Eulerpfad

Projekt Graphentheorie
Eulerpfad
Dorothee Martin, Anjali Magin, Verena Möhler, Eva Muszar
Was ist ein Eulerpfad?
• Ein Eulerpfad ist ein Weg durch einen Graphen, der
jede Kante genau einmal durchläuft.
Ein bekanntes Beispiel hierfür:
Das Haus des Nikolaus
• Wenn die Anfangs- und Endknoten eines Eulerpfades
identisch sind, heißt er Eulerkreis.
In welchen Graphen gibt es
Eulerpfade/Eulerkreise?
Algorithmus: Wie findet man einen Eulerpfad?
1. Überprüfe, ob in dem ausgewählten Graphen ein Eulerpfad
oder ein Eulerkreis existiert.
Ist dies nicht der Fall, breche an dieser Stelle ab.
2. Unterteile den
Graphen in mehrere
Zyklen, so dass alle
Kanten des Graphen
verwendet werden.
Schritt 3
Schritt 2
3. Wähle wie folgt einen Knoten in einem Zyklus aus: Existiert
ein Eulerkreis, wähle einen beliebigen Knoten; existiert ein
Eulerpfad, wähle einen der Knoten mit ungeradem Grad.
Begriffserklärungen:
Ein Graph besteht aus Knoten sowie Kanten, die die
Knoten verbinden.
Hat der Graph genau zwei Knoten mit ungeradem
Grad, gibt es einen Eulerpfad, aber keinen Eulerkreis.
Zwei Knoten sind benachbart, wenn sie durch eine Kante
verbunden sind.
 Die beiden Knoten mit ungeradem Grad müssen
Anfangs- und Endknoten sein, denn alle anderen Knoten
müssen begangen und verlassen werden, dazu muss der
Grad gerade sein, sonst landet man in einer Sackgasse.
Der Grad eines Knoten gibt an, wie viele Kanten an diesen
angrenzen.
Einen Eulerkreis gibt es, wenn alle Knoten einen
geraden Grad haben.
Ein Algorithmus ist eine systematische Anweisung, um eine
Fragestellung definitiv zu beantworten.
Ein Weg ist eine Folge von Knoten über Kanten in einem
Graphen.
Ein Zyklus ist ein Weg, bei dem Anfangs- und Endknoten
identisch sind und sonst keine Knoten und Kanten mehrfach
verwendet werden.
4. Gehe zu einem benachbarten
Knoten desselben Zyklus und
markiere die begangene
Kante.
Schritt 4
5. Wiederhole den vorherigen Schritt so lange,
a) bis du zu einem Knoten kommst, der auch in einem
anderen Zyklus, in dem noch keine Kante begangen wurde,
verwendet wird. Wähle diesen Zyklus als den in Schritt 6 zu
bearbeitenden.
b) bis alle Kanten des Zyklus begangen sind. Wähle nun
einen beliebigen an den eben erreichten Knoten
angrenzenden Zyklus als den in Schritt 6 zu bearbeitenden.
6. Gehe nun über eine noch nicht
markierte Kante zu einem
benachbarten Knoten im neuen
Zyklus und markiere wiederum
die dabei begangene Kante.
Schritt 6
7. Wiederhole Schritt 5 und 6 bis
du bei einem Knoten bist, dessen
Kanten schon alle verwendet
wurden.
Fertig!