Eintageskurs Lineare Algebra 1 - Wintersemester

Wintersemester 2008/2009
Eintageskurs Lineare Algebra 1
Garching, 12.02.2009
Konrad Waldherr
Technische Universität München
Technische Universität München
Überblick
• Kein neuer Stoff, Keine Voraussetzung für die Klausur
• Keine vollständige Wiederholung der Vorlesung
• Wiederholung einiger Vorlesungsschwerpunkte:
•
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•
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•
•
•
•
Mengentheoretische Grundlagen
Relationen (Ordnungsrelation, Äquivalenzrelation, Äquivalenzklassen)
Funktionen (injektiv, surjektiv, bijektiv)
Algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper, Polynome)
Zahlsysteme (Vollständige Induktion, Äquivalenzklassen)
Vektorräume, Unterräume (Schnitt, Summe)
Lineare (Un-)Abhängigkerit, Erzeugendensysteme, Basis, Dimension
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Abbildungen, Dimensionsformel
• Integrierte Übungen zum Selberrechnen
• Diskussion der Lösungen und Lösungsansätze
• Bei Interesse: Kurze Probeklausur (MC-Aufgaben)
• Sponsered by
• Bitte an der Umfrage teilnehmen
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Symbole und Logische Operatoren
• Quantoren:
•
•
∀: Für alle
∃: Es gibt
• Logische Operatoren:
•
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•
•
•
¬; nicht
∧: und
∨: oder
=⇒: daraus folgt
⇐⇒: genau dann wenn
• Wichtige Regeln:
•
•
•
•
•
•
•
(A =⇒ B) ⇐⇒ (¬A ∨ B)
(A ⇐⇒ B) ⇐⇒ ((A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A))
(¬(A ∧ B)) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B)
(¬(A ∨ B)) ⇐⇒ (¬A ∧ ¬B)
¬(A =⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ ¬B)
(¬(∃n ∈ M : A)) ⇐⇒ (∀n ∈ M : ¬A)
(¬(∀n ∈ M : A)) ⇐⇒ (∃n ∈ M : ¬A)
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Axiomatische Herleitung der Mengenlehre
• Extensionalitätsaxiom
• Aussonderungsaxiom
• Vereinigungsaxiom
• Zweiermengenaxiom
• Potenzmengenaxiom
• Unendlichkeitsaxiom
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Mengenlehre
• Teilmenge: A ⊂ B :⇐⇒ (∀ x : ( x ∈ A =⇒ x ∈ B))
• Gleichheit von Mengen: A = B :⇐⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
• Schnitt von Mengen: x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B
• Vereinigung von Mengen: x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
• Potenzmenge (”Menge aller Teilmengen”): P( A) := { X | X ⊂ A}
• Für endliches A gilt: |P( A)| = 2| A|
• Geordnete Paare: ( x, y) := {{ x }, { x, y}}
•
•
Wichtige Eigenschaft: ( a, b) = ( a0 , b0 ) ⇐⇒ a = a0 ∧ b = b0
Mengenprodukt: A × B := {( a, b)| a ∈ A und b ∈ B}
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Abbildungen
Abbildungen
Es seien A, B Mengen.
Eine Abbildung f : A −→ B ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ A genau ein y ∈ B
zuordnet. Man schreibt dann y = f ( x ).
• Eine Abbildung f : A → B heißt
injektiv, falls ∀ x, y ∈ A : ( f ( x ) = f (y) =⇒ x = y)
surjektiv, falls ∀y ∈ B∃ x ∈ A : f ( x ) = y
• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist
• Bild und Urbild
• Für X ⊂ A heißt f ( X ) : = { f ( x )| x ∈ X } ⊂ B das Bild von X unter der
Abbildung f .
• Für Y ⊂ B heißt f −1 (Y ) : = { x ∈ A | f ( x ) ∈ Y } ⊂ A das Urbild von Y unter
der Abbildung f .
• Ist f : A → B bijektiv, dann heißt f −1 : B → A, f ( x ) = y 7→ x die
Umkehrabbildung von f .
• Namenskonflikt mit f −1 ? f −1 (Y ) bezeichnet
• das Urbild von Y unter der Abbildung f ,
• das Bild von Y unter der Abbildung f −1 .
•
•
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Relationen
Relationen
Es sei A eine Menge.
Eine Teilmenge R ⊂ A × A heißt Relation auf A.
Schreibweise: ( x, y) ∈ R oder xRy.
• Eine Relation R ⊂ A × A heißt
•
•
•
•
•
•
reflexiv, falls ∀ a ∈ A : aRa,
transitiv, falls ∀ a, b, c ∈ A : ( aRb und bRc =⇒ aRc),
symmetrisch, falls ∀ a, b ∈ A : ( aRb =⇒ bRa),
antisymmetrisch, falls ∀ a, b ∈ A : ( aRb und bRa =⇒ a = b),
Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist,
Ordnungsrelation, falls R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
• Es sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf A.
•
•
•
Für x ∈ A heißt [ x ]∼ := {y ∈ A| x ∼ y} die Äquivalenzklasse von x.
Insbesondere gilt [ x ]∼ ⊂ A und x ∈ [ x ]∼ .
Die Menge A/ ∼:= {[ x ]∼ | x ∈ A} heißt Faktormenge oder
Quotientenmenge von A nach ∼.
Für C ∈ A/∼ heißt jedes c ∈ C ein Vertreter der Klasse C.
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Relationen II
• Eine Abbildung auf A/ ∼, die jeweils durch Vertreter der Äquivalenzklassen
gegeben ist, heißt wohldefiniert, falls die Vorschrift unabhängig von der Wahl des
Vertreters ist.
Beispiel: Zu f : A → B wird durch ∼ eine Äquivalenzrelation auf A definiert
vermöge x ∼ y :⇐⇒ f ( x ) = f (y).
Die Abbildung f ∗ : A/ ∼→ f ( A), [ x ]∼ → f ( x ) ist durch Vertreter der jeweiligen
Äquivalenzklassen gegeben. Die Abbildung f ∗ ist wohldefiniert.
• Ordnungsrelationen: Es sei eine Ordnungsrelation auf A.
•
•
•
•
( A, ) heißt geordnete Menge.
Die Relation heißt totale Ordnung, falls ∀ x, y ∈ A : x y oder y x.
Ein Element a ∈ A heißt größtes (kleinstes) Element, falls
∀ x ∈ A : x a ( x a ).
Ein Element a ∈ A heißt maximal (minimal), falls
∀ x ∈ A : x a =⇒ x = a( x a =⇒ x = a)
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Algebraische Strukturen
Gruppen
Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Abbildung (Produkt ·)
p : G × G → G, so dass folgende Eigenschaften gelten:
(AG) ∀ a, b, c ∈ G : ( a · b) · c = a · (b · c)
(NE) ∃e∈ G : ∀ a ∈ G : e · a = a
(IE) ∀ a ∈ G ∃ a0 ∈ G : a0 · a = e
Die Gruppe ( G, ·) heißt abelsch (kommutativ), falls gilt
(KG) ∀ a, b ∈ G : a · b = b · a
• In einer Gruppe sind neutrale und inverse Elemente eindeutig bestimmt.
• Das neutrale Element e ist auch rechtsneutral, das zu a inverse Element a0 auch
rechtsinvers.
• Es gilt ( a · b)−1 = b−1 · a−1 und a−1
−1
= a.
• Beispiele:
•
•
•
(Z, +),
(R \ {0}, ·),
G = {e} mit e · e = e.
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Algebraische Strukturen
• Die symmetrische Gruppe Sn : Es sei Nn := {1, 2, ..., n}. Dann ist
Sn := {π : Nn → Nn |π ist bijektiv }.
(Sn , ◦) ist eine (nichtabelsche) Gruppe. Übliche Schreibweise:
1
2
...
n
π (1) π (2) . . . π ( n )
Es gilt |Sn | = n!.
Untergruppe
Eine Teilmenge H ⊂ G einer Gruppe G heißt Untergruppe, falls gilt
i) e ∈ H,
ii) ∀ a, b ∈ H : a · b ∈ H,
iii) ∀ a ∈ H : a−1 ∈ H
Damit ist ( H, ·) selbst eine Gruppe.
• Es seien ( G, ·) und ( H, ◦) zwei Gruppen. Eine Abbildung φ : G → H heißt
Homomorphismus, falls für alle a, b ∈ G gilt:φ( a · b) = φ( a) ◦ φ(b).
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Algebraische Strukturen
Ringe
Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Abbildungen
• s : R × R→ R (Summe, +),
• p : R × R→ R (Produkt, ·),
so dass folgende Eigenschaften gelten:
(Gr) ( R, +) ist eine abelsche Gruppe
(AG) ∀ a, b, c ∈ R : a · (b · c) = ( a · b) · c
(1) ∃1 ∈ R : ∀ a ∈ R : 1 · a = a · 1 = a,
(DG) ∀ a, b, c ∈ R : a · (b + c) = a · b + a · c und ( a + b) · c = a · c + b · c.
Der Ring R heißt kommutativ, falls ∀ a, b ∈ R : a · b = b · a.
Für einen Ring R bezeichnet R∗ die Menge der bzgl · invertierbaren Elemente.
Körper
Ein Körper K ist ein kommutativer Ring (K, +, ·), für den gilt
0 6= 1
∀ a ∈ K \ {0}∃ a0 ∈ K : a0 · a = 1
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Algebraische Strukturen
• Eigenschaften von Ringen:
∀a ∈ R : 0 · a = 0 = a · 0
∀ a, b ∈ R : (− a) · b = a · (−b) = −( a · b)
• R heißt nullteilerfrei, falls ∀ a, b ∈ R : a · b = 0 =⇒ a = 0 oder b = 0
• Man sagt, a ”teilt” b, ( a|b), falls ∃c ∈ R : a · c = b
• Restklassenring: Es sei R ein Ring und a ∈ R fest
• Dann ist x ∼ y : ⇐⇒ a |( x − y ) eine Äquivalenzrelation.
• Schreibweise: x ≡ y mod a ⇐⇒ a |( x − y )
• Äquivalenzklassen: [ x ]∼ = { y ∈ R | x ∼ y } = { x + y · a | y ∈ R } = x + Ra
”Restklasse”
• Faktormenge: R/ ∼= {[ x ]∼ | x ∈ R } = { x + Ra | x ∈ R } = : R/ ( a )
”Restklassenring modulo a”
• Der Restklassenring ist ein kommutativer Ring vermöge
•
•
C1 + C2 := [ x + y]∼ = x + y + Ra,
C1 · C2 := [ x · y]∼ = x · y + Ra,
•
•
wobei x ∈ C1 , y ∈ C2 .
Wichtiges Beispiel: R = Z: Z/(m)
Schreibweise: [ x ] = x̄ = x + mZ ∈ Z/(m), ”Restklasse von x”.
Z/(m) ist Körper ⇐⇒ m ist eine Primzahl p (Schreibweise: F p := Z/( p)).
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Polynome
Es sei R ein kommutativer Ring.
• Ein Polynom mit Koeffizienten in R ist eine Folge ( a0 , a1 , a2 , ...), so dass
höchstens endlich viele ai 6= 0.
• Definiere R[ X ] := { a = ( a0 , a1 , a2 , . . . )| ai ∈ R}.
• Für Polynome a = ( a0 , a1 , a2 , ...), b = (b0 , b1 , b2 , ...) definiere
a + b := ( a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , ...),
i
a · b := (c0 , c1 , c2 , ...), wobei ci =
∑ a k bi − k .
k =0
Damit wird ( R[ X ], +, ·) ein kommutativer Ring, der sog. Polynomring.
• Mit X := (0, 1, 0, 0, ...) ∈ R[ X ] gilt: ( a0 , a1 , a2 , . . . ) = a0 X 0 + a1 X + a2 X 2 + . . .
• Für f ∈ R[ X ] heißt deg(f) := max{i ∈ N|ai 6= 0} der Grad von f .
n
n
i =0
i =0
• Für f = ∑ ai X i ∈ R[ X ] und c ∈ R heißt f (c) = ∑ ai ci Auswertung von f an der
Stelle c.
•
•
c heißt Nullstelle von f , falls f (c) = 0,
Die Abbildung R → R, c 7→ f (c) heißt Polynomfunktion.
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Polynome über Körpern
Es sei K ein Körper.
• Für f , g ∈ K [ X ] gilt deg(fg) = deg(f) + deg(g)
• Polynomdivision mit Rest: Zu f , g ∈ K [ X ] gibt es q, r ∈ K [ X ] mit f = g · q + r
und deg(r) < deg(q)
• Ein Polynom f ∈ K [ X ] \ {0} hat höchstens deg(f) viele Nullstellen.
• Der Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes nichtkonstante
Polynom eine Nullstelle in K hat.
• Ist K algebraisch abgeschlossen, so zerfällt jedes nichtkonstante Polynom
f ∈ K [ X ] in Linearfaktoren:
f ( X ) = α ( X − x1 ) · · · , ( X − x n )
• K[ X ] p ist der Raum der Polynome über K vom Grad ≤ p:
f ∈ K[ X ] p ⇐⇒ f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a p x p ,
ai ∈ K
Vorgriff zu Vektorräumen:
K[ X ] p ist ein p + 1-dimensionaler Unterraum von C ∞ (K)
Basis: {1, x, x2 , . . . , x p }
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Konstruktion der natürlichen Zahlen
• Konstruktion von N als induktive Menge (N induktiv:
0 := ∅ ∈ N , A ∈ N =⇒ A+ := A ∪ { A} ∈ N )
• Addition: a + 0 = a, a + b+ = ( a + b)+
• Multiplikation: a · 0 = 0, a · b+ = a · b + a
• Prinzip der vollständigen Induktion: Es sei A(n) eine Aussage mit freier
Variable n.
•
•
A(0) ist wahr,
∀n ∈ N : [A(n) =⇒ A(n+ )]
Dann gilt A(n) für alle n ∈ N.
• Prinzip der starken Induktion
•
•
∀n ∈ N : [A(k) gilt für alle k ∈ N mit k < n =⇒ A(n) gilt]
Dann gilt A(n) ∀n ∈ N
• N hat keine Gruppenstruktur
• Kürzungsregel: ∀ a, b, c ∈ N : ( a + c = b + c =⇒ a = b)
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Konstruktion von Zahlensystemen
• Konstruktion von Z:
•
•
•
∼ Äquivalenzrelation auf A := N × N : ( a, b) ∼ (c, d) :⇐⇒ a + d = b + c
Z := A/ ∼
Z ist nullteilerfreier, kommutativer Ring.
• Konstruktion von Q:
•
•
•
≈ Äquivalenzrelation auf B := Z × (Z \ {0}) : ( a, b) ≈ (c, d) :⇐⇒ ad = bc
Q := B/ ≈
Q ist Körper.
• Konstruktion von R:
•
•
•
•
M := {( an )n∈N | an ∈ Q, ( an ) ist Cauchy-Folge }
' Äquivalenzrelation auf M: ( an ) ' (bn ) :⇐⇒ lim( an − bn ) = 0
R := M/ '
R ist vollständiger Körper.
• Konstruktion von C:
•
•
C : = R[ X ] / ( X 2 + 1)
C ist vollständiger, algebraisch abgeschlossener Körper.
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Lineare Gleichungssysteme
• Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System der Form
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
• Ein LGS lässt sich kompakt schreiben als Ax = b mit
a11
 .
A =  ..
am1

...
..
.
...

a1n
.. 
. ,
amn

x1
 . 
x =  ..  ,
xn


b1
 . 
b =  ..  .
bm

• Ist A = (a1 |a2 | . . . |an ), so beschreibt Ax eine Linearkombination der Spalten von
A:
Ax = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an
• Die Lösung eines LGS stellt also die rechte Seite b als Linearkombination der
Spalten von A dar. (b ∈< {a1 , . . . , an } >?)
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Lineare Gleichungssysteme
• Lösung eines LGS mit dem Gauß-Algorithmus: Überführe die erweiterte
Koeffizientenmatrix ( A|b) durch elementare Zeilenumformungen in
Zeilenstufenform (ZSF). Elementare Zeilenumformungen umfassen
•
•
•
das Vertauschen zweier Zeilen,
das Multiplizieren einer Zeile mit einem Vielfachen λ ∈ K \ {0}
Addieren des Vielfachen einer Zeile auf eine andere Zeile.
• Matrix in ZSF:
Pivotspalten: j1 = 2, j2 = 3, j3 = 5, j4 = 6
Rang: r = rk(A) = 4
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Lineare Gleichungssysteme
• Ein LGS Ax = b ist genau dann lösbar, falls rk(A) = rk(A|b).
• Ein LGS Ax = b ist genau dann lösbar, falls b im Spaltenraum von A liegt.
• Das LGS Ax = b hat
•
•
•
keine Lösung, falls rk(A) < rk(A|b)
genau eine Lösung, falls rk(A) = rk(A|b) = n
mehr als eine Lösung, falls rk(A) = rk(A|b) < n (n − r freie Parameter)
• Das LGS Ax = 0 heißt homogenes System. Die Lösungsmenge ist ein
Unterraum des Kn .
• Die Lösung von Ax = b ist gegeben durch x0 + U, wobei x0 eine spezielle Lösung
von Ax = b und U die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems
ist.
• Die von Null verschiedenen Zeilen der ZSF sind linear unabhängig.
• Durch elementare Zeilenumformungen bleibt der von den Zeilen aufgespannte
Raum unverändert.
=⇒ ZSF nützlich für Basisbestimmung, Basisergänzung,... der Zeilenvektoren.
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Vektorräume
Vektorraum
Es sei V eine Menge, K ein Körper. Ferner seien + : V × V → V und · : K × V → V
Abbildungen. V heißt K-Vektorraum, falls folgende Eigenschaften gelten:
• (V, +) ist abelsche Gruppe,
• ∀λ, µ ∈ K, v ∈ V : (λµ) · v = λ · (µ · v),
• ∀λ, µ ∈ K, v ∈ V : (λ + µ) · v = λ · v + µ · v,
• ∀λ ∈ K, v, w ∈ V : λ · (v + w) = λ · v + λ · w,
• ∀v ∈ V : 1 · v = v.
Ein Element v ∈ V heißt Vektor.
Unterraum
Es sei V ein K-Vektorraum und U ⊂ V. U heißt Unterraum von V, falls
• U 6= ∅, (insbesondere 0 ∈ U)
• ∀v, w ∈ U : v + w ∈ U,
• ∀v ∈ U, λ ∈ K : λ · v ∈ U.
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Unterräume
Es seien V ein K-Vektorraum und U, W ⊂ V Unterräume. Dann sind auch
• U∩W
• U + W := {u + w|u ∈ U, w ∈ W }
Unterräume von V. Dagegen ist U ∪ W i.A. kein Unterraum. Es gilt
• U ∪ W ist Unterraum ⇐⇒ (U ⊂ W oder W ⊂ U)
Erzeugnis, Linearkombination
Es seien V ein K-Vektorraum und S ⊂ V. Dann heißt
< S >:= {v ∈ V |∃m ∈ N, v1 , . . . , vm ∈ S, α1 , . . . αm ∈ K : v =
m
∑ αi · vi }
i =1
das Erzeugnis von S.
< S > ist ein Unterraum, der kleinste Unterraum, der S umfasst.
m
Der Ausdruck ∑ αi · vi heißt Linearkombination.
i =1
Ist U =< S >, so ist S ein Erzeugendensystem von U.
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Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
Lineare Unabhängigkeit
Es sei V ein K-Vektorraum. Die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V heißen linear unabhängig,
falls
∀ λ1 , . . . , λ n ∈ K :
n
∑ λi vi = 0 =⇒ λ1 = · · · = λn = 0.
i =1
Andernfalls heißen sie linear abhängig.
Allgemein heißt eine Menge S ⊂ V linear unabhängig, falls jede endliche Teilmenge
von S linear unabhängig ist.
Basis und Dimension
S heißt Basis eines Vektorraums V, falls Folgendes gilt:
• V =< S >,
• S ist linear unabhängig.
Ist S eine endliche Basis von V, so heißt dim(V) := |S| die Dimension von V.
• Ist B eine Basis von V, so lässt sich jeder Vektor v ∈ V auf genau eine Weise als
Linearkombination von Vektoren aus B darstellen.
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Lineare Abbildungen
Lineare Abbildungen
Es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V → W heißt linear, falls
folgende Eigenschaften gelten:
• ∀u, v ∈ V : f (u + v) = f (u) + f (v),
• ∀v ∈ V, λ ∈ K : f (λv) = λ f (v).
• Für eine lineare Abbildung f : V → W ist
•
•
Kern(f) := {v ∈ V : f(v) = 0} der Kern und
Bild(f) := {f(v) ∈ W : v ∈ V} das Bild.
• Kern(f) ⊂ V und Bild(f) ⊂ W sind jeweils Unterräume und es gilt:
•
•
dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = dim(V)
f ist injektiv ⇐⇒ Kern(f) = {0}
• Eine lineare Abbildung f ist durch ihr Wirken auf eine Basis eindeutig bestimmt.
• Eine lineare Abbildung f : V → V (sog. Endomorphismus) ist genau dann
injektiv, wenn sie surjektiv ist.
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•
Danke für die Aufmerksamkeit!
•
Viel Erfolg in der Klausur!
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