5. Übungsblatt zur Vorlesung Visualisierung von Graphen
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Lehrstuhl für Informatik I Effiziente Algorithmen und wissensbasierte Systeme Universität Würzburg Würzburg, 22. Mai 2014 Prof. Dr. Alexander Wolff Dipl.-Inform. Philipp Kindermann 5. Übungsblatt zur Vorlesung Visualisierung von Graphen (Sommersemester 2014) Aufgabe 1 – Optimale einseitige Kreuzungsminimierung Wir betrachten die einseitige Kreuzungsminimierung, d.h. gegeben ist ein bipartiter Graph G = (L1 ∪L2 ,E) mit einer Permutation π1 von L1 und gesucht ist eine Permutation π2 von L2 , die die Anzahl der Kreuzungen minimiert. a) Zeigen Sie: Existiert eine Permutation πOPT von L2 , bei der sich keine Kanten schneiden, so liefern Schwerpunkt- und Medianheuristik ebenfalls jeweils Permutationen ohne Kreuzungen. 6 Punkte b) Findet man durch iteriertes Anwenden der Heuristiken wie in der Vorlesung also stets eine kreuzungsfreie Zeichnung eines Graphen (mit ggf. mehr als zwei Lagen), falls der Graph aufwärtsplanar ist? Begründen Sie Ihre Antwort. 2 Punkte Aufgabe 2 – Lagenminimierung bei Binärbäumen Finden Sie einen möglichst guten – d.h. lagensparenden – Algorithmus für die Lagenzuordnung bei gerichteten Binärbäumen, wobei jede Lage bis zu B Knoten enthalten darf. Ihr Algorithmus sollte besser sein als der (2 − 1/B)-Approximationsalgorithmus aus der Vorlesung. Zeigen Sie, wenn möglich, dass Ihr Algorithmus nur γ · OPT Lagen verwendet, wobei γ ein möglichst kleiner Wert mit 1 ≤ γ < 2 − 1/B ist. Hinweis: Das Problem ist effizient lösbar, d.h. γ = 1 ist möglich! 7 Punkte Aufgabe 3 – Zeichnungen von Bäumen Sei B ∈ N vorgegeben. Nutzen Sie die Ergebnisse aus der Vorlesung und den vorherigen Übungsaufgaben um einen Zeichenalgorithmus für gerichtete Binärbäume G = (V,E) mit Wurzel r zu entwickeln (alle Kanten sind von r weg gerichtet). Die Ausgabezeichnung soll möglichst wenige Lagen verwenden, wobei auf jeder Lage höchstens B Knoten liegen dürfen. Außerdem sollen alle Kanten nach oben gerichtet sein und Kreuzungen von Kanten sind verboten. Argumentieren Sie, dass Ihr Algorithmus die Anforderungen erfüllt. 5 Punkte Aufgabe 4 – Ablaufplanung Geben Sie eine unendliche Klasse von Beispielen an, auf der der in der Vorlesung vorgestellte Faktor-(2−1/B)-Approximationsalgorithmus für das Ablaufplanungsproblem Ablaufpläne der Länge (2−1/B)·OPT liefert. Es genügt, wenn Sie einen speziellen Wert von B betrachten. 5 Sonderpunkte Abgabe der Bearbeitungen am Donnerstag, 5. Juni 2014, in der Vorlesung. Die Besprechung erfolgt in der Übung am Montag, 09. Juni 2014.
