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§19 Matrizen als lineare Abbildungen
Natürlich sind Matrizen keine lineare Abbildungen. Was der Titel
anspricht, ist die Aussage, dass jede Matrix unter Festschreibung
von Basen eine lineare Abbildung definiert.
Und umgekehrt: Ist f aus Hom(V,W) mit endlichdimensionalen KVektorräumen V und W, so bestimmt die Vorgabe von (geordneten)
Basen in V und W eine Matrix, welche die Abbildung f vollständig
beschreibt.
(12.1) Definition: V sei ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Eine
geordnete Basis von V ist ein n-Tupel (b1, b2, ... , bn) von Vektoren
aus V, für das die Menge {bk : k = 1, 2, ... ,n} = {b1, b2, ... , bn} eine
Basis bildet.
Achtung: {b2, b1, b3, ... , bn} = {b1, b2, ... , bn} , aber in der Regel
nicht (b2, b1, b3, ... , bn) = (b1, b2, ... , bn) .
Folie 1
Kapitel IV, §19
07.01.02 
(19.2) Satz: Sei b = (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V und
sei c = (c1, c2, ... , cm) eine geordnete Basis von W.
Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung f aus Hom(V,W) eine (m,n)

Matrix A  ( A ) ( = A(f) = A(f,b,c) ) mit


f ( X)  A X c 
für X aus V, X  X b , X  K .
Anders ausgedrückt: f(X) = Y hat bezüglich der geordneten Basis

 

 
(c1, c2, ... , cm) die Komponenten Y  A X : Y  Y c   A X c  .

Beweis: f (b ) hat die eindeutige Darstellung f (b )  A c  . Die

Koeffizienten A bestimmen eine Matrix A, und es gilt:

 
f ( X)  f ( X b )  A X c  .
Bemerkung: Diese Matrix A = A(f) = A(f,b,c) heißt die zu f gehörige
Matrix (in Bezug auf die geordneten Basen b und c).
Umgekehrt:
Folie 2
Kapitel IV, §19
(19.3) Satz: Sei b = (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V und
sei c = (c1, c2, ... , cm) eine geordnete Basis von W. Jede (m,n)Matrix A  ( A ) definiert die linearen Abbildung f ( = f(A) = f(A,b,c) )
 
vermöge
19.12.01
f ( X) : A X c 
für X aus V , X  X b , X  K .
(19.4) Spezialfall: Für V = Kn und W = Km mit den geordneten
Standardbasen e = (e1, e2, ... ,en) und e = (e1, e2, ... , em) folgt:
Jede (m,n)-Matrix definiert die lineare Abbildung f = f(A,e,e) durch

 
n

f ( X) : Y , Y : A X , für X  K mit den Komponente n X .
(19.5) Satz: Sei b = (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V und
sei c = (c1, c2, ... , cm) eine geordnete Basis von W.
Die natürliche Abbildung
mn
 :K
 Hom( V, W ) , A  f ( A,b, c )
ist ein Isomorphismus von Vektorräumen.
Folie 3
(19.6) Korollar: dim Hom(V,W) = (dim V)(dim W) .