universit¨at duisburg-essen
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UNIVERSITÄT DUISBURG-ESSEN Mathematik 3 für Informatiker Dr. Flavius Guias Klausur 19.09.07 Jede Aufgabe wird mit 10 Punkte bewertet, wobei 5 aus 6 Aufgaben benotet werden. Mit 25 Punkten ist die Klausur bestanden. 1. Bei der Produktion von hochempfindlichen Bauteilen sei die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0.5. Es werden 20 Teile produziert. Vergleichen sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A :=”mindestens 10 Bauteile sind defekt” und B :=”höchstens 10 Bauteile sind defekt”. Berechnen Sie anschließend diese Wahrscheinlichkeiten, zunächst durch Angabe einer Formel und danach des numerischen Werts (als rationale Zahl). 20 Hinweis: Es ist = 184756 und 220 = 1048576. 10 2. Der Zustand eines Bauteils (defekt oder intakt) lasse sich mithilfe einer einfachen Messung nicht exakt bestimmen: -wenn ein Defekt vorliegt, zeige die Messung nur mit Wahrscheinlichkeit 90% ein Defekt an. -wenn kein Defekt vorliegt, wird mit Wahrscheinlichkeit 5% trotzdem ein Defekt angezeigt. -die Wahrscheinlichkeit eines Defekts sei 1%. (i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Defekt vorliegt, wenn bei einer einfachen Messung ein Defekt angezeigt wird? (ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Anzeige “kein Defekt” trotzdem ein Defekt vorliegt? Hinweis: Bei der numerischen Auswertung genügt es, die Werte durch passende rationale Zahlen zu approximieren. 3. Eine Firma will Rechenzeit bei einem Rechenzentrum kaufen. Der (zufällige) wöchentliche Bedarf X (in Stunden) besitze die R-Dichte f (x) = c(x − 2)(3 − x)2 , für 2 < x < 3, sonst = 0. (i) Bestimmen Sie c und die Verteilungsfunktion F X indem Sie z.B. durch eine passende Transformation eine bekannte Verteilung erzeugen. (ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden weniger als 2.5 Stunden Rechenzeit benötigt? (iii) Wie viel beträgt die erwartete Rechenzeit? 4. Die Lebensdauer X (in Jahren) einer Glühbirne auf eine Flur sei Exp(0.5)-verteilt. Es ist auch eine Ersatzglühbirne vorhanden (von einem anderen Typ), deren Lebensdauer Y eine Exp(1)-Verteilung besitzt. Diese wird eingesetzt sobald die erste defekt ist. Die zwei Lebensdauern seien stochastisch unabhängig. (i) Geben Sie die R-Dichte der gemeinsamen Verteilung von X und Y an. (ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach insgesamt 4 Jahren auch die Ersatzglühbirne bereits defekt ist. 5. Die Zufallsvariablen X und Y seien stochastisch unabhängig und beide N (0, 1)verteilt. Man bestimme für die ZV U := X + Y und V := X − Y Erwartungswert, Varianz, Kovarianz und die R-Dichte deren gemeinsamen Verteilung. Sind U, V auch stochastisch unabhängig? 6. Die Rechenaufträge an einem Server werden durch deren Typ T und deren Dauer D gekennzeichnet. T sei B(2,0.5)-verteilt und für jeden Wert T = t besitze die Rechen1 dauer D eine Geo+ -Verteilung. Man bestimme ED und VarD. t+2 Hinweis: Bei der B(n, p)-Verteilung ist der Erwartungswert gleich np und die Varianz np(1 − p), während bei der Geo+ (p)-Verteilung Erwartungswert und Varianz durch 1/p bzw. (1 − p)/p2 gegeben sind.
