Klausur Geoinformation I – Fragen zur Vorbereitung

Prof. Dr. Lutz Plümer
Dr. Gerhard Gröger
Name:
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Matrikel-Nr.:
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Klausur „Diskrete Mathematik“, SS 04
1. Termin, 4. 8. 2004
11 – 12:30 Uhr
1. (25 Punkte) Fügen Sie die Zahlen nacheinander in dieser Reihenfolge in einen anfangs
leeren AVL-Baum ein:
71
33
83
78
80
18
38
10
7
23
6
73
110
Stellen Sie dabei durch Anwendung der in der Vorlesung eingeführten Operationen sicher,
dass nach jedem Einfügen wieder ein AVL-Baum vorliegt. Es reicht aus, wenn Sie neben
dem Endergebnis den Baum nach der vollständigen Ausführung jeder Operation
skizzieren. Benennen Sie die Operationen.
2. (25 Punkte) Zur effizienten Lösung des Punkt-in-Polygon-Problems wurde in der
Vorlesung die Trapezkarte mit der zugehörigen Suchstruktur (gerichteter azyklischer
Graph) vorgestellt. Konstruieren Sie die Trapezkarte und die zugehörige Suchstruktur für
die Punkte und Segmente in der Abbildung. Die Reihenfolge, in der die Punkte und
Segmente eingefügt werden sollen, ist p4, p3, b, p1, p2, c, p5, a
Es reicht aus, wenn Sie die Trapezkarte und die zugehörige Suchstruktur jeweils nach dem
Einfügen der Segmente b, c und a angeben. Ein umschließendes Rechteck braucht nicht
berücksichtigt zu werden.
p3
p5
b
a
p4
p1
c
p2
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3. (15 Punkte) Gegeben sei die folgende Adjazenzmatrix für die gerichteten und mit Kosten
versehenen Kanten in einem Graphen mit den Knoten A, B, C und D. Es führt z.B. eine
Kante mit Kosten 4 von A nach B, eine Kante mit Kosten 11 von A nach D, usw.
A
B
C
D
A
0
4
2
11
B

0
3

C
D

4
1
0


2
0
a) In der Vorlesung wurde der Algorithmus von Floyd mit einer Erweiterung, die neben
der Länge kürzester Wege auch die Knoten dieser Wege ermittelt, vorgestellt. Wenden
Sie diesen erweiterten Algorithmus von Floyd auf die obige Adjazenzmatrix an. Es
reicht aus, nur die beiden Ergebnismatrices – die mit den kürzesten Weglängen und
die mit den optimalen Wegpunkten – anzugeben.
b) Wenden Sie das in der Vorlesung vorgestellte Verfahren zur Ausgabe des kürzesten
Weges aus der Wegematrix auf die in a) ermittelte Wegematrix an, um die Folge der
Knoten des kürzesten Weges von Knoten A zu Knoten D zu erhalten.
4. (25 Punkte) Formulieren Sie einen Algorithmus in Pseudocode, der das 75%-Quantil der
Zahlen in einem Array ermittelt. Das das 75%-Quantil ist der Wert Q, für den 75% der
Zahlen im Array kleiner als Q und 25% größer als (oder gleich) Q sind. Ihre Formulierung
des Algorithmus soll möglichst präzise sein, kann jedoch umgangssprachlich und nicht
eng an eine Programmiersprache wie Java angelehnt sein. In dieser Aufgabe können Sie in
der Vorlesung vorgestellte Verfahren verwenden, ohne diese auszuprogrammieren. Sie
müssen nur angeben, wie diese Verfahren aufgerufen werden.
5. (25 Punkte) Der deutsche Wetterdienst betreibt 98 Wetterstationen in Deutschland. Aus
Kostengründen sollen davon 34 Stationen geschlossen werden. Das Kriterium bei dieser
Auswahl ist, dass die übrig bleibenden Stationen das Gebiet der Bundesrepublik möglichst
gleichmäßig abdecken sollen, d.h. die Abstände zwischen den Stationen sollen möglichst
groß sein.
a) Welches in der Vorlesung vorgestellte Konzept kann zur Lösung des Problems der
Auswahl der zu schließenden Stationen nach obigem Kriterium verwendet werden?
b) Formulieren Sie einen Algorithmus in Pseudocode, der die zu schließenden Wetterstationen nach dem oben genannten Kriterium ermittelt. Ihre Formulierung des
Algorithmus soll möglichst präzise sein, kann jedoch umgangssprachlich und nicht
eng an eine Programmiersprache wie Java angelehnt sein. In dieser Aufgabe können
Sie in der Vorlesung vorgestellte Verfahren verwenden, ohne diese auszuprogrammieren.
Gesamtpunktzahl: 115
Anmerkung: Diese Klausur dauert 90 Minuten. Wir gehen davon aus, dass Sie in diesen 90
Minuten 100 Punkte erzielen können. Der Aufgabenzettel enthält 5 Aufgaben mit 115
Punkten. Aus diesen Aufgaben können Sie die Teilmenge auswählen, die am besten zu Ihren
Kenntnissen passt. Lassen Sie sich also nicht von den Anforderungen des Aufgabenzettels
entmutigen, sondern beginnen Sie mit den Aufgaben, die Sie am besten lösen können. Der
Bewertungsschlüssel bezieht sich auf das Intervall von 0 bis 100 Punkte.
Viel Erfolg!
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