A Lineare Algebra II - TU Darmstadt/Mathematik

A
Lineare Algebra II
für Physiker
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
SoSe 2004
Prof. Dr. K. Keimel
Birgit Petri
14. Mai 2004
3.Übungsblatt - Lösungen
Gruppenübungen
G1 (a) orthogonal
unitär
symmetrisch
schiefsymmetrisch
hermitesch
schiefhermitesch
normal
(b) Die Matrix B
1
(c) Z.B. A =
0
C
C, D
A, D, F , H
J
A, F , G
E, J
A, B, C, D, E, F , G, J
aus a) ist ein Beispiel.
0
0 1
und B =
.
0
−1 0
G2 a) Nach 6.4.2 kann man im R2 Spiegelungen und Drehungen durch das Vorzeichen der Determinante unterscheiden: det ϕ = 1 ⇔ Drehung, det ϕ = −1 ⇔
Spiegelung. Nach Determinantenmultiplikationssatz ist die Determinante der
Hintereinanderausführung von k Spiegelungen (−1)k , also handelt es sich um
eine Drehung, wenn k gerade ist und um eine Spiegelung sonst.
b) Wir wissen nach a), daß wa sich um eine Drehung handelt und müssen daher
nur das Bild eines Vektors, z.B. e1 berechnen. Das Bild von e1 ist e2 , also
handelt es sich um eine Drehung um 90o .
c) Aus b) leiten wir die Vermutung ab, daß dazu der Winkel zwischen den Geraden
γ
sein muß. Nach 6.4.2 wird die Spiegelung an einer Geraden g1 , die mit
2
der x-Achse den (positiven) Winkel α2 einschließt, durch die Matrix Sg1 =
cos α sin α
beschrieben. Schließt nun die zweite Spiegelgeraden g2 mit
sin α − cos α
cos(α
+
γ)
sin(α
+
γ)
γ
der x-Achse den Winkel α2 + 2 ein, so ist Sg2 =
.
sin(α + γ) − cos(α + γ)
cos γ sin γ
Es ist wie gewünscht Sg2 ◦ Sg1 =
. Da man schon weiß, daß
sin γ − cos γ
man eine Drehung bekommt, müßte man eigentlich nur einen der Koeffizienten
berechnen, z.B. den links oben: cos(α+γ) cos α+sin(α+γ) sin α = (cos α cos γ−
sin α sin γ) cos α+(sin α cos γ+cos α sin γ) sin α = (cos2 α+sin2 α) cos γ = cos γ.
G3 a) Für eine reelle Matrix n × n-Matrix
P hat das charakteristische Polynom reelle
Koeffizienten, hat also die Gestalt ni=0 ai xi mit ai ∈ R. Ein komplexer Eigenwert
eine Nullstelle des charakteristischen Polymoms; für ihn gilt also
Pn λ ist
i
i=0 ai λ = 0. Bildet man die komplexe Konjugation von beiden Seiten dieser
Gleichung, erhält man (wegen a + b = a+b und ab = ab) gerade die gewünschte
P
i
Aussage ni=0 ai λ = 0, denn offenbar ist ai = ai .
b) Seien A, B ähnliche n×n-Matrizen. Dann gilt B = S −1 AS für ein S ∈ GLn (K).
Daher ist
det B = det(S −1 ) · det A · det S = (det S)−1 · det A · det S = det A
und
trB = tr S −1 (AS) = tr (AS)S −1 = tr A(SS −1 ) = trA.
Wegen B − tE = S −1 (A − tE)S gilt für die charakteristischen Polynome
PB (t) = det(B − tE) = det S −1 (A − tE)S = det(A − tE) = PA (t).
(Genaugenommen bräuchte man nur diese letzte Aussage zu zeigen, da daraus
und aus der Proposition in 6.2.7 schon folgt, daß auch Determinante und Spur
der Matrizen gleich sind.)
G4 a) Man wählt zunächst eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert λ0 und ergänzt
diese zueiner Basis des Cn . Dann hat B := S −1 AS die gewünschte Gestalt
D ∗
, wenn S die Matrix ist, deren Spalten die Vektoren der bestimmten
0 R
Basis sind und B ist offenbar zu A ähnlich.
b) Nach G3b) haben ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom,
also PA = PB = det(D − λEt ) det(R − λEn−t ) = (λ0 − λ)t det(R − λEn−t ) (nach
D12), woraus folgt, daß die algebraische Vielfachheit von λ0 mindestens t ist.