Grundlagen der Physik

eum3.nb
*UXQGODJHQGHU3K\VLN
Vorlesung im Fachbereich VI der Universität Trier
Fach: Geowissenschaften
Sommersemester 2001
'R]HQW
'U.DUO0ROWHU
'LSORP3K\VLNHU
)DFKKRFKVFKXOH7ULHU
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(0DLOPROWHU#IKWULHUGH
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Version: 1.0
25.06.01
/LWHUDWXU
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6WURSSH: 3K\VLN,
Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN 3-446-21066-0
+HULQJ0DUWLQ6WRKUHU: 3K\VLNIU,QJHQLHXUH,
Springer, Berlin; VDI, 1999, ISBN 3-540-66135-2
3DXO$7LSOHU: 3K\VLN,
Spektrum Akademischer Verlag, 2000, ISBN 3-86025-122-8
*HUWKVHQ: 3K\VLN,
Springer Verlag, 1999, ISBN 3-540-65479-8
%URQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHU0DWKHPDWLN,
Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2
-UJHQ(LFKOHU: 3K\VLN,
Vieweg Verlag, 1993, ISBN 3-528-04933-2
+DQV-3DXV: 3K\VLN,
Hanser Verlag, 1995, ISBN 3-446-17371-4
.ODXV:HOWQHU: 0DWKHPDWLNIU3K\VLNHU,
Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN 3-528-06775-6, erhältlich!)
6WHSKHQ:ROIUDP: 7KH0DWKHPDWLFD%RRN,
Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-64314-7
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Elektrizität und Magnetismus (3)
Nachweis elektrischer Ladungen,
elektrische Gleichströme
(OHNWUL]LWlW
Å 1DFKZHLVHOHNWULVFKHU/DGXQJHQ
Eine einfache Art der Ladungsmessung besteht darin, die Anziehungskraft ungleichnamiger Ladungen
oder die Abstoßung gleichnamiger Ladungen direkt auszunutzen.
Die folgende Abbildung zeigt zwei Geräte, das Blättchenelektroskop (a) und das Braunsche Elektrometer
(b), die beide die Abstoßung gleichnamiger Ladungen ausnutzen und über den Ausschlag beweglich
aufgehängter Metallblättchen die Ladungsmenge bestimmen.
$EELOGXQJ
é 0LOOLNDQ9HUVXFK
Der Physiker Millikan fand einen genial einfachen Versuch um die Elementarladung H (vgl. [1]) zu
bestimmen.
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$EELOGXQJ
)$ :
)el :
)5 :
)J :
Auftriebskraft
Kraft im elektrischen Feld
Reibungskraft
Schwerkraft
Dazu wird als Ladungsträger ein kleines Flüssigkeitströpfchen zwischen die Platten eines horizontal
gelagerten Plattenkondensators gebracht. Im feldfreien Raum sinkt es unter dem Einfuß der Schwere
und der Reibungskraft mit konstanter Geschwindikeit, aus der nach dem Stokesschen Gesetz der
Radius und damit auch die Masse m des Tröpfchens bestimmt werden kann.
Mittels einer regulierbaren Spannung zwischen den Platten kann nun aber das Tröpfchen auch in der
Schwebe gehalten werden.
Aufgrund des Kräftegleichgewichts (bei genauer Betrachtung muss auch noch die Auftriebskraft des
Öltröpfchens in der Luft berücksuchtigt werden!) gilt dann:
U
Q E = Q þþþþ = m g
d
[1]
also:
mgd
Q = þþþþþþþþþþþþ .
U
Die zu messende Ladung ist damit bis auf die Masse des Öltröpfchens durch bekannte Größen
dargestellt. Die Masse wird anhand eines Fallversuchs ermittelt, wobei ebenfalls Auftriebs- und
Reibungskräfte berücksichtigt werden müssen. Aus Zeitgründen wird auf Einzelheiten hier nicht
eingegangen sondern auf die einschlägige Literatur bzw. Darstellungen im Internet verwiesen.
[2]
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Millikan fand auf diese Weise, dass die Ladung solcher Tröpfchen stets ein niedriges ganzzahliges
Vielfaches der Elementarladung H ist.
Auf diese Weise war es erstmals möglich, die Elementarladung relativ genau zu bestimmen.
Å (QHUJLHHLQHU/DGXQJVYHUWHLOXQJ
Bringen wir Ladungen auf einen Leiter, so müssen wir Arbeit gegen das sich aufbauende elektrische
Feld leisten.
Um die Energie einer Ladungsverteilung zu ermitteln, denken wir uns, dass wir die Ladung Q in kleinen
Schritten dq auf den Leiter aufbringen. In einem Zwischenstadium ist die Ladung q erreicht, die nach
T
Gleichung [12] (eum2) ein Potential j = þþþþ
&þ ergibt.
Gegen dieses Potential die nächste Ladung dq heranzuführen erfordert die Arbeit:
q dq
dW = j dq = þþþþþþþþþþþ
C
[3]
Die Gesamtarbeit ergibt sich durch Integration über die gesamt aufzubringende Ladung Q:
Q
q
Q2
W = Å þþþþ Ç q = þþþþþþþþ
2C
0 C
[4]
Diese Arbeit ist als potentielle Energie im Leiter gespeichert. Mit Gleichung [12] (eum2) kann man sie
auch mittels des Potentials ausdrücken:
1
Wpot = þþþþ C j2
2
[5]
Nun können wir auch die Energie eines geladenen Plattenkondensators berechnen, indem wir die
Gleichungen [5] und [17 (eum2)] kombinieren:
Wpl =
e0 U2
e0 2
1 e0 S 2
þ þþþþþþþ S d = þþþþþþ
þ E V
þþþþ þþþþþþþþ
þþ U = þþþþþþ
2 d2
2
2
d
wobei
U
E = þþþþþþ
d
die Feldstärke im Plattenzwischenraumist und
V = Sd
das zwischen den Platten eingeschlossene Volumen.
[6]
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Allgemein gilt auch für inhomogene Felder für die Energiedichte HEnergie pro VolumenL :
1
wel = þþþþþ e0 E2 .
2
Å (OHNWULVFKH*OHLFKVWU|PH
Ladungen in elektrischen Feldern unterliegen Kräften, die dazu führen können, dass diese Ladungen
sich bewegen.
Dies geschieht beispielsweise, wenn man an einen elektrischen Leiter, beispielsweise einen Draht, eine
Potentialdifferenz, also eine Spannung anlegt.
Man bezeichnet die im Zeitintervall dt durch den Leiter geflossene Ladung dQ als elektrischen Strom ,,
der definiert ist, als:
dQ
C
I = þþþþþþþ A þþþþ E
dt
s
[7]
Die Einheit des elektrischen Stroms ist Coulomb/Sekunde bzw. Ampere [A].
Ist der Strom zeitlich konstant, spricht man von einem Geichstrom. Da ein elektrischer Leiter (z.B.
Kupferdraht) einen bestimmten Querschnitt hat, durch den der Strom fließt, kann man auch eine
6WURPGLFKWHM definieren:
dI
A
j = þþþþþþþ A þþþþþþ
þE
dA
m2
[8]
é 'DV2KPVFKH*HVHW]
Messungen an Metalldrähten aus geeignetem Material (z.B. Konstantan oder Manganin) zeigen, das
beim Anlegen einer regelbaren Spannung zwischen den Enden des Leiters der fließende Strom
proportional zur Spannung ist.
Es gilt daher:
U = RI
[9]
Den Proportionalitätsfaktor 5 nennt man RKPVFKHQ:LGHUVWDQG, die Beziehung [40] ist als 2KPVFKHV
9þ ] .
*HVHW] bekannt. Dei Einheit des ohmschen Widerstands ist [W] = [ þþþþ
$
Nicht alle elektrischen Widerstände gehorchen dem ohmschen Gesetz. Es gibt sogenannte
Halbleiterwiderstände, die den Strom in einer Richtung sperren, während sie in der anderen Richtung
eine hohe Leitfähigkeit aufweisen.
Ein typischer Vertreter dieser Kategorie ist die Halbleiterdiode, deren Kennlinie wie folgt aussieht:
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$EELOGXQJ
é .LUFKKRIIVFKH*HVHW]H
Für elektrische Ströme gilt wie beispielsweise für die elektrische Ladung oder die Energie eine
Erhaltungsregel, die sich gemäß Abbildung 14 wie folgt formulieren läßt:
$EELOGXQJ
5
Ç Ik = 0
[10]
k=1
D.h. die Summe der in einen Knoten fliessenden und der aus einem Knoten fliessenden Ströme ist
immer gleich Null.
Man bezeichnet dies als die .QRWHQUHJHO oder.LUFKKRIIVFKHV*HVHW].
Üblicherweise erhalten die in den Knoten fliessenden Ströme ein positives Vorzeichen, die aus dem
knoten fliessenden ein negatives.
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Mit Hilfe einer weiteren Regel ist die Berechnung beliebiger verzweigter Stromkreise aus ohmschen
WIderständen und elektrischen Spannungsquellen möglich. Machen wir uns diese Regel anhand der
folgenden Abbildung klar:
$EELOGXQJ
Die Regel lautet:
In jedem beliebigen geschlossenen Stromkreis wie auch in jeder Masche eines Stromnetzes ist die
Summe aller Spannungsquellen und Spannungsabfälle an Widerständen gleich Null (0DVFKHQUHJHO
oder .LUFKKRIIVFKHV*HVHW]).
Die mathematische Formulierung lautet:
n
m
Ç Ui + Ç Rj Ij = 0
i=1
[11]
j=1
Diese Formulierung ist identisch mit der Aussage, dass die Arbeit im elektrischen Feld nach Gleichung [2
(eum2)] auf einem geschlossenen Weg gleich Null ist:
W =  ) HUL Ç U = Q  ( HUL Ç U = 0.
[12]
Für die Masche in Abbildung 15 gilt daher (Man beachte die Vorzeichen!):
Ue2 - Ue3 + R3 I3 + R4 I4 - R8 I5 - R5 I3 = 0
[13]
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é 3DUDOOHOXQG5HLKHQVFKDOWXQJYRQHOHNWULVFKHQ:LGHUVWlQGHQ
Bei der Reihenschaltung (Serienschaltung) von Widerständen wendet man die Maschenregel an und
erhält gemäß folgender Abbildung:
$EELOGXQJ
U = Rges I = U1 + U2 = IR1 + IR2 = I H R1 + R2 L
[14]
also
Rges = R1 + R2 .
[15]
Allgemein gilt also für die 5HLKHQVFKDOWXQJ von Widerständen:
n
Rges = Ç Ri .
i=1
Bei der 5HLKHQVFKDOWXQJ von Widerständen addieren sich diese zum Gesamtwiderstand.
Die 3DUDOOHOVFKDOWXQJ von Widerständen läßt sich mit hilfe der Knotenregel berechnen:
[16]
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$EELOGXQJ
Im dargestellten Fall erhält man:
U
U
U
1
1
I = þþþþþþþþþþ = I1 + I2 = þþþþþþþ + þþþþþþþ = U J þþþþþþþ + þþþþþþþ N
Rges
R1
R2
R1
R2
[17]
und damit
1
1
1
þþþþþþþþþþ = þþþþþþþ + þþþþþþþ
Rges
R1
R2
[18]
Allgemein gilt für den Gesamtwiderstand von n parallel geschalteten Widerständen :
n
1
1
þþþþþþþþþþ = Ç þþþþþþþ
Rges
Ri
[19]
i=1
Bei der 3DUDOOHOVFKDOWXQJ von Widerständen addieren sich die reziproken Einzelwiderstände (auch
Leitwerte genannt) zum Kehrwert des Gesamtwiderstands.
Die folgende Abbildung zeigt den schematischen Aufbau eines Vielfachmessers für Strom, Spannung
und Widerstand. Das Zeigermessgerät schlägt aus, sobald ein elektrischer Strom durch das Gerät fließt.
Versuchen Sie die Schaltung zu analysieren.
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$EELOGXQJ
é (QHUJLHXQG/HLVWXQJHOHNWULVFKHU6WU|PH
Wir wissen, dass die Arbeit zum Transport einer Ladung Q im elektrischen Feld zwischen zwei Punkten
mit der Potentialdifferenz (Spannung) U
W=QU
[20]
ist. Fliesst zwischen den beiden Punkten während der Zeitspanne t der Strom I, was einer Ladung Q = I t
entspricht, so ist die Arbeit
W = U I t [VAs = J = Ws].
Die handelsübliche Kilowattstunde ergibt sich damit zu 3,6 106 J.
Die Leistung P, definiert als Arbeit pro Zeit, ergibt sich damit aus Gleichung [20] und aus dem ohmsche
Gesetz zu:
U2
P = UI = I2 R = þþþþþþþ
R
Man bezeichnet die Gleichung [21] auch als -RXOVFKHV*HVHW].
[21]