Lösungen Blatt 5

"Musterlösung „Grundbildung Geometrie“
Hans-Christian von Bothmer
SoSe 2015
Blatt 5
Aufgabe 1
siehe letzte Seite
Aufgabe 2
Sei
der goldene Schnitt. Betrachten Sie ein 5-Eck mit Umkreisradius R = 1, Innenkreisradius r sowie Seitenlänge s
(1) Zeigen Sie
2
+ 1 und
=
1
=
1
Lösung: 2 = + 1 wurde auf Präsenzblatt 2 bewiesen. Wir teilen diese Gleichung durch
und erhalten:
1
1
=1+
()
1=
(2) Zeigen Sie r =
2.
Lösung: Betrachte ein regenmässiges 5-Eck mit den Bezeichnungen wie in der folgenden
Skizze:
Wir betrachten die Dreiecke ABL und HM L. Beide sind rechtwinklig und haben bei A
bzw C den halben Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten eines 5-Ecks, also
↵=
540
= 54 .
2·5
Damit ist der dritte Winkel in beiden Dreiecken grade 180
Dreiecke sind also ähnlich. Es folgt
90
d
r
= 2 =
1
s
2
denn wir hatten
d
s
(3) Zeigen Sie s =
=
p
schon auf Übungsblatt 3 gezeigt.
3
Lösung: Das Dreieck HM L ist rechtwinklig, also gilt Pythagoras:
⇣ s ⌘ 2 ✓ ◆2 ⇣ s ⌘ 2
2
2
1 =r +
=
+
2
2
2
1
54 = 36 . Die beiden
Multiplizieren mit 4 ergibt
4=
2
+ s2 =
+ 1 + s2
wobei wir die erste Gleichung aus (1) verwendet haben. Umstellen ergibt
p
3
= s2 =) s = 3
2
Aufgabe 3
(1) Ein Viereck A,B,C,D heißt Drachenviereck wenn |AB| = |BC| und |CD| = |DA|
gilt. Zeigen Sie, dass in einem Drachenviereck die Diagonalen AC und BD senkrecht
aufeinander stehen.
Beweis: Betrachte ein Drachenviereck wie in der Aufgabe beschrieben und die Diagonale
AC. Zeichne im Dreieck ABC und im Dreieck ACD jeweils die Höhe ein und bezeichne
den Fußpunkt der Höhne mit H und L:
Wir zeigen nun H = L:
Die Dreiecke BCH und BAH sind kongruent nach SSW denn a = b nach Vorraussetzung, die Seite h haben beide Dreiecke gemeinsam und beide sind rechtwinklig. Also
muss auch |AH| = |CH| sein.
Genauso sind die Dreiecke LCD und ALD kongruent nach SSW und damit |AL| = |CL|.
Es liegt also sowohl H als auch L in der Mitte der Stecke AC und damit H = L. Wir
erhalten also folgendes Bild:
Da der Winkel ^BHL = 180 ist liegen B, D und H = L auf einer geraden. Es folgt
dass H = L der Schnittpunkt von BD mit AC ist und das sich die beiden Diagonalen
im rechten Winkel schneiden.
3
(2) Sei C eine Ecke im regelmässigen n-Eck und die weiteren Ecken wie in der Zeichnung
durchnummeriert. Zeigen Sie dass die Geraden A1 B1 , A2 B2 , . . . alle parallel zueinander
sind.
Beweis: Wir betrachten für jedes i das Viereck CAi M Bi .
Diese 4-Ecke sind alles Drachenvierecke. Tatsächlich ist |CAi | = |CBi | da das n-Eck
regelmässig ist und |M Ai | = |M Bi | da beides Radien im selben Kreis sind. Also stehen
die Diagonalen Ai Bi alle senkrecht auf CM . Es folgt, dass A1 B1 , A2 B2 , . . . alle parallel
zueinander sind. q.e.d.
4