Information Engineering WS 2014/15 - LS1

Logik
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
Wintersemester 2014/15
WS 2014/15
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
1 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Übersicht Modallogik
5. Grundlagen
6. Erfüllbarkeit
7. Weitere Eigenschaften
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Logik
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46 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Teil B
B – Modallogik (ML)
Kapitel 6: Erfüllbarkeit
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Logik
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47 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit und Folgerungen in ML (1/2)
Wie in der Aussagenlogik nennen wir eine Formel erfüllbar, wenn sie ein
Modell hat:
Definition 6.4 ((ML)Erfüllbarkeit, Kripke-Modell)
Eine modallogische Formal ϕ heißt erfüllbar, wenn es eine Kripkestruktur K
mit einer Welt s gibt, so dass K, s |= ϕ gilt. In diesem Fall nennen wir
(K, s) auch ein Kripke-Modell von ϕ.
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Logik
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48 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit und Folgerungen in ML (1/2)
Wie in der Aussagenlogik nennen wir eine Formel erfüllbar, wenn sie ein
Modell hat:
Definition 6.4 ((ML)Erfüllbarkeit, Kripke-Modell)
Eine modallogische Formal ϕ heißt erfüllbar, wenn es eine Kripkestruktur K
mit einer Welt s gibt, so dass K, s |= ϕ gilt. In diesem Fall nennen wir
(K, s) auch ein Kripke-Modell von ϕ.
Auch die Folgerung lässt sich analog zur Aussagenlogik definieren:
Definition 6.5 ((ML)Folgerung)
Seien ϕ, ψ ML-Formeln. ψ folgt aus ϕ, in Zeichen: ϕ |= ψ gdw. jedes
Kripke-Modell (K, s) von ϕ auch ein Kripke-Modell von ψ ist, d.h., wenn
K, s |= ϕ impliziert K, s |= ψ
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ML – Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit und Folgerungen in ML (2/2)
Folgerungen1 lassen sich wieder sehr bequem auf Fragen der Unerfüllbarkeit
reduzieren (vgl. Proposition 4.10):
Proposition 6.5
• Sei Φ eine Menge von ML-Formeln und ψ eine ML-Formel
• Dann gilt: Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
1
wobei wir wie in der Aussagenlogik auch wieder Folgerungen aus Mengen von
ML-Formeln betrachten können
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Logik
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49 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Vorüberlegungen zu Erfüllbarkeitstests (1/2)
• Ziel in diesem Kapitel:
– Beweiskalkül und Erfüllbarkeitstest für die Modallogik
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50 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Vorüberlegungen zu Erfüllbarkeitstests (1/2)
• Ziel in diesem Kapitel:
– Beweiskalkül und Erfüllbarkeitstest für die Modallogik
• Da die Modallogik als Erweiterung der Aussagenlogik aufgefasst
werden kann, liegt es nahe, ein Verfahren für die Aussagenlogik
geeignet für die Modallogik zu erweitern
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ML – Erfüllbarkeit
Vorüberlegungen zu Erfüllbarkeitstests (2/2)
Welche Erfüllbarkeitstests kennen wir für AL-Formeln ϕ?
• Wahrheitstabelle
1. Werte α |= ϕ für alle Belegungen α aus
2. Falls es ein α gibt mit α |= ϕ, Ausgabe α
3. Andernfalls: Ausgabe „unerfüllbar“
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ML – Erfüllbarkeit
Vorüberlegungen zu Erfüllbarkeitstests (2/2)
Welche Erfüllbarkeitstests kennen wir für AL-Formeln ϕ?
• Wahrheitstabelle
1. Werte α |= ϕ für alle Belegungen α aus
2. Falls es ein α gibt mit α |= ϕ, Ausgabe α
3. Andernfalls: Ausgabe „unerfüllbar“
• Resolution
1. Wandle ϕ in KN F und dann in eine Klauselmenge K um
2. Berechne Res∞ (K)
3. Falls ∈ Res∞ (K): Ausgabe „unerfüllbar“
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ML – Erfüllbarkeit
Vorüberlegungen zu Erfüllbarkeitstests (2/2)
Welche Erfüllbarkeitstests kennen wir für AL-Formeln ϕ?
• Wahrheitstabelle
1. Werte α |= ϕ für alle Belegungen α aus
2. Falls es ein α gibt mit α |= ϕ, Ausgabe α
3. Andernfalls: Ausgabe „unerfüllbar“
• Resolution
1. Wandle ϕ in KN F und dann in eine Klauselmenge K um
2. Berechne Res∞ (K)
3. Falls ∈ Res∞ (K): Ausgabe „unerfüllbar“
Aber: bei beiden Methoden ist nicht klar, wie sie für die Modallogik
erweitert werden könnten.
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ML – Erfüllbarkeit
Vorüberlegungen zu Erfüllbarkeitstests (2/2)
Welche Erfüllbarkeitstests kennen wir für AL-Formeln ϕ?
• Wahrheitstabelle
1. Werte α |= ϕ für alle Belegungen α aus
2. Falls es ein α gibt mit α |= ϕ, Ausgabe α
3. Andernfalls: Ausgabe „unerfüllbar“
• Resolution
1. Wandle ϕ in KN F und dann in eine Klauselmenge K um
2. Berechne Res∞ (K)
3. Falls ∈ Res∞ (K): Ausgabe „unerfüllbar“
Aber: bei beiden Methoden ist nicht klar, wie sie für die Modallogik
erweitert werden könnten.
Deshalb werden wir jetzt zunächst einen weiteren Beweiskalkül für die
Aussagenlogik kennen lernen, der sich dann leicht für die Modallogik
erweitern lässt.
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ML – Erfüllbarkeit
6.1 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
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ML – Erfüllbarkeit
6.1 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
6.2 Ein Tableaukalkül für die Modallogik
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52 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
6.1 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
6.2 Ein Tableaukalkül für die Modallogik
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) ¬A, A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) ¬A, A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? – ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) ist also nicht erfüllbar
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) ¬A, A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? – ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) ist also nicht erfüllbar
(2) Ist (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) ¬A, A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? – ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) ist also nicht erfüllbar
(2) Ist (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
– Sind A und (¬A ∧ B) ∨ ¬B simultan erfüllbar? Zwei Fälle:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) ¬A, A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? – ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) ist also nicht erfüllbar
(2) Ist (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
– Sind A und (¬A ∧ B) ∨ ¬B simultan erfüllbar? Zwei Fälle:
(2a) A und ¬A ∧ B simultan erfüllbar?
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) ¬A, A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? – ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) ist also nicht erfüllbar
(2) Ist (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
– Sind A und (¬A ∧ B) ∨ ¬B simultan erfüllbar? Zwei Fälle:
(2a) A und ¬A ∧ B simultan erfüllbar?
A, ¬A, und B simultan erfüllbar? G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) ¬A, A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? – ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) ist also nicht erfüllbar
(2) Ist (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
– Sind A und (¬A ∧ B) ∨ ¬B simultan erfüllbar? Zwei Fälle:
(2a) A und ¬A ∧ B simultan erfüllbar?
A, ¬A, und B simultan erfüllbar? (2b) A und ¬B simultan erfüllbar: ,
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(1/2)
Ist (¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist
(1) Ist ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) erfüllbar?
– Dafür müssten ¬A und ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) simultan erfüllbar sein
– Dafür müssten ¬A, B ∨ A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar sein
– Zwei Fälle:
(1a) ¬A, B, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle:
(1bi) ¬A, B, und ¬B simultan erfüllbar? (1bii) ¬A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) ¬A, A, und ¬B ∨ A simultan erfüllbar? – ¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) ist also nicht erfüllbar
(2) Ist (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) erfüllbar?
– Sind A und (¬A ∧ B) ∨ ¬B simultan erfüllbar? Zwei Fälle:
(2a) A und ¬A ∧ B simultan erfüllbar?
A, ¬A, und B simultan erfüllbar? (2b) A und ¬B simultan erfüllbar: ,
Also ist die Gesamtformel erfüllbar.
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Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(2/2)
• Dieses Vorgehen wird ziemlich unübersichtlich
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Logik
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Grundidee
(2/2)
• Dieses Vorgehen wird ziemlich unübersichtlich
• Tableaukalkül: Systematische und übersichtliche Notation für die obige
Grundidee
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Logik
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B))
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
(A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B))
WS 2014/15
56 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B))
¬A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
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56 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B))
¬A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) X
B∨A
¬B ∨ A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
56 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B))
¬A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) X
B∨A X
¬B ∨ A
B
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
A
Logik
WS 2014/15
56 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B))
¬A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) X
B∨A X
¬B ∨ A X
B
¬B
A
A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
¬B
A
Logik
WS 2014/15
56 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A
A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) X
(¬A ∧ B) ∨ ¬B
B∨A X
¬B ∨ A X
B
¬B
A
A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
¬B
A
Logik
WS 2014/15
56 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A
A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) X
(¬A ∧ B) ∨ ¬B X
B∨A X
¬A ∧ B
¬B
¬B ∨ A X
B
¬B
A
A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
¬B
A
Logik
WS 2014/15
56 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A
A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) X
(¬A ∧ B) ∨ ¬B X
B∨A X
¬A ∧ B X ¬B
¬B ∨ A X
B
¬B
¬A
A
A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
¬B
B
A
Logik
WS 2014/15
56 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (1/2)
Ein aussagenlogisches Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit
aussagenlogischen Formeln beschriftet sind.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
57 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (1/2)
Ein aussagenlogisches Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit
aussagenlogischen Formeln beschriftet sind.
Ein Tableau für eine AL-Formel ϕ in Negations-Normalform und ohne
Vorkommen von > und ⊥ kann wie folgt konstruiert werden:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
57 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (2/2)
• Zunächst wird die Wurzel des Baumes erzeugt und mit ϕ beschriftet
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
58 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (2/2)
• Zunächst wird die Wurzel des Baumes erzeugt und mit ϕ beschriftet
• Danach wird so lange eine der beiden folgenden Regeln angewendet,
bis dies nicht mehr möglich ist:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
58 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (2/2)
• Zunächst wird die Wurzel des Baumes erzeugt und mit ϕ beschriftet
• Danach wird so lange eine der beiden folgenden Regeln angewendet,
bis dies nicht mehr möglich ist:
∨-Regel:
– Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ1 ∨ ϕ2
und markiere ihn
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
58 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (2/2)
• Zunächst wird die Wurzel des Baumes erzeugt und mit ϕ beschriftet
• Danach wird so lange eine der beiden folgenden Regeln angewendet,
bis dies nicht mehr möglich ist:
∨-Regel:
– Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ1 ∨ ϕ2
und markiere ihn
– Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Teilbaumes zwei neue
Knoten u1 und u2 als Kinder an, und beschrifte sie mit ϕ1 bzw. ϕ2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
58 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (2/2)
• Zunächst wird die Wurzel des Baumes erzeugt und mit ϕ beschriftet
• Danach wird so lange eine der beiden folgenden Regeln angewendet,
bis dies nicht mehr möglich ist:
∨-Regel:
– Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ1 ∨ ϕ2
und markiere ihn
– Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Teilbaumes zwei neue
Knoten u1 und u2 als Kinder an, und beschrifte sie mit ϕ1 bzw. ϕ2
∧-Regel:
– Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ1 ∧ ϕ2
und markiere ihn
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
58 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (2/2)
• Zunächst wird die Wurzel des Baumes erzeugt und mit ϕ beschriftet
• Danach wird so lange eine der beiden folgenden Regeln angewendet,
bis dies nicht mehr möglich ist:
∨-Regel:
– Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ1 ∨ ϕ2
und markiere ihn
– Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Teilbaumes zwei neue
Knoten u1 und u2 als Kinder an, und beschrifte sie mit ϕ1 bzw. ϕ2
∧-Regel:
– Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ1 ∧ ϕ2
und markiere ihn
– Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Teilbaumes ein neues Kind
u0 an, das mit ϕ1 beschriftet ist, und an u0 ein weiteres Kind u00 , das
mit ϕ2 beschriftet ist
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
58 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (1/2)
Ein Tableau heißt saturiert, wenn alle Knoten, deren Formel kein Literal ist,
markiert sind.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
59 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (1/2)
Ein Tableau heißt saturiert, wenn alle Knoten, deren Formel kein Literal ist,
markiert sind.
Woran lässt sich an einem saturierten Tableau T zu ϕ ablesen,
ob ϕ erfüllbar ist?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
59 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (1/2)
Ein Tableau heißt saturiert, wenn alle Knoten, deren Formel kein Literal ist,
markiert sind.
Woran lässt sich an einem saturierten Tableau T zu ϕ ablesen,
ob ϕ erfüllbar ist?
Dazu betrachten wir die Blätter von T :
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
59 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (1/2)
Ein Tableau heißt saturiert, wenn alle Knoten, deren Formel kein Literal ist,
markiert sind.
Woran lässt sich an einem saturierten Tableau T zu ϕ ablesen,
ob ϕ erfüllbar ist?
Dazu betrachten wir die Blätter von T :
• Wir nennen ein Blatt v von T geschlossen, wenn auf dem Weg von v
zur Wurzel eine Variable X und ihre Negation ¬X vorkommt
→ Geschlossene Blätter entsprechen also widersprüchlichen Pfaden
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
59 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (1/2)
Ein Tableau heißt saturiert, wenn alle Knoten, deren Formel kein Literal ist,
markiert sind.
Woran lässt sich an einem saturierten Tableau T zu ϕ ablesen,
ob ϕ erfüllbar ist?
Dazu betrachten wir die Blätter von T :
• Wir nennen ein Blatt v von T geschlossen, wenn auf dem Weg von v
zur Wurzel eine Variable X und ihre Negation ¬X vorkommt
→ Geschlossene Blätter entsprechen also widersprüchlichen Pfaden
• Wir nennen ein Blatt offen, wenn es nicht geschlossen ist
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
59 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (1/2)
Ein Tableau heißt saturiert, wenn alle Knoten, deren Formel kein Literal ist,
markiert sind.
Woran lässt sich an einem saturierten Tableau T zu ϕ ablesen,
ob ϕ erfüllbar ist?
Dazu betrachten wir die Blätter von T :
• Wir nennen ein Blatt v von T geschlossen, wenn auf dem Weg von v
zur Wurzel eine Variable X und ihre Negation ¬X vorkommt
→ Geschlossene Blätter entsprechen also widersprüchlichen Pfaden
• Wir nennen ein Blatt offen, wenn es nicht geschlossen ist
• Ein saturiertes Tableau heißt offen, wenn es ein offenes Blatt hat,
andernfalls geschlossen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
59 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (2/2)
• Eine Formel ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ϕ ein offenes saturiertes
Tableau T hat (Das werden wir noch beweisen!)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
60 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (2/2)
• Eine Formel ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ϕ ein offenes saturiertes
Tableau T hat (Das werden wir noch beweisen!)
• Und: Wenn es ein solches Tableau für ϕ gibt, so haben alle saturierten
Tableaus für ϕ ein offenes Blatt
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
60 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (2/2)
• Eine Formel ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ϕ ein offenes saturiertes
Tableau T hat (Das werden wir noch beweisen!)
• Und: Wenn es ein solches Tableau für ϕ gibt, so haben alle saturierten
Tableaus für ϕ ein offenes Blatt
Eine erfüllende Belegung für ϕ lässt sich dann wie folgt konstruieren:
• Wähle ein offenes Blatt v von T
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
60 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (2/2)
• Eine Formel ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ϕ ein offenes saturiertes
Tableau T hat (Das werden wir noch beweisen!)
• Und: Wenn es ein solches Tableau für ϕ gibt, so haben alle saturierten
Tableaus für ϕ ein offenes Blatt
Eine erfüllende Belegung für ϕ lässt sich dann wie folgt konstruieren:
• Wähle ein offenes Blatt v von T
• Definiere eine Wahrheitsbelegung α so, dass sie alle Literale auf dem
Weg von v zur Wurzel wahr macht
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
60 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (2/2)
• Eine Formel ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ϕ ein offenes saturiertes
Tableau T hat (Das werden wir noch beweisen!)
• Und: Wenn es ein solches Tableau für ϕ gibt, so haben alle saturierten
Tableaus für ϕ ein offenes Blatt
Eine erfüllende Belegung für ϕ lässt sich dann wie folgt konstruieren:
• Wähle ein offenes Blatt v von T
• Definiere eine Wahrheitsbelegung α so, dass sie alle Literale auf dem
Weg von v zur Wurzel wahr macht
Bemerkung: Verschieden strukturierte Tableaus unterscheiden sich durch
die Reihenfolge, in denen Konjunktionen und Disjunktionen bearbeitet
werden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
60 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel (Forts.)
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X
A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B) X
¬A
A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) X
(¬A ∧ B) ∨ ¬B X
B∨A X
¬A ∧ B X ¬B
,
¬A
¬B ∨ A X
B
¬B
A
A
¬B
A
B
• Erfüllende Belegung: A 7→ 1, B 7→ 0
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
61 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Korrektheit, Vollständigkeit,
Termination
Satz 6.6
(a) Für jede AL-Formel ϕ erzeugt der Tableaukalkül nach endlich vielen
Schritten ein saturiertes Tableau T der Tiefe ≤ |ϕ| − 1 mit ≤ 2|ϕ|
Knoten
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
62 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Korrektheit, Vollständigkeit,
Termination
Satz 6.6
(a) Für jede AL-Formel ϕ erzeugt der Tableaukalkül nach endlich vielen
Schritten ein saturiertes Tableau T der Tiefe ≤ |ϕ| − 1 mit ≤ 2|ϕ|
Knoten
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die
Literale seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
62 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Korrektheit, Vollständigkeit,
Termination
Satz 6.6
(a) Für jede AL-Formel ϕ erzeugt der Tableaukalkül nach endlich vielen
Schritten ein saturiertes Tableau T der Tiefe ≤ |ϕ| − 1 mit ≤ 2|ϕ|
Knoten
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die
Literale seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
(c) Ist ϕ unerfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ geschlossen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
62 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Korrektheit, Vollständigkeit,
Termination
Satz 6.6
(a) Für jede AL-Formel ϕ erzeugt der Tableaukalkül nach endlich vielen
Schritten ein saturiertes Tableau T der Tiefe ≤ |ϕ| − 1 mit ≤ 2|ϕ|
Knoten
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die
Literale seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
(c) Ist ϕ unerfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ geschlossen
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
62 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Für den Beweis dieses Satzes verwenden wir die folgende Notationen:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
63 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Für den Beweis dieses Satzes verwenden wir die folgende Notationen:
Seien ϕ eine AL-Formel, T ein (saturiertes oder nicht saturiertes) Tableau
zu ϕ und v ein Knoten von T
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
63 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Für den Beweis dieses Satzes verwenden wir die folgende Notationen:
Seien ϕ eine AL-Formel, T ein (saturiertes oder nicht saturiertes) Tableau
zu ϕ und v ein Knoten von T
• Die Formel, mit der ein Knoten v beschriftet ist, bezeichnen wir durch
ϕv
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
63 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Für den Beweis dieses Satzes verwenden wir die folgende Notationen:
Seien ϕ eine AL-Formel, T ein (saturiertes oder nicht saturiertes) Tableau
zu ϕ und v ein Knoten von T
• Die Formel, mit der ein Knoten v beschriftet ist, bezeichnen wir durch
ϕv
• Der Pfad Pv von v besteht aus allen Knoten auf dem Weg von v zur
Wurzel r des Baumes (einschließlich v und r)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
63 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Für den Beweis dieses Satzes verwenden wir die folgende Notationen:
Seien ϕ eine AL-Formel, T ein (saturiertes oder nicht saturiertes) Tableau
zu ϕ und v ein Knoten von T
• Die Formel, mit der ein Knoten v beschriftet ist, bezeichnen wir durch
ϕv
• Der Pfad Pv von v besteht aus allen Knoten auf dem Weg von v zur
Wurzel r des Baumes (einschließlich v und r)
• Ist α eine Belegung, so schreiben wir α |= Pv („α erfüllt Pv “), wenn
für alle Knoten u in Pv gilt: α |= ϕu
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
63 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (1/7)
Beweis
• Wir zeigen zunächst (a): Jedes Tableau zu einer Formel ϕ hat
höchstens die Tiefe |ϕ| − 1 und höchstens 2|ϕ| Knoten
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
64 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (1/7)
Beweis
• Wir zeigen zunächst (a): Jedes Tableau zu einer Formel ϕ hat
höchstens die Tiefe |ϕ| − 1 und höchstens 2|ϕ| Knoten
• Klar: im Tableau zu ϕ kommen nur Teilformeln von ϕ vor
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
64 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (1/7)
Beweis
• Wir zeigen zunächst (a): Jedes Tableau zu einer Formel ϕ hat
höchstens die Tiefe |ϕ| − 1 und höchstens 2|ϕ| Knoten
• Klar: im Tableau zu ϕ kommen nur Teilformeln von ϕ vor
• Und: jede Teilformel von ϕ kommt auf jedem Pfad höchstens so oft
vor, wie sie in ϕ vorkommt
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
64 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (1/7)
Beweis
• Wir zeigen zunächst (a): Jedes Tableau zu einer Formel ϕ hat
höchstens die Tiefe |ϕ| − 1 und höchstens 2|ϕ| Knoten
• Klar: im Tableau zu ϕ kommen nur Teilformeln von ϕ vor
• Und: jede Teilformel von ϕ kommt auf jedem Pfad höchstens so oft
vor, wie sie in ϕ vorkommt
⇒ Jeder Pfad hat höchstens so viele Knoten wie ϕ Vorkommen von
Teilformeln hat
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
64 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (2/7)
Beispiel: Vorkommen von Teilformeln
• Die Formel (A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) hat die folgenden Vorkommen
von Teilformeln:
– A: 2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
65 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (2/7)
Beispiel: Vorkommen von Teilformeln
• Die Formel (A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) hat die folgenden Vorkommen
von Teilformeln:
– A: 2
– B: 2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
65 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (2/7)
Beispiel: Vorkommen von Teilformeln
• Die Formel (A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) hat die folgenden Vorkommen
von Teilformeln:
– A: 2
– B: 2
– C: 1
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
65 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (2/7)
Beispiel: Vorkommen von Teilformeln
• Die Formel (A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) hat die folgenden Vorkommen
von Teilformeln:
–
–
–
–
A: 2
B: 2
C: 1
A ∧ B: 2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
65 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (2/7)
Beispiel: Vorkommen von Teilformeln
• Die Formel (A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) hat die folgenden Vorkommen
von Teilformeln:
–
–
–
–
–
A: 2
B: 2
C: 1
A ∧ B: 2
C ∨ (A ∧ B) : 1
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
65 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (2/7)
Beispiel: Vorkommen von Teilformeln
• Die Formel (A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) hat die folgenden Vorkommen
von Teilformeln:
–
–
–
–
–
–
A: 2
B: 2
C: 1
A ∧ B: 2
C ∨ (A ∧ B) : 1
(A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) : 1
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
65 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (2/7)
Beispiel: Vorkommen von Teilformeln
• Die Formel (A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) hat die folgenden Vorkommen
von Teilformeln:
–
–
–
–
–
–
–
A: 2
B: 2
C: 1
A ∧ B: 2
C ∨ (A ∧ B) : 1
(A ∧ B) ∨ (C ∨ (A ∧ B)) : 1
Zusammen: 9 Vorkommen von Teilformeln
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
65 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (3/7)
Beweis (Forts.)
• Es ist durch Induktion nach der Strukur von Formeln leicht zu
beweisen:
– Die Anzahl der Vorkommen von Teilformeln von ϕ in ϕ ist ≤ |ϕ|
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
66 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (3/7)
Beweis (Forts.)
• Es ist durch Induktion nach der Strukur von Formeln leicht zu
beweisen:
– Die Anzahl der Vorkommen von Teilformeln von ϕ in ϕ ist ≤ |ϕ|
⇒ die Tiefe jedes Pfades ist ≤ |ϕ| − 1
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
66 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (3/7)
Beweis (Forts.)
• Es ist durch Induktion nach der Strukur von Formeln leicht zu
beweisen:
– Die Anzahl der Vorkommen von Teilformeln von ϕ in ϕ ist ≤ |ϕ|
⇒ die Tiefe jedes Pfades ist ≤ |ϕ| − 1
⇒ T hat höchstens 2|ϕ| Knoten, da T binär ist
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
66 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (3/7)
Beweis (Forts.)
• Es ist durch Induktion nach der Strukur von Formeln leicht zu
beweisen:
– Die Anzahl der Vorkommen von Teilformeln von ϕ in ϕ ist ≤ |ϕ|
⇒ die Tiefe jedes Pfades ist ≤ |ϕ| − 1
⇒ T hat höchstens 2|ϕ| Knoten, da T binär ist
• Die Tableau-Methode terminiert also nach höchstens 2|ϕ|
Regelanwendungen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
66 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (4/7)
Beweis (Forts.)
• Wir zeigen nun:
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die Literale
seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
67 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (4/7)
Beweis (Forts.)
• Wir zeigen nun:
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die Literale
seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
• Sei also u ein offenes Blatt eines saturierten Tableaus T zu einer
Formel ϕ
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Logik
WS 2014/15
67 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (4/7)
Beweis (Forts.)
• Wir zeigen nun:
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die Literale
seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
• Sei also u ein offenes Blatt eines saturierten Tableaus T zu einer
Formel ϕ
• Zu u definieren
( wir eine Belegung α für die Variablen von ϕ :
1 falls X in Pu vorkommt
α(X) =def
0 andernfalls
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Logik
WS 2014/15
67 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (4/7)
Beweis (Forts.)
• Wir zeigen nun:
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die Literale
seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
• Sei also u ein offenes Blatt eines saturierten Tableaus T zu einer
Formel ϕ
• Zu u definieren
( wir eine Belegung α für die Variablen von ϕ :
1 falls X in Pu vorkommt
α(X) =def
0 andernfalls
(im zweiten Fall kommt ¬X in Pu vor oder weder X noch ¬X
kommen vor)
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Logik
WS 2014/15
67 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (4/7)
Beweis (Forts.)
• Wir zeigen nun:
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die Literale
seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
• Sei also u ein offenes Blatt eines saturierten Tableaus T zu einer
Formel ϕ
• Zu u definieren
( wir eine Belegung α für die Variablen von ϕ :
1 falls X in Pu vorkommt
α(X) =def
0 andernfalls
(im zweiten Fall kommt ¬X in Pu vor oder weder X noch ¬X
kommen vor)
• Behauptung: α |= ϕ
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Logik
WS 2014/15
67 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (4/7)
Beweis (Forts.)
• Wir zeigen nun:
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die Literale
seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ
• Sei also u ein offenes Blatt eines saturierten Tableaus T zu einer
Formel ϕ
• Zu u definieren
( wir eine Belegung α für die Variablen von ϕ :
1 falls X in Pu vorkommt
α(X) =def
0 andernfalls
(im zweiten Fall kommt ¬X in Pu vor oder weder X noch ¬X
kommen vor)
• Behauptung: α |= ϕ
• Dazu zeigen wir für alle Knoten w von Pu , durch Induktion nach dem
Abstand von w zu u, dass α |= ϕw gilt
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Logik
WS 2014/15
67 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
2. Fall: ϕw = ϕ1 ∧ ϕ2
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
2. Fall: ϕw = ϕ1 ∧ ϕ2
⇒ ϕ1 und ϕ2 kommen zwischen w und u vor und werden nach Induktion
durch α wahr gemacht
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
2. Fall: ϕw = ϕ1 ∧ ϕ2
⇒ ϕ1 und ϕ2 kommen zwischen w und u vor und werden nach Induktion
durch α wahr gemacht
3. Fall: ϕu = ϕ1 ∨ ϕ2
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Logik
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ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
2. Fall: ϕw = ϕ1 ∧ ϕ2
⇒ ϕ1 und ϕ2 kommen zwischen w und u vor und werden nach Induktion
durch α wahr gemacht
3. Fall: ϕu = ϕ1 ∨ ϕ2
⇒ ϕ1 oder ϕ2 kommt zwischen w und u vor und wird nach Induktion
durch α wahr gemacht
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Logik
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68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
2. Fall: ϕw = ϕ1 ∧ ϕ2
⇒ ϕ1 und ϕ2 kommen zwischen w und u vor und werden nach Induktion
durch α wahr gemacht
3. Fall: ϕu = ϕ1 ∨ ϕ2
⇒ ϕ1 oder ϕ2 kommt zwischen w und u vor und wird nach Induktion
durch α wahr gemacht
– Es folgt also jeweils: α |= ϕw
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
2. Fall: ϕw = ϕ1 ∧ ϕ2
⇒ ϕ1 und ϕ2 kommen zwischen w und u vor und werden nach Induktion
durch α wahr gemacht
3. Fall: ϕu = ϕ1 ∨ ϕ2
⇒ ϕ1 oder ϕ2 kommt zwischen w und u vor und wird nach Induktion
durch α wahr gemacht
– Es folgt also jeweils: α |= ϕw
⇒ ϕ ist erfüllbar
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Logik
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68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
2. Fall: ϕw = ϕ1 ∧ ϕ2
⇒ ϕ1 und ϕ2 kommen zwischen w und u vor und werden nach Induktion
durch α wahr gemacht
3. Fall: ϕu = ϕ1 ∨ ϕ2
⇒ ϕ1 oder ϕ2 kommt zwischen w und u vor und wird nach Induktion
durch α wahr gemacht
– Es folgt also jeweils: α |= ϕw
⇒ ϕ ist erfüllbar
⇒ (b),
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Beweis (Forts.)
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (5/7)
• Induktionsanfang: w = u
– Klar, da ϕu ein Literal ist
• Induktionsschritt:
– Also: für alle Knoten z von Pu bis unterhalb von w gilt: α |= ϕz
– Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Fall: ϕw ist Literal
∗ Dann gilt α |= ϕw nach Konstruktion von α
2. Fall: ϕw = ϕ1 ∧ ϕ2
⇒ ϕ1 und ϕ2 kommen zwischen w und u vor und werden nach Induktion
durch α wahr gemacht
3. Fall: ϕu = ϕ1 ∨ ϕ2
⇒ ϕ1 oder ϕ2 kommt zwischen w und u vor und wird nach Induktion
durch α wahr gemacht
– Es folgt also jeweils: α |= ϕw
⇒ ϕ ist erfüllbar
⇒ (b), und durch Kontraposition folgt auch (c)
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Logik
WS 2014/15
68 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
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Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
• Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht
notwendigerweise saturierte) Tableau T :
(*) Falls α |= ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α |= Pu
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Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
• Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht
notwendigerweise saturierte) Tableau T :
(*) Falls α |= ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α |= Pu
• Sei also α eine erfüllende Belegung für ϕ
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
• Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht
notwendigerweise saturierte) Tableau T :
(*) Falls α |= ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α |= Pu
• Sei also α eine erfüllende Belegung für ϕ
• Der Beweis ist eine Induktion nach der Anzahl der Knoten von T
• Induktionsanfang: T besteht nur aus ϕ
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Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
• Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht
notwendigerweise saturierte) Tableau T :
(*) Falls α |= ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α |= Pu
• Sei also α eine erfüllende Belegung für ϕ
• Der Beweis ist eine Induktion nach der Anzahl der Knoten von T
• Induktionsanfang: T besteht nur aus ϕ X
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Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
• Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht
notwendigerweise saturierte) Tableau T :
(*) Falls α |= ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α |= Pu
• Sei also α eine erfüllende Belegung für ϕ
• Der Beweis ist eine Induktion nach der Anzahl der Knoten von T
• Induktionsanfang: T besteht nur aus ϕ X
• Induktionsschritt:
– Sei T durch Anwendung einer Regel aus T 0 entstanden
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Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
• Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht
notwendigerweise saturierte) Tableau T :
(*) Falls α |= ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α |= Pu
• Sei also α eine erfüllende Belegung für ϕ
• Der Beweis ist eine Induktion nach der Anzahl der Knoten von T
• Induktionsanfang: T besteht nur aus ϕ X
• Induktionsschritt:
– Sei T durch Anwendung einer Regel aus T 0 entstanden
– Induktion: In T 0 gibt es ein Blatt u mit α |= Pu
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
• Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht
notwendigerweise saturierte) Tableau T :
(*) Falls α |= ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α |= Pu
• Sei also α eine erfüllende Belegung für ϕ
• Der Beweis ist eine Induktion nach der Anzahl der Knoten von T
• Induktionsanfang: T besteht nur aus ϕ X
• Induktionsschritt:
– Sei T durch Anwendung einer Regel aus T 0 entstanden
– Induktion: In T 0 gibt es ein Blatt u mit α |= Pu
– Falls u auch ein Blatt von T ist: X
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (6/7)
Beweis (Forts.)
• Jetzt zeigen wir:
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
• Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht
notwendigerweise saturierte) Tableau T :
(*) Falls α |= ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α |= Pu
• Sei also α eine erfüllende Belegung für ϕ
• Der Beweis ist eine Induktion nach der Anzahl der Knoten von T
• Induktionsanfang: T besteht nur aus ϕ X
• Induktionsschritt:
–
–
–
–
Sei T durch Anwendung einer Regel aus T 0 entstanden
Induktion: In T 0 gibt es ein Blatt u mit α |= Pu
Falls u auch ein Blatt von T ist: X
Andernfalls wurden an u neue Knoten angehängt
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Logik
WS 2014/15
69 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
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Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
⇒ α |= Pu1 oder α |= Pu2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
⇒ α |= Pu1 oder α |= Pu2 ⇒ (∗)
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Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
⇒ α |= Pu1 oder α |= Pu2 ⇒ (∗)
2. Fall: ∧-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∧ ϕ2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
⇒ α |= Pu1 oder α |= Pu2 ⇒ (∗)
2. Fall: ∧-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∧ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 und α |= ϕ2
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Logik
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
⇒ α |= Pu1 oder α |= Pu2 ⇒ (∗)
2. Fall: ∧-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∧ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 und α |= ϕ2
⇒ Für das Kind u1 und den Enkel u2 von u gilt: α |= ϕu1 und α |= ϕu2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
⇒ α |= Pu1 oder α |= Pu2 ⇒ (∗)
2. Fall: ∧-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∧ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 und α |= ϕ2
⇒ Für das Kind u1 und den Enkel u2 von u gilt: α |= ϕu1 und α |= ϕu2
⇒ α |= Pu2
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Logik
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70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
⇒ α |= Pu1 oder α |= Pu2 ⇒ (∗)
2. Fall: ∧-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∧ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 und α |= ϕ2
⇒ Für das Kind u1 und den Enkel u2 von u gilt: α |= ϕu1 und α |= ϕu2
⇒ α |= Pu2 ⇒ (∗)
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Logik
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70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
Beweis von Satz 6.6 (7/7)
Beweis (Forts.)
Sei v der Knoten von Pu , auf den dabei eine Regel angewendet wurde
1. Fall: ∨-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∨ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 oder α |= ϕ2
⇒ Für die Kinder u1 und u2 von u gilt: α |= ϕu1 oder α |= ϕu2
⇒ α |= Pu1 oder α |= Pu2 ⇒ (∗)
2. Fall: ∧-Regel
⇒ ϕv ist von der Form ϕ1 ∧ ϕ2
• Da α |= ϕv gilt, folgt: α |= ϕ1 und α |= ϕ2
⇒ Für das Kind u1 und den Enkel u2 von u gilt: α |= ϕu1 und α |= ϕu2
⇒ α |= Pu2 ⇒ (∗)
Insgesamt folgt also (d).
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Logik
WS 2014/15
70 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
6.1 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
6.2 Ein Tableaukalkül für die Modallogik
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Logik
WS 2014/15
71 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Grundidee (1/2)
Ist die Formel A ∧ 3(3A ∧ B) erfüllbar?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
72 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Grundidee (1/2)
Ist die Formel A ∧ 3(3A ∧ B) erfüllbar?
Wir können die ∧-Regel des AL-Tableaukalküls einmal anwenden:
A ∧ 3(3A ∧ B) X
A
3(3A ∧ B)
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Logik
WS 2014/15
72 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Grundidee (1/2)
Ist die Formel A ∧ 3(3A ∧ B) erfüllbar?
Wir können die ∧-Regel des AL-Tableaukalküls einmal anwenden:
A ∧ 3(3A ∧ B) X
A
3(3A ∧ B)
Aber wie soll es dann weiter gehen?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
72 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Grundidee (1/2)
Ist die Formel A ∧ 3(3A ∧ B) erfüllbar?
Wir können die ∧-Regel des AL-Tableaukalküls einmal anwenden:
A ∧ 3(3A ∧ B) X
A
3(3A ∧ B)
Aber wie soll es dann weiter gehen?
Um 3(3A ∧ B) wahr zu machen, muss es eine Welt geben, die in einem
Schritt erreichbar ist und in der 3A ∧ B erfüllt ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
72 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Grundidee (1/2)
Ist die Formel A ∧ 3(3A ∧ B) erfüllbar?
Wir können die ∧-Regel des AL-Tableaukalküls einmal anwenden:
A ∧ 3(3A ∧ B) X
A
3(3A ∧ B)
Aber wie soll es dann weiter gehen?
Um 3(3A ∧ B) wahr zu machen, muss es eine Welt geben, die in einem
Schritt erreichbar ist und in der 3A ∧ B erfüllt ist.
Idee: Wir ergänzen jeden Knoten des Tableaus um die Angabe einer Welt,
d.h., Knotenbeschriftungen sind also von der Form s, ϕ (und die intendierte
Bedeutung ist, dass ϕ in s gilt).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
72 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Grundidee (2/2)
Um die Modaloperatoren aufzulösen, erlauben wir das Hinzufügen neuer
Welten nach folgender Idee:
• Wenn wir einen mit s, 3ϕ beschrifteten Knoten markieren, fügen wir
– einen mit (s, s0 ) ∈ E beschrifteten Knoten ein (für eine neue Welt s0 )
und
– darunter einen mit s0 , ϕ beschrifteten Knoten (Genaueres später . . . )
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
73 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Grundidee (2/2)
Um die Modaloperatoren aufzulösen, erlauben wir das Hinzufügen neuer
Welten nach folgender Idee:
• Wenn wir einen mit s, 3ϕ beschrifteten Knoten markieren, fügen wir
– einen mit (s, s0 ) ∈ E beschrifteten Knoten ein (für eine neue Welt s0 )
und
– darunter einen mit s0 , ϕ beschrifteten Knoten (Genaueres später . . . )
• Wenn wir einen mit s, ϕ beschrifteten Knoten markieren, fügen wir
für jede Welt s0 , für die es auf dem Pfad einen mit (s, s0 ) ∈ E
markierten Knoten gibt, einen mit s0 , ϕ beschrifteten Knoten an
(Genaueres später . . . )
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
73 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A
s1 , (¬A ∨ ¬A)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A X
s1 , (¬A ∨ ¬A)
(s1 , s2 ) ∈ E
s2 , 3A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A X
s1 , (¬A ∨ ¬A)
(s1 , s2 ) ∈ E
s2 , 3A X
(s2 , s3 ) ∈ E
s3 , A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A X
s1 , (¬A ∨ ¬A) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , 3A X
(s2 , s3 ) ∈ E
s3 , A
s2 , ¬A ∨ ¬A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A X
s1 , (¬A ∨ ¬A) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , 3A X
(s2 , s3 ) ∈ E
s3 , A
s2 , ¬A ∨ ¬A X
s2 , ¬A X s2 , ¬A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A X
s1 , (¬A ∨ ¬A) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , 3A X
(s2 , s3 ) ∈ E X
s3 , A
s2 , ¬A ∨ ¬A X
s2 , ¬A X s2 , ¬A X
s3 , ¬A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A X
s1 , (¬A ∨ ¬A) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , 3A X
(s2 , s3 ) ∈ E X
s3 , A
s2 , ¬A ∨ ¬A X
s2 , ¬A X s2 , ¬A X
,
s3 , ¬A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A X
s1 , (¬A ∨ ¬A) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , 3A X
(s2 , s3 ) ∈ E X
s3 , A
s2 , ¬A ∨ ¬A X
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
s2 , ¬A X s2 , ¬A X
,
s3 , ¬A Logik
WS 2014/15
74 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
Also gilt ϕ in Welt s1 der folgenden Kripkestruktur und ist deshalb erfüllbar:
s1
s2
s3
A
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Logik
WS 2014/15
75 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B))
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) X
s1 , 3A
s1 , ¬B
s1 , 3(¬A ∨ B)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B
s1 , 3(¬A ∨ B)
(s1 , s2 ) ∈ E
s2 , A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B
s1 , 3(¬A ∨ B)
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B
s1 , 3(¬A ∨ B) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
(s1 , s3 ) ∈ E
s3 , ¬A ∨ B
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
s1 , 3(¬A ∨ B) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
(s1 , s3 ) ∈ E X
s3 , ¬A ∨ B
s3 , ¬B
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
s1 , 3(¬A ∨ B) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
(s1 , s3 ) ∈ E X
s3 , ¬A ∨ B X
s3 , ¬B
s3 , ¬A
s3 , B
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
s1 , 3(¬A ∨ B) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
(s1 , s3 ) ∈ E X
s3 , ¬A ∨ B X
s3 , ¬B
s3 , ¬A
s3 , B
,
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel
Beispiel: 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) erfüllbar?
s1 , 3A ∧ ¬B ∧ 3(¬A ∨ B)) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
s1 , 3(¬A ∨ B) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
(s1 , s3 ) ∈ E X
s3 , ¬A ∨ B X
s3 , ¬B
s3 , ¬A
s3 , B
,
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
76 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Behandlung von s, ϕ-Knoten
Wichtig beim Umgang mit :
• Wird ein Knoten v mit Beschriftung s, ϕ bearbeitet, so muss für
jeden mit (s, s0 ) ∈ E beschrifteten Knoten w ein mit s0 , ϕ
beschrifteter Knoten an jedes Blatt, das unterhalb von v und w liegt,
angefügt werden
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
77 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Behandlung von s, ϕ-Knoten
Wichtig beim Umgang mit :
• Wird ein Knoten v mit Beschriftung s, ϕ bearbeitet, so muss für
jeden mit (s, s0 ) ∈ E beschrifteten Knoten w ein mit s0 , ϕ
beschrifteter Knoten an jedes Blatt, das unterhalb von v und w liegt,
angefügt werden
• Ist v ein Knoten mit Beschriftung s, 3ϕ, der markiert wird, und ist u
ein mit (s, s0 ) ∈ E beschrifteter Knoten, der dabei neu eingefügt wird,
dann muss für jeden schon markierten Knoten z mit Beschriftung
s, ψ in Pu ein mit s0 , ψ beschrifteter Knoten an jedes Blatt unterhalb
von u angefügt werden
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
77 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (1/2)
Der modallogische Tableaukalkül zum Testen der Erfüllbarkeit einer
modallogischen Formel ϕ entsteht aus dem aussagenlogischen
Tableaukalkül durch folgende Ergänzungen:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
78 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (1/2)
Der modallogische Tableaukalkül zum Testen der Erfüllbarkeit einer
modallogischen Formel ϕ entsteht aus dem aussagenlogischen
Tableaukalkül durch folgende Ergänzungen:
• Jeder Knoten des Tableaus wird durch ein Paar si , ψ beschriftet
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
78 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (1/2)
Der modallogische Tableaukalkül zum Testen der Erfüllbarkeit einer
modallogischen Formel ϕ entsteht aus dem aussagenlogischen
Tableaukalkül durch folgende Ergänzungen:
• Jeder Knoten des Tableaus wird durch ein Paar si , ψ beschriftet
• Die Wurzel wird mit s1 , ϕ beschriftet
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
78 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (1/2)
Der modallogische Tableaukalkül zum Testen der Erfüllbarkeit einer
modallogischen Formel ϕ entsteht aus dem aussagenlogischen
Tableaukalkül durch folgende Ergänzungen:
• Jeder Knoten des Tableaus wird durch ein Paar si , ψ beschriftet
• Die Wurzel wird mit s1 , ϕ beschriftet
• Knoten, die mit einer Formel der Typen
– si , X
– si , ¬X
– si , ϕ1 ∨ ϕ2
– si , ϕ1 ∧ ϕ2
beschriftet sind, werden wie im AL-Tableaukalkül behandelt und die
dabei eventuell neu eingefügten Knoten sind ebenfalls mit der Welt si
beschriftet
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
78 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (1/2)
Der modallogische Tableaukalkül zum Testen der Erfüllbarkeit einer
modallogischen Formel ϕ entsteht aus dem aussagenlogischen
Tableaukalkül durch folgende Ergänzungen:
• Jeder Knoten des Tableaus wird durch ein Paar si , ψ beschriftet
• Die Wurzel wird mit s1 , ϕ beschriftet
• Knoten, die mit einer Formel der Typen
– si , X
– si , ¬X
– si , ϕ1 ∨ ϕ2
– si , ϕ1 ∧ ϕ2
beschriftet sind, werden wie im AL-Tableaukalkül behandelt und die
dabei eventuell neu eingefügten Knoten sind ebenfalls mit der Welt si
beschriftet
• Knoten, die mit si , ψ beschriftet sind, werden nach der -Regel
behandelt
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
78 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (1/2)
Der modallogische Tableaukalkül zum Testen der Erfüllbarkeit einer
modallogischen Formel ϕ entsteht aus dem aussagenlogischen
Tableaukalkül durch folgende Ergänzungen:
• Jeder Knoten des Tableaus wird durch ein Paar si , ψ beschriftet
• Die Wurzel wird mit s1 , ϕ beschriftet
• Knoten, die mit einer Formel der Typen
– si , X
– si , ¬X
– si , ϕ1 ∨ ϕ2
– si , ϕ1 ∧ ϕ2
beschriftet sind, werden wie im AL-Tableaukalkül behandelt und die
dabei eventuell neu eingefügten Knoten sind ebenfalls mit der Welt si
beschriftet
• Knoten, die mit si , ψ beschriftet sind, werden nach der -Regel
behandelt
• Knoten, die mit si , 3ψ beschriftet sind, werden nach der 3-Regel
behandelt
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
78 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (2/2)
-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , ψ
und markiere ihn
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
79 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (2/2)
-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , ψ
und markiere ihn
• Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Baumes für jede Welt sj ,
für die (si , sj ) ∈ E in Pu vorkommt, einen neuen Knoten sj , ψ an
(so, dass die angehängten Knoten unterhalb von u einen Weg bilden)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
79 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (2/2)
-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , ψ
und markiere ihn
• Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Baumes für jede Welt sj ,
für die (si , sj ) ∈ E in Pu vorkommt, einen neuen Knoten sj , ψ an
(so, dass die angehängten Knoten unterhalb von u einen Weg bilden)
3-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , 3ψ
und markiere ihn
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
79 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (2/2)
-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , ψ
und markiere ihn
• Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Baumes für jede Welt sj ,
für die (si , sj ) ∈ E in Pu vorkommt, einen neuen Knoten sj , ψ an
(so, dass die angehängten Knoten unterhalb von u einen Weg bilden)
3-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , 3ψ
und markiere ihn
• Wähle j so, dass sj noch nicht in T vorkommt
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
79 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (2/2)
-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , ψ
und markiere ihn
• Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Baumes für jede Welt sj ,
für die (si , sj ) ∈ E in Pu vorkommt, einen neuen Knoten sj , ψ an
(so, dass die angehängten Knoten unterhalb von u einen Weg bilden)
3-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , 3ψ
und markiere ihn
• Wähle j so, dass sj noch nicht in T vorkommt
• Hänge für jedes Blatt u des an v hängenden Baumes einen neuen
markierten Knoten mit Beschriftung (si , sj ) ∈ E und darunter einen
neuen Knoten mit Beschriftung sj , ψ an
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
79 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Modallogischer Tableaukalkül: Definition (2/2)
-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , ψ
und markiere ihn
• Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Baumes für jede Welt sj ,
für die (si , sj ) ∈ E in Pu vorkommt, einen neuen Knoten sj , ψ an
(so, dass die angehängten Knoten unterhalb von u einen Weg bilden)
3-Regel:
• Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form si , 3ψ
und markiere ihn
• Wähle j so, dass sj noch nicht in T vorkommt
• Hänge für jedes Blatt u des an v hängenden Baumes einen neuen
markierten Knoten mit Beschriftung (si , sj ) ∈ E und darunter einen
neuen Knoten mit Beschriftung sj , ψ an
• Hänge für jeden schon markierten und mit si , ψ 0 beschrifteten
Knoten in Pu einen Knoten sj , ψ 0 an jedes Blatt unterhalb von u an
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
79 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (1/2)
Mit dem modallogischen Tableaukalkül lassen sich natürlich auch
modallogische Äquivalenzen und Folgerungen testen:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
80 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (1/2)
Mit dem modallogischen Tableaukalkül lassen sich natürlich auch
modallogische Äquivalenzen und Folgerungen testen:
Beispiel
• Wir betrachten die Aussage:
– Wenn (ϕ → ψ) gilt,
– dann auch 3ϕ → 3ψ
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
80 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (1/2)
Mit dem modallogischen Tableaukalkül lassen sich natürlich auch
modallogische Äquivalenzen und Folgerungen testen:
Beispiel
• Wir betrachten die Aussage:
– Wenn (ϕ → ψ) gilt,
– dann auch 3ϕ → 3ψ
• Wir zeigen dazu die Unerfüllbarkeit von (ϕ → ψ) ∧ ¬(3ϕ → 3ψ)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
80 / 125
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (1/2)
Mit dem modallogischen Tableaukalkül lassen sich natürlich auch
modallogische Äquivalenzen und Folgerungen testen:
Beispiel
• Wir betrachten die Aussage:
– Wenn (ϕ → ψ) gilt,
– dann auch 3ϕ → 3ψ
• Wir zeigen dazu die Unerfüllbarkeit von (ϕ → ψ) ∧ ¬(3ϕ → 3ψ)
• Aufgrund des Substitutionslemmas genügt es dafür zu zeigen, dass
χ =def (¬A ∨ B) ∧ ¬(¬3A ∨ 3B) unerfüllbar ist
– Denn: wenn χ ≡ ⊥, dann auch S(χ) ≡ S(⊥) = ⊥
(mit S : A 7→ ϕ, B 7→ ψ)
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (1/2)
Mit dem modallogischen Tableaukalkül lassen sich natürlich auch
modallogische Äquivalenzen und Folgerungen testen:
Beispiel
• Wir betrachten die Aussage:
– Wenn (ϕ → ψ) gilt,
– dann auch 3ϕ → 3ψ
• Wir zeigen dazu die Unerfüllbarkeit von (ϕ → ψ) ∧ ¬(3ϕ → 3ψ)
• Aufgrund des Substitutionslemmas genügt es dafür zu zeigen, dass
χ =def (¬A ∨ B) ∧ ¬(¬3A ∨ 3B) unerfüllbar ist
– Denn: wenn χ ≡ ⊥, dann auch S(χ) ≡ S(⊥) = ⊥
(mit S : A 7→ ϕ, B 7→ ψ)
• Dazu bringen wir χ in NNF:
N N F (χ) = (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B
und wenden den Tableaukalkül an
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B X
s1 , (¬A ∨ B)
s1 , 3A
s1 , ¬B
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B X
s1 , (¬A ∨ B)
s1 , 3A X
s1 , ¬B
(s1 , s2 ) ∈ E
s2 , A
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B X
s1 , (¬A ∨ B)
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
(s1 , s2 ) ∈ E
s2 , A
s2 , ¬B
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B X
s1 , (¬A ∨ B) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
s2 , ¬A ∨ B
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B X
s1 , (¬A ∨ B) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
s2 , ¬A ∨ B X
s2 , ¬A
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s2 , B
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B X
s1 , (¬A ∨ B) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
s2 , ¬A ∨ B X
s2 , ¬A
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s2 , B
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B X
s1 , (¬A ∨ B) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
s2 , ¬A ∨ B X
s2 , ¬A
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s2 , B
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
s1 , (¬A ∨ B) ∧ 3A ∧ ¬B X
s1 , (¬A ∨ B) X
s1 , 3A X
s1 , ¬B X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , A
s2 , ¬B
s2 , ¬A ∨ B X
s2 , ¬A
Also ist χ unerfüllbar ⇒ Behauptung
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s2 , B
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
• Die Analyse des ML-Tableaukalküls ist der Analyse des
AL-Tableaukalküls sehr ähnlich
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
• Die Analyse des ML-Tableaukalküls ist der Analyse des
AL-Tableaukalküls sehr ähnlich
• Ein Blatt v ist geschlossen, falls in Pv zwei Knoten si , X und si , ¬X
vorkommen
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
• Die Analyse des ML-Tableaukalküls ist der Analyse des
AL-Tableaukalküls sehr ähnlich
• Ein Blatt v ist geschlossen, falls in Pv zwei Knoten si , X und si , ¬X
vorkommen
• Die restlichen Begriffe sind analog wie im Falle von AL
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
• Die Analyse des ML-Tableaukalküls ist der Analyse des
AL-Tableaukalküls sehr ähnlich
• Ein Blatt v ist geschlossen, falls in Pv zwei Knoten si , X und si , ¬X
vorkommen
• Die restlichen Begriffe sind analog wie im Falle von AL
Satz 6.7
(a) Für jede ML-Formel ϕ erzeugt die Tableau-Methode nach endlich
vielen Schritten ein saturiertes Tableau T
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Logik
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
• Die Analyse des ML-Tableaukalküls ist der Analyse des
AL-Tableaukalküls sehr ähnlich
• Ein Blatt v ist geschlossen, falls in Pv zwei Knoten si , X und si , ¬X
vorkommen
• Die restlichen Begriffe sind analog wie im Falle von AL
Satz 6.7
(a) Für jede ML-Formel ϕ erzeugt die Tableau-Methode nach endlich
vielen Schritten ein saturiertes Tableau T
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die
(Welt,Literal)-Paare und die Kanten (si , sj ) seines Pfades ein Modell
für ϕ
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
• Die Analyse des ML-Tableaukalküls ist der Analyse des
AL-Tableaukalküls sehr ähnlich
• Ein Blatt v ist geschlossen, falls in Pv zwei Knoten si , X und si , ¬X
vorkommen
• Die restlichen Begriffe sind analog wie im Falle von AL
Satz 6.7
(a) Für jede ML-Formel ϕ erzeugt die Tableau-Methode nach endlich
vielen Schritten ein saturiertes Tableau T
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die
(Welt,Literal)-Paare und die Kanten (si , sj ) seines Pfades ein Modell
für ϕ
(c) Ist ϕ unerfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ geschlossen
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
• Die Analyse des ML-Tableaukalküls ist der Analyse des
AL-Tableaukalküls sehr ähnlich
• Ein Blatt v ist geschlossen, falls in Pv zwei Knoten si , X und si , ¬X
vorkommen
• Die restlichen Begriffe sind analog wie im Falle von AL
Satz 6.7
(a) Für jede ML-Formel ϕ erzeugt die Tableau-Methode nach endlich
vielen Schritten ein saturiertes Tableau T
(b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die
(Welt,Literal)-Paare und die Kanten (si , sj ) seines Pfades ein Modell
für ϕ
(c) Ist ϕ unerfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ geschlossen
(d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen
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Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Auf einen Beweis von Satz 6.7 verzichten wir.
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Auf einen Beweis von Satz 6.7 verzichten wir.
Aus einem offenen Blatt u kann wie folgt ein Modell für ϕ gewonnen
werden:
• Konstruiere die Knoten und Kanten einer Kripkestruktur K gemäß der
in Pu vorkommenden Knoten (si , sj ) ∈ E
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Auf einen Beweis von Satz 6.7 verzichten wir.
Aus einem offenen Blatt u kann wie folgt ein Modell für ϕ gewonnen
werden:
• Konstruiere die Knoten und Kanten einer Kripkestruktur K gemäß der
in Pu vorkommenden Knoten (si , sj ) ∈ E
• Für jedes i definieren wir die Wahrheitsbelegung αi (und damit die
Menge P (si )) durch:
(
1 falls si , X in Pu vorkommt
αi (X) =def
0 andernfalls
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Korrektheit, Vollständigkeit, Termination
Auf einen Beweis von Satz 6.7 verzichten wir.
Aus einem offenen Blatt u kann wie folgt ein Modell für ϕ gewonnen
werden:
• Konstruiere die Knoten und Kanten einer Kripkestruktur K gemäß der
in Pu vorkommenden Knoten (si , sj ) ∈ E
• Für jedes i definieren wir die Wahrheitsbelegung αi (und damit die
Menge P (si )) durch:
(
1 falls si , X in Pu vorkommt
αi (X) =def
0 andernfalls
Damit haben wir das angestrebte Ziel, eine Methode zum Testen der
Erfüllbarkeit einer modallogischen Formel, erreicht.
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Zusammenfassung
Sie sollten die folgenden Themen und Techniken kennen und beherrschen:
• Der aussagenlogische Tableaukalkül stellt eine weitere Methode zum
Testen der Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln dar
– Er liefert für erfüllbare Formeln auch immer eine erfüllende Belegung
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ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Zusammenfassung
Sie sollten die folgenden Themen und Techniken kennen und beherrschen:
• Der aussagenlogische Tableaukalkül stellt eine weitere Methode zum
Testen der Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln dar
– Er liefert für erfüllbare Formeln auch immer eine erfüllende Belegung
• Der modallogische Tableaukalkül stellt eine Methode zum Testen der
Erfüllbarkeit modallogischer Formeln dar
– Er liefert für erfüllbare Formeln auch immer ein Modell, also eine
Kripkestruktur K und eine Welt s von K, in der die Formel gilt
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