ZZZ u0 - pkropik.com

Allgemeine Netzwerkanalyse
1. Kirchhoffsche Gesetze - Zweigstromanalyse
2. Maschenstromanalyse
3. Knotenspannungsanalyse
Zustände in elektrischen Netzwerken
1. Eingeschwungener Zustand –– Transformation in die komplexe Ebene System der algebraischen Gleichungen
2. Ausgleichsvorgange – Differentialgleichungen
Netzwerkgleichungen in Matrizen Form für eingeschwungenen Zustand
1. Direkte Formulierung der Maschengleichungen oder Knotengleichungen
2. Formulierung mit Hilfe der inzidenten Matrizen
Topologische Regeln
In einem elektrischen Netzwerk gibt es:
Knoten
Zweige
k
z
unabhängige Knoten
unabhängige Zweige
k-1
z – (k-1)
Graph der Schaltung
orientierender Graph - Baum
unabhängige Zweige
Z
Z1
u0
Z2
Zu jedem unabhängigen Zweig gehört nur eine unabhängige Masche
Strom (1. Kirchhoff- Gesetz) (Knotengesetz) – für unabhängige Knoten
(Knotenspannungsanalyse)
Spannung (2. Kirchhoff- Gesetz) (Maschengesetz) – für unabhängige Masche
(Maschenstromsanalyse)
Zweigstromanalyse
Beide Kirchhoffsche Gesetze werden benutzt (Knotengesetz für unabhängige
Knoten, Maschengesetz für unabhängige Zweige) – drei Gleichungen für
unbekannte Zweigstrıme
−I1 + I 2 + I 0 =0
I1 Z1 + I 2 Z 2
= U0
I3 Z3 − I2 Z2
= 00
Maschenstromanalyse
Zwei unabhängige Maschen ⇒ 2 Gleichungen für 2 Maschenstrıme
Z
Z1
I 1′ Z 1 + Z 2 ( I 1′ - I 2′ ) = U 0
I 2′ Z 3 + Z 2 ( I 2′ - I 1′ ) = 0
Z2
u0
Diese Gleichungen können wir schreiben in der Form
I 1′ ( Z 1 + Z 2 ) - Z 2 I 2′ = U 0
- I 1′ Z 2 + I 2′ ( Z 2 + Z 3 ) = 0
oder in Kurzform
 Z1 + Z 2
 −Z
2

Zs Is =U0s
− Z 2   I 1′  U 0 
=
Z 2 + Z 3   I 2′   0 
Maschenimpedanzmatrix ZS
Maschenstrommatrix IS
Maschenspannungsquellenmatrix U0S
Zweigstrıme können wir von Maschenströmen bestimmen
I 1 = I 1′
I 2 = I 1′ - I 2′
I 0 = I 2′
Z
Z1
Z2
u0
 Z1 + Z 2
 −Z
2

− Z 2   I 1′  U 0 
= 



′
Z 2 + Z3 I 2   0 
Die Struktur der Maschenimpedanzmatrix ist mit folgenden Regeln gegeben:
• jede Zeile der Matrix beschreibt die Schaltungsstruktur einer Masche
• Hauptdiagonalelemente = Maschenimpedanzen (Summe aller Impedanzen
dieser Masche) sind immer positiv
• Nebendiagonalelemente = axy .Koppelimpedanzen (Summe der Impedanzen
der Masche, die von zwei Maschenströmen durchflossen werden :
axy = 1, wenn die Richtung der Maschenstrıme dieselbe ist
axy = -1, wenn die Richtung der Maschenstrıme entgegengesetzt ist
• Die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale (nur in Netzwerken ohne
gesteuerte Quellen)
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bilden sie die Maschenimpedanzmatrix
Z2
Z1
Z3
Z4
u06
ZS =
Z5
Z6
Knotenspannungsanalyse
Z3
Z1
Z5
Z2
u01
Z4
u02
In der Schaltung sind 2 unabhängige Knoten, wir wählen 2 Knotenspannungen
und schreiben die Gleichungen nach dem Knotengesetz
U 1 − U 01
+
U1
Z1
+
Z2
U 2 −U 1
+
U2
Z3
Z4
U 1 −U 2
=0
Z3
+
U 2 − U 02
=0
Z5
wir modifizieren die Gleichungen in der Form
U1 (
−
U
U
1
1
1
+
+
) − 2 = 01
Z1 Z 2 Z 3
Z3
Z1
U
U1
1
1
1
+ U2(
+
+
) = 02
Z3
Z3 Z4 Z5
Z5
Y k U k I 0k
oder in Kurzform
1
1
 1
+
+

 Z1 Z 2 Z 3

1
−


Z3
Knotenenadmittanzmatrix YK
 U 01



Z3
 U1  =  Z1


1
1
1   U 2   U 02

+
+

 Z
Z 3 Z 4 Z 5 
 5
−
1







Knotenspannungsmatrix UK
Knotenstromquellenmatrix I0K
Zweigspannungen konnten wir nach folgenden Gleichungen bestimmen
U Z1 = U 01 − U 1
U Z1 + U 1 = U 01
U Z2 = U 1
U Z3 + U 2 − U 1 = 0
U Z3 = U 1 − U 2
U Z4 = U 2
U Z5 + U 2 = U 02
U Z5 = U 02 - U 2
Z3
Z1
u01
Z2
Z5
Z4
u02
Die Struktur der Knotenadmittanzmatrix ist durch folgende Regeln gegeben:
• jede Zeile der Matrix beschreibt die Knotenumgebung (Zweige, die főhren in
den oder aus den Knoten)
• Hauptdiagonalelemente = Knotenadmittanzen (Summe aller Admittanzen in
den Zweigen, die im Kontakt mit zugehörigem Knoten sind), alle
Hauptdiagonalelemente immer positiv sind
• Nebendiagonalelemente = Koppeladmittanzen (Summe die Admittanzen in
den Zweigen, die zwei Knoten verbinden,
• Die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale (nur in Netzwerken ohne
gesteuerte Quellen)
1
1
1
+
+
Z
Z2 Z3
 1
1

−

Z3
1
 U 01 

 U   Z 
Z3
 1  =  1 
1
1
1  U 2   U 02 
+
+
 Z 5 
Z 3 Z 4 Z 5 
−
Die direkte Formulierung der Matrixgleichungen ist einfacher, wenn das
Netzwerk für die Maschenstromanalyse nur die Spannungsquelle und bei der
Knotenspannungsanalyse nur die Stromquellen enthalt, darum benutzen wir diese
Substitution
Z0
1
1
I0
u0
Z0
I0 =
U0
Z0
1´
1
Diesen Ersatz zeigen wir in folgendem Beispiel: in der vorigen Schaltung für die
Knotenspannungsanalyse ersetzen wir beide Spannungsquellen
Z3
u02
01
u01
I01=
Z1
Z1
Z2
I02=
Z5
Z4
Z51
Für dieses gegebene Netzwerk kınnen wir die Knotenadmittanzmatrix direkt
bestimmen
1
1
 1
+
+

Z1 Z 2 Z3
Y = 
1
−


Z3


Z3

1
1
1 
+
+

Z 3 Z 4 Z 5 
−
1
Die Knotengleichungen lauten dann
− I 01 +
U1
Z1
+
U1
Z2
+
U 1 −U 2
Z3
=0
U 2 −U 1
Z3
+
U2
Z4
+
U2
Z5
− I 02 = 0
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bilden sie die Knotenadmitanzmatrix
Z1
Z3
B
C
A
Z0 U
2
I0
Z2
Z4
Z5
YK =
U3
U1
Die oben gezeigten Verfahren sind vorteilhaft für die Analyse von Netzwerken,
welche haben:
• einfachere Schaltung (2 – 3 unabhängige Knoten oder Maschen)
• vorhandene Gegeninduktivitaten oder gesteuerte Quellen
Wenn das Netzwerk eine komplizierte Konfiguration hat, dann ist es nicht
einfach die Maschen- oder Knoten- Matrizen zu bilden. Wir können andere
Verfahren benutzen, die nur die Beziehungen zwischen Zweigen, Knoten und
Maschen beschreiben. Dazu ist es notwendig inzidente Matrizen zu definieren.
Allerdings, wenn das Netzwerk Gegeninduktivitäten oder gesteuerte Quellen
enthalt, kann dieses weiter eingeführte Verfahren nicht benutzt werden.
Inzidente Matrizen
Mit diesen Matrizen ist es möglich, die Art der Schaltung zu beschreiben,
es gibt zwei Typen dieser Matrizen
1. inzidente Matrix A - die Verbindung von Zweigen mit Knoten
2. inzidente Matrix B - die Verbindung von Zweigen mit Maschen
Z3
Z1
Z2
u01
Verfahren:
Z5
Z4
Verbindung Zweige – Knoten
u02
-1 zu Knoten, 1 aus Knoten
z1 z2 z3 z4 z5
K1
A =
1. wir bilden für die gegebene
Schaltung das orientierende
Graph
2. nummerieren die Zweige,
Knoten und Maschen
K2
K0
Verbindung Zweige – Maschen
1 Orientierung dies
-1 Orientierung gegeneinander
z1 z2 z3 z4 z5
M1
M2
B =
M3
Beispiel:
Bestimmen Sie die 2. inzidente Matrix B und geben sie die Beziehung zwischen
Zweigströmen und Maschenströmen an
Z
Z1
z1 z2 z3
Z2
u0
M1
M2
B =
Zweigstrıme kann man durch die Matrixgleichung
von Maschenströmen ermitteln
I1
I2
I3
1
= 1 -1
1
I= tB IS
I 1 = I 1′
I 2 = I 1′ - I 2′
I 0 = I 2′
I´1
I´2
Verfahren für Maschenstromanalyse
1. In gegebenem Netzwerk bezeichnen wir die Orientierung der Zweigstrıme,
bilden das orientierende Graph, bestimmen die unabhängigen Maschen und
ihre Orientierung dann nummerieren wir die Zweige und die unabhängigen
Maschen
2. Wir bilden die 2. inzidente Matrix B
3. Wir schreiben die Zweigspannungsquellenmatrix U0 und
Zweigimpedanzmatrix Z
4. Wir berechnen mit der inzident Matrix B die Maschenmatrizen
für Spannungsquellen
für Impedanzen
U 0S = B U 0
ZS = B Z t B
5. Die Maschenstrommatrix bestimmen wir durch die Matrixgleichung
IS = Z S
−1
U 0S
6. Die Zweigstrıme berechnen wir aus der Matrixgleichung
I= tB IS
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bestimmen Sie die Zweigmatrizen und berechnen
die Maschenmatrizen
Z
Z1
B ist
Z2
u0
B =
Die Zweigmatrizen sind
U01
Z1
U0 =
Z =
Z2
Z3
Die Maschenmatrizen sind
ZS
1 1
=
-1 1
U0S
Z1
1 1
=
-1 1
1
1
Z2
Z3
U01
U01
=
Z1+ Z2 - Z2
-1 = - Z2
Z2+ Z3
1
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bilden Sie die Matrizen B, U und Z
Z2
Z1
Z3
Z4
u06
Z5
Z6
Beispiel:
Rechnen Sie die Zweigstrıme, input Impedanz Zin und Übertragungsfunktion KU
im Netzwerk mit folgenden Parametern
Z4
Z2
Z1
Z3
uout
U1
u0
Z5
Z6
Zin
Z1 = Z6 = 50 Ω
Z2 = Z3 = - 50j Ω
Z4 = Z5 = 100j Ω
u0 = 10 sin ωt
ω = 105 s-1
U
KU = OUT
U0
U1
Zin =
I1
Verfahren für Knotenenstromanalyse
Im Fall, dass das gegebene Netzwerk Spannungsquellen enthalt, ersetzen wir
diese Quelle durch die Stromquelle
1. Im gegebenen Netzwerk bezeichnen wir die Orientierung der Zweige, bilden
wir das orientierende Graph, bestimmen die unabhängigen Knoten,
nummerieren die Zweige und unabhängige Knoten
2. Wir bilden die 1. inzidente Matrix A
3. Wir bestimmen die Zweigstromquellenmatrix I0 und Zweigadmittanzmatrix
Y
4. Die Knotenspannungsmatrix und Knotenadmittanzmatrix bestimmen wir
durch die Matrixgleichung
für Stromquellen
I 0k = A I 0
für Admittanzen
YK = A Y tA
5. Die Knotenspannungen berechnen wir aus der Matrixgleichung
U K = − Y K −1 I 0K
6. Die Zweigspannungen berechnen wir aus der Matrixgleichung
U = t A UK
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bilden Sie die Matrizen A, I0 und Y
Z3
u02
01
u01
I01=
Z1
Z1
Z2
I02=
Z5
Z4
Z51
A =
I0T = {I01,0, 0, 0, 0, I02}
Y = diag {Y1, Y2, Y3, Y4, Y5,Y6}
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk berechnen wir die Zweigstrıme, input Impedanz Zin
und Übertragungsfunktion KU im Netzwerk mit folgenden Parametern
Z4
Z2
Z3
uout
I0
Z1
Zin
Z5
Z6
Z1 = Z6 = 50 Ω
KU =
U OUT
U1
Zin =
U1
I1
Z2 = Z3 = - 50j Ω
Z4 = Z5 = 100j Ω
u0 = 10 sin ωt, ω = 104 s-1
nach Ersetzen mit Stromquelle ist i0 = (10/50) sin ωt
Ausgleichsvorgänge
Ausgleichsvorgänge nennen wir die Vorgänge, die bei Änderungen
(Einschaltung, Ausschaltung der Quellen oder der Zweige) in den elektrischen
Netzwerken entstehen, welche die Energiespeicherelemente enthalten. Der
Energieinhalt dieser Speicher (Spulen und Kondensatoren) ist
We = 0.5 C uC2
Wm = 0.5 L iL2
und kann sich nicht sprunghaft ändern. So kann auch der Strom durch eine Spule
und die Spannung an einem Kondensator nur kontinuierlich neue Werte
annehmen. Darum es ist vorteilhaft, die Gleichungen für diese Größe abzuleiten.
Wir setzen voraus, dass die Ausgleichvorgänge im Schaltaugenblick t = 0
beginnen und untersuchen die Verläufe im Zeitbereich t ≥ 0.
Die Ausgleichsvorgänge können wir beschreiben durch das System der
differentiellen Gleichungen für die Ströme durch Spulen und die Spannungen an
Kondensatoren. Derartige Gleichungssysteme kann man sehr einfach mit Matlab
Procedure ODE lösen. Dazu brauchen wir:
d
1. Formulierung des Systems der Diff.-gleichungen in der Form dt
2. Feststellung des Netzzustandes im Schaltaugenblick t = 0
x = Ax + F
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bestimmen Sie die Gleichungen und die
Anfangsbedingungen für den Ausgleichsvorgang
t=0
u
du
−i+
+C
=0
R2
dt
R1i + L
di
+ u = u0
dt
R1
L
u0

du 1  u
=  −
+ i 
dt C  R2

di 1
1
= (− u − R1i ) + U 0
dt L
L
R 21
d
x = Ax + F
dt
Die Matrizen A, x, F und x (0) – (Anfangsvektor) sind
A
=
x =
F =
x(0)
=
C
Wenn wir die Gleichungen in Matrixform formulieren und dann das Programm
in Matlab schreiben, können wir sehr einfach mehrere Aufgaben lösen
a) Ausgleichsvorgänge im gegebenen Netzwerk für verschiedene Quellen
(Gleichspannung, sinusförmige, allgemeine Zeitverläufe), wir ändern nur den
Vektor F
b) Ausgleichsvorgänge im gegebenen Netzwerk für verschiedene
Anfangsbedingungen, wir ändern nur den Vektor x (0)
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bestimmen Sie die Matrizen A, x, F und x (0) für
folgende Parameter
R1
R1 = 10 Ω
R2 = 1 Ω
L = 10 mH
C = 100 uF
U0 = 10 V
u0
L
t=0
R 21
C
Die A und F Matrizen sind dieselben wie im vorigen Beispiel, für die gegebenen
Parameter bekommen wir
104
A = − 104
F = 0
1000
− 100
− 1000
Wegen anderer Lage des Ausschalters ändert sich der Anfangsvektor
x(0)
= 0
0,909
Wenn sich der Wert des Widerstands R 2 ändert
(R 2 = 10 Ω), dann ist die Matrix A
A = − 103
− 100
Wenn im Netzwerk die sinusförmige
Spannungsquelle eingefügt wird
(z.B. u0 = 10 sin ωt), dann ändert sich nur der
Vektor F
F = 0
100.10 sin ωt
104
− 1000
Im Netzwerk mit zwei oder mehreren Energiespeichern können
aperiodische oder oszillierende Ausgleichsvorgänge vorkommen. Man kann
das nach dem Wert der Wurzeln λ mit der folgenden Gleichung ermitteln:
det [ λJ – A ] = 0
Wenn diese Wurzeln reell sind, dann entsteht der aperiodische Vorgang
(R 2 = 1 Ω). Im Fall der konjugierten komplexen Wurzeln (R 2 = 10 Ω) ist der
Vorgang oszillierend.
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bestimmen Sie die Matrizen A, x, F und x (0) für
folgende Parameter
C
du
+ i2 = 0
dt
di
R1i1 + L1 1 + u = u0
dt
di
R2 i 2 + L2 2 − u = 0
dt
L2
Diese Gleichungen modifizieren
wir in die Form
du
dt
di1
=
1
di 2
dt
x (0) =
(i1
−i2
)
C
=
dt
A =
R 21
u0
− i1 + C
x =
L1
R1
t=0
R1 = 10 Ω
R 2 = 10 Ω
L1 = 10 mH
L2 = 10 mH
C = 100 uF
U0 = 10 V
1
(− u − R1 i1
+U 0
)
L1
=
1
(u − R 2 i 2 )
L2
10000 -10000
= - 100 - 1000
- 100
- 1000
F =
0
U0/L1
0
Ermitteln Sie die Wurzeln der Matrix A (Eigenwerte) und bestimmen Sie den
Verlauf des Ausgleichsvorgangs.
die Eigenwerte der Matrix A sind Wurzeln der Gleichung det [ λJ – A ] = 0
Matlab funktion
λ = eig(A)
Wurzeln: λ1 = 1000, λ2,3 = - 500 ± j 1322,9 oszillierender Ausgleichsvorgang
die Zeitkonstant
die Periode der Schwingungen
τ = 1/500 = 2 ms,
ω = 1322,9 s-1
T = 2π/ω = 4,75 ms,
T
600.00m
600.00m
T
AM1
AM1
0.00
600.00m
0.00
600.00m
AM2
AM2
0.00
10.00
0.00
10.00
VG1
VG1
0.00
7.00
0.00
9.00
VM1
VM1
3ττ = 6 ms
3ττ = 6ms
0.00
0.00
2.50m
5.00m 7.50m
Time (s)
10.00m
C = 100 µF
λ1 = 1000, λ2,3 = - 500 ± j 1322,9
τ = 1/500 = 2 ms,
ω = 1322,9 s-1
T = 2π/ω = 4,75 ms
die selbe τ, verschiedene T
0.00
0.00
2.00m
4.00m 6.00m
Time (s)
8.00m
C = 10 µF
λ1 = 1000, λ2,3 = - 500 ± j 4444
τ = 1/500 = 2 ms,
ω = 4444 s-1
T = 2π/ω = 1,414 ms