6. Übungsblatt - WueCampus2

Lehrstuhl für Informatik I
Effiziente Algorithmen und
wissensbasierte Systeme
Universität Würzburg
Würzburg, den 28.11.2012
Prof. Dr. Alexander Wolff
M.Sc. Krzysztof Fleszar
6. Übungsblatt zur Vorlesung
Algorithmische Geometrie (Wintersemester 2012/13)
Aufgabe 1
Geben Sie eine Folge von n sich nicht überschneidenden Strecken in der Ebene an, so
dass der Algorithmus T RAPEZOIDAL M AP ohne den Randomisierungsschritt (Zeile 2)
eine Suchstruktur der Größe Θ(n2 ) und mit einer Anfragezeit von Θ(n) generiert.
6 Sonderpunkte
Aufgabe 2
Gegeben seien zwei Schalen A und B. Die Schale A sei ursprünglich leer; die Schale B
enthalte n Kugeln, die mit 1, 2, . . . , n nummeriert sind. In Schritt 0 werden r Kugeln zufällig aus der Schale B gewählt und in die Schale A gelegt. In den Schritten 1, 2, . . . , n−r
werde jeweils eine Kugel zufällig aus der Schale B gewählt und in die Schale A gelegt.
Die Menge Amax enthalte zu jedem Zeitpunkt die r größten Nummern aus Schale A. Wie
groß ist die zu erwartende Zahl an Schritten (außer Schritt 0), in denen sich die Menge
Amax ändert?
6 Punkte
Aufgabe 3
Beschreiben Sie einen randomisierten, inkrementellen Algorithmus, der den Schnitt einer Menge H von n Halbebenen in der Ebene berechnet und dessen erwartete Laufzeit
O(n log n) ist. Ihr Algorithmus bestimmt zuerst eine zufällige Permutation hh1 , . . . , hn i
von H und berechnet in jedem Schritt i (mit i = 1, . . . , n) den Schnitt Ii := h1 ∩ . . . ∩ hi
der jeweils aktuellen Menge von Halbebenen. Verwenden Sie folgende Zeugenstruktur
um schnell herauszufinden, wo eine neue Halbebene einzufügen ist: Zu jeder noch einzufügenden Halbebene hj (j > i) wird ein Zeuge gespeichert. Dieser ist eine Ecke von Ii ,
die außerhalb von hj liegt. Gehen Sie der Einfachheit halber davon aus, dass h1 ∩ h2 ∩ h3
beschränkt ist.
Hinweis: Betrachten Sie zunächst die Laufzeit, die insgesamt für das Erstellen und Löschen von Ecken von Ii (i = 1, . . . , n) notwendig ist. Definieren Sie dann eine Zufallsvariable Xi für die Anzahl der Zeugen, die
P sich in Schritt i ändern. Verwenden Sie Rückwärtsanalyse, um die Gesamtlaufzeit i Xi zu ermitteln, die zum Verwalten der Zeugenstruktur nötig ist.
14 Punkte
Abgabe vor der nächsten Vorlesung. Besprechung in der Übung am Freitag, dem 07.12.,
um 14:15 Uhr in Raum SE 37 im (ehem.) Mathegebäude.