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1.8 17 Geometrische Grundbegriffe Scheitelwinkel Scheitelwinkel liegen am Winkelscheitel einander gegenüber. α=γ β=δ Scheitelwinkel sind gleich groß. Stufenwinkel Stufenwinkel liegen auf der gleichen Seite der Geraden, die die Parallelen schneidet, jedoch auf einer anderen Stufe. α1 = α3 α2 = α4 Stufenwinkel sind gleich groß. Wechselwinkel Wechselwinkel an Parallelen liegen dem Winkel auf einer anderen Stufe gegenüber. α1 = α4 α2 = α3 Wechselwinkel sind gleich groß. Nebenwinkel Nebenwinkel sind Nachbarwinkel am Schnittpunkt zweier Strahlen. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°. α+δ α+β β+γ γ +δ = 180° = 180° = 180° = 180° Lage der Winkelschenkel Winkel sind gleich groß, wenn ihre Winkelschenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen. 1⊥3 2⊥4 Außenwinkel – Innenwinkel Da und gilt: γ + δ = 180° α + β + γ = 180° δ=α+β ε=β+γ ϕ=α+γ In einem Dreieck ist ein Außenwinkel (d) gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. (a + b ) Tangentenviereck Im Tangentenviereck ist die Summe zweier Gegenseiten gleich der Summe der beiden anderen Gegenseiten. Der Inkreismittelpunkt des Tangentenvierecks ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. AB + CD = BC + AD M athematische Grundlagen Mathematische Grundlagen 24 Mathematische Grundlagen 1.13 Rechnerischer Abbund Tangensfunktion Firsthöhe tan α = Sinusfunktion Firsthöhe sin α = Grundmaß tan α = h b h s Firsthöhe Grundmaß = tan α s= s= cos α b 1 = s1 · cos α cos β = Grundmaß Sparrenlänge = cos α h sin α s1 b1 s1 = b = s · cos α Firsthöhe Sparrenlänge = sin α h tan α b s Grundmaß = Sparrenlänge · cos α h = s · sin α b1 cos α = Sparrenlänge cos α = Firsthöhe = Sparrenlänge · sin α h = b · tan α b= cos α = Sparrenlänge sin α = Firsthöhe = Grundmaß · tan α Cosinusfunktion Grundmaß b cos α b2 s2 b2 s2 = cos β b 2 = s2 · cos β Kervenverstichmaße am Obholz os = h cr 3 kv 2 ow h – or sin β b= h – or sin α os = kv3 · sin α b tk a α α a= os = ow · tan α os 1 t K = a · sin β or os = cos α kv kv t K = b · sin α kv2 sin α β l1 or kv1 = tan α α as kv1 = ow · cos α ow = kv1 cos α c= h sin α ow = or sin α s= h cos α s α aw α kv2 = or · tan α ow = kv2 = os · sin α as = senkrechter Abschnitt aw = waagerechter Abschnitt t k = Kerventiefe s = Senkel os = senkrechtes Obholz h = Sparrenhöhe ow = waagerechtes Obholz α = Dachneigungsor = rechtwinkliges Obholz winkel kv = Kervenverstichmaß β = 90° – α kv3 = os sin α kv3 = ow cos α as = s – aw · tan α os tan α ow = kv3 · cos α or = os · cos α aw = ll = as · sin α or = ow · sin α ll = (s – aw · tan α) · sin α kv3 = or sin α · cos α s – as tan α ll = ⎛ ⎝ cos α h – aw · tan α⎞ · sin α ⎠ Baukonstruktionen 95 Stirnversatz (ohne Zapfen) Baukonstruktionen 3.1.1 Zimmermannsmäßige Verbindungen F = Strebenkraft in N FH = Scherkraft auf die Vorholzfläche in N b = Balkenbreite in mm t V = Versatztiefe in mm FH = F · cos α lV = Vorholzlänge in mm FV = F · sin α τ = Scherspannung in N/mm2 α = Neigungswinkel der Strebe oder des Sparrens erf t V = erf lV = F zul F = 7,0 · t V · b 7,0 · b F · cos α vorh τ = b·τ min lV = 200 mm erf. = erforderlich zul. = zulässig Strebenneigungswinkel a ≤ 50° F · cos α b · lV erf t v ≈ erf lv ≈ vorh τ ≈ F · cos α (b + 2 · t) · τ F · cos α (b + 2 · t) · lv Fersenversatz (Rückversatz) erf lv ≈ F 5,6 · b F · cos α b·τ min lv = 200 mm Doppelter Versatz 2 α ≤h⎛ – ⎝ 3 120 4 ≤ F 7,0 · b erf t v ≈ h 6 zul F ≈ 7,0 · t v · b ohne Zapfen zul F ≈ 7,0 (t v · b + t · b 1) mit Zapfen t = Zapfentiefe t v = Versatztiefe b , b 1, t , t v in mm zul F ≈ 5,6 · t v · b zul F ≈ 2 erf t v1 ≈ 7,0 · b vorh τ ≈ F · cos α b · lv F 2 5,6 · b erf t v2 ≈ F · cos α b·τ lv · b · τ cos α Der kleinere Wert ist maßgebend. F erf lv1 ≈ ⎞ ⎠ h ≥ 60° Stirnversatz (mit Zapfen) Versatztiefe tV ≤ 50° < α < 60° min. = mindestens vorh. = vorhanden Vertikaler Anteil der Strebenkraft, der in das darunterliegende Mauerwerk abgeleitet wird. erf lv2 ≈ erf lv1 cos min lv1 = 200 mm zul F ≈ 7,0 · t v1 · b zul F ≈ 5,6 · t v2 · b vorh τ ≈ α 2 F · cos α b · lv1 t v2 > t v1 158 Baukonstruktionen 3.7.4 Wärmedämm-Verbund-Systeme (WDVS) DIN 55 699 Im Gegensatz zur zweischaligen Wand, die aus einer biegeweichen und einer biegesteifen Schale besteht, bezeichnet man mit WDVS eine Konstruktion, bei der auf einer einschaligen Wand ein Dämmstoff aufgeklebt und/ oder aufgedübelt wird, der aus ästhetischen und Regenschutzgründen mit einem dünnen Putz überzogen wird. Aus bauphysikalischen Gründen verwendete Dämmstoffe in Fassade und Dach 햲 Aufsparrendämmung: • Holzweichfaserplatten (WF) • PolyisocyanuraterIsolationsschaum (PIR) • Polyurethan-Hartschaum (PUR) 햳 Zwischensparrendämmung: • Mineralwolle (MW) Steinwolle Glaswolle • Holzweichfaserpatten (WF) • Cellulose • Baumwolle • Hanf 햶 Wanddämmung im Spritzbereich: • extrudiertes Pölystyrol (XPS) • Schaumglas (CG) 햷 Wanddämmung im Erdreich (Perimeterdämmung): • Schaumglas (CG) • extrudiertes Polystyrol (XPS) 햸 Dämmung unter Bodenplatte/Fundament: • Schaumglas-Platten (CG) • Schaumglas-Granulat 햴 Untersparrendämmung: • Holzweichfaserplatten (WF) 햵 Wanddämmung (Fassade): • Mineralwolle (MW) als Steinwolle als Glaswolle ⇒ stehende Fasern (Stoßfestigkeit) • Holzweichfaserplatten (WF) • expandiertes Polystyrol (EPS) Nachteile der überzogenen Dämmung 1. Je dicker die Dämmung ist, desto geringer werden die Minderungsraten des U⬘-Wertes. 2. Höhere Investitionskosten 3. Geringere Wohnfläche 4. Evtl. Probleme mit dem Grenzabstand 5. Missverhältnis zwischen Investitionskosten und Energie-Einsparung 6. Große Gefahr der Algenbildung aufgrund der geringen Wärmestromdichte 7. Große Brandlast und Gefahr der Bildung gesundheitsschädlicher Gase im Brandfall, je nach Dämmmaterial Bei der Dämmstoffdicke, bei der die Minderungsrate des Wärmedurchgangskoeffizienten U⬘ in den zweistelligen Bereich nach dem Komma fällt (200 m), ist die Dicke wirtschaftlich nicht mehr sionnvoll. 1 U⬘ = –– R 1 U = –– RT 162 Baukonstruktionen 3.7.6 Das Steildach Das Steildach als sogenanntes leichtes Bauteil (m’ < 100 kg/m2) ist besonders im Sommer und damit im sommerlichen Wärmeschutz großen Anforderungen ausgesetzt. Tagsüber: • große Hitze, Wärmestrom von außen nach innen durch die Dachkonstruktion, besonders durch die Dachflächenfenster • Wärmeeinstrahlwinkel fast senkrecht zur Dachfläche und damit sehr intensiv • geringe Wärmespeicherfähigkeit der Dachkonstruktion • sehr geringe Temperaturamplitudendämpfung (TAD) • sehr geringes Temperaturamplitudenverhältnis (TAV) • kaum eine Phasenverschiebung der Temperatur von außen und innen • Folge: unerträgliche Raulufttemperaturen Nachts: • Kaum Abkühlung im Raum, da durch die geringe Temperaturdifferenz zwischen außen und innen der Wärmestrom von innen nach außen nur sehr gering ist. Aufbau des Steildachs Steildach mit Ausparrendämmung 1. Konterlattung: Hinterlüftung der Dachhaut 2. Winddichtheitsebene: diffusionsoffen z.B. sd-Wert = 0,2 m 3. Aufsparrendämmung: z.B. Holzweichfaserplatten mit großer Rohdichte. Dadurch kleine Temperaturleitzahl a. Minimierung der Wärmebrücke OK Sparren 4. Holzschalung: Dadurch kann die Aufsparrendämmung vollflächig gelagert werden. 5. Sparren: Die Sparrenhöhe bestimmt das Maß der Zwischensparrendämmdicke. Die Sparrenhöhe bestimmt außerdem die Tragfähigkeit, denn diese geht mit der dritten Potenz in das Trägheitsmoment ein. 6. Zwischensparrendämmung: Mineralwolle oder Holzweich-Fasern. Gute Anpassung im Gefach. 7. Luftdichtheitsebene: Der sd-Wert sollte ca. 6-mal größer sein als der der Winddichtheitsebene. 8. Lattung 9. Verkleidung: Holz, Gipsplatten u.a. Aus Gründen der verbesserten Wärmespeicherfähigkeit wäre eine Untersparrendämmung innen sinnvoller und wirksamer als außen. Optimal wäre beides, wobei die Untersparrendämmung aus Wärmespeichergründen eine größere Rohdichte haben und dicker sein sollte als die äußere. Nach DIN 4108 Steildach mit Aufsparren- und Untersparrendämmung aus Holzweichfasern Untersparrendämmung innen Empfehlenswerte sd-Werte bei Dächern außen sd,e innen sd,i Alle Schichten oberhalb der Dämmschicht bis zur ersten belüfteten Luftschicht (auch bei Aufsparrendämmung) Alle Schichten unterhalb der Dämmschicht bis zur ersten belüfteten Luftschicht (auch bei Untersparrendämmung) ≤ 0,1 m ≥ 1,0 m ≤ 0,3 m ≥ 2,0 m ≤ 0,3 m sd,i ≥ 6 · sd,e Denkbar wäre innen auch eine feuchtadaptive Dampfbremse, die bei Feuchteeintrag (im Winter) ihren sd-Wert vergrößert und im Sommer diffusionsoffener wird, indem sie ihren sd-Wert verkleinert.
