auf
haltlosen Hypothesen beruht, auch schwerlich Zuhörer gefunden haben würde [...]
[Universitätskurator Schrader an das preußische Kultusministerium, 26. 4. 1900]
Bzgl. der Bemühungen Cantors, Publikationen über seine Forschungen zur BaconShakespeare-Theorie dem „Gelehrtenpublicum" zugänglich zu machen, gibt der Brief vom 1. 2.
1900 an seinen Sohn Erich beredte Auskunft. Sie sind diesmal erfolgreich; im Magazin für
Litteratur erscheint im selben Jahr sein Artikel „Shaxpeareologie und Baconianismus".
[H. Meschkowski, W. Nilson (Herausgeber): "Georg Cantor Briefe", Springer, Berlin (1991) p.
418]
In diesem Privatdruck "Ex Oriente Lux" nimmt er zu "wesentlichen Puncten des urkundlichen
Christentums" Stellung. Es geht um die Frage der Abstammung Jesu und das Dogma der
Jungfrauengeburt. Er lehnt diese damals jedenfalls von beiden Konfessionen vertretene Lehre
ab und kommt auf Grund einer Untersuchung der neutestamentlichen Aussagen zu dem
Ergebnis, daß Joseph von Arimathia der leibliche Vater Jesu sei.
[Herbert Meschkowski: "Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung", 2. Aufl., BI, Mannheim
(1981) p. 128]
Als ich neulich mit Frau v. Kowalewski über derlei Dinge {{Cantors Theorie der überendlichen
Zahlen}} sprach, meinte sie ganz recht, das sei wie wenn man über Religion spreche. Der
konkreten (sit venia verbo) Mathematik selbst liegen diese Dinge, über die wir beide
verschiedener Ansicht sind, ja fast ebenso fern, wie die Religion {{nur fast?}}
[Kronecker an Cantor, 21. 8. 1884]
Cantor wusste um den wahren Jakob Böhme, den wahren William Shakespeare, den wahren
Vater Christi und die wahre Unendlichkeit.
Seine Jünger unterstützen in der Regel nur eine der vier Thesen.
Sie bezeichnen Ungläubige gern als Cranks oder Crackpots.
184 Das Kalenderblatt 091205
Looking at your example, it is seen that in the application of the diagonal argument to your
example, the missing number keeps moving to infinity as we get higher number of digits but is
still in the list! I am of the opinion that one only has to consider the constructive application of the
diagonal argument because it is the only way, we as humans, can get practical results. This is in
the spirit of Weierstrass' and Cauchy's philosophy used in the delta-epsilon argument in
rigorizing calculus. It is constructive and, applied to your example, proves that reals are
countable. [...]
By the way, I found your paper when I was doing research on nonstandard analysis. I am
interested in applications of NSA particularly in explaining nonlinear generalized functions. I like
to be in touch with you and continue this discussion.
Best Regards, NN
185 Das Kalenderblatt 091206
Wenn den mathematischen Objekten ein Sein zukommt, so müssen sie entweder in den
sinnlichen Gegenständen existieren, wie manche wirklich annehmen, oder von den sinnlichen
Gegenständen abgesondert bestehen, eine Auffassung, die gleichfalls ihre Vertreter hat [...] Daß
sie nun unmöglich in den sinnlichen Gegenständen existieren können, und daß diese
Auffassung eine ganz willkürliche ist, das haben wir schon, wo wir die Probleme erörtert haben,
auf Grund dessen dargelegt, daß zwei Körper nicht einen und denselben Raum einnehmen
können, und daß ferner konsequenterweise auch die übrigen Kräfte und Gebilde in den
sinnlichen Gegenständen stecken müßten und keine von ihnen eine dem Sinnlichen gegenüber
abgesonderte Existenz haben könnte.
[Aristoteles: Metaphysik 13, Kapitel 1-2, Übersetzung von Adolf Lasson, Jena (1907)]
http://www.aristoteles-heute.de/sein_a/sein_A/aristoteles/metaphysik/ftp/Metaphysik.htm
(Ich danke Peter Luschny für den Hinweis auf diese Quelle.)
Potentiell oder aktual unendliche Existenz: Wie ist der Unterschied am besten zu verstehen?
Wir betrachten dazu den binären Baum
0
/\
0 1
/\ /\
0101
...
und färben alle Pfade der Form
P(0) = 0,111...
P(1) = 0,0111...
P(2) = 0,00111...
P(3) = 0,000111...
...
gelb (weil das eine sehr auffallende Farbe ist).
Im Rahmen der aktualen Unendlichkeit verbleibt noch der Grenzpfad P(¶) = 0,000.... Da nur alle
Listenpfade gänzlich vergilbt sind, sollte der Grenzpfad als nicht in der Liste enthaltenes
Individuum auch nicht ganz gelb sein. Da aber kein einziger ungefärbter Knoten in P(¶)
nachweisbar ist, behaupten die Anhänger der aktualen Unendlichkeit, dass die Pfade P(n) der
obigen Liste zwar alle Knoten von P(¶) gelb färben, aber kein einzelner Listenpfad existiert, der
allein alle Knoten gelb färbt.
Viele Matheologen, die sich gegenseitig für kompetente Mengentheoretiker halten, vermögen
hier nämlich folgenden Unterschied zu erkennen:
1) " Knoten $ Pfad
aber
2) Ÿ$ Pfad " Knoten
Diese Unterscheidung basiert auf einer geflissentlichen Bedeutungsvertauschung. Der
Allquantor bedeutet in (1) "jeder Einzelne", in (2) hingegen "alle zusammen". Doch dieser Trick
erfordert in (1) eine imaginiert-quantorisierte potentielle Existenz (wähle einen Knoten aus - alle
und damit ein letzter existieren ja nicht) und ist bei der in (2) gleichzeitig behaupteten statischaktualen Existenz (nun darfst du alle Knoten betrachten) leicht als bewusste oder fahrlässige
Täuschung des Publikums erkennbar.
Wenn also alle Knoten von P(¶) statisch-aktual existierten, dann gäbe es auch einen Listenpfad
mit allen Knoten.
Beweis. Jeder Pfad P(n) enthält alle Knoten des Pfades P(¶) vom Wurzelknoten bis zum n-ten
Nachwurzelknoten. Jeder von P(n) gefärbte Knoten des Pfades P(¶) gehört auch zu jedem Pfad
P(m > n). Induktion zeigt für jeden Knoten K von P(¶) mit endlicher Ordnungszahl (und andere
gibt es im binären Baum nicht): Der Knoten K und alle seine Vorgänger gehören zu einem Pfad
der Liste. Jeder und alle Vorgänger = alle.
Daher ist die Existenz der vollständigen Färbung des Pfades P(¶) unlösbar mit der Existenz
eines alle Knoten färbenden Pfades P(n) verknüpft. Da ein solcher Pfad aber nicht existiert,
existiert auch der Pfad P(¶) nicht. Es gibt überhaupt keine vollendet unendliche Folge und damit
keine aktuale Unendlichkeit. (Demnach bezeichnen auch die drei Pünktchen bei jedem der
Pfade P(n) nur eine potentiell unendliche Folge.)
Die nicht gleichzeitig mögliche Existenz aller Pfade P(n) der obigen Liste und des Pfades P(¶)
im binären Baum ist übrigens eine einfache Konsequenz der schon von Aristoteles gemachten
Beobachtung, "daß zwei Körper nicht einen und denselben Raum einnehmen können". (s. o.)
186 Das Kalenderblatt 091207
Ich bin schon oft gefragt worden, warum ich das Wort Matheologie geprägt habe. Hier möchte
ich einmal die für jeden verständliche Antwort geben.
Menschen bestehen aus Molekülen. Theologen erkennen noch mehr, etwas, das von Molekülen
unabhängig existiert und auch noch da ist, wenn die Moleküle fort sind, nämlich das, was sie mit
Seele bezeichnen.
Matheologen argumentieren ähnlich. Sie erkennen auch bei reellen Zahlen Seelen:
Der vollständige unendliche binäre Baum lässt sich mit abzählbar unendlich vielen Pfaden
konstruieren, so dass alle Knoten da sind und keiner mehr hinzugefügt werden kann und alle
endlichen Pfade da sind und keiner mehr hinzugefügt werden kann. Diese Strukturkomponenten
möchte ich allegorisch als "die Moleküle des Baums" bezeichnen.
Matheologen erkennen nun noch weitaus mehr im Baum, nämlich überabzählbar unendlich viele
Pfade unendlicher Länge. Durch die Moleküle des Baums wird diese Erkenntnis nicht bestätigt.
Also muss es sich um ein Analogon zur Seele handeln, die der rein mathematisch konstruierten,
toten Struktur irgendwie vermittelt worden ist. (Ob die überabzählbar vielen Pfade auch noch da
sind, wenn der Baum abgestorben ist, sollte von den zuständigen Dogmatikern diskutiert und
dann der gläubigen Gemeinde verkündet werden.)
Meine theologische Ausdeutung beruht aber nicht allein auf der engen Analogie zwischen
Mengenlehre und Theologie; sie liegt auch deshalb nahe, weil ja die "Baumseelen" auf das
Werk eines streng gläubigen Antidarwinisten zurückzuführen sind. Die Pointe der Geschichte ist
jedoch: Cantor selbst hat die "Seelen" gar nicht benutzt! Sein Diagonalargument, die Wurzel
aller matheologischen Verirrungen, verwendet ausschließlich "Moleküle", nämlich Ziffern (oder
allgemein die Folgenglieder W und M), die an endlicher Stelle existieren.
187 Das Kalenderblatt 091208
Dem Unendlichen angemessen zu begegnen, verlangt, vom Wahn abzulassen, das Unendliche
wie ein vorgegebenes Ganzes als Objekt der Mathematik genauso zu unterwerfen wie die Zahl.
Das Unendliche ist vielmehr ein Grenzbegriff, der sich dem Zugriff menschlicher Wissbegier
grundsätzlich entzieht.
[Rudolf Taschner, "Der Zahlen gigantische Schatten", Wiesbaden (2005)]
Ein Buch, das sich in jedem Falle zu lesen lohnt. (Albrecht Storz)
188 Das Kalenderblatt 091209
Borel's often-expressed credo is that a real number is really real only if it can be expressed, only
if it can be uniquely defined, using a finite number of words. It's only real if it can be named or
specifed as an individual mathematical object. {{Wie sollte es auch anders sein, da Zahlen keine
andere Existenz besitzen als die vom (menschlichen) Geist ihnen verliehene? Geister, die
meinen, Eigenschaften verleihen zu können, die sie grundsätzlich nicht verleihen können, und
die beides auch noch beweisen zu können meinen, werden kaum begeistern. Die meisten
Mitläufer der Mengenlehrer haben wohl nichts von dem Haken geahnt, und Cantor selbst hat
sich ausdrücklich davon distanziert.}} And in order to do this we must necessarily employ some
particular language, e.g., French. Whatever the choice of language, there will only be a
countable infinity of possible texts, since these can be listed in size order, and among texts of
the same size, in alphabetical order.
This has the devastating consequence that there are only a denumerable infinitely of such
"accessible" reals, and therefore [...] the set of accessible reals has measure zero. So, in Borel's
view, most reals, with probability one, are mathematical fantasies, because there is no way to
specify them uniquely.
This is a more refined version of Borel's idea [Borel, 1960] of defining the complexity of a real
number to be the number of words required to name it.
Why should we believe in real numbers, if most of them are uncomputable?
Why should we believe in real numbers, if most of them, it turns out, are maximally unknowable
like Ω?
The latest strong hints in the direction of discreteness come from quantum gravity [...], in
particular from the Bekenstein bound and the so-called "holographic principle." According to
these ideas the amount of information in any physical system is bounded, i.e., is a finite number
of 0/1 bits. But it is not just fundamental physics that is pushing us in this direction. Other hints
come from our pervasive digital technology, from molecular biology where DNA is the digital
software for life, and from a priori philosophical prejudices going back to the ancient Greeks.
According to Pythagoras everything is number, and God is a mathematician. This point of view
has worked pretty well throughout the development of modern science. However now a neoPythagorean doctrine is emerging, according to which everything is 0/1 bits, and the world is
built entirely out of digital information. In other words, now everything is software, God is a
computer programmer, not a mathematician, and the world is a giant information-processing
system, a giant computer.
[Gregory Chaitin: "How real are real numbers?" (2004)]
http://arxiv.org/abs/math.HO/0411418
189 Das Kalenderblatt 091210
Cantor used the expression 2^aleph0 in order to represent the magnitude of R set.
Since base 2 can be represented as a tree diagram, we can use it in order to research a
collection of infinitely many elements. For example, let us look at the infinitely long Top-toBottom tree, which is also represented as {1, 2, 4, 8, 16, ...}. It is obvious that we always find
finitely many leafs in any arbitrary level of this tree, so this tree cannot have the magnitude of
2^aleph0. Furthermore, since in any arbitrary level we are still in N set, we can never define
aleph0 as a transfinite number.
Now let us say that we start by a collection of infinitely many R members, which are represented
by infinitely many points. In this case, we know that we can never start to use base 2 in order to
construct a Bottom-to-Top tree, if our collection of points can construct a solid line, and if we do
that, we discover that we get infinitely many identical trees that cannot have |R| (if, again, R set
is like a solid line). So my question is: How can we write 2^aleph0, if base 2 cannot exist when
we deal with |R|? [...]
Potential infinity (which never reaches Actual infinity, and therefore cannot be completed) is the
name of the game.
Also Cantor's proof, which is not based on the second diagonal method is actually failed
because of a very simple conceptual mistake, which is: If A set, c point, and B set are clearly
distinguished from each other, then there cannot be a gapless state between them, simple as
that!!
In short, Cantor uses simultaneously two different models
(3_distingueshed_states_AND_a_solid_line) that are clearly contradicting each other. Therefore
this proof does not hold.
In short, the transfinite system does not exist.
[Doron Shadmi: "Transfinities" (2004)]
http://forum.wolframscience.com/showthread.php?s=2f78b1c040329c9dbe41688ac7a44e51&thr
eadid=602
190 Das Kalenderblatt 091211
The difficulty we are confronted with is that ZFC makes a claim we find implausible. To say we
can't criticize ZFC since ZFC is our theory of sets is obviously to beg the question whether we
ought to adopt it despite claims about cardinality that we might regard as exorbitant.
[George Boolos: 'Must We Believe in Set Theory?]
Cancer robbed our community of an outstanding philosopher. One is tempted to say
“philosopher and logician,” but as Richard Cartwright remarked in his eulogy for George Boolos,
“he would have not been altogether happy with the description: accurate, no doubt, but faintly
redundant—a little like describing someone as ‘mathematician and algebraist.’”
[...] George Boolos made significant contributions in every area of logic in which he worked. [...]
Gödel, in contrast to Boolos, argued that the axioms of choice and replacement do follow from
the iterative conception. In article 7, an introduction to a posthumously published lecture by
Gödel, Boolos takes issue with Gödel’s Platonistic claim that the axioms of ZFC (Zermelo
Frankel set theory with Choice) “force themselves upon us as true.” Even if the axioms articulate
a natural and compelling conception of set, they need not correspond to anything objectively
real.
Article 2 contains Boolos’ defense of Fraenkel’s, in contrast to Zermelo’s, position that first-order
but not second-order logic is applicable to set theory. Boolos criticizes the view of Charles
Parsons (and D. A. Martin) that it makes sense to use second-order quantifiers when first-order
quantifiers range over entities that do not form a set. Boolos’ answer to the title of article 8, “Must
We Believe in Set Theory?” is ‘no’: the phenomenological argument (due to Gödel) does not
imply that the axioms of set theory correspond to something real, and the indispensability
argument (due to Carnap) that mathematics is required by our best physical theory, is dismissed
as “rubbish.”
[Gary Mar: "Book Review: Logic, Logic and Logic, George Boolos. Harvard University Press,
1998. ix + 443 pages. Hardcover $45, paperback $22.95. ISBN 0-674-53767-X.", Essays in
Philosophy, Vol. 1 No. 2, June 2000]
http://www.humboldt.edu/~essays/marrev.html
191 Das Kalenderblatt 091212
Now, this has the attractive feature that it solves both problems at once. First, I can say
immediately, I don't let the electron act on itself, I just let this act on that, hence, no self-energy!
Secondly, there is not an infinite number of degrees of freedom in the field. {{Darum kann auch
eine realistische Mathematik nicht mit Unendlichem rechnen. (Achtung! Doppelte
Wortbedeutung.)}} There is no field at all; or if you insist on thinking in terms of ideas like that of
a field, this field is always completely determined by the action of the particles which produce it.
You shake this particle, it shakes that one, but if you want to think in a field way, the field, if it's
there, would be entirely determined by the matter which generates it, and therefore, the field
does not have any independent degrees of freedom and the infinities from the degrees of
freedom would then be removed. As a matter of fact, when we look out anywhere and see light,
we can always "see" some matter as the source of the light. We don't just see light (except
recently some radio reception has been found with no apparent material source).
You see then that my general plan was to first solve the classical problem, to get rid of the
infinite self-energies in the classical theory, and to hope that when I made a quantum theory of
it, everything would just be fine.
That was the beginning, and the idea seemed so obvious to me and so elegant that I fell deeply
in love with it. And, like falling in love with a woman, it is only possible if you do not know much
about her, so you cannot see her faults. The faults will become apparent later, but after the love
is strong enough to hold you to her. {{MatheRealismus. Es bedarf zunächst der Überwindung
der antrainierten Cantorschen Unendlichkeitsreflexe. Außerdem muss man die Schwachstellen
akzeptieren. Aber wenn man bedenkt, dass niemand jemals und niemals jemand von 1 bis 1030
gezählt hat, zählt oder wird zählen wollen, ist das machbar. Als wunderbare Kompensation zeigt
sich die Welt frei von Widersprüchen.}}
[R.P. Feynman, Nobel-Vortrag (1965)]
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/feynman-lecture.html
(Der ganze Vortrag ist sehr lesenswert, doch in dsm off topic.)
192 Das Kalenderblatt 091213
Platonisten, Formalisten und Realisten.
Platonisten glauben an ein von der menschlichen Existenz unabhängiges Reich der Zahlen und
Ideen. In jenem Reiche gibt es alle Zahlen und alle Eigenschaften und alle Formeln, und von
jeder Zahl ist jede ihrer Eigenschaften in dem Reiche bekannt oder jedenfalls festgelegt. Es gibt
also auch alle reellen Zahlen, und jede kann in dem Reiche von jeder anderen unterschieden,
also als Individuum identifiziert werden. Es müsste auch jede Menge Mengen und vor allem alle
Mengen geben. Darüber äußern sich die Platonisten aber ungern.
Formalisten glauben an gar nichts, sondern erschaffen alles aus gewissen Axiomen selbst.
Axiome und Spielregeln werden zwar meistens mit dem Ziel gebildet, die platonistische
Mathematik daraus abzuleiten, aber das ist eher gleichgültig, und jedenfalls ginge es auch ganz
anders. Der Formalist kann beweisen, dass es Unbeweisbares gibt, nämlich Sätze, die nicht
beweisbar sind oder, wenn sie beweisbar gemacht werden, wieder die Existenz anderer
unbeweisbarer Sätze nach sich ziehen. Vor allem jedoch gelingt es dem Formalisten, mehr
reelle Zahlen zu erschaffen, als er identifizieren kann, was seinen Konsistenzanspruch
fragwürdig erscheinen lässt.
MatheRealisten (im Unterschied zu den in der mathematischen Philosophie euphemistisch als
Realisten bezeichneten Platonisten) erkennen, dass Mathematik lediglich bei der Modellierung
von Eigenschaften der Realität im Gehirn, das ebenfalls ein Bestandteil der Realität ist, entsteht
- ganz ähnlich wie Physik, Chemie, Biologie usw., nur auf einer viel primitiveren Stufe oder,
anders ausgedrückt, mit einem viel höheren Abstraktionsgrad verbunden. Beispiel: In der
Realität existieren Menschen. Die Physik beschreibt Größe und Masse, die Chemie Elemente
und Moleküle, die Biologie Zellen und Wachstum. Für den Mathematiker (auf dem höchsten
Abstraktionsniveau) wird jeder Mensch eine 1 und eine Menschenmenge eine Summe von
Einsen. Die Primzahleigenschaften der Summe ergeben sich daraus, dass es nicht möglich ist,
eine so gewonnene Zahl ohne Zerstörung eines Individuums in gleiche Teile zu zerlegen (wobei
nur die 1 aus praktischen Gründen ausgeschlossen wird). Der Fortschritt der Mathematik führt
zu verfeinerten Zahlen (-Darstellungen), Formeln und Regeln, die Physiker, Chemiker und
Biologen für ihre Modellierungen benutzen.
193 Das Kalenderblatt 091214
Ein Beweis geht vom Gottesbegriff aus und schliesst zunächst aus der höchsten
Vollkommenheit Gottes Wesens auf die Möglichkeit der Schöpfung eines Transfinitum
ordinatum, sodann aus seiner Allgüte und Herrlichkeit auf die Nothwendigkeit der thatsächlich
erfolgten Schöpfung eines Transfinitum.
Ein andrer Beweis zeigt a posteriori, dass die Annahme eines Transfinitum in natura naturata
eine bessere, weil vollkommenere Erklärung der Phänomene, im Besonderen der Organismen
und der psychischen Erscheinungen ermöglicht, als die entgegengesetzte Hypothese. [Cantor
an S. Eminenz, Cardinal J. Bapt. Franzelin, S. J. in Rom, 22. 1. 1886]
{Nun, über den "anderen Beweis" wollen wir posteriori schweigend hinwegsehen. Und auch
bezüglich des mathematischen Gehaltes des ersten sichert der Kardinal sich ab:}} In der
Voraussetzung, daß Ihr Transfinitum actuale in sich keinen Widerspruch enthält, ist ihr Schluß
auf die Möglichkeit der Schöpfung eines Transfinitum aus dem Begriffe von Gottes Allmacht
ganz richtig. Allein zu meinem Bedauern gehen Sie weiter und schließen "aus seiner Allgüte und
Herrlichkeit auf die Nothwendigkeit einer thatsächlich erfolgten Schöpfung des Transfinitum."
Gerade weil Gott an sich das absolute unendliche Gut und die absolute Herrlichkeit ist, welchem
Gute und welcher Herrlichkeit nichts zuwachsen und nichts abgehen kann, ist die
Nothwendigkeit einer Schöpfung, welche immer diese sein mag, ein Widerspruch, und die
Freiheit der Schöpfung eine ebenso nothwendige Vollkommenheit Gottes wie alle seine anderen
Vollkommenheiten. [Kardinal Franzelin an Cantor, 26. 1. 1886]
{{Hätte der Kardinal etwas direkter argumentieren wollen (und wäre es schon 1912 gewesen),
so hätte er auch auf folgende Zeilen zurückgreifen können:}}
Weil du Bretter machst, in deinem Stolze,
willst du wirklich den zur Rede stelln,
der bescheiden aus dem gleichen Holze
Blätter treiben macht und Knospen schwelln
(Rilke)
{{Gedicht aus dem Marienzyklus, betreffend eine Rüge des heiligen Geistes an Joseph, der sich
wegen der Heimsuchung Mariae beschweren wollte.}}
http://gutenberg.spiegel.de/index.php?id=5&xid=2256&kapitel=1&cHash=1&hilite=Rilke%20Bl%
c3%a4tter%20treiben#gb_found
Es ist sehr wahrscheinlich, dass Cantor durch die Korrespondenz mit Kardinal Franzelin zu
seiner Wortschöpfung angeregt wurde: Er schreibt dem Kardinal im oben zitierten Brief: "[...]
denn gesetzt den Fall, es gäbe, wie ich bewiesen zu haben glaube, actual unendliche
„Mächtigkeiten" d. h. Cardinalzahlen [...]".
194 Das Kalenderblatt 091215
Dear Wolfgang,
[...] even without outing Cantor as mistaken, mathematics would eventually recover. I think it
would take about two hundred years, but in terms of the human race that is not so long. That is
the main reason I discontinued my blog on the issue. It still does not seem very important to me,
though accidentally finding your paper while looking for something else has rekindled my
interest.
NN
195 Das Kalenderblatt 091216
Der Legende nach hatte Pythagoras zunächst nur einen Hörer, den er auch noch für's Zuhören
bezahlte. [W. Mückenheim: "Kleine Geschichte der Mathematik", HS-Augsburg (2001) p.11]
Newton hatte ganz wenige Hörer mit noch weniger Verständnis. [a.a.O., p. 85]
Auch Heisenberg soll in seiner ersten Zeit als Professor für ein bis drei Hörer gelesen haben.
Cantor [...] hat im vorigen Semester angefangen, Vorlesungen über Leibniz' Philosophie zu
halten. Zu Anfang hatte er 25 Zuhörer, allmählich schrumpfte die Zuhörerzahl auf 4, danach auf
3, dann 2 und schließlich einen. Cantor hielt trotzdem durch mit seinen Vorlesungen. Aber oh
weh! Eines schönen Tages kam der letzte der Mohikaner, sich etwas genierend, dankte dem
Professor sehr und erklärte, dass er so viele andere Beschäftigungen habe und es nicht mehr
schaffte, den Vorlesungen des Professors zu folgen. Da endlich gab Cantor das feierliche
Versprechen, zur unaussprechlichen Freude seiner Gattin, daß er nie wieder Vorlesungen über
Philosophie halten werde. {{Das hat er nicht durchgehalten. (s. KB 091204)}} [Sonja
Kowalewskaja an Gösta Mittag-Leffler, 21. Mai 1885]
Ich hatte auch einmal nur drei Hörer, von Anfang an. Zwei waren an einem Termin wegen einer
Exkursion verhindert. Komisches Gefühl. Lasertechnik - habe ich anschließend nie wieder
gelesen.
196 Das Kalenderblatt 091217
Mit den Mahlo-Zahlen stehen wir ganz am Anfang der Reihe "großer" Kardinalzahlen, sprich:
unendlich großer unendlicher (transfiniter) Zahlen und Mengen.[...] Nach den Mahlo-Zahlen
kommen die unbeschreibbaren Zahlen, dann die schwach kompakten Zahlen, die extrem
unbeschreibbaren Zahlen, die unfaltbaren Zahlen, die subtilen Zahlen, die unsagbaren Zahlen,
die bemerkenswerten Zahlen, die Erdös-Zahlen, die Zerlegungszahlen, die Jónsson-Zahlen, die
Rowbottom-Zahlen, die ununterscheidbaren Zahlen {{na, die hatten wir doch schon am Fuße
des Berges in den sogenannten reellen Zahlen erkannt - sollten wir da in eine Zahlschleife
geraten sein?}}, und schließlich die messbaren Zahlen.
Kleine Verschnaufpause, gleich geht's weiter. Es folgen die starken Zahlen, die Woodin-Zahlen,
die Shelah-Zahlen, die hyper-Woodin-Zahlen, die superstarken Zahlen, die stark kompakten
Zahlen, die superkompakten Zahlen, die erweiterbaren Zahlen, die Vopěnka-Zahlen, die
beinahe riesigen Zahlen, die riesigen Zahlen, die superbeinaheriesigen Zahlen, die
superriesigen Zahlen, die n-riesigen Zahlen, die Rang-in-Rang-Zahlen, die Reinhardt-Zahlen.
[...] Es geht nicht weiter {{der Gedanke an die Kreditblase drängt sich auf}}.
http://www.peter-ripota.de/mathe/vonrhozuomega-de-472.html
(Ich danke Rainer Rosenthal für den Hinweis auf diese Quelle.)
197 Das Kalenderblatt 091218
Galileo Galilei (1564 - 1642) hat in seinem "Dialogo sopra i due massimi sistemi" [Florenz 1632]
die Protagonisten über die Anzahl von Quadrawurzeln diskutieren lassen und in seinen "Discorsi
e Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove scienze" [1638, Elsevirii, Leida (ein Verlag mit
langer Tradition also)] das Kontinuum, bestehend aus aktual unendlich vielen Unteilbaren,
sowohl non vacui
als auch vacui, beschrieben. Deswegen wollen wir die Protagonisten nochmals zum Thema
belauschen.
Pipi (zu) lang
oder
Warum findet man π nicht in Cantors Liste?
Sagredo: Besitzt die Zahl pi eine Dezimaldarstellung, nennen wir sie pipi, die sich von der jeder
anderen Zahl unterscheidet?
Simplicio: Jein. Für jede andere Zahl gibt es eine Dezimaldarstellung mit einer Ziffer, die von pipi
abweicht, aber es gibt keine Ziffer von pipi, die von der Dezimaldarstellung jeder anderen Zahl
abweicht.
Sagredo: Damit ist meine nächste Frage eigentlich schon beantwortet: Kann man eine
vollständige Dezimaldarstellung pipi, also eine die sich von der jeder anderen Zahl
unterscheidet, für pi hinschreiben?
Simplicio: Nein.
Salviati: Diese Frage wird wohl selten so klar beantwortet, weil sie so selten gestellt wird. Man
kann pipi also nicht in eine Liste schreiben, weder in eine Zeile, noch in die Diagonale?
Simplicio: So ist es. Trotzdem gibt es die Zahl pi.
Salviati: Das bestreite ich nicht. Doch gibt es keine Möglichkeit, pi als pipi in eine Zeile zu
schreiben oder als Diagonalzahl zu gewinnen. Das ist die wahre Ursache, weshalb pipi in
Cantors Liste niemals vorkommt. Mit der Häufigkeit von irrationalen Zahlen hat das also nichts
zu tun. Es liegt allein an ihrer esoterischen Existenz, die in einigen (wenigen) Fällen schon
Transzendenz zu nennen wäre.
Simplicio: Falsch! Es sind nicht wenige. Es gibt überabzählbar viele transzendente Zahlen!
Salviati: Es? Wo gibt Es sie denn? Als Ziffernfolgen existieren sie nicht. Als Definitionen können
nur abzählbar viele Zahlen existieren.
Simplicio: Es gibt sie eben.
Das ist der gegenwärtige Stand im Dialogo sopra i due sistemi di numerazione
Der dezimale Baum könnte nun die Entscheidung bringen: Jeder Pfad dort repräsentiert eine
Dezimaldarstellung einer reellen Zahl aus dem Intervall [0, 1]. Gibt es keine Dezimaldarstellung
pipi von pi, dann gibt es auch keinen Pfad für pi. Dann gibt es auch nicht überabzählbar viele
transzendente Zahlen (denn es wird ja die Überabzählbarkeit der Dezimaldarstellungen
behauptet).
Gibt es aber doch einen Pfad pipi für pi, dann ist pipi die Vereinigung aller seiner endlichen
Anfangsabschnitte und wird bei der Konstruktion des Baums mit unterlaufen - als Grenzpfad der
Vereinigung der Folgenpfade. Doch solche Grenzprozesse sind eher selten, denn sie bedürfen
extrem langer Vorbereitung. Deswegen sind Grenzpfade niemals häufiger als Folgenpfade.
Denn wie jeder Mathematiker weiß: Jede konvergente unendliche Folge muss mindestens ein
Folgenglied enthalten und darf höchstens einen Häufungspunkt besitzen; der wird auch
Grenzwert der Folge genannt.
198 Das Kalenderblatt 091219
Der stolze Satz Cantors in den „Grundlagen" (Gesammelte Werke, S. 175): "... ich glaube daher
auch nicht, daß Gründe sich dagegen werden geltend machen lassen, denen ich nicht zu
begegnen wüßte" zeigt seine Basis für die Auseinandersetzung und klärt so von vornherein die
Positionen: Cantor geht es um Überzeugung seines Gegenüber. [H. Meschkowski, W. Nilson
(Herausgeber): "Georg Cantor Briefe", Springer, Berlin (1991) p. 260]
199 Das Kalenderblatt 091220
Dr. D.F.M. Strauss, is professor of philosophy at the University of the Free State in
Bloemfontein, South Africa.
In Chapter II Strauss addresses various philosophical problems in mathematics.
Mathematics is concerned with number and space, the first two modalities. The prime issue in
mathematics is how to treat infinity. Strauss discusses three main foundational crises in the
history of mathematics: (1) the discovery of irrationals, (2) infinitesimal calculus, and (3) modern
set theory. All three involve the relation between potential and actual infinity. Much attention is
devoted to the conflict between Cantor's treatment of actually infinite sets and the intuitionists'
rejection of actual infinity.
The Dutch mathematician L.E.J. Brouwer (1882-1966), an ardent promoter of intuitionism, lived
in Amsterdam at the same time as Dooyeweerd and had some influence on Dooyeweerd.
Dooyeweerd acknowledged only the potential infinite; he found the idea of the actual infinite
unacceptable. {{Es gibt offenbar sehr viele Leute, die so denken. Nur leider sorgt die moderne
Zensur dafür, dass diese Leute selten zu Wort kommen.}} Strauss, however, argues that
Dooyeweerdian philosophy actually provides grounds for both types of infinity. Strauss
distinguishes between the successive infinite and the at once infinite. The successive infinite is
associated with numbers and determines every denumerable, endless succession of numbers
(e.g., the integers or rational numbers). The at once infinite, on the other hand, is associated
with the continuous extension of space. The latter represents a higher order of infinity; it cannot
be reduced to a successive infinity since space cannot be reduced to number {{weshalb
überabzählbare Zahlenmengen absurd sind.}}
Review: D.F.M. Strauss "Paradigms in Mathematics, Physics and Biology: Their Philosophical
Roots", Tekskor Bk, Danhof, South Africa, (2001, revised 2004), 177 pp.
http://www.acmsonline.org/strauss%20review.pdf
200 Das Kalenderblatt 091221
KB091221 ist das Kalenderblatt Nr. 200. Nach meiner ursprünglichen Planung sollte es zum
Jubiläum das Stichwortverzeichnis aller Kalenderblätter enthalten, die ihr Stichwortverzeichnis
nicht selbst enthalten. Doch das wollte mir nicht gelingen. Ist Überabzählbarkeit die Ursache?
Nun enthält es das Stichwortverzeichnis aller bisher erschienen Kalenderblätter. Es sind nur
200. (Aber das soll um Gottes Willen nicht schon wieder als Kritik an der Mengenlehre oder an
Hessenbergs Überabzählbarkeitsbeweis aufgefasst werden.)
Man findet die Texte in leicht redigierter Fassung unter der Adresse:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/