Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
28. April 2003
Einführung in die Logik für Informatiker
Lösungshinweise zum ersten Übungsblatt
Hausübungen
(H 1) Substitutionslemma
Gegeben seien die Propositionen A ≡ p0 → p1 und A0 ≡ ¬p1 → ¬p0 .
(a) Zeige, daß A ↔ A0 gilt.
Die Wertetafel für (p0 → p1 ) ↔ (¬p1 → ¬p0 ) sieht folgendermaßen aus
p0
w
w
f
f
p1
w
f
w
f
(p0 → p1 ) ↔ (¬p1 → ¬p0 )
w
w
w
w
also ist die Proposition ein Tautologie.
(b) Zeige, daß p2 ∨ (p0 → p1 ) genau dann gilt, wenn p2 ∨ (¬p1 → ¬p0 ).
Dies ist eine direkte Folgerung aus dem Substitutionlemma: Sei B ≡ p2 ∨p3 dann ist B[A/p3 ] ≡ p2 ∨(p0 → p1 )
und B[A0 /p3 ] ≡ p2 ∨ (¬p1 → ¬p0 ). Da A ↔ A0 gilt, folgt die Behauptung.
(H 2)
Bei dieser Aufgabe kann es zu Mißverständnissen gekommen sein: Mit CNF (bzw. DNF) war die kanonische
konjunktive (bzw. disjunktive) Normalform gemeint. Eine Formel ist in kanonischer CNF (bzw. DNF), wenn in
jeder Disjunktion (bzw. Konjunktion) jede Variable genau einmal als Literal vorkommt.
1. (p0 ∧ p1 ) ∨ p2
CNF: (p0 ∨ p1 ∨ p2 ) ∧ (p0 ∨ ¬p1 ∨ p2 ) ∧ (¬p0 ∨ p1 ∨ p2 )
DNF: (p0 ∧ p1 ∧ p2 ) ∨ (p0 ∧ p1 ∧ ¬p2 ) ∨ (¬p0 ∧ p1 ∧ p2 ) ∨ (p0 ∧ ¬p1 ∧ p2 ) ∨ (¬p0 ∧ ¬p1 ∧ p2 )∨
2. ¬p0 ∨ (p1 ∧ p2 ) ∨ (p2 → p0 )
CNF: >
DNF: >
3. p0 ↔ p1
CNF: (¬p0 ∨ p1 ) ∧ (p0 ∨ ¬p1 )
DNF: (p0 ∧ p1 ) ∨ (¬p0 ∧ ¬p1 )
F (H 3) Noch ein logisches Rätsel
Drei Kinder kommen vom Spielen im Regen nach Hause und sind schmutzig. Der Vater stellt darauf seinen logisch
begabten Kinder folgendes Rätsel:
Mindestens einer von euch hat Matsch auf der Stirn. Kann mir jetzt einer von euch mit Sicherheit sagen, ob er
”
Matsch auf der Stirn hat.“
Die Kinder schauen sich gegenseitig an, aber keiner antwortet. Da stellt der Vater nochmals die gleiche Frage.
Mindestens einer von euch hat Matsch auf der Stirn. Kann mir jetzt einer von euch mit Sicherheit sagen, ob er
”
Matsch auf der Stirn hat.“
Wieder antworted niemand.
Daraufhin gehen alle drei Kinder sich den Matsch von der Stirn waschen.
Warum wußten zum Schluß alle drei Kinder, daß sie Matsch auf der Stirn haben?
Lösung:
Nach der Aussage des Vaters Mindestens einer von euch hat Matsch auf der Stirn.“ muß mindestens ein Kind
”
Matsch auf der Stirn haben.
• Genau ein Kind hat Matsch auf der Stirn: Dieses Kind sähe zwei Kinder ohne Match auf der Stirn und wüßte
sofort bei der ersten Frage, daß es selbst Matsch auf der Stirn hat. Widerspruch!
Die Aussage des Vaters Mindestens einer von euch hat Matsch auf der Stirn.“ ist hierfür unerläßlich, obwohl
”
alle drei Kinder Matsch auf der Stirn haben. Denn diese Aussage hat zur Folge, daß jedes Kind weiß, daß
jedes andere Kind weiß, (daß jedes andere Kind weiß, usw.) daß mindestens einer Matsch auf der Stirn hat.
• Genau zwei Kinder haben Matsch auf der Stirn: Da nach der ersten Frage niemand geantwortet hat, wissen
alle, daß es mindestens zwei Kinder mit Matsch auf der Stirn gibt. Seien die Kinder A, B und C. O. B. d. A.
haben B und C Matsch auf der Stirn A jedoch nicht, dann denkt Kind A folgendes: Kind B sieht mich ohne
Matsch und Kind C mit Matsch, also muß Kind B zu dem Schluß kommen, daß es selbst Matsch auf der
Stirn hat. Dies geschieht aber nicht. Widerspruch!
Also habe alle drei Matsch auf der Stirn.