mit Checkpoint-Lösungen
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Sabine Prohaska Renate Pochop Apropos Mathematik mit Checkpoint-Lösungen Unter Mitarbeit von Dieter Henn Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht und kulturelle Angelegenheiten Zl. 5.021/0070-V/9/2007 vom 22. Dezember 2008 als für den Unterrichtsgebrauch an Polytechnischen Schulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. KOPIERVERBOT Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Absatz (3) der Urheberrechtsgesetznovelle 1996: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Bildnachweis: 24.1: Julien Tromeur/www.fotolia.de; 24.2: Claudia Hautumm/PIXELIO; 25.1: Jens Hermann/PIXELIO; 25.2: www.goruma.de; 29.1: Harald Hansen; Public Domain/Wikimedia Commons; 29.2: Rainer Sturm/ PIXELIO; 29.3: Ildar Sagdejev; lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/Wikimedia Commons; 30.1: Manual63; Public Domain/Wikimedia Commons; 30.2: Schiffer/symbol/Aqualux Therme Fohnsdorf; 33.1: GraphicsFactory.com; 33.2: GraphicsFactory.com; 43.1: Petoo/www.fotolia.de; 45.1: Anglia; lizenziert unter CC-BY-SA-2.0 Germany/Wikimedia Commons; 45.2 Maria Lanznaster/PIXELIO; 46.1: GraphicsFactory.com; 47.1: Klaus-Uwe Gerhardt/PIXELIO; 49.1a: Frank C. 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Seiten 242–245 (bearbeitet) aus: Achleitner, Renate; RatzbergerKlampfer, Anita; Weikinger, Maria: ganz klar: Mathematik 3, S. 138, 139, 152–155. Nach den Regeln der neuen Rechtschreibung 2006. www.jugendvolk.at Schulbuch-Nr. 140585 Prohaska, Pochop, Henn Apropos Mathematik Umschlaggestaltung: AV+ Astoria Druckzentrum Prepress, Wien Cover-Foto: Bettina Frenzel Grafiken: Der Lichtblick, Wien Satz: Peter Barosch KG, 1220 Wien © 2013, Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien. Alle Auflagen mit © 2013 sind nebeneinander verwendbar. ISBN 978-3-7100-2996-7 Impressum S 2.indd 1 Druck: Westermann Druck Zwickau GmbH Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung – auch auszugsweise – gesetzlich verboten. [2014 – 03004] 30.04.2014 19:04:17 Uhr Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Zahlensystem und Stellenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dekadisches Zahlensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stellenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 10 Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Textaufgaben zur Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Wirtschaftsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Textaufgaben zur Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Verbindung der vier Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Berufsbezogene Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Rechenoperationen mit Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Grundbegriffe der Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Addition und Subtraktion von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Multiplikation und Division von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Verbindung der vier Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Berufsbezogene Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Schlussrechnung ............................................. 50 Schlussrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Schlussrechnung – direktes und indirektes Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Textaufgaben zur Schlussrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Berufsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Zusammengesetzte Schlussrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Zusammengesetzte Schlussrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Berufsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Grundbegriffe der Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Umsatzsteuer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Rabatt und Skonto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Berufsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3 Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Einfache Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Textaufgaben zur Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Lohn- und Gehaltsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Promillerechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Grundbegriffe der Promillerechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Zinsrechnung .................................................. 86 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Grundbegriffe der Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Textaufgaben zu Jahreszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Kredite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Zinsen für Teile des Jahres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Textaufgaben zu Zinsen für Teile des Jahres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Berechnung von Zinseszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Textaufgaben zu Zinseszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Ratenkauf und Leasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4 Variablen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Rechnen mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addition und Subtraktion mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikation und Division mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechnen mit Potenzen; Klammern auflösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 104 106 108 110 112 114 Gleichungen und Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen und Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen mit Klammern und Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Textaufgaben zu Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umformen von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 116 118 120 122 124 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 126 128 130 Maße .............................................................. 132 Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Längenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raummaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hohlmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Massenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 132 134 136 138 140 142 144 146 Ebene Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Längen – Messen und Berechnen; Maßstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkel – Messen und Berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren – Darstellen und Berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 148 150 152 154 Quadrat und Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadrat und Rechteck – Erklärung und Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben zu Quadrat und Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berufsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammengesetzte Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 156 158 160 162 164 Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreieck – Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeln und Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umformungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pythagoräischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen des pythagoräischen Lehrsatzes, Höhen- und Kathetensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berufsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 166 168 170 172 174 176 Vierecke und Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallelogramm und Raute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trapez und Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelmäßige und unregelmäßige Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 186 188 192 194 Kreis und Kreisteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umformungsaufgaben und berufsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisteile – Kreisbogen, Kreissektor, Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammengesetzte Kreisflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berufsbezogene Aufgaben: Kreisteile aus der Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 196 198 200 202 204 206 208 178 182 184 5 Geometrische Körper ...................................... 210 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Einführung Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6 Gerade Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Würfel und Quader – Erklärung und Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umformungsaufgaben und Textaufgaben zu Würfel und Quader . . . . . . . Masse und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oberfläche und Volumen gerader Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berufsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 212 214 216 218 220 222 224 Kegel und Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kegelstumpf und Pyramidenstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 226 228 230 232 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugel – Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Checkpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berufsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 234 236 238 240 Projektorientierte Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Zum Thema Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabellenkalkulation und Darstellung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausbildung und Arbeitswelt: Frauen – Männer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zum Thema Lehrberufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rund ums Geld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauen und Wohnen – Renovierungskosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiebedarf und erneuerbare Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tourismus und Reiseplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 244 246 248 250 252 254 256 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Checkpoint-Lösungen 270 ...................................... Verwendete Symbole: Merksätze fassen das Wesentliche kurz und prägnant zusammen. Musterbeispiele machen Rechenwege transparent. Technisches Fachrechnen Bauen und Wohnen Rund ums Kraftfahrzeug Hinweise enthalten zusätzliche Informationen, Tipps und Hilfestellungen. Mittelschwere Beispiele Schwierige Beispiele Reisen (Fahrplan) Rund ums Geld Wirtschaftsrechnen 7 Schlussrechnungen – direktes und indirektes Verhältnis Direktes Verhältnis je mehr – desto mehr je weniger – desto weniger 25 kg Äpfel kosten 50 ¤. Wie viel ¤ kosten 40 kg Äpfel? Lösung mithilfe einer Verhältnisgleichung: Jedes Verhältnis ist eine Division! 25 kg .................... 50 h 40 kg .................... x x : 50 = 40 : 25 Lösen der Verhältnisgleichung: Außenglieder Tipp: Bestimme das Verhältnis mithilfe der „Pfeilmethode“: Der 1. Pfeil wird immer vom x ausgehend gesetzt. Liegt ein direktes Verhältnis vor, so wird der 2. Pfeil in die gleiche Richtung gesetzt. zwei gleiche Wörter ! zwei gleich gerichtete Pfeile (z. B. je mehr – desto mehr) x : 50 = 40 : 25 Innenglieder Produkt der Außenglieder = Produkt der Innenglieder 25 · x = 50 · 40 · 40 x = 5025 · 40 x = 5025 x = 80 ¤ x = 80 ¤ Antwort: 40 kg Äpfel kosten 80 ¤! 163 164 165 166 167 50 a) 4 Flaschen Duschgel der Sorte „Marina“ kosten insgesamt 7 h. Wie viel h kosten 5 Flaschen dieses Duschgels? b) 12 Liter Öl kosten 50 h. Wie viel h kosten 18 Liter dieses Öles? c) Frau Maier bezahlt im Supermarkt für 5 kg Rindfleisch 38 h. Wie viel h müsste sie für 9 kg Rindfleisch bezahlen? d) Der Gesamtpreis für 8 Fahrkarten beträgt 112 h. Wie viel h kosten 5 Fahrkarten? Beim Sonderabverkauf kostet eine Hose 38,50 h. Ab einem Kauf von 3 Hosen kostet eine Hose nur mehr 33 h. Herr Bergmann zahlt für drei Hosen 99 h. Wie viel h müsste er für 8 Hosen bezahlen? Herr Daubner fährt mit seinem Pkw auf der Autobahn von Wien nach Linz. Sein Auto benötigt für diese 205 km lange Strecke 16,5 Liter Benzin. Wie viele Liter Benzin verbraucht der Pkw durchschnittlich auf einer Strecke von 100 km auf der Autobahn? Herr Hacker fährt mit seinem Pkw eine Strecke von 460 km. Der Benzinverbrauch für diese Strecke beträgt 32 Liter. Wie viele Liter Benzin benötigt der Pkw unter gleichen Bedingungen für eine Strecke von 580 km? Ein Läufer benötigt, bei guter körperlicher Verfassung, 19 Minuten für eine Strecke von 5 km. a) Wie viele Minuten benötigt er bei gleicher Geschwindigkeit für eine Strecke von 7 km? b) Wie lange braucht der Läufer bei halber Geschwindigkeit für eine Strecke von 9 km? c) Eine kürzere Strecke von 400 m kann er mit doppelter Geschwindigkeit laufen. Wie lange braucht er für diese Distanz? Schlussrechnung Indirektes Verhältnis je mehr – desto weniger je weniger – desto mehr 3 Arbeiter benötigen für die Fertigstellung einer Baustelle 6 Stunden. Wie lange brauchen 4 Arbeiter dafür? Lösung mithilfe einer Verhältnisgleichung: Jedes Verhältnis ist eine Division! 3 A .......................... 6 h 4 A .......................... x x:6=3:4 Lösen der Verhältnisgleichung: Außenglieder Tipp: Bestimme das Verhältnis mithilfe der „Pfeilmethode“: Der 1. Pfeil wird immer vom x ausgehend gesetzt. Liegt ein indirektes Verhältnis vor, so wird der 2. Pfeil in die entgegengesetzte Richtung gesetzt. zwei verschiedene Wörter ! zwei verschiedene Pfeile (z. B. je mehr – desto weniger) x:6=3:4 Innenglieder Produkt der Außenglieder = Produkt der Innenglieder 4·x=6·3 x= 6·3 4 x = 4,5 h x= 6·3 4 x = 4,5 h Antwort: 4 Arbeiter benötigen für die Fertigstellung der Baustelle 4 Stunden 30 Minuten! Ein Bauer erweitert seinen Viehbestand von 58 auf 87 Kühe. Der vorhandene Vorrat an Futtermitteln reicht für die 58 Kühe 12 Tage lang. Für wie viele Tage hat der Bauer nach der Erweiterung des Viehbestands noch Futter? Eine Großbäuerin plant den Kauf neuer Ferkel. Mit dem Vorrat an Schweinefutter kann sie 150 Schweine 180 Tage lang füttern. Wie viele Tage könnten 250 Schweine mit dem Vorrat versorgt werden? Eine Schulklasse mit 26 Schülerinnen und Schülern plant eine Projektwoche: Wenn 26 Jugendliche daran teilnehmen, kostet die Fahrt mit dem Autobus 18 h pro Person. Es werden jedoch 3 Tage vor der Projektwoche 2 Klassenkolleginnen krank und können nicht mitfahren. Wie viel h muss nun jeder einzelne Jugendliche für die Autobusfahrt bezahlen? Ein Biobauer füllt selbst produzierten Birnensaft in 1,5-l-Flaschen ab und erhält dabei 52 volle Flaschen. Wie viele leere Flaschen würde der Bauer benötigen, wenn er dieselbe Menge Birnensaft in Doppelliterflaschen abfüllen würde? Zur Befüllung eines öffentlichen Schwimmbeckens arbeiten 5 Wasserpumpen 9 Stunden lang. Der Betreiber des Schwimmbeckens möchte aber das Bad so schnell als möglich wieder öffnen und bringt daher 8 Wasserpumpen zum Einsatz, um das Befüllen zu beschleunigen. Wie viele Stunden muss der Betreiber das Schwimmbecken nun geschlossen halten? Frau Klinger pflanzt 10 Salatpflänzchen in ein Gartenbeet in einem Abstand von jeweils 20 cm ein. Wie viele Pflänzchen könnte sie auf der gleichen Länge einsetzen, wenn sie jeweils nur 15 cm Abstand ließe? a) Löse die Aufgabe zeichnerisch! b) Warum erhältst du bei einer rechnerischen Lösung ein anderes Ergebnis? 168 169 170 171 172 173 51 Textaufgaben zur Schlussrechnung 174 Im Eisengroßhandel gibt es nach wie vor die Möglichkeit, Schrauben einzeln zu kaufen. Herr Max findet dort folgendes Angebot: 8 Sechskantschrauben M10 zum Preis von 10,80 h. Wie viel h kosten a) 24 und b) 32 Schrauben dieser Art? 175 176 Der Transrapid ist eine Magnetschwebebahn, die eine Geschwindigkeit von über 400 km/h erreicht. Welche Strecke legt der Transrapid bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 400 km/h in 3,5 Stunden zurück? Durch ein Hochwasser wurde der Keller eines Wohnhauses überflutet. Um das Wasser aus dem Keller zu entfernen, benötigen 2 Schmutzwasserpumpen 3 Stunden. Wie lange würde der Vorgang beim Einsatz von 6 Schmutzwasserpumpen dauern? 177 Zum Thema Umweltschutz: kleine Ursache – große Wirkung! Aufgrund einer defekten Dichtung eines WC-Spülkastens fließen täglich 21,6 l Wasser ungenutzt davon. Wie viele Liter Wasser werden innerhalb eines Monats (31 d) dadurch verschwendet? 178 179 Berechne den jeweiligen Preis pro Kilogramm: a) 30 dag Pralinen kosten 3,30 h b) 50 dag Wurst kosten 7,25 h c) 200 g Kirschen kosten 1,25 h d) 15 dag Zuckerl kosten 1,74 h In einer Schiregion sollen 4er-Sessel für den neuen Sessellift mittels Sattelschlepper angeliefert werden, wobei pro Fuhre 17 Vierersessel verladen werden können. Insgesamt müssen 408 Sessel transportiert werden. a) Wie oft muss ein Sattelschlepper fahren? b) Wie oft müssen 6 Sattelschlepper fahren? 180 Das bislang einzige Passagier-Überschallflugzeug war die Concorde. Sie konnte eine Fluggeschwindigkeit von mehr als 2 200 km/h erreichen. Wie lange hätte sie bei der Geschwindigkeit von 2 200 km/h für einen Nonstop-Flug rund um die Erde (40 000 km) gebraucht? 181 Für den Film „Ben Hur" wurden insgesamt 375 000 m Film abgedreht. Ein Kinoprojektor arbeitet mit ca. 0,72 m/s. Wie lange würde das Abspielen des gesamten Filmmaterials dauern? (Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.) 182 Für eine Urlaubsreise in die Schweiz wechselt Angelika in einer Bank ihr Urlaubsgeld in Schweizer Franken (SFr) um. Für 300 h erhält sie 366,96 CHF. (Stand: 2014) a) Berechne den Umrechnungskurs für 1 CHF in h. b) Wie viel CHF bekommt Angelika für 750 h? 183 184 52 Ein Becken fasst 27,2 hl Wasser und kann mit der vorhandenen Vorrichtung in 1 h 20 min gefüllt werden. Wie viele Liter Wasser fließen in 45 min ins Becken? Ein Landwirtschaftsbetrieb hat 17 Kühe. Der Heuvorrat reicht für 6 Monate. Wie lange reicht der Heuvorrat, wenn nach 2 Monaten 5 Kühe verkauft werden? Schlussrechnung Rund ums Kraftfahrzeug Ein Rolls-Royce verbraucht durchschnittlich 24 l Benzin auf einer Strecke von 100 km. Wie viel km können mit einer Tankfüllung von 72 l mit dem Rolls-Royce zurückgelegt werden? Vergleiche den Verbrauch eines Diesel- und eines Benzinmotors auf einer Strecke von 300 000 km: Verbrauch: Preis pro Liter: Benzinmotor 7 l auf 100 km Benzin 1,38 h Benzin Dieselmotor 5 l auf 100 km Diesel 1,34 h (Stand: 2014) Diesel 185 186 Unterschied Treibstoffverbrauch Treibstoffkosten Der Renault Clio verbraucht durchschnittlich 6,5 l Benzin auf einer Strecke von 100 km. Der Tank des Autos fasst 43 l. Wie viel km können durchschnittlich mit einer Tankfüllung zurückgelegt werden? Marias Wagen verbraucht durchschnittlich 11 l Treibstoff auf 100 km. Wie viel km kann sie ungefähr fahren, wenn ihr 70-l-Tank noch halb voll ist? Um die negativen Auswirkungen auf das Klima (Treibhauseffekt) zu vermindern, plant die EU ab 2012 durch eine gesetzliche Regelung, die Autoindustrie zur Erzeugung umweltschonender Motoren anzuhalten. Der Ausstoß von CO2 durch einen Kfz-Motor soll auf 600 g pro 5 km begrenzt werden. a) Wie viel g CO2 werden insgesamt freigesetzt, wenn ein der neuen Richtlinie entsprechender Pkw pro Jahr 15 000 km fährt? Rechne das Ergebnis in Kilogramm um. b) Wie hoch ist die CO2-Einsparung gegenüber einem Pkw mit gleicher Kilometerleistung, der pro km 170 g CO2 freisetzt? Denkaufgabe: Seit dem Jahr 2008 gilt in Österreich eine Winterreifenpflicht für Kfz mit einem höchstzulässigen Gesamtgewicht bis max. 3,5 Tonnen. Diese gilt für den Zeitraum vom 1. November bis zum 15. April, sofern winterliche Fahrverhältnisse (Schnee, Eis, Matsch) bestehen. Die nebenstehenden Grafiken zeigen die unterschiedlichen Bremswege abhängig von der Temperatur und den verwendeten Reifen. Bremsen auf nasser Fahrbahn. (Messung bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h (auf 20 km/h)) 187 188 189 190 a) Begründe, warum es sinnvoll ist, im Sommer mit Sommerreifen und im Winter mit Winterreifen zu fahren. b) Wie groß ist der Unterschied beim Bremsweg auf nasser Fahrbahn im Sommer zwischen den beiden Reifentypen? Bremsen auf Schnee. (Messung bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h) c) Wie groß ist der Unterschied beim Bremsweg auf nasser Fahrbahn in kühleren Zeiten zwischen den beiden Reifentypen? d) Wie viele Meter an Bremsweg auf Schnee können durch die Montage von Winterreifen gegenüber den Sommerreifen eingespart werden? 53 Dreieck – Grundbegriffe Dreieck Bestimmungsstücke: 3 Eckpunkte, 3 Seiten, 3 Winkel HINWEIS Im Dreieck ist die Summe der Winkel (Winkelsumme) immer 1808. Einteilung der Dreiecke: 1) Nach den Seiten: Gleichseitiges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Allgemeines Dreieck 3 gleich lange Seiten 2 gleich lange Schenkel 3 verschieden lange Seiten 2) Nach den Winkeln: Spitzwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Stumpfwinkliges Dreieck ein Winkel ist / 908 ein Winkel = 908 ein Winkel ist , 908 HINWEIS Beschriftung und Benennung: 166 Eckpunkte A, B, C Seiten a, b, c Winkel -, *, ( Die Beschriftung der Eckpunkte, Seiten und Winkel erfolgt gegen den Uhrzeigersinn. Ebene Figuren Beschrifte die Dreiecke vollständig: a) b) 769 c) Benenne die Dreiecke nach den Seiten: a) d) b) e) f) g) Miss die eingezeichneten Winkel und benenne die Dreiecke nach den Winkeln: a) 770 c) b) c) e) f) 771 Grad: Benennung: d) Grad: Benennung: 167 Konstruktion von Dreiecken Konstruktion Für die Konstruktion von Dreiecken müssen drei Größen (davon eine Seitenlänge) bekannt sein. SSS-Satz Seiten-Seiten-Seiten-Satz WSW-Satz Winkel-Seiten-Winkel-Satz SWS-Satz Seiten-Winkel-Seiten-Satz SSW-Satz Seiten-Seiten-Winkel-Satz Zuerst wird eine Seite gezeichnet und dann werden von ihrem Anfangs- und Endpunkt die anderen Seiten mit dem Zirkel abgeschlagen. Zuerst wird die Seite gezeichnet und dann werden die beiden Winkel konstruiert. Der Schnittpunkt ist der 3. Eckpunkt. Zuerst wird die Seite mit dem dazugehörigen Winkel konstruiert. Danach wird die Seitenlänge abgeschlagen und verbunden. Zuerst wird die Seite mit dem dazugehörigen Winkel konstruiert. Danach wird vom anderen Eckpunkt die Seitenlänge abgeschlagen und verbunden. Die vier merkwürdigen Punkte H Höhenschnittpunkt (3 Höhen) I Inkreismittelpunkt (3 Winkelsymmetralen) U Umkreismittelpunkt (3 Seitensymmetralen) S Schwerpunkt (3 Schwerlinien) Die Höhen stehen normal auf die Seiten und sind die Verbindung zu den dazugehörigen Eckpunkten. Die Winkel werden halbiert und der Schnittpunkt der drei Winkelsymmetralen ist der Inkreismittelpunkt. Die Seiten werden halbiert und eine Normale darauf gezeichnet. Der Schnittpunkt der drei Seitensymmetralen ist der Umkreismittelpunkt. Die Seiten werden halbiert und mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbunden. Eulersche Gerade (ge): Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Schwerpunkt liegen immer auf einer Geraden. 168 Ebene Figuren Konstruiere die Dreiecke: a) SSS-Satz a = 6,4 cm b = 4,3 cm c = 5,2 cm b) SSS-Satz a = 45 mm b = 25 mm c = 40 mm c) WSW-Satz c = 11,2 cm - = 468 * = 388 d) WSW-Satz a = 6,9 cm * = 738 ( = 638 e) SWS-Satz b = 41 mm c = 6,9 cm - = 1128 f) SWS-Satz a = 53 mm b = 6,1 cm ( = 788 g) SSW-Satz a = 54 mm c = 74 mm - = 428 h) SSW-Satz b = 65 mm c = 96 mm ( = 838 Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel 65 mm lang sind und einen Winkel von 658 einschließen. Konstruiere die Dreiecke und den jeweils gesuchten Schnittpunkt: a) Höhenschnittpunkt a = 0,73 dm b = 61 mm c = 8,5 cm b) Umkreismittelpunkt a = 0,5 dm b = 83 mm c = 112 mm c) Inkreismittelpunkt b = 77 mm - = 448 ( = 668 d) Schwerpunkt c = 62 mm - = 988 * = 558 e) Höhenschnittpunkt a = 9,2 cm c = 123 mm * = 378 f) Umkreismittelpunkt a = 74 mm b = 39 mm ( = 1088 g) Inkreismittelpunkt b = 92 mm c = 75 mm * = 1048 h) Schwerpunkt a = 4,8 cm c = 7,2 cm ( = 758 772 773 774 Zeichne in ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 95 mm den Umkreismittelpunkt und den Schwerpunkt ein. 775 Konstruiere in einem ungleichseitigen Dreieck (a = 75 mm, b = 8,5 cm, c = 0,95 dm) den Höhenschnittpunkt und den Inkreismittelpunkt. 776 Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen a = b = 63 mm, c = 91 mm. Ermittle den Inkreismittelpunkt und den Umkreismittelpunkt. 777 Konstruiere die Eulersche Gerade eines Dreiecks mit den Seitenlängen a = 5,5 cm, b = 5 cm und c = 6 cm. 778 169 Dreieck – Formeln und Berechnung Flächeninhalt Allgemeines Dreieck: A= c · hc 2 = b · hb 2 = a · ha 2 Rechtwinkliges Dreieck: Gleichseitiges Dreieck: A = a 2· b A= a2 4 · $& 3 Umfang u=a+b+c u=3·a Heronsche Flächenformel: Nur anwendbar, wenn alle drei Seiten gegeben sind! s= 779 780 u 2 = a+b+c 2 Berechne den Flächeninhalt der allgemeinen Dreiecke: a) b) c) d) Seite a = 17,6 cm b = 26,3 cm c = 41,3 cm a = 526 mm Höhe ha = 12,4 cm hb = 18 cm hc = 3,82 dm ha = 739 mm Ein Grundstück hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind 45 m und 42 m lang. 1 m2 kostet 27 h. Berechne den Preis des Grundstücks. 170 s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A = $&&& Ebene Figuren In einem Waldstück wird ein Wildgehege in Form eines gleichseitigen Dreiecks eingezäunt. Die Seitenlänge beträgt 28 m. 781 a) Berechne den Flächeninhalt des Geheges. b) Wie viele Laufmeter Draht sind notwendig, um das Gehege 4-mal zu umspannen? c) Welche Materialkosten entstehen, wenn eine Drahtrolle mit 60 lfm im Baumarkt 35 h kostet? Eine Wiese in Form eines rechtwinkligen Dreiecks wird gegen eine angrenzende Weide getauscht. Die Abmessungen sind der Skizze zu entnehmen. 782 Welche Kosten entstehen, wenn 1 m2 zum Preis von 15 h abgelöst wird? (Maße in m) Die Holzverkleidung einer dreieckigen Giebelfläche erhält einen wetterfesten Schutzanstrich. Die Giebelhöhe beträgt 2,50 m und die Hausbreite 7,20 m. 783 Wie viele Farbdosen müssen für einen doppelten Anstrich eingekauft werden, wenn der Inhalt einer Dose für 6 m2 reicht? Das Segel für ein Segelboot hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. 784 Berechne seinen Flächeninhalt, wenn die Höhe 200 cm und die Breite 120 cm beträgt. Ein dreieckiger Spiegel hat eine Basis von 7 dm und eine zugehörige Höhe von 80 cm. Berechne den Flächeninhalt des Spiegels. Ein Blumenbeet mit einer Seitenlänge von 15 dm hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Wie viele Pflanzen können gesetzt werden, wenn pro Pflanze mit 2 dm2 gerechnet wird? Eine Sandkiste hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a = 2,20 m. Es soll eine Abdeckplane, die 10 cm über den Sandkistenrand reicht, hergestellt werden. 785 786 787 Berechne die Größe der Abdeckplane ohne Verschnitt. Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke: a) a = 47 mm b = 55 mm c = 84 mm b) a = 405 mm b = 46 cm c = 8,27 dm HINWEIS c) a = 55 cm b = 48,4 cm c = 73,3 cm Verwende zur Berechnung die heronsche Flächenformel. d) a = 653 m b = 848 m c = 822 m Berechne den Umfang, den Flächeninhalt und die Höhen der Dreiecke: a) a = 62 cm b = 74 cm c = 79 cm b) a = 102 mm b = 114 mm c = 124 mm c) a = 31 m b = 37 m c = 47 m 788 d) a = 45,5 dm b = 61,5 dm c = 72,5 dm 789 171
