Das ist Mathematik 2 Lösungen Testen und Fördern www.oebv.at DIM2_tuf_loesung.indd 1 12.11.2013 14:10:49 3 6 8 9 10 14 14 15 15 16 17 20 21 22 23 23 26 27 27 28 Kompetenztest Teilbarkeit natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Fördermaterial Teilbarkeit natürlicher Zahlen Teiler und Vielfache erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Teilbarkeitsregeln kennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Kompetenztest Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 27 28 29 30 32 Kompetenztest Gleichungen, Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 39 41 43 45 Fördermaterial Bruchzahlen Anteile und Verhältnisse bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brüche kürzen und erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brüche vergleichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brüche addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brüche multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fördermaterial Gleichungen, Proportionalität Gleichungen erstellen und lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mathematische Sprache deuten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . direkte und indirekte Proportionalität erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Größen umrechnen, Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompetenztest Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Fördermaterial Prozentrechnung Prozentangaben grafisch darstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Prozentangaben in unterschiedlichen Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 mathematische Sprache deuten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 mit Prozenten rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Lösungen Kompetenztest Wiederholung aus der 1. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 29 32 33 33 34 35 38 38 39 40 40 41 45 46 47 48 Fördermaterial Statistik Daten aus Diagrammen ablesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Häufigkeiten berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 statistische Umfragen Darstellungen zuordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 statistische Darstellungen interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kompetenztest Geometrische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Fördermaterial Geometrische Grundbegriffe Winkel messen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Winkelarten erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 mit dem Koordinatensystem umgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Symmetrie erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 geometrische Eigenschaften erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Kompetenztest Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Fördermaterial Figuren Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Figuren zeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 geometrische Eigenschaften erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Vierecke und ihre Eigenschaften kennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Lösungen Kompetenztest Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Testen und Fördern DIM2_tuf_loesung.indd 2 Inhaltsverzeichnis © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 12.11.2013 14:10:49 DIM2_tuf_loesung.indd 3 11,4 6,09 0,296 1,14 6,9 29,6 b) 20,1 – 8,7 = c) 1,38 • 5 = d) 14,8 : 5 = 2,96 69 11,04 10,5 Je 4 Kanten sind parallel und gleich lang. O=6•a•a Die 12 Seitenkanten sind gleich lang. Es gibt 3 Paar gleich großer Seitenflächen. Die 6 Begrenzungsflächen sind gleich groß. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 1 050 dm³ 700 Liter 1 m³ 450 dm³ 2 3 1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 570 dm³ 4 3) Ordne die angegebenen Rauminhalte nach ihrer Größe – beginne mit dem größten. Würfel Quader V=a•b•c 2) Was gilt für alle Quader? Was gilt nur für Würfel? Ordne die Körper den Eigenschaften richtig zu. 1,05 105 a) 2,6 + 7,9 = 1) Grundrechenoperationen. Berechne und wähle das richtige Ergebnis aus. Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen 5 1/7 Größe • 3 Größe : 3 Größe : 4 Größe • 4 Rechteck H: a = 4 cm, b = 5 cm 1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Rechteck S: a = 7 cm, b = 10 cm Rechteck F: a = 5 cm, b = 20 cm Rechteck I: a = 6 cm, b = 15 cm Rechteck C: a = 10 cm, b = 3 cm 3 5 4 2 6) Ordne die Rechtecke nach ihrem Flächeninhalt. Beginne mit dem kleinsten. 16 • 34 • 12 = (16 + 34) • 2 • 12 = 16 • 2 + 34 • 2 • 12 = Ein rechteckiges Grundstück von 16 m Länge und 34 m Breite soll eingezäunt werden. Der Laufmeter Zaun kostet 12 €. Wie viel Euro sind zu bezahlen? 5) Welche Reihenfolge der Rechenoperationen führt zur richtigen Lösung? Für 1 Viertelliter Traubensaft verlangt der Winzer 0,6 €. Wie teuer ist 1 Liter? 12 kg Erdäpfel kosten 18 €. Wie teuer sind 3 kg? In 3 h kommt Peter 22,4 km weit. Gib seine durchschnittliche Geschwindigkeit an. Ein Fahrzeug verbraucht 7,5 l auf 100 km. Wie viel Liter braucht es für 300 km? 4) Welche Rechenoperation führt zur Lösung? Weise der Textaufgabe die richtige Rechenoperation zu. Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen 6 2/7 Testen und Fördern Lösungen 3 12.11.2013 14:10:51 DIM2_tuf_loesung.indd 4 Der Umfang beträgt: 15,4 cm, 20,8 cm, 24,4 cm Der Umfang beträgt: 18 m, 36 m, 38 m b) Rechteck: a = 4,5 cm, b = 3,2 cm c) Quadrat: Seitenlänge a = 9,5 m 364 – 100 : 24 = 26 m 24 m 17 m, 22 m, 12 m, 13 m, 12 m, 11 m 31 m, 25 m, 19 m, 31 m, 22 m, 28 m © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 11 140 1,65 51 104 165 b) 34,5 + 17,5 – 18,5 – 12,5 = c) 3,5 • 4 • 2 • 5 = d) 57,75 : 3,5 = 16,5 14 21 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 24,5 68,5 a) 17,5 + 23,7 + 6,9 + 20,4 = 86,5 14,5 m 12 m, 18 m, 20 m, 18 m, 19 m, 21 m 10) Berechne – eine Überschlagsrechnung hilft dir. Wähle das richtige Ergebnis aus. 18 m 24 : 367 • 100 = 23 m, 17 m, 20 m, 22 m, 29 m, 33 m 9) Berechne den Mittelwert der gegebenen Weiten. Verbinde mit dem richtigen Mittelwert. (50 – 24) • 100 = Daniela tankt bei einem Kilometerstand von 23 545 mit rund 50 Liter Treibstoff voll. Nach 367 km tankt sie 24 Liter nach. Wie viel Liter verbraucht Danielas Wagen auf 100 km? 8) Welcher Rechengang führt zur richtigen Lösung? Der Umfang beträgt: 8,4 cm, 10,4 cm, 24 cm a) Quadrat: Seitenlänge a = 2,6 cm 7) Berechne den Umfang des Rechtecks. Markiere die richtige Länge. Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen 7 3/7 21 cm 10 cm² Raummaße - Hohlmaße Flächenmaße 21 cm² 20 cm V = 512 cm³ V = 256 cm³ © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at V = 384 cm³ 14) Berechne den Rauminhalt eines Würfels mit einer Seitenlänge von 8 cm. Kreuze das richtige Ergebnis an. ml km² Quadratmeter Liter Hektar Kubikzentimeter Ar m³ 13) Ordne die Maßangaben richtig zu. Unterscheide zwischen Flächen- und Raummaßen. __30___ cm³ 12) Berechne den Rauminhalt des Quaders. 20 cm² 10 cm 11) Wie groß ist der Umfang der färbigen Fläche? Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen 8 4/7 Testen und Fördern Lösungen 4 12.11.2013 14:10:52 DIM2_tuf_loesung.indd 5 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 16) Welche Bruchzahlen haben den gleichen Wert? Verbinde gleichwertige Zahlen. ___210___ mm³ 15) Berechne den Rauminhalt des Quaders. Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen 9 5/7 28 d) 12 • 3 + 4 = 40 84 84 64 6 8 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at erhabener Winkel stumpfer Winkel rechter Winkel spitzer Winkel 18) Verbinde die Winkel mit ihrer Winkelart. 40 8 4 b) 24 : (4 + 2) = c) 12 • (3 + 4) = 4 6 a) 24 : 4 + 2 = 17) Berechne. Achte auf die Rechenregeln. Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen 10 6/7 Testen und Fördern Lösungen 5 12.11.2013 14:10:53 DIM2_tuf_loesung.indd 6 Der Zug fährt noch 1 Stunde 15 Minuten. Der Zug fährt noch 38 Minuten. Es ist 22:35 Uhr. Zugankunft: 0:45 Uhr Es ist 23:25. Zugankunft: 1:00 Uhr 5 4 1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) x = 109 x = 220 x = 16 x:7=7 x + 61 = 77 154 – 45 = x 6 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at x = 49 140 = x – 80 21) Welche Lösung passt zu welchem Rechenausdruck? 2 3 Der Zug fährt noch 2 Stunden 10 Minuten. Es ist 19:45 Uhr. Zugankunft: 20:23 Uhr 20) Ordne die Bruchzahlen – beginne mit der kleinsten. Wenn du unsicher bist, dividiere. Der Zug fährt noch 1 Stunde 35 Minuten. Es ist 18:23 Uhr. Zugankunft: 19:38 Uhr 19) Berechne die verbleibende Fahrzeit und ordne zu. Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen 11 7/7 durch 5 teilbar © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 237 95 206 609 93 305 46 134 durch 2 teilbar durch 3 teilbar 3) Überlege durch welche Zahl die gegebenen Zahlen teilbar sind. Bei einer durch 5 teilbaren Zahl können an der Einerstelle stehen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Bei einer durch 2 teilbaren Zahl können an der Einerstelle stehen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2) Markiere alle Ziffern, die an der Einerstelle stehen können. ..., 24, 28, 32, ... ..., 98, 112, 126, ... ..., 75, 90, 105, ... ..., 56, 70, 84, ... ..., 24, 27, 30, ... ..., 120, 135, 150, ... ..., 12, 16, 20, ... ..., 15, 18, 21, ... 1) Ergänze die Vielfachen-Reihe mit drei weiteren Zahlen. Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen 12 1/4 Testen und Fördern Lösungen 6 12.11.2013 14:10:54 DIM2_tuf_loesung.indd 7 12 8 40 3, 5, 7 2, 6, 12 2, 5, 8 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at der ggT beträgt 25 der ggT beträgt 15 der ggT beträgt 5 Wie lautet der ggT von 50, 75 und 100? 6) Ermittle den ggT der gegebenen Zahlen. 105 2, 4, 8 5) Ermittle das kgV der gegebenen Zahlen. 5•3•4•3•7 7•5•3•3•2•2 5•3•3•3•2•2 7•5•4•3•2 4) Die Zahl 1 260 soll in Primfaktoren zerlegt werden. Welche Zerlegung ist richtig? Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen 13 2/4 Teilt t zwei Zahlen a und b, dann teilt t auch die Summe (a + b). © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Zahlen, die nur aus unechten Teilern bestehen, heißen zusammengesetzte Zahlen. 1 ist die kleinste Primzahl. Alle natürlichen Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, heißen Primzahlen. Ist eine Zahl t Teiler einer Zahl a, so ist a ein Vielfaches der Zahl t. 9) Entscheide dich, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Kreuze die drei wahren Aussagen an. Bestimme ggT und kgV von 8, 12 und 16: 2, 4, 8, 12, 24, 36, 48, 52, 60 Bestimme ggT und kgV von 4, 12, und 20: 2, 4, 8, 10, 20, 40, 60, 80 Bestimme ggT und kgV von 2, 10 und 8: 2, 3, 4, 6, 10, 20, 40, 80 8) Markiere das kgV GELB – den ggT ORANGE. der ggT beträgt 24 der ggT beträgt 12 der ggT beträgt 6 Wie lautet der ggT von 24, 60 und 132? 7) Ermittle den ggT der gegebenen Zahlen. Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen 14 3/4 Testen und Fördern Lösungen 7 12.11.2013 14:10:55 DIM2_tuf_loesung.indd 8 Hier ist das kgV gesucht. Hier ist das kgV gesucht. Hier ist das kgV gesucht. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Hier ist das kgV gesucht. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Hier ist der ggT gesucht. An einer rechteckigen Wand sollen möglichst große quadratische Fliesen ohne Verschnitt angebracht werden. Hier ist der ggT gesucht. Zwei Zahnräder mit unterschiedlich vielen Zähnen greifen ineinander. Nach wie vielen Umdrehungen haben sie die Ausgangsposition wieder erreicht? Hier ist der ggT gesucht. Drei Autobuslinien verlassen gleichzeitig den Bahnhof. Sie fahren alle 12, 20 bzw. 40 Minuten. Wann fahren sie wieder gemeinsam ab? Hier ist der ggT gesucht. Von zwei unterschiedlich großen Flüssigkeitsbehältern ist der Inhalt in möglichst wenige gleich große Flaschen umzufüllen. 10) Entscheide, ob das kgV oder der ggT zu bestimmen ist. Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen 15 4/4 1 42 2 21 3 14 6 7 7 6 14 3 21 2 42 1 3 6 7 19 3 • 3 • 11 2•2•2•2•3 18 21 24 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at d) 99 = 5•5•3 15 b) 75 = 14 c) 48 = 12 2•2•3•3 8 a) 36 = Zerlege in Primfaktoren! 2 Markiere alle durch 2 teilbaren Zahlen gelb, alle durch 3 teilbaren blau und alle Zahlen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sind, grün! Zuckerln Kinder 25 Susanne hat 42 Zuckerln. Welche Möglichkeiten hat sie, diese gerecht aufzuteilen? V11 = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, ... } Wie lauten die Vielfachen von 11? T28 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 } Welche Zahlen teilen 28? Teiler und Vielfache erkennen Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen 16 1/2 Testen und Fördern Lösungen 8 12.11.2013 14:10:55 DIM2_tuf_loesung.indd 9 12 60 90 120 42 3, 7, 2 4, 8, 18 3, 6, 12 2, 5, 9 5, 8, 15 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 4 5 3 25 6 12, 24, 66 36, 54, 18 4, 12, 16 15, 45, 55 9, 12, 27 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 18 25, 50, 75 Berechne den ggT der gegebenen Zahlen und verbinde! 72 4, 5, 6 Berechne das kgV der gegebenen Zahlen und verbinde! Teiler und Vielfache erkennen Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen 17 2/2 oder: 2 5 875 55 875, 85 875 53 421, 53 721 2 0 5 641 976 12 2 976 125, 976 128 oder: 235 641, 265 641, 295 641 oder: 4 840, 4 844, 4 848 1 572, 1 576 7 200, 7 204, 7 208 4 841 1 577 7 201 7 200, 7 205 1 570, 1 575 4 840, 4 845 2 170, 2 175 durch 5 teilbar 7 200, 7 209 1 575 4 842 2 178 durch 9 teilbar 1 2 3 4 5 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Teilt eine Zahl t die Zahl a und nicht die Zahl b, dann teilt sie auch die Summe der Zahlen (a + b). Die Primfaktorenzerlegung einer Zahl ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Null ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl. 9 falsch 8 7 richtig 6 Ob eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist nur von der Einerstelle abhängig. Welche Aussagen sind richtig, welche falsch? 0 Welche Ziffern können mehrstellige Primzahlen nicht an der Einerstelle haben? 2 172, 2 176 2 173 durch 4 teilbar Ändere die Zahlen an der Einerstelle so ab, dass sie teilbar werden! Gib alle Möglichkeiten an! oder: 53 1 21 Setze jeweils eine Ziffer in die Lücke ein, sodass eine durch 3 teilbare Zahl entsteht! Gib alle Möglichkeiten an! Teilbarkeitsregeln kennen Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen 18 1/2 Testen und Fördern Lösungen 9 12.11.2013 14:10:56 DIM2_tuf_loesung.indd 10 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Zwei Stoffbahnen sind 840 cm bzw. 560 cm lang. Sie sollen so zerschnitten werden, dass möglichst lange, gleich große Stoffstreifen entstehen. Zwei verschieden hohe Sorten Schachteln werden nebeneinander gestapelt. Wie hoch sind die beiden Stapel, wenn sie zum ersten Mal gleich hoch sind? ggT © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at kgV Martin besucht seine Großeltern alle 2 Wochen, seine Schwester Barbara besucht sie alle 3 Wochen. Wie viele Wochen vergehen, zwischen den gemeinsamen Besuchen? Muss bei der Aufgabe das kgV oder der ggT bestimmt werden? Zahl. Jedes Vielfache von 12 ist daher auch Vielfaches von 3. ZB: Weil 3 | 12; und wenn eine Zahl t eine Zahl teilt, dann teilt t auch jedes Vielfache dieser Warum ist jede durch 12 teilbare Zahl sicher auch durch 3 teilbar? 36 + 48 = 6 • 6 + 6 • 8 = 6 • (6 + 8) = 6 • 14 durch die Zahl t teilbar. 6 | 36 und 6 | 48 daher gilt auch 6 | 84. ZB: Wenn zwei Zahlen durch die gleiche Zahl t teilbar sind, dann ist auch ihre Summe Weil sowohl 36 als auch 48 durch 6 teilbar sind, ist auch 84 durch 6 teilbar. Erkläre in eigenen Worten! Teilbarkeitsregeln kennen Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen 19 2/2 1 12 hundert Bruchzahlen unendlich viele Bruchzahlen keine Bruchzahlen beide gleich viel Das kann man nicht beantworten, weil die Teile unterschiedlich groß sind. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Konstantin Sonja 3) Sonja und Konstantin haben zwei gleich große Pizzas gebacken. Sonja schneidet ihre Pizza in 8 gleiche Teile und isst 4 davon. Konstantin schneidet seine Pizze in 6 gleiche Teile und isst 3 davon. Wer hat mehr Pizza gegessen? genau eine Bruchzahl 2) Wie viele Bruchzahlen liegen zwischen einem Siebentel und einem Neuntel? 2 1) Wie heißt die kleinste natürliche Zahl, die größer als die gegebenen Bruchzahlen ist? Gib jeweils die natürliche Zahl an. Bruchzahlen – Lösungen 20 1/7 Testen und Fördern Lösungen 10 12.11.2013 14:10:57 DIM2_tuf_loesung.indd 11 10 12 16 18 28 36 8 12 24 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 5) Erweitere und verbinde mit dem richtigen Kästchen. 3 Fabian hat ein Drittel der 24 Pralinen gegessen. 15 Zwei Fünfzehntel der 270 gelieferten Äpfel waren verdorben. 8 An dreiviertel der 16 Urlaubstagen schien die Sonne. 4) Wie viele sind das? Markiere die richtigen Antworten. Bruchzahlen – Lösungen 21 2/7 84 1 3 1 +5 = 4 2 1 94 3 84 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 3 7) Addiere und kreuze das richtige Ergebnis an. richtig gekürzt falsch gekürzt 6) Wo wurde richtig, wo falsch gekürzt? Verbinde mit dem richtigen Kästchen. Bruchzahlen – Lösungen 22 3/7 Testen und Fördern Lösungen 11 12.11.2013 14:10:58 DIM2_tuf_loesung.indd 12 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 8) Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis. Bruchzahlen – Lösungen 23 4/7 ) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at kleiner als 7 größer als 7 10) Ist das Produkt kleiner oder größer als 7? Verbinde mit dem richtigen Kästchen. falsch richtig 9) Wurde richtig oder falsch gerechnet? Verbinde mit dem entsprechenden Kasten. Bruchzahlen – Lösungen 24 5/7 Testen und Fördern Lösungen 12 12.11.2013 14:10:59 DIM2_tuf_loesung.indd 13 ändert sich der Wert des Bruches nicht. 4 9 1 3 ·1 = 9 8 1 3 24 3 34 1 1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 1 4 3 1 28 64 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 7 3 :7= 4 13) Dividiere und kreuze die richtige Lösung an. 3 1 ändert sich der Wert des Bruches, aber man kann nicht sagen wie. 12) Multipliziere und kreuze die richtige Lösung an. wird der Wert des Bruches größer. wird der Wert des Bruches kleiner. Multipliziert man den Zähler und den Nenner eines Bruches mit derselben Zahl (≠ null), 11) Welche Aussage ist richtig? Kreuze an. Bruchzahlen – Lösungen 25 6/7 2 1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 3 4 5 indem man durch den Zähler des Divisors dividiert. indem man die Nenner multipliziert. indem man mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. indem man mit dem Kehrwert des Dividenden multipliziert. 15) Dividiere und ordne der Größe nach. Beginne mit dem kleinsten Quotienten. Man dividiert durch eine Bruchzahl in Bruchschreibweise, 14) Entscheide dich für die richtige Behauptung. Bruchzahlen – Lösungen 26 7/7 Testen und Fördern Lösungen 13 12.11.2013 14:11:00 DIM2_tuf_loesung.indd 14 4 36 b) 8 30 8 6 von 21 Tagen die Hälfte des Monats April © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 2 5 5 13 4 7 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at relativer Anteil Mountainbiker 5 3 8 13 7 12 2C 30 18 3 Mountainbiker relativer Anteil Surfer 10 16 Gesamtanzahl Surfer 2B 26 16 2A 28 12 Die zweiten Klassen einer Schule fahren auf Sportwoche. Die Kinder können entweder Surfen lernen oder Mountainbike fahren. Trage die relativen Anteile in Bruchschreibweise in die untere Tabelle ein! d) 4 6 von 200 Stück sind fehlerhaft 6 c) 13 von 800 Stück sind fehlerhaft d) 6 m im Maßstab 1 : 35 dargestellt 16 b) 4 m im Maßstab 1 : 24 dargestellt 3 5 2 von 6 Stück Torte c) 2 a) 3 von 8 Stück Torte Was ist mehr bzw. länger? Kreuze an! a) 3 1/1 27 3 12 3 8 5 b) = 48 30 6 5 7 c) = 15 21 3 d) 6 11 = 16 12 = 4 3 b) 75 25 = 3 1 c) 28 21 = 4 3 d) 90 66 = 15 7 8 12 , 6 5 = 10 12 , 4 3 = 9 12 15 · 18 12 · 3 · 5 = 3 2 b) 21 · 5 15 · 4 · 7 = 1 4 =4 b) a) = = 2 4 3 7 5 6 d) = 8 3 c) = 12 45 54 32 f) 10 · 6 21 2 = 140 20 60 8 = = , 3 12 18 30 · 12 15 e) c) 9 6 b) = 6 1 6 2 = 6 18 , 2 1 = 9 6 h) 10 8 9 = 5 4 108 72 7 · 48 6 · 14 · 2 g) = d) 18 = 2 1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 24 18 49 14 Ergänze den fehlenden Zähler bzw. Nenner! a) Kürze so weit wie möglich! 3 2 a) = Erweitere so, dass die drei Brüche einen möglichst kleinen gleichen Nenner haben! a) 11 42 77 Kürze den Bruch! Schreibe ihn mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen! 4 a) = 1 Mit welcher Zahl wurde erweitert? In einem Obstkorb waren 48 Äpfel. Wie viel Stück sind noch im Korb, wenn der angegebene Teil bereits gegessen wurde? 1 Brüche kürzen und erweitern Bruchzahlen – Lösungen Anteile und Verhältnisse bestimmen Bruchzahlen – Lösungen 28 1/1 Testen und Fördern Lösungen 14 12.11.2013 14:11:01 DIM2_tuf_loesung.indd 15 , 3 47 2 6 , , 6 94 3 7 , , 8 105 7 15 , 12 157 11 27 13 2 d) c) > 6 4 2 3 > 4 3 7 4 = 8 14 1 5 22 < 13 , 9 1 1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 6 2 7 4 3 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 1 Ordne die Bruchzahlen nach ihrer Größe! Beginne mit der kleinsten! 5 1 Zwischen 5 und 8 liegen genau zwei Bruchzahlen, 6 und 7. 1 liegt auf dem Zahlenstrahl links von . 8 falsch 3 > 84 3 28 richtig 12 12 < 1 24 17 45 90 , 1 2 9 18 11 12 7 6 6 12 8 9 24 18 12 2 ist der direkte Nachfolger von 4. 1 , 5 , 17, 39, 47 < 48 2 4 5 17 Die Brüche 32 , 24 , 16 und 8 haben alle den gleichen Wert. 4 3 Welche Aussagen sind richtig, welche falsch? 6 5 Setze das richtige Zeichen „<“, „=“ oder „>“ ein! b) a) Wie heißt die größte natürliche Zahl, die kleiner als alle gegebenen Bruchzahlen ist? Brüche vergleichen Bruchzahlen – Lösungen 29 1/1 3 5 2 7 5 9 8 4 4 + 10 = 10 = 5 +5=5= 15 10 grün und 4 1 d) c) - 8 3 5 4 1 4 3 7 = 12 + 12 = 12 bleiben weiß. + 1 =4= 12 6 1 5,25 – 3,75 = 1,50 0,875 – 0,375 = 0,500 12 12 - 7 12 5 = 12 1 - 2= 1 10 3 2 1 +6= 6 5 8 7 - 4 1 = 8 5 2 10 2 + 5= 5 3 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 5 3 Stelle die Rechung durch Bemalen der Teilflächen dar! Überprüfe durch Rechnen! ___________________________________________________________________ 3 1 12 4 15 4 =8=2 blau! Welcher Bruchteil des 4 21 8 7 Rechtecks bleibt weiß? Überprüfe durch Rechnen! 3 1 0,4 + 1,4 = 1,8 0,3 + 0,5 = 0,8 Färbe im dargestellten Rechteck b) a) Rechne in Bruchschreibweise und in Dezimalschreibweise! Brüche addieren und subtrahieren Bruchzahlen – Lösungen 30 1/2 Testen und Fördern Lösungen 15 12.11.2013 14:11:02 DIM2_tuf_loesung.indd 16 1 1 3 2 1 b) 3 8 +1 3 = 5 24 1 2 5 10 1 1 7 � = 1 40 1 56 1 1 5 1 1 2 5 1 d) 4 5 - �1 6 - 3� = 3 30 1 1 c) 4 + 2 8 - 6 = 2 24 1 c) 6 4 - 2 8 = 4 8 1 5 11 d) 7 5 - 3 6 = 3 30 2 4 1 34 8 16 3 4 1 3 3 2 1 1 5 4 2 1 3 + 3 12 - 1 5 6 1 7 1 1 3 � = 1 16 =33 16 15 1 3 2 1 9 + 2 = 14 11 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) richtig richtig richtig richtig richtig richtig richtig falsch falsch falsch falsch falsch falsch falsch 5 1 3 2 1 1 5 1 3 17 9 5 - �6 4 - 5� = 2 20 2 3 1 �9 + 3� - �18 + 6� = 9 1 3 - �7 + 14� = 42 3 5 - �1 10 - 2� = 2 5 2 21 13 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at g) 9 5 - �6 4 - 5� = 3 20 1 13 7 1 f) 14 +1 7 - 12 e) �9 + 3� - �18 + 6� = 6 2 d) 3 5 - �1 10 - 2� = 1 5 c) 11 b) 8 + 4 - �8 - 7 a) 21 - �7 + 14� = 21 13 Wurde richtig oder falsch gerechnet? Stelle falsche Rechnungen richtig! 35 1 3 5 3 24 2 5 4 7 1 32 14 1 12 1 1 24 3 12 1 9 Vervollständige das Zauberquadrat! Die Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonale muss gleich sein. b) 8 + �5 - 7 a) �8 + 2� - �7 + 7� = 3 Berechne! Achte auf die Klammerregel! a) 4 3 +1 2 = 6 6 2 Rechne mit gemischten Zahlen! Brüche addieren und subtrahieren Bruchzahlen – Lösungen 31 2/2 3 3 1 b) 8 · 12 = 2 · 3 = 4 2 1 2 1 c) 6 4 · 2 = 12 4 = 12 2 1 4 2 :2= 2 2 b) 5 : 3 = 15 :3= 1 2 2 1 2 13 · 6 = 12 13 1 5 7 35 3 17 2 =7· 3 = 17 d) 6 · 3 = 18 = 1 18 4 3 12 c) 7 · 3 4 1 4 1 1 1 1 2 f) 5 · 6 = 5 · 2 = 5 · 2 = 5 1 2 e) 4 · 3 = 2 · 3 = 6 6 5 3 1 1 2 3 5 3 5 3 1 5 1 5 3 3 1 1 20 7 1 10 10 = 49 · 49 20 10 14 1 =7 3 · = 10 4 5 3 2 5 · =6 4 3 5 2 3 1 3 3 5 f) 5 : 10 = 5 · 10 = 6 2 5 4 5 e) 4 : 3 = 4· 2 = 2 · 3 = 6 5 2 d) 8 : 4 = 8 · 2 = 8 · 2 = 4 1 3 6 · 10 = 5 2 6 ·3= 4 5 · =8 4 4 5 2 1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 1 14 c) 7 : 20 = 7 · 14 = 7 · b) 10 : 5 = 10 · 2 = 2 · 2 = 4 3 5 2 a) 6 : 3 = 6 · 2 = 2 · 2 = 4 1 h) 15 · 8 = 3 · 4 = 4 5 g) 9 · 10 = 3 · 2 = 6 Dividiere und führe Multiplikationsproben durch! Kürze vor dem Rechnen! b) 14 · 6 = 13 7 a) 5 · 6 = 5 · 2 = 10 = 5 3 2 Multipliziere die Bruchzahlen miteinander! Kürze, wenn möglich, vor dem Multiplizieren! 8 a) 10 : 2 = 10 = 5 5 d) 1 5 · 5 = 5 5 = 6 Dividiere und stelle die Divisionen mit Hilfe der Formen graphisch dar! a) 3 · 6 = 2 · 2 = 4 2 Berechne! Kürze, wenn möglich, vor dem Multiplizieren! Brüche multiplizieren und dividieren Bruchzahlen – Lösungen 32 1/2 Testen und Fördern Lösungen 16 12.11.2013 14:11:04 DIM2_tuf_loesung.indd 17 3 1 3 1 richtig richtig falsch falsch 2 1 3 1 3 4 1 4 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) richtig falsch falsch © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Weil 6 > 7 ist. 4 d) 6 : 3 < 7 : 3 4 1 Weil 5 < 4 ist. 2 richtig Weil die Division duch einen Bruch dasselbe ist wie das Multiplizieren mit dem Kehrwert des Bruches und 2 < 3 ist. : < : 4 2 4 3 3 1 c) 5 · 4 < 4 · 4 b) 1 Weil 2 > 3 ist. 1 a) 4 · 2 < 4 · 3 3 1 Richtig oder falsch? Antworte ohne zu rechnen und begründe! 2/2 33 y = 15 + 4 y = 15 : 4 y = 15 - 4 y = 15 • 4 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at y • 4 = 15 y : 4 = 15 y – 4 = 15 y + 4 = 15 2) Verbinde die Gleichung mit der passenden Umkehrung der Rechenoperation. 9,85 – 3 • b = 14,05 3 v : 3 + 9,85 = 14,05 6 Dividieren: 8 : 2 = 8 3 Kürzen: 8 = 8 : 2 = 4 6:2 9,85 + t • 3 = 14,05 wenn der Divisor kein Teiler des Zählers ist, der Nenner multipliziert. 6 14,05 = x + 9,85 Enes kauft eine Füllfeder um 9,85 € und drei Hefte. Er bezahlt insgesamt 14,05 €. Wie viel kostet ein Heft? 1) Wie lautet die zum Text passende Gleichung? Gleichungen; Proportionalität – Lösungen der Wert des Bruches ändert sich nicht. Beim Dividieren wird nur der Zähler dividiert oder, Beim Kürzen werden der Zähler und der Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert, Erkläre den Unterschied zwischen dem Kürzen von Brüchen und dem Dividieren eines Bruches durch eine natürliche Zahl in eigenen Worten! Gib auch Beispiele an! Brüche multiplizieren und dividieren Bruchzahlen – Lösungen 34 1/5 Testen und Fördern Lösungen 17 12.11.2013 14:11:05 DIM2_tuf_loesung.indd 18 n= z= b) n : 2 – 0,5 = 8 c) (z + 4) • 3 = 27 5_ 17 7_ c • 12 = 54 b + 12 = 54 h • 2 - 12 = 54 Das Doppelte einer Zahl ist um 12 kleiner als 54. Vermindert man das Doppelte einer Zahl um 12, ergibt sich 54. Welche Zahl muss man mit 12 multiplizieren, um 54 zu erhalten? © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 3 4 5 6 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 2 Auf einem kleinen Bauernhof leben 12 Hühner, 5 Schweine, ein Hund und die Bauernfamilie. Zusammen haben sie 56 Beine. Wie viele Familienmitglieder leben auf dem Bauernhof? 5) Markiere die richtige Lösung. 2 • s + 12 = 54 Welche Zahl vermehrt um 12 ergibt 54? 4) Welche Gleichung passt zu welchem Text? b= a) 3 • b + 10 = 31 3) Löse die Gleichung durch Umkehrung der Rechenoperationen. Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 35 2/5 Preis – Stückzahl Anzahl der Zuflussröhren – Fülldauer Fahrzeit – mittlere Geschwindigkeit Temperatur – Anzahl der Badegäste 0,80 € 4,00 € 6,40 € 1 5 8_ 24 8 2 kg 1 3 12_ kg kg © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 6 kg 4 Kistenanzahl Gewicht pro Kiste 8) Ergänze die Tabelle so, dass ein indirekt proportionales Verhältnis vorliegt. 1,60 € Preis 2 Stückzahl indirekt proportional 7) Ergänze die Tabelle so, dass ein direkt proportionales Verhältnis vorliegt. nicht proportional Anzahl der Personen – Gesamtgewicht Arbeitszeit – Produktionsmenge direkt proportional 6) Entscheide, ob die beiden Größen direkt proportional, indirekt proportional oder gar nicht proportional zueinander sind. Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 36 3/5 Testen und Fördern Lösungen 18 12.11.2013 14:11:06 DIM2_tuf_loesung.indd 19 mehr (höher, geringer) höher größer (länger, kürzer) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Gläser © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 20 Carolina stellt aus 3 kg Erdbeeren 24 Gläser Marmelade her. Im nächsten Jahr erntet die nur 2,5 kg. Wie viel Gläser Marmelade kann sie einkochen? 10) Berechne und fülle die Lücke aus. (größer, geringer) die Geschwindigkeit ist, umso weiter kommt man in derselben Zeit. Je Projekts. kürzer__ dauert es bis zur Fertigstellung des Je mehr Arbeiter auf einer Baustelle arbeiten, desto sind die Transportkosten. Je größer die Entfernung ist, desto (mehr, weniger) Produkte verkauft werden, desto größer sind die Einnahmen. Je direkt indirekt proportionales proportionales Verhältnis Verhältnis 9) Setze die fehlenden Begriffe aus den Klammern ein und kreuze an. Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 37 4/5 zehnmal zwölfmal siebenmal 10,25 17,50 c) Sprinter: 36,9 km/h d) Radrennfahrer: 63 km/h m/s m/s m/s m/s 20 km/h 15 km schafft man in 45 min. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 96 km/h 130 km/h Für 455 km benötigt man 3 h 30 min. Für 216 km benötigt man 2 h 15 min. 13) Schätze die Geschwindigkeit und verbinde die Angabe mit der entsprechenden Lösung. 50,00 37,50 b) Schnellzug: 180 km/h a) Auto: 135 km/h 12) Rechne die Geschwindigkeit in m/s um (zwei Dezimalstellen). sechsmal Um einen Schuttberg abzutransportieren, müssen fünf Lastwagen jeweils achtmal fahren. Wie oft müssten vier Lastwagen fahren? 11) Kreuze die richtige Lösung an. Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 38 5/5 Testen und Fördern Lösungen 19 12.11.2013 14:11:07 DIM2_tuf_loesung.indd 20 x = 24 – 8 x = 24 : 8 x = 24 • 8 8 + x = 24 x : 8 = 24 x – 8 = 24 b = 18 + 12 = 30 b) b – 12 = 18 d) d : 3 = 6 c) 43 + c = 52 d = 6 • 3 = 18 c = 52 – 43 = 9 b = (9 + 7) : 4 = 4 b) 4 • b – 7 = 9 e = 12 : 2 + 7 = 13 d = 8 • 3 – 5 = 19 f) (2 • f + 5) : 3 = 3 f = (3 • 3 – 5) : 2 = 2 e) (e – 7) • 2 = 12 d) (5 + d) : 3 = 8 a = 4; 26 – 4 • 3 = 14; 8 < 14; a = 6; 26 – 6 • 3 = 8; 8 = 8 → a = 6 b = 4; 12 : 4 + 3 = 6; 7 > 6; b = 3; 12 : 3 + 3 = 7; 7 = 7 → b = 3 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Vertauschungsgesetz nicht für die Division gilt. Man kann die Gleichung nicht durch Umkehrung der Rechenoperationen lösen, weil das b) 12 : b + 3 = 7 Vertauschungsgesetz nicht für die Subtraktion gilt. Man kann die Gleichung nicht durch Umkehrung der Rechenoperationen lösen, weil das a) 26 – a • 3 = 8 Löse die Gleichung durch Probieren! Warum kannst du sie nicht durch Umkehren der Rechenoperationen lösen? c) 7 + c • 2 = 15 c = (15 – 7) : 2 = 4 a = (6 + 4) • 8 = 80 a) a : 8 – 4 = 6 Löse die Gleichung durch Umkehrung der Rechenoperationen! a = 21 : 7 = 3 a) a • 7 = 21 Löse die Gleichung durch Umkehrung der Rechenoperation! x = 24 + 8 1/2 39 u=s•t–v c) u + v = s • t v=s•t–u s=r:t b=c–a s = (u + v) : t y = ____________ z = (42 – 4) : 2 = 19 y • 2 – 4 = 42 2 • z + 4 = 42 t = (u + v) : s m = ____________ 2 • m + 4 = 82 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at m = (82 – 4) : 3 = 26 m = ____________ m + m • 2 + 4 = 82 (m + m) • 2 + 4 = 82 b) Melanie ist vier Jahre alt. Ihre Großmutter ist doppelt so alt wie ihre Mutter. Melanie ihre Mutter und ihre Großmutter sind zusammen 82 Jahre alt. Wie alt ist Melanies Mutter? x = ____________ (x + 4) • 2 = 42 a) Das Doppelte einer Zahl ist um 4 kleiner als 42. Wie lautet die Zahl? Wie lautet die zum Text passende Gleichung? Löse sie! r=t•s a=c–b b) s = t r a) a + b = c Drücke jede Variable durch die anderen aus! Verbinde die Gleichung mit der passenden Umkehrung der Rechenoperation! x • 8 = 24 Gleichungen erstellen und lösen Gleichungen; Proportionalität – Lösungen Gleichungen erstellen und lösen Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 40 2/2 Testen und Fördern Lösungen 20 12.11.2013 14:11:08 DIM2_tuf_loesung.indd 21 y • 4 = 28 x + 4 = 28 y • 3 + 4 = 28 Welche Zahl vermehrt um 4 ergibt 28? Vermindert man das Doppelte einer Zahl um 28, ergibt sich 4. Das Dreifache einer Zahl ist um 4 kleiner als 28. a = 16 Probe: 16 : 4 = 4 Die gesuchte Zahl ist 16. b = 40 Probe: 40 : 2 + 12 = 32 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) c = 30 Probe: 30 • 1,5 = 45 Die gesuchte Zahl ist 30. Die gesuchte Zahl ist 40. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at c • 1,5 = 45 c) Das Produkt einer Zahl mit 1,5 ist 45. Wie lautet die Zahl? b : 2 + 12 = 32 b) Die Hälfte einer Zahl ist um 12 kleiner als 32. Wie groß ist die Zahl? a:4=4 a) Das Viertel einer Zahl ist 4. Wie lautet die Zahl? Schreibe den Text als Gleichung auf und löse sie! Mache auch die Probe! 2 • x – 28 = 4 Welche Zahl muss man mit 4 multiplizieren, um 28 zu erhalten? Übersetze in die Sprache der Mathematik! Welche Gleichung passt zu welchem Text? mathematische Sprache deuten Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 41 1/2 s = 62 Ein Sack wiegt 62 kg. x = 45 Es wurden 45 l getankt. k = 0,88 Ein Briochekipferl kostet 0,88 €. a = 6; b = 12 Die Seite a ist 6 cm und die Seite b ist 12 cm lang. x = 12 Der Eintritt für einen Erwachsenen kostet 12 €. p = 75 Die Jeans kostete vor der Preissenkung 75 €. r=8 Regina ist 8 Jahre alt. k = 20 Die leichteste Kiste wiegt 20 kg. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at k + (2 • k – 5) + 2 • k = 95 h) Drei Kisten wiegen gemeinsam 95 kg. Die leichteste Kiste ist nur halb so schwer wie die schwerste. Die schwerste Kiste ist 5 kg schwerer als die zweitschwerste. Wie viel wiegt die leichteste Kiste? r + (r + 3) + (r + 3 + 5) = 35 g) Conny, David und Regina sind zusammen 35 Jahre alt. Conny ist um 5 Jahre älter als David. David ist um 3 Jahre älter als Regina. Wie alt ist Regina? p – p : 3 = 50 f) Im Ausverkauf werden alle Preise um ein Drittel verringert. Eine Jeans kostet jetzt 50 €. Wie viel hat sie vor der Preissenkung gekostet? 3 • 5,50 + 2 • x = 40,50 e) Eine fünfköpfige Familie zahlt an der Museumskasse 40,50 €. Der Eintritt für jedes der drei Kinder kostet 5,50 €. Wie viel kostet der Eintritt für einen Erwachsenen? 2 • (a + 2 • a) = 36 d) Ein Rechteck hat 36 cm Umfang. Die Seite b ist doppelt so lang wie die Seite a. Wie lang sind die Seiten? 2 • k + 2,99 = 4,75 c) Thomas zahlt beim Bäcker 4,75 € für ein Käseweckerl um 2,99 € und zwei Briochekipferl. Wie viel kostet ein Kipferl? x • 1,38 = 62,10 b) Ein Liter Diesel kostet 1,38 €. Wie viel wurde getankt, wenn an der Tankstelle 62,10 € zu bezahlen sind? s • 23 = 1 426 a) 23 gleich schwere Säcke wiegen zusammen 1 426 kg. Wie viel wiegt ein Sack? Stelle Gleichungen auf und löse sie! mathematische Sprache deuten Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 42 2/2 Testen und Fördern Lösungen 21 12.11.2013 14:11:09 DIM2_tuf_loesung.indd 22 Gewicht 15 kg 6 kg 3 kg nein Anzahl 5 2 1 ja Preis 4,35 € 5,80 € 1,45 € nein b) Stückzahl 3 4 1 ja c) 1 28 kg 2 56 kg 4 112 kg 5 140 kg Gewicht pro Paket 2 kg 3 kg 12 kg nein 6 4 1 Pakete ja nein Anzahl Preis pro Teilnehmer Person 20 18 € 30 12 € 10 36 € c) ja 2h 3h 1h © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 20 3 15 4 12 5 10 6 8 7,5 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Bauarbeiter Anzahl der Arbeitstage 5 12 nein Geschwindigkeit 110 km/h 55 km/h -- Ergänze die Tabelle so, dass ein indirekt proportionales Verhältnis vorliegt! ja a) b) 10 280 kg Fahrtdauer 8 224 kg Überprüfe, ob ein indirekt proportionales Verhältnis vorliegt! Baumanzahl Zwetschkenernte Preis 12,75 € 22,50 € -- nein Menge 1,5 kg 2,5 kg 1 kg Ergänze die Tabelle so, dass ein direkt proportionales Verhältnis vorliegt! ja a) Überprüfe, ob ein direkt proportionales Verhältnis vorliegt! direkte und indirekte Proportionalität erkennen Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 43 1/2 d) 96 Packungen mit jeweils 0,25 kg. b) 4 Packungen mit jeweils 6 kg. d) 75 Flaschen füllt sie in 1,5 min. c) 900 Flaschen füllt sie in 18 min. 1 cm 36 cm 3 cm 12 cm 4 cm 9 cm indirektes Verhältnis 2 cm 18 cm 6 cm 6 cm 12 cm 3 cm 36 cm 1 cm Preis – Stückzahl Anzahl der Pferde – Tage die das Futter reicht Gehzeit – Länge des Weges Geschwindigkeit – Fahrzeit © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Stückzahl – Gesamtgewicht indirekt proportional Arbeitsdauer – Anzahl der Arbeiter direkt proportional Entscheide, ob die Größen direkt proportional oder indirekt proportional sind! direktes Verhältnis a b Ein Rechteck hat 36 cm² Flächeninhalt. Wie ändert sich die Länge der Seite b wenn man die Länge der Seite a verändert? Lege eine Tabelle an! Welche Art von Verhältnis liegt vor? b) Sie füllt 3 000 Flaschen in 1 h. a) Sie füllt 600 Flaschen in 12 min. Eine Abfüllmaschine füllt 150 Flaschen in 3 Minuten. Ergänze jeweils den Text! c) 48 Packungen mit jeweils 0,5 kg. a) 12 Packungen mit jeweils 2 kg. 24 kg Mandeln sollen verpackt werden. Wie viele Packungen mit dem angegebenen Gewicht kann man füllen? direkte und indirekte Proportionalität erkennen Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 44 2/2 Testen und Fördern Lösungen 22 12.11.2013 14:11:11 DIM2_tuf_loesung.indd 23 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Er braucht 35 min. (Überlege zuerst wie lang der Zug für 1 km braucht!) Ein Zug braucht für eine 80 km lange Strecke 50 min. Wie lange braucht er mit der gleichen Geschwindigkeit für eine 56 km lange Strecke? Das Auto braucht etwa 5,5 s. (Rechne zuerst in m/s um!) Wie lang braucht ein Auto mit 130 km/h ungefähr, um 200 m weit zu fahren? Der Flug dauert etwa 2 h. Wie lange dauert ein Flug von Graz nach Athen (1 224 km) ungefähr, wenn das Flugzeug mit durchschnittlich 600 km/h fliegt? Sie fährt 55 km weit. Kathi fährt mit ihrem Fahrrad durchschnittlich 22 km/h. Wie weit fährt sie in 2 h 30 min? d) 5,2 m/s = 18,72 km/h b) 22,22 m/s = 79,992 km/h ≈ 80 km/h 25 920 m = 25,92 km 7,2 m/s = 25,92 km/h c) 9,1 m/s = 32,76 km/h Zeit in s Weg in m 1 7,2 3 600 25 920 a) 13,9 m/s = 50,04 km/h ≈ 50 km/h • 3 600 Beispiel: 7,2 m/s Rechne die Geschwindigkeit in km/h um! Größen umrechnen, Geschwindigkeit Gleichungen; Proportionalität – Lösungen 45 1/1 40 % 37,5 % 40 % 5% 0,20 0,25 25 % 0,5 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 20 % 3) Welche beiden Möglichkeiten haben denselben Wert wie die Bruchzahl ein Fünftel? 50 % 2) Gib den gefärbten Flächeninhalt als Teil der Gesamtfläche in Prozent an. 1) Welche der angegebenen Zahlen entsprechen 30 %? Prozentrechnung – Lösungen 46 1/6 Testen und Fördern Lösungen 23 12.11.2013 14:11:12 DIM2_tuf_loesung.indd 24 auf ein Drittel gesenkt um die Hälfte gesenkt auf das Doppelte erhöht 1 2 4 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Von einer Gesamtfläche von 350 m² sind 105 m² verbaut, auf 35 m² wird Gemüse angebaut und der Rest ist Wiese. (grau ... bebaut, hellgrün ... Gemüse, dunkelgrün ... Wiese) 5) Welcher Prozentstreifen passt zur folgenden Beschreibung? um ein Drittel gesenkt 3 4) Die Preise in einem Geschäft werden geändert. Ordne die Änderungen nach der Höhe der neuen Preise. Beginne mit den kleinsten Preisen. Prozentrechnung – Lösungen 47 2/6 18° 72° 270° 75 % 33,33333333333... % 5% © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 120° 20 % 7) Um einen Prozentkreis zu zeichnen, musst du Prozentsätze in Winkelgrade umrechnen. Dh. du musst den entsprechenden Anteil an 360° bestimmen. Verbinde die Prozentsätze mit den entsprechenden Winkelgraden. Gesucht ist der Prozentsatz. d) 120 von 300 Autofahrern fahren zu schnell. Wie viel Prozent sind das? Gesucht ist der Grundwert. c) Die 15 % Preisnachlass auf eine Jacke im Sommerschlussverkauf betrugen 14,70 €. Wie viel hat sie vorher gekostet? Gesucht ist der Prozentanteil. b) 3,7 % der heurigen Apfelernte von 5,6 Tonnen sind von einem Schädling befallen. Wie viele Äpfel sind das? Gesucht ist der Prozentsatz. a) Von den 25 Kindern in der Klasse 2A können 15 gut Schi fahren. Wie viel Prozent der Klasse sind das? 6) Welche Größe ist gesucht? Der Grundwert, der Prozentsatz oder der Prozentanteil? Prozentrechnung – Lösungen 48 3/6 Testen und Fördern Lösungen 24 12.11.2013 14:11:14 DIM2_tuf_loesung.indd 25 20 % 20 % 500 % 25 % 250 m sind wie viel % von 125 m? 50 € sind wie viel % von 250 €? 50 % 200 % 50 % 33 Buchungen für 30 Plätze 22,5 g von 50 g 21 von 300 Seiten 18 von 150 Stimmen 12 % 45 % 65 % 110 % © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 2 % von 5 000 7,5 % von 750 10 % von 800 3 1 2 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 13 % von 800 4 10) Berechne die Prozentanteile. Ordne sie der Größe nach – beginne mit dem kleinsten Anteil. 5,20 € von 8,00 € 7% 9) Verbinde die Prozentsätze mit den richtigen Aufgabenstellungen. 5% 10 % 50 € sind wie viel % von 100 €? 8) Berechne den Prozentsatz. Prozentrechnung – Lösungen 49 4/6 100 Stück, 100 dag, 85 % von 120 Stück sind: 30 % von 6 kg sind: 180 dag, 102 Stück, 12 cm, 1 300 g 115 Stück 1,2 m mehr als 66 % zwischen 33 % und 66 % weniger als 33 % © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 8 von 24 Kindern in der 2B spielen Schach. 6 von 24 Kindern in der 2C spielen Schach. 8 von 20 Kindern in der 2A spielen Schach. 13) In welcher Klasse sind die meisten Schachspielerinnen und Schachspieler? 20 cm, 40 % von 3 m sind: 12) Welcher Prozentanteil ist richtig? Streiche die falschen Werte durch. 3,3 kg von 6 kg 4,4 km von 8 km 90 dag von 5 kg 300 € von 750 € 8 m von 10 m 3,15 € von 4,5 € 120 € von 600 € 270 km von 900 km 11) Schätze den Prozentsatz und verbinde die Angabe mit dem richtigen Kästchen. Prozentrechnung – Lösungen 50 5/6 Testen und Fördern Lösungen 25 12.11.2013 14:11:15 DIM2_tuf_loesung.indd 26 Der Grundwert beträgt: Der Grundwert beträgt: 26 % sind 7,28 €. 84 % sind 4,2 m. 50 m, 280 €, 1 500 kg, 2,15 € 1,35 € 1,65 € 5 % von 17 € sind 5 % von 43 € sind 5 % von 27 € sind 5m 56 € 1 050 kg 300 Personen 1 200 Personen 180 Einwohner 150 Einwohner © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 70 % 30 % 130 % Einwohner im Jahr 2010. Dieser Zuwachs betrug 30 %. c) Die Einwohnerzahl eines Ortes stieg von 350 Einwohnern im Jahr 1980 auf 455 171 Einwohner nur noch 171 Einwohner. b) Nachdem 5 % der 180 Einwohner einer Gemeinde weggezogen sind, hat die Gemeinde 3 000 Personen Personen. Bei der Zählung im Jahr 2000 wurden 3 000 Personen gezählt. a) Die Einwohnerzahl eines Dorfes nahm von 2000 bis 2010 um 4 % ab – dies waren 120 16) Die Einwohnerzahlen aus verschiedenen Jahren werden verglichen. Berechne die gesuchten Größen. 0,85 € 8 m, 28 €, 150 kg, 5 % von 33 € sind 15) Du beschließt 5 % Trinkgeld zu geben. Bestimme den Wert. Der Grundwert beträgt: 3 % entsprechen 45 kg. 14) Markiere jeweils den Grundwert. Prozentrechnung – Lösungen 51 6/6 12,5 % 30 % 80 % Essen Sonst. Sparen Miete 66,6� % 40 % Bus zu Fuß © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Fahrrad Von den 1 500 Schülerinnen und Schülern einer Schule fahren 35 % mit dem Fahrrad zu Schule, 50 % fahren mit dem Bus und alle anderen gehen zu Fuß. Stelle die Aufgabe in einem Prozentstreifen dar! Wähle eine geeignete Länge! Herr Pekitsch verbraucht 55 % seines Einkommens für Miete, 25 % für Essen, 10 % für Sonderausgaben und den Rest spart er. Stelle die Aufgabe in einem Prozentkreis dar! 25 % Gib den gefärbten Flächeninhalt als Teil der Gesamtfläche in Prozent an! 75 % Schätze, welcher Prozentsatz ungefähr dargestellt ist! Prozentangaben grafisch darstellen Prozentrechnung – Lösungen 52 1/1 Testen und Fördern Lösungen 26 12.11.2013 14:11:16 DIM2_tuf_loesung.indd 27 0,01 0,05 0,1 0,4 0,5 0,7 7 10 0,9 9 10 1 1 1 15 % 3 20 1 50 2% 0,15 0,02 37,5 % 3 8 0,375 65 % 13 20 0,65 75 % 3 4 0,75 0,9 90 % Dezimalzahl Prozent 17 % 0,17 17 100 33,3� % 0,3� 1 3 60 % 0,6 3 5 5% 0,05 1 20 20 % 0,2 1 5 12,5 % 0,125 1 8 120 % 1 15 1,2 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 36° Winkelgrad 90° 25 % 126° 35 % 144° 40 % 180° 50 % 240° 66,6� % 270° 75 % 324° 90 % 130 % 1,3 13 10 300 % 3 1 3,0 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 10 % Prozent Um einen Prozentkreis zu zeichnen, musst du Prozentsätze in Winkelgrade umrechnen. Bestimme die jeweiligen Anteile an 360°! 9 10 Bruch 4 5 0,8 80 % Schreibe den Bruch als Dezimalzahl und als Prozentangabe! Prozent Bruch Dezimalzahl Schreibe die Dezimalzahl als Bruch und als Prozentangabe! Kürze wenn möglich! Dezimalzahl 1 2 100 % 1/1 53 In der Lieferung sind 45 kg Äpfel enthalten. Es wurden 144 Verkehrsteilnehmer kontrolliert. Die Erhöhung beträgt 2 %. Der Preis vor der Erhöhung betrug 100 €. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at gesucht: Grundwert d) Ein Verkaufspreis wurde um 20 % auf 120 € erhöht. Wie groß war der Preis vor der Erhöhung? gesucht: Prozentsatz c) Herrn Hubers Einkommen wird von 2 150 € auf 2 193 € erhöht. Wie viel Prozent beträgt die Erhöhung? gesucht: Grundwert b) Bei einer Verkehrskontrolle wurden 36 „Raser“ erwischt. Das sind 25 % aller kontrollierten Verkehrsteilnehmer. Wie viele wurden kontrolliert? gesucht: Anteil a) Ein Supermarkt bekommt in einer 250 kg Obstlieferung 18 % Äpfel geliefert. Wie viel Kilogramm Äpfel sind das? Gib an, welche Größe gesucht ist und berechne sie! c) 40 % der 2 640 Einwohner eines Ortes, also 1 056 Personen, haben Haustiere. Einkommens von 2 000 €. b) Frau Mayr erhält eine Gehaltserhöhung von 46 €, das sind 2,3 % ihres ursprünglichen Bruch 2 5 90 % a) Im Schlussverkauf wird eine 120 € teure Jacke um 10 % verbilligt. Dies sind 12 €. 1 10 70 % 1 20 1 100 50 % 5% 1% Prozent 40 % Markiere in den Texten den Grundwert gelb, den Anteil grün und den Prozentsatz rot! Schreibe die Prozentangaben als Bruch und als Dezimalzahl! Kürze wenn möglich! 10 % mathematische Sprache deuten Prozentrechnung – Lösungen Prozentangaben in unterschiedlichen Darstellungen Prozentrechnung – Lösungen 54 1/1 Testen und Fördern Lösungen 27 12.11.2013 14:11:18 DIM2_tuf_loesung.indd 28 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 107,25 € ∙100 :12 zu a) f) 170 % von 8 t 10,75 € 129 100 1 075 1 % 12 13,6 t ∙100 :12 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at f) 128,70 € sind 120 % von G 20 m e) 12 m sind 60 % von G 978,125 € c) 128 % von G sind 1 252 € 700 g 120 kg b) 25 % von G sind 30 kg d) 42 g sind 6 % von G 1 075 € a) 12 % von G sind 129 € Berechne den Grundwert! (Du kannst eine Tabelle zur Hilfe nehmen.) c) 25 % von 0,1 km 0,025 km = 25 m 650 g 1/2 55 36 % 55 % e) 27 ha sind ? % von 75 ha f) 4,4 km sind ? % von 8 km 75 1 km 250 30 0,4 % 100 78 der 1 300 Papierbögen haben Flecken 5 kg Äpfel von insgesamt 75 kg sind wurmig 1 250 von 25 000 Glühbirnen funktionieren nicht 4 von 20 Waschmaschinen sind beschädigt 300 kg von 2,5 t Bananen sind verdorben +6% 15 € - 25 % -5% 33,75 € 68,97 € 46,125 € - 10 % 45 € © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 105 € + 20 % 1 600 € 87,50 € 37,50 € 72,60 € 193,80 € 271,40 € 15,90 € 1 200 € +18 % Preisänderung - 15 % Neuer Preis 230 € 228 € Alter Preis Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle! + 2,5 % ∙75 :250 In welcher Lieferung sind prozentuell am wenigsten Produkte beschädigt bzw. verdorben? Kreuze an! 130 % ∙75 6,94� % 33,3� % zu a) :250 30 % d) 1 898 € sind ? % von 1 460 € c) 20 min sind ? % von 1 h 0,1 m = 10 cm b) 10 % von 1 m e) 200 % von 325 g b) 25 € sind ? % von 360 € 1 474,20 € 0,6 kg a) 2 % von 30 kg d) 78 % von 1 890 € a) 75 km sind ? % von 250 km Berechne den Prozentsatz! (Du kannst eine Tabelle zur Hilfe nehmen.) mit Prozenten rechnen Prozentrechnung – Lösungen Berechne jeweils den Prozentanteil! mit Prozenten rechnen Prozentrechnung – Lösungen 56 2/2 Testen und Fördern Lösungen 28 12.11.2013 14:11:19 DIM2_tuf_loesung.indd 29 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 32 % 8% 20 % 12 % 7 Gut 8 Befriedigend 3 Genügend 2 Nicht genügend © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 28 % 5 Sehr gut 2) Auf der linken Seite sind die absoluten Häufigkeiten der Noten bei der Mathematikschularbeit angegeben. Ordne ihnen die zugehörigen relativen Häufigkeiten in Prozent zu. Mehr als die Hälfte aller Besucher der Ausstellung waren männlich. 1) Ordne die Beschreibung der richtigen Grafik zu! Statistik – Lösungen 57 1/6 10:00 Uhr 12:00 Uhr 12:00 Uhr 14:00 Uhr 4 20 6 10 16:00 Uhr . © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at d) Wie viele Kinder mögen am liebsten andere Sorten? c) Wie viele Kinder essen am liebsten Erdbeereis? b) Wie viele Kinder essen am liebsten Schokoladeneis? a) Wie viele Kinder essen am liebsten Vanilleeis? 8:00 Uhr 16:00 Uhr 14:00 Uhr gemessen. 2:00 Uhr 18:00 Uhr und um 20:30 Uhr 22:00 Uhr gemessen. 1:30 Uhr 2:00 Uhr 0:00 Uhr 20 °C . 4) 40 Kinder wurden nach ihrem Lieblingseis befragt. Jedes Kind gab eine Antwort. 14:00 Uhr d) 20 °C hatte es um 12:00 Uhr c) Die höchste Temperatur wurde um 2:00 Uhr 15 °C 14 °C 12,5 °C b) Die niedrigste Temperatur wurde um 14 °C a) Die Temperatur um 10 Uhr betrug 3) Eine Schule hat eine Wetterstation. Alle zwei Stunden wurde die Temperatur gemessen. Das Schaubild zeigt den Verlauf der Temperatur eines Tages. Statistik – Lösungen 58 2/6 Testen und Fördern Lösungen 29 12.11.2013 14:11:20 DIM2_tuf_loesung.indd 30 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Der Stichprobenumfang ist 26. Die relative Häufigkeit der Größe 1,51 m beträgt gerundet 23 %. Die absolute Häufigkeit der Größe 1,43 m ist 5. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Die angegebenen Werte lassen sich in einem Polygonbild darstellen. 6) In der 2B wurden folgende Körpergrößen gemessen. Kennzeichne wahre Aussagen. Alle Kinder haben geantwortet. Dabei ergab sich folgendes Ergebnis: 60 % kommen mit dem Bus, 30 % kommen mit dem Fahrrad, 5 % kommen zu Fuß und 5 % werden mit dem Auto gebracht. 5) In der Schule wurde eine Umfrage durchgeführt: „Wie kommst du zur Schule?“ Kreuze den passenden Prozentkreis an. Statistik – Lösungen 59 3/6 29 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 8) In der 2C wurde eine Umfrage durchgeführt: „Was machst du am liebsten in deiner Freizeit?“ Jedes Kind hat eine Antwort gegeben. Welches Diagramm passt zu der Umfrage? Mit welcher relativen Häufigkeit (gerundet) wurde grün genannt? 25 % 17 % 10 % 40 % Wie viele Kinder wurden befragt? 30 28 25 Welche Farbe wurde am häufigsten gewählt? rot blau grün gelb 7) In einer Klasse wurde die Lieblingsfarbe erhoben. Alle Kinder haben geantwortet. Markiere die richtigen Antworten. Statistik – Lösungen 60 4/6 Testen und Fördern Lösungen 30 12.11.2013 14:11:22 DIM2_tuf_loesung.indd 31 10 Mädchen 9 Mädchen 28 Kinder 5/6 In der Klasse gibt es mehr Jungen als Mädchen. B B ist falsch ja keine von beiden ja Durch die Wahl des Grundwertes. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 61 in Darstellung B © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at in beiden gleich © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at c) In welcher Darstellung wirkt der Preisanstieg stärker? Durch die Wahl des Anteils. Durch die Skalierung der y-Achse. in Darstellung A die Skalierung der x-Achse B ist falsch b) Wodurch unterscheiden sich die Darstellungen? A ist falsch a) Sind beide Darstellungen des Preisanstieges korrekt? B die Aufteilung der Jahre die Skalierung der y-Achse c) Was bewirkt den unterschiedlichen Eindruck? A ist falsch b) Sind beide Darstellungen korrekt? A a) Welche Darstellung zeigt die Steigerung deutlicher? B 5 Kinder haben etwas anderes gewählt A 17 Jungen Lesen wurde häufiger von den Mädchen gewählt. Die Jungen haben häufiger als die Mädchen Computer gewählt. Kein Mädchen hat Fernsehen gewählt. A 13 Jungen 30 Kinder falsch richtig Am häufigsten wurde Sport gewählt. 12) Von 2002 bis 2012 ist der Brotpreis in Österreich stark angestiegen. 16 Jungen 27 Kinder 17 Mädchen 11) In der 2A wurde eine Umfrage durchgeführt: „Was machst du am liebsten in deiner Freizeit?“ Entscheide, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Statistik – Lösungen 10) Tourismus in Österreich: Von 2000 bis 2010 ist die Zahl der Nächtigungen stark gestiegen. 8 Jungen c) Wie viel Jungen sind in dieser Klasse? 29 Kinder b) Wie viele Kinder sind in dieser Klasse? 8 Mädchen a) Wie viel Mädchen sind 12 Jahre alt? 9) In einer Klasse wurde eine Umfrage durchgeführt. Alle Kinder haben ihr Alter genannt. Statistik – Lösungen 62 6/6 Testen und Fördern Lösungen 31 12.11.2013 14:11:23 DIM2_tuf_loesung.indd 32 2:00 16:00 Uhr. 4 8 10 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) 6 Fußball 25% Rad fahren 25% Laufen 5% Schwimmen 10% Reiten 20% © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Sportarten am liebsten? Wie viele Kinder haben andere als die angegebenen Wie viele Kinder gehen am liebsten Reiten? Wie viele Kinder schwimmen am liebsten? Wie viele Kinder gehen am liebsten Rad fahren? andere 15% Uhr ist die Temperatur um 14 Grad gestiegen. Uhr und um 6:00 Uhr und . . 40 Kinder wurden nach ihrem liebsten Freizeitsport gefragt. 2 °C hatte es um 4:00 14 °C Der Höchstwert an diesem Tag war Zwischen 6 °C Um 8:oo Uhr morgens hatte es nur In einer Wetterstation wurde automatisch alle zwei Stunden die Temperatur aufgezeichnet. Lies die Werte ab und fülle die Lücken im Text! Daten aus Diagrammen ablesen Statistik – Lösungen 63 1/2 29 30 32 5 7 grün ~13 % ~47° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at ~42 % ~150° Ausgaben: Winkel: b) Soziales Ausgaben: Winkel: a) Verwaltung Der österreichische Staat hat im Jahr 2011 insgesamt 151 994 Mio. Euro ausgegeben. Im Prozentkreis sind die Ausgaben nach den unterschiedlichen Aufgabenbereichen geteilt eingetragen. Miss die Zentriwinkel und bestimme daraus die ungefähren Ausgaben in Prozent! Wie viele Kinder wurden befragt? 26 28 4 5 Wie viele Kinder haben lila gewählt? 1 2 4 Wie viele Buben haben rot gewählt? 1 2 3 lila Welche Farbe wurde am wenigsten oft gewählt? rot blau gelb In der 2C wurde die Lieblingsfarbe erfragt. Beantworte die Fragen und kreuze die richtigen Antworten an! Daten aus Diagrammen ablesen Statistik – Lösungen 64 2/2 Testen und Fördern Lösungen 32 12.11.2013 14:11:24 DIM2_tuf_loesung.indd 33 112 0,28 0,26 0,1125 0,1075 0,24 24 % 28 % 26 % ~11 % ~11 % 25 % 20 % Tagebuch eines Vampirs The Hunger Games 12 15 9 3 21 absolute Häufigkeit © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) ja nein absolute Häufigkeit 49 29 65 73 27 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Diagramm passt: Lieblingsfach Deutsch Mathematik Englisch Sport Biologie Passt das Kreisdiagramm zur gegebenen Umfrage über das Lieblingsfach? 15 % 5% Die drei ??? Ronja Räubertochter 35 % prozentuelle Häufigkeit Warrior Cats Lieblingsbuch 60 Kinder wurden nach ihrem Lieblingsbuch gefragt. Die Ergebnisse der Umfrage sind in Prozent angegeben. Berechne die absoluten Häufigkeiten! 104 45 Jonas Mirna 43 Maximilian 96 Hannah absolute Häufigkeit relative Häufigkeit prozentuelle Häufigkeit Kevin KandidatIn Bei der Schulsprecherwahl wurden 400 Stimmen abgegeben. Ergänze die Tabelle! Häufigkeiten berechnen Statistik – Lösungen 65 1/1 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 40 % der Kinder gehen in den Ferien Schi fahren, 5 % fahren Snowboard, 15 % gehen Rodeln, 10 % fliegen in den Süden und die anderen bleiben zu Hause. Welcher Prozentkreis passt zu den gegebenen Umfrageergebnissen? bestelltes absolute Essen Häufigkeit Spaghetti 54 Schnitzel 34 Salat 28 Germknödel 13 Suppe 41 Stelle die gegebenen absoluten Häufigkeiten in einem Säulendiagramm dar! statistische Umfragen Darstellungen zuordnen Statistik – Lösungen 66 1/2 Testen und Fördern Lösungen 33 12.11.2013 14:11:26 DIM2_tuf_loesung.indd 34 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Die Brotpreise sind angestiegen. Du arbeitest für die Bäckerinnung und sollst für eine Aussendung diesen Preisanstieg möglichst harmlos darstellen. Welches Diagramm würdest du auswählen? In die 2A gehen 28 Schüllerinnen und Schüler. 4 Kinder haben grün genannt. In die 2A gehen mehr Buben als Mädchen. Mehr Buben als Mächen haben gelb genannt. Es sind mehrere Aussagen zu einer Umfrage über die Lieblingsfarbe in der 2A gegeben. Kreuze an, welche Darstellung zu allen Aussagen passt! statistische Umfragen Darstellungen zuordnen Statistik – Lösungen 67 2/2 nein © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at gezeichnet. verschieden langen Zeitintervalle. ZB ist 1990 bis 1995 gleich groß wie 2007 bis 2008 Durch die gleich groß dargestellten Mit welchen Mitteln wird der Eindruck verstärkt? Positiv hervorgehoben wird, dass der Energieverbrauch nicht mehr steigt und zuletzt sogar zurückgegangen ist. Die Darstellung zeigt den Jahresstromverbrauch in Österreich in kWh pro Kopf. „Österreich-Säule“ ist im Vergleich viel zu gering. Der Schuldenstand wirkt dadurch kleiner. Die Säulen haben die richtige Höhe, aber sie sind verschieden dick. Das Volumen der Mit welchen Mitteln wird in dieser Darstellung versucht den Betrachter zu täuschen? ja Ist die Darstellung korrekt? Im Zusammenhang mit der Euro-Schuldenkrise sind viele grafische Darstellungen zu sehen. Die gegebene Grafik zeigt die Schuldenstände von Österreich und Griechenland in Prozent des BIP im Vergleich. statistische Darstellungen interpretieren Statistik – Lösungen 68 1/1 Testen und Fördern Lösungen 34 12.11.2013 14:11:27 DIM2_tuf_loesung.indd 35 1 2 4 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern. 2) Ordne den symmetrischen Figuren links die passenden Spiegelachsen rechts zu. keine 1) Wie viele Symmetrieachsen (Spiegelachsen) hat die Figur? Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 69 1/6 Ursprung © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern. C(6|7) 5) Bestimme die Koordinaten des Punktes C. B(6|2) 4) Bestimme die Koordinaten des Punktes B. c) Der Schnittpunkt der Achsen heißt: Mittelpunkt Zentrum b) Der Punkt A hat die Koordinaten: A(2|1) A(1|2) a) Der Winkel den die Achsen im Koordinatensystem einschließen ist: spitz 90° gestreckt 3) Welcher Begriff ist hier jeweils richtig? Markiere das richtige Wort färbig. Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 70 2/6 Testen und Fördern Lösungen 35 12.11.2013 14:11:28 DIM2_tuf_loesung.indd 36 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) halbiert Spiegelachse sind © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern. Winkelschenkeln gleich weit entfernt sind. Achsen Winkelschenkeln Endpunkten Auf der Winkelsymmetrale liegen alle Punkte, die von den beiden Ein Winkel wird von seiner Winkelsymmetrale halbiert. verdoppelt gedrittelt Auf ihr liegen alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind. gleich weit entfernt sind verschieden sind Die Streckensymmetrale steht normal auf die Strecke AB. liegt parallel steht normal verlängert AB Die Streckensymmetrale einer Strecke AB halbiert diese. Streckensymmetrale Strecke CD Winkelsymmetrale Die Verbindungsstrecke dieser Punkte steht normal zur Geraden g. steht normal ist parallel liegt symmetrisch dieser Geraden den gleichen Abstand. verschiedenen den gleichen keinen Zwei Punkte, die symmetrisch bezüglich einer Geraden g liegen, haben von parallel symmetrisch gleichmäßig verteilt 7) Ergänze den Lückentext richtig. Wähle aus den Klammern aus. D(1|7) 6) Bestimme die Koordinaten des Punktes D so, dass ein Quadrat entsteht. Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 71 3/6 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern. Der Winkel hat 80°. 10) Miss die Größe des eingezeichneten Winkels. Der Winkel hat 210°. 9) Lies die Größe des roten Winkels ab. Der Winkel hat 150°. 8) Wie groß ist der eingezeichnete Winkel? Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 72 4/6 Testen und Fördern Lösungen 36 12.11.2013 14:11:29 DIM2_tuf_loesung.indd 37 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern. ergänzen einander auf 180° gleich groß 11) Entscheide, ob die eingezeichneten Parallelwinkel gleich groß sind oder sich auf 180° ergänzen. Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 73 5/6 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern. δ = 120° γ = 30° β = 60° 12) Wie groß sind die Winkel in der Zeichnung? Antworte ohne zu messen. Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 74 6/6 Testen und Fördern Lösungen 37 12.11.2013 14:11:31 DIM2_tuf_loesung.indd 38 β = 130° stumpf γ = 25° spitz erhaben δ = 340° δ © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) β = 38° γ = 275° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern. α = 112° Zeichne die Winkel! Verwende die vorgezeichneten Schenkel und Scheitel! α = 65° spitz α γ 1/1 75 120° oder 60° 75° oder 105° 90° b) β = 120° c) β = 75° d) β = 90° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 30° oder 150° a) β = 30° Wie groß kann ein Parallelwinkel zum gegebenen Winkel β sein? α Markiere in der Figur alle auftretenden Parallelwinkel zu α! Markiere alle gleich großen Parallelwinkel von α orange, alle Parallelwinkel, die α auf 180° ergänzen, blau! Gib die Art des Winkels an! Schätze seine Größe und überprüfe deine Schätzung durch Messen! β Winkelarten erkennen Geometrische Grundbegriffe – Lösungen Winkel messen Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 76 1/2 Testen und Fördern Lösungen 38 12.11.2013 14:11:32 DIM2_tuf_loesung.indd 39 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) β = 60° γ = 90° 30° δ = 60° γ ε = 30° δ © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at α = 120° 60° α β ε Wie groß sind die Winkel α, β, γ, δ und ε in der Figur? Antworte ohne zu messen! γ 180° - γ γ‘ 2/2 77 x D(3|3) C(4|2) B(2|0) A(1|1) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at y Lies die Koordinaten der Punkte A, B und C aus dem Koordinatensystem ab! Ergänze einen Punkt D so, dass ein Rechteck entsteht! x Zeichne die Punkte A(2|3), B(4|4), C(7|1) und D(1|5) in das Koordinatensystem ein! Zeichne einen gleich großen Normalwinkel zu γ und einen der γ auf 180° ergänzt! y mit dem Koordinatensystem umgehen Geometrische Grundbegriffe – Lösungen Winkelarten erkennen Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 78 1/1 Testen und Fördern Lösungen 39 12.11.2013 14:11:33 DIM2_tuf_loesung.indd 40 d) b) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) g B1 (1|7) B1 b) Spiegle B an der Geraden durch A und C! © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at A1 (5|6) A1 a) Spiegle den Punkt A an der Geraden g! Gib die Koordinaten der gespiegelten Punkte an! c) 1/1 79 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Wo sollte sie hingebaut werden? Über den Fluss soll eine Brücke gebaut werden, die von den Orten A und B gleich weit entfernt ist. Zeichne die Symmetrieachse der symmetrisch liegenden Figuren ein! Verbindung ist die Streckensymmetrale. und B jeweils gleich weit entfernt. Ihre Radius gezogen. Die Schnittpunkte sind von A werden um A und B Kreisbögen mit demselben den Punkten A und B gleich weit entfernt sind, Weil die Punkte der Streckensymmetrale von Erkläre den Konstruktionsgang beim Zeichnen einer Streckensymmetrale! Begründe die Arbeitsschritte! Zeichne jeweils alle Symmetrieachsen ein! a) geometrische Eigenschaften erkennen Geometrische Grundbegriffe – Lösungen Symmetrie erkennen Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 80 1/2 Testen und Fördern Lösungen 40 12.11.2013 14:11:36 DIM2_tuf_loesung.indd 41 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at 60° konstruiert und zweimal halbiert, weil: 60° : 2 = 30°, 30° : 2 = 15° und 60° - 15° = 45° b) β = 45° 60° Zweimal 60° konstruiert und addiert, weil: 60° + 60° = 120° Erinnere dich: Einen 60°-Winkel kann man durch zweimaliges Abschlagen desselben Radius konstruieren (siehe Figur). a) α = 120° Konstruiere die Winkel durch Halbieren bzw. Addieren geeigneter Winkel! Gib an, wie du vorgegangen bist! Zeichne einen Winkel α = 75° und konstruiere seine Winkelsymmetrale! Ein Winkelschenkel ist schon vorgezeichnet. geometrische Eigenschaften erkennen Geometrische Grundbegriffe – Lösungen 81 2/2 Gleichschenkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck 60° , γ = 30° , β = 60°, γ = 60° 38° 60° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at α= α = 112°, β = α = 35°, β = 85°, γ = 2) Von einem Dreieck kennt man die Größen zweier Winkel. Gib die Größe des dritten Winkels an. Zwei Seiten sind gleich lang. a=b=c Es gibt eine Symmetrieachse. Zwei Seiten stehen normal. Es gibt drei Symmetrieachsen. Alle Winkel betragen 60°. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Figuren – Lösungen 82 1/7 Testen und Fördern Lösungen 41 12.11.2013 14:11:37 DIM2_tuf_loesung.indd 42 heißen die Seiten, die des Dreiecks. Im rechtwinkligen Dreieck Hypotenuse. längste Seite gegenüberliegt Katheten, die Seite, die dem rechten Winkel Sie ist die 2 10 1 7 9 6 4 5 8 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Die Angabe kann nicht eindeutig konstruiert werden. Die Angabe kann nicht konstruiert werden, weil die Dreiecksungleichung nicht gilt. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Die Angabe kann konstruiert werden. Von einem Dreieck ist angegeben: a = 65 mm, b = 23 mm, c = 20 mm 4) Nicht alle Dreiecksangaben können konstruiert werden. Kreuze an, ob die Angabe gezeichnet werden kann. den rechten Winkel einschließen 3 3) Bringe die Satzteile in die richtige Reihenfolge. (Es sind zwei Sätze.) Figuren – Lösungen 83 2/7 Ja Ja b) a = 45 mm, c = 50 mm, α = 50° c) b = 35 mm, α = 42°, γ = 90° Nein Nein Nein Zwei Seitenlängen und die Größe irgendeines Winkels. γ = 80°, γ = 60°, c = 55 mm Angabe: α = 25°, β = 75° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at c = 70 mm, β = 45°, γ = 60° β = 54°, α = 50°, c = 40 mm Angabe: a = 35 mm, b = 25 mm Angabe: c = 77 mm, b = 30 mm 7) Was fehlt in der Angabe zur eindeutigen Konstruktion des Dreiecks? Markiere die fehlende Angabe. Eine Seitenlänge und die Größen zweier Winkel. Zwei Seitenlängen und die Größe des eingeschlossenen Winkels. Die Größen der drei Winkel. Die drei Seitenlängen. 6) Zwei Dreiecke sind deckungsgleich (kongruent), wenn bestimmte Angaben in beiden Dreiecken übereinstimmen. Welche Angaben können das sein? Kreuze die richtigen an. Ja a) b = 25 mm, α = 30°, c = 40 mm 5) Nicht alle Dreiecksangaben können eindeutig konstruiert werden. Kann das Dreieck eindeutig konstruiert werden oder nicht? Figuren – Lösungen 84 3/7 Testen und Fördern Lösungen 42 12.11.2013 14:11:38 DIM2_tuf_loesung.indd 43 4/7 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Trapez Parallelogramm © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid Die Diagonalen stehen normal aufeinander. Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid Alle vier Innenwinkel sind gleich groß. Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid Das Viereck hat genau ein Paar paralleler Seiten. 85 Deltoid falsch richtig c) Gegenüberliegende Seiten im Rechteck sind zueinander parallel. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at falsch falsch richtig richtig b) Im Parallelogramm sind benachbarte Winkel immer gleich groß. a) Benachbarte Seiten des Quadrats stehen senkrecht zueinander. 12) Richtig oder falsch? Rechteck Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid Raute 9) Welche Vierecke haben die angegebene Eigenschaft? Markiere die passenden Vierecke. 11) Welche Bezeichnungen passen zu diesem Viereck? (Es sind auch mehrere Nennungen möglich.) Parallelogramm Umkreismittelpunkt Dieser Punkt ist beim rechtwinkligen Dreieck mit einem Eckpunkt ident. Trapez Inkreismittelpunkt Unterstützt man das Dreieck in diesem Punkt, ist es im Gleichgewicht. Rechteck Schwerpunkt Dieser Punkt hat von den Seiten des Dreiecks denselben Normalabstand. Deltoid Raute Höhenschnittpunkt Dieser Punkt hat von den Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand. 10) Welche Bezeichnungen passen zu diesem Viereck? (Es sind auch mehrere Nennungen möglich.) Figuren – Lösungen 8) Einige Punkte im Dreieck haben wesentliche Eigenschaften. Ordne die Beschreibungen den besonderen Punkten im Dreieck zu. Figuren – Lösungen 86 5/7 Testen und Fördern Lösungen 43 12.11.2013 14:11:39 DIM2_tuf_loesung.indd 44 Quadrat Trapez Rechteck richtig falsch richtig © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Inkreis Umkreis © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Deltoid Raute gleichschenkliges Trapez Rechteck 15) Haben die besonderen Vierecke einen Inkreis oder einen Umkreis? Verbinde mit dem entsprechenden Kasten. c) Jedes Rechteck hat mindesten zwei Symmetrieachsen. falsch falsch richtig b) Benachbarte Seiten des Deltoids stehen immer senkrecht aufeinander. a) Gegenüberliegende Winkel der Raute sind immer gleich groß. 14) Richtig oder falsch? Deltoid 13) Welche Bezeichnungen passen zu diesem Viereck? (Es sind auch mehrere Nennungen möglich.) Figuren – Lösungen 87 6/7 β = 135° d) Deltoid: α = 65°, γ = 45° γ = 120° γ = 120° γ = 115° γ = 115° β = 125° β = 120° β = 115° γ = 125° γ = 125° β = 125° β = 120° β = 115° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at γ = 135° γ = 135° b) Raute: α = 120° c) gleichschenkliges Trapez: α = 65° β = 135° a) Parallelogramm: α = 45° 16) In den gegebenen Vierecken lassen sich Winkel berechnen. Ermittle die Größe des gesuchten Winkels. Figuren – Lösungen 88 7/7 Testen und Fördern Lösungen 44 12.11.2013 14:11:40 DIM2_tuf_loesung.indd 45 50° , β = 20°, γ = 110° 60° 15° d) α = 80°, β = 80°, γ = c) α = 115°, β = 20° , γ = 50° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) d) α = 52,5° , β = 52,5° , γ = 75° b) α = 32,5° , β = 32,5° , γ = 115° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at c) α = 25° , β = 25°, γ = 130° a) α = 45°, β = 45° , γ = 90° Berechne die fehlenden Winkel des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)! α + β + γ = 180° und α = β = γ daher ist α = β = γ = 180° : 3 = 60° Begründe, warum die gleich großen Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck 60° haben müssen! b) α = a) α = 45°, β = 75°, γ = Von einem Dreieck sind zwei Winkel gegeben. Berechne den dritten! Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen Figuren – Lösungen 89 1/3 r, p q Hypotenuse: Katheten: l n, m Hypotenuse: Katheten: g, f h , 70° , 63 mm , © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at α ≈ 15° a ≈ 17 mm , b ≈ b) Konstruiere den Schwerpunkt des rechtwinkligen Dreiecks (γ = 90°) mit c = 65 mm, β = 75°! ,γ≈ 44 mm ρ ≈ 13 mm β ≈ 55° a=b≈ a) Konstruiere den Inkreis des gleichschenkligen Dreiecks mit c = 50 mm und α = 55°! Vervollständige das Dreieck und konstruiere den merkwürdigen Punkt! Eine Seite ist bereits vorgezeichnet. Miss die gesuchten Größen ab! Hypotenuse: Katheten: Welche Seiten sind die Katheten, welche Seite ist die Hypotenuse? Ergänze auch die fehlenden Winkelgrößen! Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen Figuren – Lösungen 90 2/3 Testen und Fördern Lösungen 45 12.11.2013 14:11:41 DIM2_tuf_loesung.indd 46 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Gleichschenkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Drei Seiten sind gleich lang. Zwei Seiten stehen normal aufeinander. Es gibt drei Symmetrieachsen. Die Punkte U, I, H und S liegen auf der Symmetrieachse. Es gibt eine Symmetrieachse. Die Punkte U, I, H und S fallen zusammen. Der Höhenschnittpunkt fällt mit einem Eckpunkt zusammen. Alle Winkel betragen 60°. Zwei Seiten sind gleich lang. Ordne die Eigenschaften den besonderen Dreiecken zu! Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen Figuren – Lösungen 91 3/3 d) b = 74 mm, c = 50 mm, β = 90° c) c = 55 mm, α = 45°, β = 60° © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at b) a = 38 mm, b = 46 mm, γ = 35° a) a = 40 mm, b = 60 mm, c = 70 mm Konstruiere die Dreiecke! Figuren zeichnen Figuren – Lösungen 92 1/2 Testen und Fördern Lösungen 46 12.11.2013 14:11:43 DIM2_tuf_loesung.indd 47 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) nicht konstruierbar nicht eindeutig konstruierbar eindeutig konstruierbar © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at a = 55 mm, b = 37 mm, c = 18 mm b = 70 mm, α = 40°, γ = 30° a = 45 mm, b = 20 mm, c = 70 mm a = 60 mm, c = 40 mm, γ = 30° α = 15°, β = 45°, γ = 115° a = 35 mm, b = 20 mm, α = 40° α = 25°, β = 65°, γ = 90° a = 25 mm, b = 30 mm, c = 40 mm α = 60°, c = 40 mm, γ = 30° Ist bei den Dreiecksangaben eine eindeutige, keine eindeutige oder gar keine Konstruktion möglich? Figuren zeichnen Figuren – Lösungen 93 2/2 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Dreieck A und Dreieck B können kongruent sein, müssen aber nicht. Dreieck A und Dreieck B sind kongruent. d) a = 44 mm, α = 45°, β = 45° Dreieck A und Dreieck B können kongruent sein, müssen aber nicht. Dreieck A und Dreieck B sind kongruent. c) α = 60°, β = 30°, γ = 90° Dreieck A und Dreieck B können kongruent sein, müssen aber nicht. Dreieck A und Dreieck B sind kongruent. b) a = 40 mm, b = 55 mm, β = 30° Dreieck A und Dreieck B können kongruent sein, müssen aber nicht. Dreieck A und Dreieck B sind kongruent. a) a = 35 mm, b = 15 mm, c = 56 mm Von zwei Dreiecken A und B sind drei gemeinsame Bestimmungsstücke bekannt. Sind die Dreiecke sicher kongruent oder nicht? Kreuze die richtige Antwort an! geometrische Eigenschaften erkennen Figuren – Lösungen 94 1/1 Testen und Fördern Lösungen 47 12.11.2013 14:11:45 DIM2_tuf_loesung.indd 48 Rechteck, Quadrat, Trapez, Trapez, Deltoid, © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Alle Rechte vorbehalten | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Rechteck, Trapez, Rhombus, Parallelogramm, Quadrat, Deltoid, Rhombus Deltoid Rhombus Quadrat gleichschenkliges Trapez Deltoid, © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at Rhombus, Das Viereck besitzt einen Inkreis. gleichschenkliges Trapez, Das Viereck hat mindestens eine Symmetrieachse. Rechteck, Das Viereck hat genau ein Paar paralleler Seiten. Parallelogramm, Rhombus, Das Viereck besitzt einen Umkreis. Quadrat, Die Diagonalen stehen normal aufeinander. Welche Vierecke haben die angegebenen Eigenschaften? Markiere die passenden Vierecke! Vierecke und ihre Eigenschaften kennen Figuren – Lösungen 95 1/2 Rechteck Quadrat Parallelogramm Rhombus Deltoid © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5) Alle Rechte vorbehalten. | www.oebv.at | www.testen-und-foerdern.at gleichschenkliges Trapez Trapez allgemeines Viereck Ergänze das „Haus der Vierecke“! Die unten liegenden Vierecke sollen alle besonderen Eigenschaften der Vierecke darüber haben. Skizziere die Vierecke und ergänze die Namen! Vierecke und ihre Eigenschaften kennen Figuren – Lösungen 96 2/2 Testen und Fördern Lösungen 48 12.11.2013 14:11:47