Unterlagen2 16.9.11

2011
Brigitte Wessenberg, Ursula Albrecht
Unterlagen Teil 2, 16. September, Innsbruck
Tagungsleitung: Katharina Bürgel
Ort: PHT, Adamgasse 22, Innsbruck
Tagung der Landes-ARGE für angewandte Mathematik HUM
mit Teilnahme der HLFS und BAKIP
1. Grundlegendes zur mündlichen RP
1.1 Lehrstoff und Aufbau der Aufgaben
1.2 Umgang mit der Plattform
2. Technologieeinsatz am Beispiel der Matrizenrechnung
2.1 Kurze Einführung zu Matrizen
2.2 Demonstration einiger Beispiele
Programm zur Tagung der erweiterten Landes-Arge angewandte Mathematik,
Innsbruck, 16.9. 2011
Teilnehmer: Mathematik-Lehrer/innen: HUM, BAKIP/SOP, HLFS aus Tirol
Leitung: Katharina Bürgel, Landes-Arge-Leiterin für HUM
Referentin und Leitung der Workshops: Brigitte Wessenberg
Betreuung der Workshops: Ursula Albrecht (BAKIP), Katharina Bürgel (HUM)
13:30 Grundlegendes zur mündlichen RP, Referat
13:45-14:45 Workshop: Eigenständiges Erstellen einer Aufgabe zur mündlichen RP
14:45 Pause
15: 00 Einführung in Matrizenrechnung, Referat (TI 82stats, Wiris)
15:30 – 16:30 Workshop: Teilnehmer entwickeln je eine Aufgabe für JG 3 mit Technologieeinsatz.
kurze Kaffeepause zwischendurch nehmen!
16:30 pünktlich! Nachlese und Zusammenfassung, Demonstration einzelner neu entwickelter
Aufgaben
17h Ende
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1. Grundlegendes zur mündlichen RP
1.1 Lehrstoff und Aufbau der Aufgaben
Die Bundes-ARGE Mathematik HUM schlägt 8 (später 9) Themenkreise vor, aus denen der Schüler /
die Schülerin blind 2 zieht. Einen Themenkreis davon wählt er aus. Prüfer/in teilt dem Schüler/der
Schülerin dann eine Themenstellung zu.
Die vorgeschlagenen Themenkreise sind:
1. Gleichungen/lineare Optimierung
2. Funktionen/Zu-und Abnahmeprozesse
3. Winkelfunktionen/Trigonometrie
4. Zinseszins-Renten/Sparen, Kredite
5. Extremwerte/Wirtschaftsmathematik
6. Statistik/Regression
7. Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeitsverteilungen
8. Integralrechnung
(9.Vektoren/Matrizen - nach Einführung des neuen LP)
1.1.1 Anzahl der Aufgaben: Wir gehen davon aus, dass uU sehr viele SchülerInnen zur mündlichen
antreten werden. So haben wir es pro Prüfung mit möglicherweise 30 mal 9 = 270 zu tun, wenn man
für jeden Schüler GLEICHE Bedingungen schaffen möchte. Weil ja der Themenbereich blind gezogen
wird, und 8 (9) Bereiche verfügbar sind, kann man das auf Grund von
Wahrscheinlichkeitsabwägungen aber doch guten Gewissens reduzieren. Der Vorschlag geht dahin,
dass wir 10 Aufgaben pro Themengebiet unbedingt verfügbar haben sollten. Das sind immerhin 80
(90) Aufgaben pro Prüfung! Sollten 10 SchülerInnen das gleiche Gebiet ziehen, so ist in diesem nicht
sehr wahrscheinlichen Fall eine Themenstellung evt. aus dem Pool nachdruckbar, oder der
Themenbereich ist aus der Wahlmöglichkeit herauszunehmen.
Die Anzahl der benötigten Aufgaben reduziert sich zusätzlich im Februar, wenn die Anmeldungen
vorliegen! Dann kann man sich aus dem Pool die gewünschte Zahl an Aufgaben herunterladen, sie
bearbeiten und evt. im Lehrerkollegium auch mit einem eigenen schulinternen Bewertungsschema
versehen.
1.1.2 Beurteilung der Prüfung: Wir haben durch das Ziehen und durch eine wahrscheinlich größere
Zahl an Prüfungen keine sehr große Möglichkeit, Beurteilungskriterien für jede Aufgabe während der
Prüfungszeiten zu überlegen.
Das muss unbedingt vorher sein. Das Problem dabei ist, dass dies bei einer großen Zahl an
KandidatInnen eine recht zeitaufwändige Angelegenheit für den einzelnen Lehrer werden könnte.
Aus diesem Grund haben wir uns ein Beurteilungsschema bei der Musteraufgabe überlegt, das man
einfach handhaben kann und das schnell und gerecht zur Bewertung führt. Allerdings müsste man
das in jede Aufgabenstellung hineinkopieren. Alle Unteraufgaben gleich, 4 Unteraufgaben. Weil ja
die einzelne HUM-Lehrkraft nur ganz wenige, Aufgaben in den Pool beizusteuern braucht, kann die
Erwartung und die Beurteilung bei jeder Aufgabe im Detail vorgedacht werden und als Hilfe
angeboten werden.
3
Bitte das vorgeschlagene Bewertungsschema in alle Aufgaben einbauen, auch wenn man
beschließt, alles dann letztlich anders zu machen. Das Ganze ist ein Vorschlag, die Arbeit für das
Prüfungsgeschehen zu minimieren, soll aber natürlich in keiner Weise bindend sein. Ich denke,
wenn schon die Lehrer die Aufgaben selber erstellen müssen, dann sollen sie auch den Vorteil
genießen, dass sie jede Aufgabe persönlich für sich (ihre Schule) autonom verändern können und
sie so stellen oder bewerten können, wie sie das individuell wollen! Dennoch ist vielleicht der eine
oder andere für ein vorgedachtes Schema dankbar.
Aufgabe erstellt von ES = Eva Schmetterer als Muster:
http://epmp.bmbwk.gv.at/vData/vProjects/361/Team/Dokumente/7482/1-funktionen_ES.doc
1.2 Der Umgang mit der Plattform:
Einstieg:
User Mathe.HUM
Passwort eingeben
Dann nichts ändern ! und gleich auf links
Team klicken
Unter Dokumente finden sich die Themen (derzeit 40). Das Aufladen geht ganz einfach. Aber bitte in
doc ( 03!)
Löschen kann nur ich als Projektverwalterin. Ich habe bisher alle Aufgaben formal auch nochmals
korrigiert….
Unter Adresse werden Sie gebeten, sich als Lehrer mit den wichtigsten Daten einzutragen, dass man
Sie bei Nachfragen erreichen kann.
Bei Fragen oder Problemen stehe ich jederzeit zur Verfügung
[email protected]
4
2. Technologieeinsatz am Beispiel der Matrizenrechnung
2.1 Kurze Einführung zu den Matrizen
Für die HUM und auch HLFS sind die Matrizen in der Anwendung in wirtschaftlicher Hinsicht wichtig.
Die BA benötigt diese Anwendung nicht, hier genügen Aufgabenstellungen wie in der AHS üblich.
Welche Rechenarten mit Matrizen sollte man beherrschen:
2.1.1 Addition und Subtraktion:
Ein Betrieb stellt 3 Güter her G1, G2, G3. Er liefert sie an 4 Filialen F1, F2, F3, F4.
Die Übersicht über die in 2 Monaten an die Filialen gelieferten Mengen wird in Matrizenform GxF
angegeben.
Die Schreibweise GxF oder kurz GF bedeutet, dass die Güter in den Zeilen zu lesen sind, die Filialen in
den Spalten.
Die Gesamtlieferung in diesen 2 Monaten:
Matrizen können addiert, bzw. subtrahiert werden, wenn sie vom gleichen Typ (n x m) sind.
Man addiert bzw. subtrahiert die entsprechenden Elemente. Das Ergebnis ist wieder eine Matrix
vom Typ (n x m).
2.1.2 Multiplikation und Division mit einer Zahl:
Der Betrieb möchte im 3. Monat das Ergebnis des 1. Monats verdreifachen. Man stellt sich vor, dass
man an alle Filialen die dreifache Menge der Güter G1, G2 und G3 sendet.
Die neue Liefermenge: 3  GF
Matrizen werden mit einer Zahl multipliziert (dividiert), indem man jedes Element mit dieser Zahl
multipliziert (dividiert).
TI82stat:
Mit Matrix/ Edit die Matrix erzeugen. Im Hauptfenster [A]*Zahl eingeben.
TI89: Matrix erzeugen, mit Zahl multiplizieren
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2.1.3 Multiplikation von 2 Matrizen
Ein Unternehmen stellt die Produkte P1, P2 und P3 aus den Ausgangsstoffen A1 und A2 her.
Es möchte 7 Mengeneinheiten (ME) von P1, 5 ME von P2 und 8 ME von P3 erzeugen.
Man benötigt die folgenden Mengen der Ausgangsstoffe:
1. Frage: Wie viel vom Ausgangsstoff A1 wird für die gewünschte Produktion benötigt?
Die Antwort ist einfach: 5  7 + 3  5 + 5  8 = 90
Das entspricht dem Skalarprodukt zweier Vektoren! Die erste Zeile versteht sich als Zeilenvektor.
2. Frage: Wie viel vom Ausgangsstoff A2 wird für die gewünschte Produktion benötigt? Das entspricht
wieder der Skalarmultiplikation des Zeilenvektors (2. Zeile) mal Spaltenvektor
Beide Fragen können in einem Schritt durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
geklärt werden:
2x3 mal 3x1  2x1
Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor:
Man multipliziert eine Matrix mit einem Spaltenvektor, indem man jede Zeile der Matrix
mit dem Spaltenvektor skalar multipliziert. ZEILE mal SPALTE.
Bedingung: Anzahl der Spalten in der Matrix = Anzahl der Zeilen des Vektors.
Darstellung in einem Gozintograf:
Der Ausdruck Gozinto stammt von „goes into“ und meint einen gerichteten Graphen, der beschreibt,
aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen.
Der Produktionsprozess kann einstufig oder mehrstufig sein, wobei Rohstoffe, Zwischenstoffe und
Fertigteile beteiligt sein können. Der Gozintograf zeigt, wie diese Teile mengenmäßig miteinander
verbunden sind.
TI82stats:
Matrix und Spaltenvektor mit MATRIX/EDIT erzeugen und [A]*[B] im Hauptfenster eingeben
TI89: Matrix und Spaltenvektor und mit * verbinden
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Stellen wir uns vor, dass die Produkte P im vorherigen Beispiel mit einer Zwischenstufe A aus
Rohstoffen R hergestellt sind:
1 Stück A1 benötigt 3 ME R1 und 4 ME R2
1 Stück A2 benötigt 6 ME R1 und 2 ME R2
Der Gozintograf veranschaulicht die Situation:
Die Berechnung des gesamten Rohstoffbedarfs erhält man durch die Multiplikation der
„Rohstoffmatrix“ mit der „Ausgangsstoffmatrix“.
Multiplikation von 2 Matrizen:
Damit man Matrizen miteinander multiplizieren kann, muss die Anzahl der Spalten der 1. Matrix
der Anzahl der Zeilen in der 2. Matrix entsprechen
Die Reihenfolge der Multiplikation darf man nicht vertauschen!
TI82stats: Die beiden Matrizen editieren: Matrix /Edit und [A] * [B] im Hauptfenster eingeben
TI 89: Beide Matrizen eingeben und stornieren, dann a1*b1. Wenn man die Matrizen nur einmal
braucht, dann kann man auch die Klammerausdrücke gleich multiplizieren.
Tipp:
Um aus einem Text die Matrizen richtig zu übersetzen und die Reihenfolge festlegen zu können,
empfiehlt es sich, den Vorgang gleich zu Beginn in Matrizenkurzschreibweise darzustellen.
z.B. in diesem Beispiel:
R x A  A x P  R x P: Zeilen von R multipliziert mit Spalten von A
oder auch in der folgenden Schreibweise:
Am,n . Bn,p = Cm,p
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2.2 Demonstration an zwei Beispielen für den Unterricht
2.2.1 Matrizenoperationen in wirtschaftlicher Anwendung *
In einem Betrieb werden aus den Rohstoffen R1, R2, R3 und R4 die Bauteile B1, B2 und B3 und aus
diesen die Endprodukte E1, E2 und E3 laut folgender Tabellen hergestellt .
Die Angaben für die Rohstoffe sind in Mengenienheiten ME und die der Bauteile sowie der
Endprodukte in Stück zu verstehen.
a) Berechnen Sie x,y, und z über die Angaben in der Tabelle und geben Sie die Matrix B an, die angibt,
wie viele Bauteile zur Herstellung von je einem Endprodukt notwendig sind. Vervollständigen Sie
die Tabelle. Interpretieren Sie die Lösung in Bezug auf das Endprodukt E1.
b) Berechnen Sie, wie viele Bauteile man benötigt, wenn 10 Stück von E1 und 12 Stück von E2 erzeugt
werden sollen.
c) Berechnen Sie, wie viele Mengeneinheiten Rohstoffe nachbestellt werden müssen, wenn sich im
Lager noch 100 ME R1 , 80 ME R2 und je 50 Bauteile B1 und B2 befinden.
Lösung
a) Modellieren und Operieren: Zunächst gilt es x,y, und z zu berechnen.
Rohstoff (Bauteil) [A] eingeben
= 16
= 26
= 22
Das Gleichungssystem mit 3 Variablen ist mit TR zu lösen:
Matrix C / Edit/ 3x4/ Koeffizienten eingeben/Quit
Matrix/ Math/reff/Matrix C/ enter
x = 3, y = 1, z = 2
*Die Zahlen sind einer Aufgabe zur Zentralmatura in Baden –Würtemberg 2009, Andreas Schwarz entnommen.
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Matrix B editieren im TR.
[D] = [A][B] bilden, das ergibt die Rohstoffe, die für je ein Endprodukt benötigt werden:
D = AB =
Die Werte der Matrix sind in die Tabelle einzutragen.
Interpretieren: Ein Endprodukt E1 benötigt 18 ME R1 , 17 ME R2¸ 26 ME R3 und 13 ME R4.
b) Modellieren und Operieren:
Produktionsmatrix der Endprodukte:
Bauteile neu F: = BP gibt die benötigten Bauteile für diese Produktion
Eingabe: [B]* [[10] [12] [0]] (P direkt eingeben!)
STO F
Man benötigt 58 B1 für 10 E1, 44 B2 für 12 E2.
c) Bauteile-Lagerbestand – Benötigte Bauteile: [[50] [50] [0]] – [F]
Interpretieren: Es fehlen 8 B1 und 20 B3. Von B2 keine.
Die zur Herstellung dieser Bauteile erforderliche Rohstoffmenge erhält man mit Eingabe von
[A] * [[8] [0] [20]]:
STOG
Lagerbestand – benötigte Rohstoffe: [[100] [80] [0] [0]] – [G]
Interpretieren: Es müssen 28 ME R2, 176 ME R3 und 100 ME R4 nachbestellt werden.
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2.2.2 Leontief-Modell in wirtschaftlicher Anwendung*
Drei Abteilungen R, S und T sind nach dem Modell von Leontief miteinander verflochten.
Es ist die Leontief-Inverse der Waren in Geldeinheiten GE bekannt:
(E-A)-1 =
a) Bestimmen Sie die Inputmatrix A und erklären Sie, was A über den Eigenverbrauch der 3
Abteilungen aussagt.
b) Erstellen Sie eine Grafik zu dieser Inputmatrix.
c) Im vergangenen Quartal produzierte R Waren im Wert von 800 GE, S im Wert von 1000 GE und T
im Wert von 500 GE.
Erstellen Sie die zugehörige Tabelle, die sowohl die Lieferungen der Abteilungen untereinander, als
auch die Lieferungen in den externen Konsum wiedergibt.
Lösung
a) Matrix/Edit/D/enter3x3 eingeben dann Quit
Matrix aufrufen Taste X-1 verwenden (nicht ^-1!), ergibt die inverse Matirx
D = E-A =
A = E-D =
Tipp: E findet man unter Matrix/ Math 5 (identity). Mit Eingabe von 3 erhält man E.
Eingabe daher Matrix Math 5/3 – 2nd ANS, Stornieren Sie die Matrix auf A
STOMatrix [A]
Den Eigenverbrauch liest man in der Hauptdiagonale ab:
R benötigt 55 % der Produktion selber, S 80% und T 55 %.
__________________________________
*Diese Aufgabe wurde nach der Vorlage einer Aufgabe aus dem Buch „Mathematik, Berufliches Gymnasium 2011, Verlag Stark, Baden –
Württemberg“ für unsere Zwecke verändert.
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b) Grafik der Inputmatrix
c)
Es gilt der folgende Zusammenhang: Produktion = Nachfrage + interner Verbrauch
X = N + AX
X - AX = N
(E – A) X = N
E ist die Einheitsmatrix.
Produktion X = (E –A)-1  N und Nachfrage N = (E – A)  X
bekannt ist:
X=
Die Nachfrage erhält man mit der folgenden Eingabe:
X wird in [C] editiert: Matrix/ Edit [C] 3x1 eingeben und QUIT
(Matrix/Math Identity (3) – [B])* [C] eingeben
Die einzelnen Waren mit den Geldwerten (= Leontief-Matrix) erhält man, wenn man die
Zeilenelemente der Inputmatrix jeweils mit den Spaltenelementen der Produktion multipliziert:
R
S
T
R
S
T
Man kann das mittels Matrizenrechnung so ausführen:
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Zusammenfassung in der Leontief-Tabelle:
Input in den Spalten
für
R
S
T Nachfrage Produktion
von
R
440 250 100
S
160 800 0
T
80 100 275
Output in den Zeilen
Gozintograf der Güterströme:
10
40
45
800
1000
500
Aussage:
R produziert Waren im Wert von 800 GE
R braucht selber R-Waren im Wert von 440 GE
R gibt an S Waren im Wert von 250 GE = 25% der S-Produktion
R gibt an T Waren im Wert von 100 GE = 20 Prozent der T-Produktion
und gibt in den Konsum den Warenwert 800-440-250-100 = 10 GE
S produziert Waren im Wert von 1000GE
S benötigt selber S-Waren im Wert von 800 GE = 80 Prozent der S-Produktion
S gibt an R Waren im Wert von 160 GE = 20 % der R-Produktion
S gibt von T nichts
S gibt in den Konsum den Warenwert von 1000 – 800 - 160 = 40 GE
T produziert Waren im Wert von 500 GE
T benötigt davon selber Waren im Wert von 275 GE = 55% der T-Produktion
T gibt an R Waren im Wert von 80 GE = 10% der R-Produktion
T gibt an S Waren im Wert von 100 GE = 10% der S-Produktion
T gibt in den Konsum den Warenwert von 500 – 275 – 80 - 100 = 45 GE
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