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ANWENDUNG DES MATLABS FÜR NETZWERKANALYSE
1. Allgemeine Netzwerkanalyse – topologische Regeln, Gleichungen in Matrix
Form für Zweigstromanalyse, Maschenstromanalyse,
Knotenspannungsanalyse
2. Inzidente Matrizen
3. Ausgleichvorgänge – Netzwerkanalysis in Zeitbereich
1. Allgemeine Netzwerkanalyse
1. Kirchhoffsche Gesetze - Zweigstromanalyse
2. Maschenstromanalyse
3. Knotenspannungsanalyse
Zustände in elektrischen Netzwerken
1. Eingeschwungener Zustand –– Transformation in die komplexe Ebene System der algebraischen Gleichungen
2. Ausgleichsvorgange – Differentialgleichungen
Topologische Regeln
In einem elektrischen Netzwerk gibt es:
Knoten
Zweige
k
z
unabhängige Knoten
unabhängige Zweige
k-1
z – (k-1)
Graph der Schaltung
Z
Z1
u0
orientierender Graph - Baum
unabhängige Zweige
Z2
Zu jedem unabhängigen Zweig gehört nur eine unabhängige Masche
Strom (1. Kirchhoff- Gesetz) (Knotengesetz) – für unabhängige Knoten
(Knotenspannungsanalyse)
Spannung (2. Kirchhoff- Gesetz) (Maschengesetz) – für unabhängige Masche
(Maschenstromsanalyse)
Zweigstromanalyse
Beide Kirchhoffsche Gesetze werden benutzt (Knotengesetz für unabhängige
Knoten, Maschengesetz für unabhängige Zweige)
drei Gleichungen für unbekannte Zweigstrőme
Z
Z1
 I1  I 2  I3  0
I1 Z1  I 2 Z 2  U 0
I 3 Z3  I 2 Z 2  0
Z2
u0
Maschenstromanalyse
Zwei unabhängige Maschen  2 Gleichungen für 2 Maschenstrőme
Z
Z1
I 1 Z 1  Z 2 ( I 1 - I 2 )  U 0
I 2 Z 3  Z 2 ( I 2 - I 1 )  0
Z2
u0
Diese Gleichungen können wir schreiben in der Form
I 1 ( Z 1  Z 2 ) - Z 2 I 2  U 0
- I 1 Z 2  I 2 ( Z 2  Z 3 )  0
 Z1  Z 2
 Z
2

 Z 2   I 1  U 0 
 




Z 2  Z3 I 2   0 
Maschenimpedanzmatrix ZS
oder in Kurz form
Maschenspannungsquellenmatrix U0S
Maschenstrommatrix IS
Zs Is U0s
Zweigstrőme können wir von Maschenströmen bestimmen
I1  I1
I 2  I1 - I 2
I3  I 2
Z
Z1
Z2
u0
 Z1  Z 2
 Z
2

 Z 2   I 1  U 0 
 




Z 2  Z3 I 2   0 
Die Struktur der Maschenimpedanzmatrix ist mit folgenden Regeln gegeben:
 jede Zeile der Matrix beschreibt die Schaltungsstruktur einer Masche
 Hauptdiagonalelemente = Maschenimpedanzen (Summe aller Impedanzen
dieser Masche) sind immer positiv
 Nebendiagonalelemente = axy .Koppelimpedanzen (Summe der Impedanzen
der Masche, die von zwei Maschenströmen durchflossen werden :
axy = 1, wenn die Richtung der Maschenstrőme dieselbe ist
axy = -1, wenn die Richtung der Maschenstrőme entgegengesetzt ist
 Die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale (nur in Netzwerken ohne
gesteuerte Quellen)
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bilden sie die Maschenimpedanzmatrix
Z2
Z1
Z3
Z4
u06
Z5
Z6
ZS =
Knotenspannungsanalyse
Z3
Z1
Z5
Z2
u01
Z4
u02
In der Schaltung sind 2 unabhängige Knoten, wir wählen 2 Knotenspannungen
und schreiben die Gleichungen nach dem Knotengesetz
U 1  U 01
Z1
U 2 U 1
Z3


U1

Z2
U2
Z4

U 1 U 2
Z3
U 2  U 02
Z5
0
0
wir modifizieren die Gleichungen in der Form
U1 (

U
U
1
1
1


)  2  01
Z1 Z 2 Z 3
Z3
Z1
U
U1
1
1
1
 U2(


)  02
Z3
Z3 Z4 Z5
Z5
1
1
 1



 Z1 Z 2 Z3

1



Z3
 U 01






Z3
U
 Z1
1




1
1
1   U 2   U 02




 Z
Z 3 Z 4 Z 5 
 5
1
Knotenenadmittanzmatrix YK
Knotenstromquellenmatrix I0K
Knotenspannungsmatrix UK
oder in Kurzform







Y k U k  I 0k
Zweigspannungen konnten wir nach folgenden Gleichungen bestimmen
U Z1  U 01  U 1
U Z1  U 1  U 01
U Z2  U 1
U Z3  U 2  U 1  0
U Z3  U 1  U 2
U Z4  U 2
U Z5  U 2  U 02
U Z5  U 02 - U 2
Z3
Z1
u01
1
1
1


Z
Z2 Z3
 1
1



Z3
Z2
Z5
Z4
u02
1
 U 01 

 U   Z 
Z3
 1    1 
1
1
1  U 2   U 02 


 Z 5 
Z 3 Z 4 Z 5 

Die Struktur der Knotenadmittanzmatrix ist durch folgende Regeln gegeben:
 jede Zeile der Matrix beschreibt die Knotenumgebung (Zweige, die fűhren in
den oder aus den Knoten)
 Hauptdiagonalelemente = Knotenadmittanzen (Summe aller Admittanzen in
den Zweigen, die im Kontakt mit zugehörigem Knoten sind), alle
Hauptdiagonalelemente immer positiv sind
 Nebendiagonalelemente = Koppeladmittanzen (Summe die Admittanzen in
den Zweigen, die zwei Knoten verbinden,
 Die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale (nur in Netzwerken ohne
gesteuerte Quellen)
Die direkte Formulierung der Matrixgleichungen ist einfacher, wenn das
Netzwerk für die Maschenstromanalyse nur die Spannungsquelle und bei der
Knotenspannungsanalyse nur die Stromquellen enthalt, darum benutzen wir diese
Substitution
Z0
1
1
I0
u0
Z0
I0 
U0
Z0
1´
1
Diesen Ersatz zeigen wir in folgendem Beispiel: in der vorigen Schaltung für die
Knotenspannungsanalyse ersetzen wir beide Spannungsquellen
Z3
I01=
u01
Z1
Z1
Z2
I02=
Z5
Z4
u02
01
Z51
Für dieses gegebene Netzwerk kőnnen wir die Knotenadmittanzmatrix direkt
bestimmen
1
1
 1



Z1 Z 2 Z3
Y  
1



Z3


Z3

1
1
1 



Z 3 Z 4 Z 5 

1
Die Knotengleichungen lauten dann
 I 01 
U1
Z1

U1
Z2

U 1 U 2
Z3
0
U 2 U 1
Z3

U2
Z4

U2
Z5
 I 02  0
Z1
A
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bilden sie die
Knotenadmitanzmatrix
Z0 U
2
I0
Z3
B
Z2
C
Z4
Z5
U3
U1
YK =
Die oben gezeigten Verfahren sind vorteilhaft für die Analyse von Netzwerken,
welche haben:
 einfachere Schaltung (2 – 3 unabhängige Knoten oder Maschen)
 vorhandene Gegeninduktivitaten oder gesteuerte Quellen
Wenn das Netzwerk eine komplizierte Konfiguration hat, dann ist es nicht
einfach die Maschen- oder Knoten- Matrizen zu bilden. Wir können andere
Verfahren benutzen, die nur die Beziehungen zwischen Zweigen, Knoten und
Maschen beschreiben. Dazu ist es notwendig inzidente Matrizen zu definieren.
Allerdings, wenn das Netzwerk Gegeninduktivitäten oder gesteuerte Quellen
enthalt, kann dieses weiter eingeführte Verfahren nicht benutzt werden.
2. Inzidente Matrizen
Mit diesen Matrizen ist es möglich, die Art der Schaltung zu beschreiben,
es gibt zwei Typen dieser Matrizen
1. inzidente Matrix A - die Verbindung von Zweigen mit Knoten
2. inzidente Matrix B - die Verbindung von Zweigen mit Maschen
Z3
Z1
u01
Z2
Z4
Verbindung Zweige – Knoten
z1 z2 z3 z4 z5
K1
A =
Z5
K2
K0
Verfahren:
u02
1. wir bilden für die
gegebene Schaltung das
orientierende Graph
2. nummerieren die
Zweige, Knoten und
Maschen
-1 zu Knoten, 1 aus Knoten
Verbindung Zweige – Maschen
z1 z2 z3 z4 z5
1 Orientierung dieselbe
-1 Orientierung gegeneinander
M1
M2
B =
M3
Beispiel:
Bestimmen Sie die 2. inzidente Matrix B und geben sie die Beziehung zwischen
Zweigströmen und Maschenströmen an
Z
Z1
z1 z2 z3
Z2
u0
M1
B =
Zweigstrőme kann man durch die Matrixgleichung
von Maschenströmen ermitteln
I 1  I 1
I1
I2
I3
1
= 1 -1
1
I´1
I´2
M2
I tB IS
I 2  I 1 - I 2
I 0  I 2
Verfahren für Maschenstromanalyse
1. In gegebenem Netzwerk bezeichnen wir die Orientierung der Zweigstrőme,
bilden das orientierende Graph, bestimmen die unabhängigen Maschen und
ihre Orientierung dann nummerieren wir die Zweige und die unabhängigen
Maschen
2. Wir bilden die 2. inzidente Matrix B
3. Wir schreiben die Zweigspannungsquellenmatrix U0 und
Zweigimpedanzmatrix Z
4. Wir berechnen mit der inzident Matrix B die Maschenmatrizen
für Spannungsquellen
für Impedanzen
U0S  B U0
ZS  B Z t B
5. Die Maschenstrommatrix bestimmen wir durch die Matrixgleichung
IS  ZS
1
U 0S
I tB IS
6. Die Zweigstrőme berechnen wir aus der Matrixgleichung
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bestimmen Sie die Zweigmatrizen und berechnen
die Maschenmatrizen
Z
Z1
B ist
Z2
u0
B =
Die Zweigmatrizen sind
U01
Z1
U0 =
Z =
Z2
Z3
U 0S  B U 0
Die Maschenmatrizen sind
U0S
ZS
1 1
=
-1 1
1 1
=
-1 1
U01
ZS BZ t B
U01
=
Z1
1
1
Z2
Z3
Z1+ Z2 - Z2
-1 = - Z2
Z2+ Z3
1
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bilden Sie die Matrizen B, U und Z
Z2
Z1
Z3
Z4
u06
Z5
Z6
Beispiel:
Rechnen Sie die Zweigstrőme, input Impedanz Zin und Übertragungsfunktion KU
im Netzwerk mit folgenden Parametern
Z4
Z2
Z1
Z3
uout
U1
u0
Z5
Z6
Zin
Z1 = Z6 = 50 
Z2 = Z3 = - 50j 
Z4 = Z5 = 100j 
u0 = 10 sin t
 = 105 s-1
U
KU  OUT
U0
U1
Zin 
I1
Verfahren für Knotenenstromanalyse
Im Fall, dass das gegebene Netzwerk Spannungsquellen enthalt, ersetzen wir
diese Quelle durch die Stromquelle
1. Im gegebenen Netzwerk bezeichnen wir die Orientierung der Zweige, bilden
wir das orientierende Graph, bestimmen die unabhängigen Knoten,
nummerieren die Zweige und unabhängige Knoten
2. Wir bilden die 1. inzidente Matrix A
3. Wir bestimmen die Zweigstromquellenmatrix I0 und Zweigadmittanzmatrix
Y
4. Die Knotenspannungsmatrix und Knotenadmittanzmatrix bestimmen wir
durch die Matrixgleichung
für Stromquellen
I 0k  A I 0
für Admittanzen
YK  A Y t A
5. Die Knotenspannungen berechnen wir aus der Matrixgleichung
U K  Y K 1 I 0K
6. Die Zweigspannungen berechnen wir aus der Matrixgleichung
U  t A UK
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bilden Sie die Matrizen A, I0 und Y
Z3
I01=
u01
Z1
Z1
Z2
I02=
Z5
Z4
u02
01
Z51
A =
I0T = {I01,0, 0, 0, 0, I02}
Y = diag {Y1, Y2, Y3, Y4, Y5,Y6}
Beispiel:
Z1
A
Für das gegebene Netzwerk bilden
sie die inzidente Matrix A und die
Zweigmatrizen I0 und Y
Z0 U
2
I0
Schreiben sie die Gleichungen für die
Rechnung der Knotenspannungen
und Zweigspannungen
Z3
B
Z2
C
Z4
Z5
U3
U1
A =
I0T = {I0,0, 0, 0, 0, 0}
Y = diag { Y0,Y1, Y2, Y3, Y4, Y5}
Knotenmatrizen
I 0k  A I 0
Zweigspannungmatrix
YK  A Y t A
U  t A UK
U K  Y K 1 I 0K
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk berechnen wir die Zweigstrőme, input Impedanz Zin
und Übertragungsfunktion KU im Netzwerk mit folgenden Parametern
Z4
Z2
I0
Z1
Zin
Z3
Z5
uout
Z6
Z1 = Z6 = 50 
KU 
U OUT
U1
Zin 
U1
I1
Z2 = Z3 = - 50j 
Z4 = Z5 = 100j 
u0 = 10 sin t,  = 104 s-1
nach Ersetzen mit Stromquelle ist i0 = (10/50) sin t
Ausgleichsvorgänge
Ausgleichsvorgänge nennen wir die Vorgänge, die bei Änderungen
(Einschaltung, Ausschaltung der Quellen oder der Zweige) in den elektrischen
Netzwerken entstehen, welche die Energiespeicherelemente enthalten. Der
Energieinhalt dieser Speicher (Spulen und Kondensatoren) ist
We = 0.5 C uC2
Wm = 0.5 L iL2
und kann sich nicht sprunghaft ändern. So kann auch der Strom durch eine
Spule und die Spannung an einem Kondensator nur kontinuierlich neue
Werte annehmen. Darum es ist vorteilhaft, die Gleichungen für diese Größe
abzuleiten. Wir setzen voraus, dass die Ausgleichvorgänge im Schaltaugenblick
t = 0 beginnen und untersuchen die Verläufe im Zeitbereich t  0.
Die Erklärung der Grundlagen der Ausgleichsvorgänge – Teil 2
Die Ausgleichsvorgänge können wir beschreiben durch das System der
differentiellen Gleichungen für die Ströme durch Spulen und die Spannungen an
Kondensatoren. Derartige Gleichungssysteme kann man sehr einfach mit Matlab
Procedure ODE lösen. Dazu brauchen wir:
d
1. Formulierung des Systems der Diff.-gleichungen in der Form dt
2. Feststellung des Netzzustandes im Schaltaugenblick t = 0
x  Ax  F
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bestimmen Sie die Gleichungen und die
Anfangsbedingungen für den Ausgleichsvorgang
t=0
u
du
i 
C
0
R2
dt
R1i  L
di
 u  u0
dt
R1
u0

du 1  u
  
 i 
dt C  R2

di 1
1
  u  R1i  
U0
dt L
L
R 21
d
dt
x  Ax  F
Die Matrizen A, x, F und x (0) – (Anfangsvektor) sind
x =
F =
L
x(0)
=
C
Wenn wir die Gleichungen in Matrixform formulieren und dann das Programm
in Matlab schreiben, können wir sehr einfach mehrere Aufgaben lösen
a) Ausgleichsvorgänge im gegebenen Netzwerk für verschiedene Quellen
(Gleichspannung, sinusförmige, allgemeine Zeitverläufe), wir ändern nur den
Vektor F
b) Ausgleichsvorgänge im gegebenen Netzwerk für verschiedene
Anfangsbedingungen, wir ändern nur den Vektor x (0)
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bestimmen Sie die Matrizen A, x, F und x (0) für
folgende Parameter
R1
R1 = 10 
R2 = 1 
L = 10 mH
C = 100 uF
U0 = 10 V
u0
L
t=0
R 21
C
Die A und F Matrizen sind dieselben wie im vorigen Beispiel, für die gegebenen
Parameter bekommen wir
104
A =  104
F = 0
1000
 100
 1000
Wegen anderer Lage des Ausschalters ändert sich der Anfangsvektor
x(0)
= 0
0,909
Wenn sich der Wert des Widerstands R 2 ändert
(R 2 = 10 ), dann ist die Matrix A
A =  103
 100
Wenn im Netzwerk die sinusförmige
Spannungsquelle eingefügt wird
(z.B. u0 = 10 sin t), dann ändert sich nur der
Vektor F
F = 0
100.10 sin t
104
 1000
Im Netzwerk mit zwei oder mehreren Energiespeichern können
aperiodische oder oszillierende Ausgleichsvorgänge vorkommen. Man kann
das nach dem Wert der Wurzeln  mit der folgenden Gleichung ermitteln:
det [ J – A ] = 0
Wenn diese Wurzeln reell sind, dann entsteht der aperiodische Vorgang
(R 2 = 1 ). Im Fall der konjugierten komplexen Wurzeln (R 2 = 10 ) ist der
Vorgang oszillierend.
1 = -1500, 2 = 9500,
1100
1 = 1/1500, 2 = 1/9500
12 = -1000  j 1000
12 = -100  j
 = 1/1000 = 1 ms,
 = 1/100 = 10 ms,
1.00
T
T
900.00m
T
600.00m
AM1
AM1
0.00
1.00
AM1
0.00
600.00m
0.00
200.00m
AM2
AM2
0.00
10.00
AM2
0.00
10.00
VG1
R2 = 1 
0.00
10.00
VG1
0.00
1.00
R 2 = 10 
R 2 = 50 
VG1
0.00
6.00
0.00
10.00
VM1
VM1
VM1
0.00
0.00
20.00u
40.00u
Time (s)
60.00u
0.00
0.00
100.00u 200.00u 300.00u 400.00u
Time (s)
0.00
0.00
250.00u 500.00u 750.00u 1.00m
Time (s)
Beispiel:
Für das gegebene Netzwerk bestimmen Sie die Matrizen A, x, F und x (0) für
folgende Parameter
R1
t=0
R1 = 10 
R 2 = 10 
L1 = 10 mH
L2 = 10 mH
C = 100 uF
U0 = 10 V
I1
u
u0
du
 i2  0
dt
di
R1i1  L1 1  u  u0
dt
di
R2 i 2  L2 2  u  0
dt
 i1  C
Diese Gleichungen modifizieren wir in die Form
du
dt
di1
dt
di 2
dt

1
C


i1
1
L1
1
L2
u
x = i1
i2
A =
i2
L1

  u  R1 i1
U 0

u  R 2 i 2 
x (0) =
F =
10000 -10000
= - 100 - 1000
100
- 1000
K R 21
C
I2
L2
Beispiel
Bestimmen Sie den Charakter des Ausgleichsvorgangs in vorigen Beispiel.
Der Charakter des Ausgleichvorgang ist gegeben durch die Eigenwerte der
Matrix A, (da sind die Wurzeln der Gleichung det [ J – A ] = 0)
In Matlab gibt es Funktion
 = eig(A)
We finden die Wurzeln der Matrix A: 1 = 1000, 2,3 = - 500  j 1322,9
weil die Wurzeln sind konjugierte der Ausgleichsvorgang ist oszillierender
die Zeitkonstant
die Periode der Schwingungen
T
 = 1/500 = 2 ms,
 = 1322,9 s-1
T = 2/ = 4,75 ms,
T
600.00m
AM1
600.00m
AM1
0.00
600.00m
0.00
600.00m
AM2
AM2
0.00
10.00
0.00
10.00
VG1
VG1
0.00
7.00
0.00
9.00
3 = 6ms
VM1
VM1
3 = 6 ms
0.00
0.00
2.50m
5.00m 7.50m
Time (s)
10.00m
C = 100 F
1 = 1000, 2,3 = - 500  j 1322,9
 = 1/500 = 2 ms,
 = 1322,9 s-1
T = 2/ = 4,75 ms
0.00
0.00
2.00m
4.00m 6.00m
Time (s)
8.00m
C = 10 F
1 = 1000, 2,3 = - 500  j 4444
 = 1/500 = 2 ms,
 = 4444 s-1
T = 2/ = 1,414 ms