3 Lineare Gleichungen, Ungleichungen 4 Bruchterme - Beck-Shop

Inhalt
1 Algebra-Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Termumformungen: Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Termumformungen: Ausmultiplizieren, binomische Formeln . . . . . . . . . . . . Abschlusstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6
8
10
2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
12
16
22
2.1 Was ist eine Funktion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abschlusstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Lineare Gleichungen, Ungleichungen
und Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
24
26
28
32
33
34
38
42
44
45
46
48
52
54
56
6.1 Ebene Figuren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Räumliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abschlusstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
58
61
64
3.1
3.2
3.3
Gleichungen und Ungleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichungssysteme – grafische Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichungssysteme – rechnerische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschlusstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4Bruchterme, Bruchgleichungen
und gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
Bruchterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gebrochen rationale Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschlusstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
Zentrische Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ähnliche Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ähnlichkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschlusstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Flächen- und Rauminhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
7 Wahrscheinlichkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Laplace-Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Mehrstufige Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abschlusstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
66
69
72
8 Wurzeln, quadratische Gleichungen und Funktionen. . . . . . . . . . .
73
74
76
78
80
82
86
87
88
90
94
99
104
109
112
117
8.1 Wurzeln und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Quadratische Gleichungen ohne Lösungsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Quadratische Gleichungen mit Lösungsformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Quadratische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschlusstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
5
6
7
8
Algebra-Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme. . . . . . . . . . .
Bruchterme, Bruchgleichungen und gebrochen rationale Funktionen . . . . . .
Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen- und Rauminhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wurzeln, quadratische Gleichungen und Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verzeichnis der Zeichen und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Stichwortfinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
H Dieses Sternchen markiert Übungen und Regeln, die etwas anspruchsvoller sind oder
nicht überall verlangt werden. Wenn du ganz sicher bist, dass du sie nicht brauchst,
kannst du sie überspringen. Ansonsten gilt: Stell dich der Herausforderung!
4
3.3 Gleichungssysteme – rechnerische Lösung
Alles klar?!
Textaufgaben – so gehst du vor
1. L ege fest, was du mit x und y (oder anderen Variablen) bezeichnest.
2. S
telle ein Gleichungssystem auf.
3. L öse das Gleichungssystem mit dem Verfahren, das dir am einfachsten erscheint.
4. M
ache eine Probe.
5. G
ib eine Textantwort.
Beispiel:Fünf Flaschen Apfelsaft und eine Flasche Kirschsaft kosten zusammen 13 €.
Drei Flaschen Apfelsaft und zwei Flaschen Kirschsaft kosten zusammen 12 €.
Was kostet jeweils eine Flasche?
Festlegung: Eine Flasche Apfelsaft kostet x €, eine Flasche Kirschsaft y €.
Gleichungs- (I)
5 x + y =13| ∙2
system:
(II)
3 x + 2 y =12
(I)
10 x + 2 y=26
(II)
3 x + 2 y=12
---------------------------------------------------
(I) – (II) 7x=14
x =2
in (I) 5 • 2 + y =13
y=13– 10 = 3
Probe: (I)
(II)
5 • 2 + 3 =13 (w)
3 • 2 + 2 • 3=12 (w)
Textantwort:Eine Flasche Apfelsaft kostet 2 €, eine Flasche Kirschsaft 3 €.
Übung 7
Löse die Aufgabe mit einem Gleichungssystem (auch wenn du sie
im Kopf lösen könntest).
a)Die Summe zweier Zahlen ist 9. Die größere minus die kleinere Zahl ergibt 11.
Die Zahlen heißen
und
.
b)In einer Klasse sind 25 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 5 größer als die Zahl der
Jungen.
Es sind
Mädchen und
Jungen.
c)Ein Rechteck hat den Umfang 12 cm. Verlängert man die längeren Seiten um die Hälfte,
beträgt der Umfang 16 cm.
Das Rechteck war am Anfang
cm lang und
cm breit.
Lösungen Seite 98
31
5
Ähnlichkeit
B'
C
�
�
A'
�
Z
�
A
�
B
�
C'
 A B C und  A' B' C' sind ähnliche Dreiecke.
45
5
ÄHNLICHKEIT
Abschlusstest
�
Aufgabe 1
STOPP!
rnkärtchen
Zuerst die Le ten!
ei
rb
ha
rc
du
(15 Minuten)
Wie breit ist der Fluss?
a = 20 m
b = 30 m
x
c = 44 m
a
Fluss
b
c
m breit.
Der Fluss ist
Punkte:
�
Aufgabe 2
von 5
Wahr oder falsch?
a)Alle gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreiecke sind zueinander ähnlich.
❏ wahr ❏ falsch
b) Alle Kreise sind zueinander ähnlich.
❏ wahr ❏ falsch
c) Alle Rauten sind zueinander ähnlich.
❏ wahr ❏ falsch
d)Ein rechtwinkliges Dreieck mit einem
60°-Winkel ist ähnlich zu einem
rechtwinkligen Dreieck mit einem
30°-Winkel.
❏ wahr ❏ falsch
Punkte:
von 4
Gesamtpunktzahl: von 9 Punkten
9 Punkte:
Bravo! Du kennst dich gut mit ähnlichen Figuren aus.
5–8 Punkte:Ist dir klar, was für Fehler du gemacht hast? Wenn nicht, dann schlage
beim entsprechenden Unterkapitel (Aufg. 1 ➞ Kap. 5.2; Aufg. 2 ➞
Kap. 5.3, 5.4) nach.
0–4 Punkte: Du solltest dieses Kapitel noch einmal durcharbeiten.
56
Lösungen Seite 108
4 Bruchterme, Bruchgleichungen und gebrochen rationale Funktionen
Übung 3
y
(Seite 43)
3
Zeichnung: S  (0,8 | 0,8)
2
1
S
Gg
x
–4
–3
–2
–1
0
Gf
1
2
3
4
–1
–2
–3
5 ​ ⇒ S (0,8 | ​ __
5 ​)
2  ​  = ​ _____
1    
1  ​  = ​ __
​ ⇒ 4 – 2 x = 3 x ⇒ 5 x = 4 ⇒ x = 0,8 ⇒ y = ​ ____
​ ___
3 x 2 – x
1,2 6
6
Übung 4
a)
(Seite 43)
y
5
x
0,25
y
6
1
2
3
6
4
1,5 0,75 0,5 0,25
3
2
1,5
  
​ 
b)y = ​ ____
x
c)
1
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Abschlusstest
Aufgabe 1
(Seite 44)
a + 1  
a + 2  
1   ​  
a) _____
​  1   ​  
+ 1 = ​ _____
+ ​ _____
​ = ​ _____
​
a + 1
a + 1 a + 1 a + 1
2 a + 2 b
a + b
d   
_____
b)​  a + b
   
​  : ​ ________
   
  _____
​ = ​ 
   
​  • ​________
  d   ​  
= ​ ___
​
d
2 (a + b) 2 c
c
c
Aufgabe 2
(Seite 44)
D =  \ {1; 2} (1 Punkt);
HN = 3 (x – 1) (x – 2) (1 Punkt);
L = {10}
Aufgabe 3
a: G3
b: G5
(Seite 44)
c: G1
103