Blatt 09.2: Variationsrechnung

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2017
Dozent: Ulrich Schollwöck
Übungen: Nils-Oliver Linden, Dennis Schimmel,
Andreas Swoboda
https://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_17/T1_theor_
mechanik/index.html
Blatt 09.2: Variationsrechnung
Ausgabe: Freitag, 16.06.16; Abgabe: Freitag, 23.06.16, 13:00
Hausaufgabe 1: Euler-Lagrange Gleichung [4]
Gegeben sei eine Lagrangefunktion L = L(t, q, q̇, q̈), also mit expliziter Abhängigkeit von der
zweiten Zeitableitung. Wir definieren die Wirkung
ˆ t1
dt L(t, q, q̇, q̈).
S=
t0
Leiten Sie die zugehörige Euler-Lagrange Gleichung her! Variieren Sie hierfür S, indem sie die
Variation von q durch qη (t, ) = q̄(t) + η(t) parametrisieren und q(t0,1 ) = q̄(t0,1 ) und q̇(t0,1 ) =
˙ 0,1 ) als Randbedingung fixieren.
q̄(t
Hausaufgabe 2: Berechnung der Kettenlinie [6]
hängt im
Eine Kette der Länge L und konstanter Dichte ρ = dm
dL
konstanten Schwerefeld der Erde zwischen den Punkten (−x0 , 0)
und (x0 , 0), x0 > 0 (siehe Skizze).
-x₀
x₀
(a) Zeigen Sie, dass für jedes (ausreichend differenzierbares) f = f (y, y 0 , x):
d
d ∂f
∂f
∂f
0 ∂f
0
y 0 − f = −y
−
.
−
0
dx
∂y
∂y dx ∂y
∂x
(1)
(b) Stellen Sie die Funktionale für die potentielle Energie und die Länge der Kette auf.
(c) Minimieren Sie die potentielle Energie der Kette unter Berücksichtigung aller Randbedingungen! Kombinieren sie dazu die beiden Funktionale aus (b) mit einem Lagrange-Multiplikator.
Hinweis: Die Gleichung für eine der Integrationskonstanten hat keine analytische Lösung.
Hausaufgabe 3: Seifenfilm [6]
z
Betrachten Sie einen Seifenfilm, der zwischen zwei Kreisringen aufgespannt ist.
Die Kreisringe sind beide parallel zur x − y−Ebene und die Mittelpunkte liegen
auf der z−Achse (vgl. Skizze). In Abwesenheit weiterer Kräfte minimiert der
Seifenfilm die Oberflächenenergie, welche proportional zur Oberfläche ist.
1
(a) Argumentieren Sie, dass der Seifenfilm axialsymmetrisch um z ist und geben Sie das Funktional
F [ρ], ρ = ρ(z) für die Oberfläche eines axialsymmetrischen Seifenfilms an.
(b) Bestimmen Sie die Euler-Lagrange Gleichung für ρ(z). Zeigen Sie, dass die Gleichung auf die
Form
ρ2 = c2 (1 + ρ̇2 )
(2)
gebracht werden kann.
(c) Lösen Sie (2) für die Randbedingungen z1 = z0 = −z2 und ρ(z0 ) = 1 = ρ(−z0 ).
(d) In welchem Bereich gibt es keine Lösung? Wie sieht der Seifenfilm in diesem Fall aus?
Hausaufgabe 4: Tunnel durch die Erde [6]
Betrachten Sie einen Tunnel durch die Erde, der zwei Punkte auf der Erdoberfläche verbindet (siehe Skizze). Der Tunnelverlauf sei so gewählt, dass er die Zeit T minimiert, in der
eine am Tunneleingang mit Anfangsgeschwindigkeit Null
losrollende Punktmasse m den Tunnel unter Einfluss der
Gravitation durchrollt. Ziel dieser Aufgabe ist es, mittels
der Variationsmethode eine Gleichung zu finden, die den
Verlauf r = r(φ) dieses Tunnels bestimmt, wobei r den
Abstand zum Erdmittelpunkt bezeichnet. Das Gravitationspotential im Inneren eines homogenen massiven Körpers ist
dabei durch V (r) = αr2 gegeben. (Reibung und Corioliskräfte sind zu vernachlässigen).
y
φ
r
x
x = r sin φ, y = r cos φ
(a) Zeigen Sie, dass man das zu minimerende Funktional als
√
ˆ
r2 + r0 2
dr
T = T [r(φ)] = dφ
,
mit r0 =
,
v(r)
dφ
(3)
schreiben kann, wobei v(r) die Geschwindigkeit der Punktmasse bezeichnet. [Hinweis: Drücken
Sie zunächst das Wegelement ds durch r, dr und dφ aus.] Drücken Sie v(r) durch die
Gesamtenergie E des Teilchens aus.
(b) Da der Integrand (F ) in Gl. (3) nicht explizit von der Integrationsvariable φ abhängt, existiert
∂F 0
eine φ-unabhängige “Erhaltungsgröße”, F − ∂r
0 r = konstant. Nutzen Sie dies um die folgende
Differentialgleichung für den Tunnel herzuleiten:
2
r4 = c2 (E − αr2 )(r2 + r0 ) mit c = konst.
(c) Bestimmen Sie durch Integration der Differentialgleichung aus (b) einen Integralausdruck für
die Bahnkurve φ = φ(r).
[Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 22]
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