Lineare Algebra individuell - Institut für Mathematik

Marko Roczen und Helmut Wolter
unter Mitarbeit von
Wilfred Pohl, Dorin Popescu, Radu Laza
Aufgabensammlung1
Lineare Algebra individuell
/ zur Fundstelle
Aufgabe 2/3/131
(S: Varianten)
Bestimmung inverser Matrizen über IF29
Index: invertierbare Matrix, inverse Matrix, gaußscher Algorithmus, reguläre Matrix
Stoffeinheiten: 2/3/6 - 2/3/9 Die allgemeine lineare Gruppe
Invertieren Sie die Matrix
!
−3 11
A=
−8 −12
über dem endlichen Primkörper IF29 .
Lösung. Wir erhalten die inverse Matrix, indem wir beispielsweise (A, E2 ) durch Zeilentransformationen äquivalent in eine Matrix (E2 , A0 ) umformen. Ist dies möglich, so
gilt A0 = A−1 . Dabei werden wir unter Vermeidung von Divisionen zunächst eine Matrix
(D, A00 ) erzeugen, wobei D eine Diagonalmatrix ist. Ausgehend von
!
−3 11 1 0
−8 −12 0 1
ergibt sich schrittweise
!
!
−3 11 1 0
−3 0 7 4
und
.
0 8 8 −3
0 8 8 −3
Multiplikation mit D−1 führt nun auf die Lösung. Dazu müssen wir die Zahlen −3 und 8
in IF29 invertieren. Wegen (−10)·(−3) = 30 = 1 ist −10 = −3−1 . Um 8 zu invertieren,
wird der euklidische Algorithmus (vgl. 1/2/26 ) mit den Zahlen 29 und 8 im Ring ZZ
ausgeführt, wobei der größte gemeinsame Teiler (d.h. die Zahl 1) als Vielfachensumme
der Ausgangszahlen dargestellt wird. Wir setzen r−1 := f und r0 =: g . Für i > 0 wird
mit ri der Rest bei der i-ten Division bezeichnet. Es ergibt sich die folgende Tabelle:
29 : 8 = 3 Rest 5
r−1 − 3·r0 = r1
r1 = f − 3g
8 : 5 = 1 Rest 3
r0 − 1·r1 = r2
r2 = −f + 4g
5 : 3 = 1 Rest 2
r1 − 1·r2 = r3
r3 = 2f − 7g
3 : 2 = 1 Rest 1
r2 − 1·r3 = r4
r4 = −3f + 11g
Die erste Spalte enthält den euklidischen Algorithmus. In der zweiten Spalte sind die
Regeln zur Bildung der letzten Spalte angegeben. Diese entsteht durch Einsetzen der
1
Ver. 0.51 (Juli 2004), Institut für Mathematik an der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II der
Humboldt-Universität zu Berlin, 2004 (Preprint; 2004-17), ISSN 1439-9679
Diese Aufgabensammlung entstand mit teilweiser Förderung durch das Bundesministerium für Bildung und
Forschung unter dem Kennzeichen 01NM075D; die Verantwortung für den Inhalt liegt bei den Autoren.
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Marko Roczen et al., Aufgabensammlung Lineare Algebra individuell (Online-Ver. 0.51)
bereits bekannten Ausdrücke und enthält die Darstellung der Reste als Vielfachensummen.
So ergibt sich
1 = −3f + 11g.
In IF29 folgt (vgl. 1/2/29 )
11 = 8−1 .
Multiplikation der zuletzt erhaltenen Matrix mit D−1 ergibt
!
1 0 −12 −11
,
0 1 1 −4
daher
!
A
−1
=
−12 −11
.
1 −4