E-Technik Formelsammlung

Elektrotechnik
Formelsammlung
Andreas Zimmer
SS 98
Inhaltsverzeichnis
1.
Gleichstrom
1.1
Stromstärke und elektr. Ladung ................................................................................................... 5
1.2
Spannung ..................................................................................................................................... 5
1.3
Ohmsches Gesetz ........................................................................................................................ 5
1.4
Energie, Arbeit und Leistung ........................................................................................................ 5
1.5
Wirkungsgrad................................................................................................................................ 5
1.6
Stromdichte................................................................................................................................... 6
1.7
Widerstand und Leitwert............................................................................................................... 6
1.8
Einheitswiderstand und Einheitsleitwert ....................................................................................... 6
1.9
Leiterwiderstand ........................................................................................................................... 6
1.10 Temperaturabhängigkeit von Widerständen ................................................................................. 6
1.11 Reihenschaltungen von Widerständen.......................................................................................... 7
1.12 Parallelschaltungen von Widerständen ......................................................................................... 7
1.13 Knotenregel ( 1. Kirchhoffsches Gesetz )...................................................................................... 7
1.14 Maschenregel ( 2. Kirchhoffsches Gesetz ) .................................................................................. 7
1.15 Meßbereichserweiterung von Spannungsmessern ....................................................................... 7
1.16 Meßbereichserweiterung von Strommessern................................................................................ 7
1.17 Reihenschaltung von gleichen Spannungsquellen........................................................................ 8
1.18 Parallelschaltung von gleichen Spannungsquellen ....................................................................... 8
1.19 Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes für Teile eines Stromkreises ................................................ 8
1.20 Spannungsabfall und Spannungsverlust....................................................................................... 8
1.21 Innerer Spannungsabfall in Spannungsquellen............................................................................. 8
1.22 Leistungsanpassung, Maximum wenn Ra = Ri .............................................................................. 9
1.23 Berechnung der Urspannung und des inneren Widerstandes einer Stromquelle......................... 9
1.24 Vorschaltwiderstand eines Verbrauchers ...................................................................................... 9
1.25 Spannungsteiler............................................................................................................................. 9
1.26 Wheatstonesche Meßbrücke......................................................................................................... 9
2.
Elektrisches Feld, Kondensatoren
2.1
Coulomb’sches Gesetz............................................................................................................... 10
2.2
Elektrische Feldstärke ................................................................................................................ 10
2.3
Elektrische Verschiebungsdichte................................................................................................ 10
2.4
Ladung des Kondensators.......................................................................................................... 10
2.5
Kapazität des Kondensators....................................................................................................... 10
2.6
Reihenschaltung von Kondensatoren......................................................................................... 11
2.7
Parallelschaltung von Kondensatoren ........................................................................................ 11
2.8
Energieinhalt von Kondensatoren .............................................................................................. 11
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2
3.
Magnetisches Feld
3.1
Magnetischer Fluß (Magnetischer Strom) .................................................................................. 12
3.2
Magnetische Induktion / Flußdichte............................................................................................ 12
3.3
Magnetische Durchflutung (Magnetische Spannung) ................................................................ 12
3.4
Magnetische Feldstärke ............................................................................................................. 12
3.5
Magnetischer Widerstand........................................................................................................... 12
3.6
Magnetischer Leitwert................................................................................................................. 13
3.7
Eisen im Magnetfeld ................................................................................................................... 13
3.8
Der magnetische Kreis mit Eisenkern und Luftspalt................................................................... 13
3.9
Allgemeines Induktionsgesetz .................................................................................................... 14
3.10 Anwendung Induktionsgesetz – Bewegung eines Leiters im Magnetfeld ................................... 14
3.11 Selbstinduktion ............................................................................................................................ 14
3.12 Reihenschaltung von Spulen....................................................................................................... 14
3.13 Parallelschaltung von Spulen ...................................................................................................... 14
3.14 Energieinhalt des magnetischen Feldes einer Spule .................................................................. 14
4.
Wechselstrom
4.1
Funktionsgleichungen des Wechselstroms ................................................................................ 15
4.2
Frequenz..................................................................................................................................... 15
4.3
Drehzahl ..................................................................................................................................... 15
4.4
Kreisfrequenz.............................................................................................................................. 15
4.5
Effektivwerte der Spannung und der Stromstärke...................................................................... 15
4.6
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis ........................................................................... 16
4.7
Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis ............................................................................. 16
4.8
Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis .......................................................................... 16
4.9
Reihenschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand ( R, L ) - Drossel ....................... 16
4.10 Reihenschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand ( R, C )..................................... 17
4.11 Parallelschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand ( R, L ) ....................................... 17
4.12 Parallelschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand ( R, C ) .................................... 17
4.13 Reihenschaltung Schwingkreis ( R, L, C ) ................................................................................... 18
4.14 Parallelschaltung Schwingkreis ( R, L, C ) .................................................................................. 19
4.15 Energieinhalt von Schwingkreisen............................................................................................... 19
4.16 Leistung bei Phasengleichheit..................................................................................................... 20
4.17 Leistung bei Phasenverschiebung............................................................................................... 20
4.18 Leistungsfaktor ............................................................................................................................ 20
4.19 Verbesserung des Leistungsfaktor ............................................................................................. 20
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3
5.
Drehstrom
5.1
Sternschaltung............................................................................................................................ 21
5.2
Dreieckschaltung ........................................................................................................................ 21
5.3
Leistung des Dreiphasen Stromes .............................................................................................. 21
6.
Transformator
6.1
Transformator Wechselstrom ..................................................................................................... 22
6.2
Unbelasteter Fall, Leerlauf - Transformator Wechselstrom ....................................................... 22
6.3
Belasteter Fall, ideal - Transformator Wechselstrom ................................................................. 22
6.4
Leistung - Transformator Wechselstrom .................................................................................... 23
6.5
Wirkungsgrad - Transformator Wechselstrom............................................................................ 23
6.6
Kurzschlußspannung - Transformator Wechselstrom ................................................................ 23
6.7
Transformator Drehstrom ............................................................................................................ 23
7.
Sonstiges
7.1
Wärmeenergie, -arbeit ................................................................................................................ 24
7.2
Winkelfunktionen ........................................................................................................................ 24
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4
1.
Gleichstrom
1.1
Stromstärke und elektr. Ladung
I=
Q
I:
t
Q = I⋅ t
1.2
1.3
Stromstärke
[A]
A : Ampere
Q : Ladungsmenge / Elektrizitätsmenge
[A∙s=C]
C : Coulomb
t:
[s]
s : Sekunde
Zeit
Spannung
U=
W
Q
U=
W
I⋅ t
U : Klemmspannung
[ V = W / A ] V : Volt
Q : Ladungsmenge / Elektrizitätsmenge
[ A∙s = C ]
C : Coulomb
W : elektr. Arbeit / Stromarbeit
[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]
P : elektr. Leistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
R : Widerstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
I:
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Ohmsches Gesetz
R=
U
I
U
I=
R
Stromstärke
U : Spannung
U = I⋅R
1.4
Energie, Arbeit und Leistung
W = U⋅I⋅ t
W = P⋅t
W = U⋅ Q
P = U⋅I =
W
t
P = I2 ⋅ R =
1.5
U : Klemmspannung
[ V = W / A ] V : Volt
I:
Stromstärke
[A]
A : Ampere
t:
Zeit
[s]
s : Sekunde
W : elektr. Arbeit / Stromarbeit
[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]
P : elektr. Leistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
U2
R
Wirkungsgrad
η=
Pab
Pzu
PV = Pzu − Pab
ηges = η1 ⋅ n2
P
R a ⋅ I2
η=
=
=
Pges (R i + R a )⋅ I2
Pab : abgegebene Leistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
Pzu : zugeführte Leistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
PV : Verlustleistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
η : Wirkungsgrad
Ra
Ri
=
Ra

R 
Ri ⋅  1 + a  1 +
Ri
Ri 

Ra
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5
1.6
Stromdichte
S=
I
A
S : Stromdichte
[ A / mm² ]
I:
[A=V/Ω]
A : Ampere
[mm2]
A = d2 ∙ π /4
R : Widerstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
G : Leitwert
[S=1/Ω]
S : Siemens
Stromstärke
A : Querschnitt des Drahtes
1.7
1.8
1.9
Widerstand und Leitwert
G=
1
R
R=
1
G
Einheitswiderstand und Einheitsleitwert
ρ=
1
κ
κ=
1
ρ
Einheitsleitwert
Temperaturkoeff.
ρ ∙ 10 -6 [ Ω∙m ]
κ ∙ 10 6
α20
[ S / m]
Silber
0,016
62,5
0,0041
Kupfer
0,01786
56
0,0039
Aluminium
0,02857
35
0,004
[1/K]
Leiterwiderstand
R = ρ⋅
R=
1.10
Einheitswiderstand
l
A
l
κ⋅A
R : Leiterwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
l:
[m]
m : Meter
Länge des Drahtes
A : Querschnitt des Drahtes
2
[mm ]
A = d2 ∙ π /4
Temperaturabhängigkeit von Widerständen
∆R = α 20 ⋅ ∆ϑ ⋅ R 20
∆R : Widerstandsänderung
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
R ϑ = R 20 + ∆R
Rυ : Warmwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
R ϑ = R 20 ⋅ (1 + α 20 ⋅ ∆ϑ )
R − R 20
∆ϑ = ϑ
α 20 ⋅ R 20
A=
R20 : Kaltwiderstand bei 20 °C
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
α20 : Temperaturkoeffizient
[1/K]
K : Kelvin
∆υ : Temperaturdifferenz
[K]
A : Querschnitt bei gleichem Widerstand, aber bei anderer Temperatur
l:
Länge des Drahtes
[m]
m : Meter
ρ ⋅l
⋅ (1 + α 20 ⋅ ∆ϑ )
R 20
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6
1.11
Reihenschaltungen von Widerständen
R ers = R 1 + R 2 + R 3
Rers :
I:
I = I1 = I2 = I3
Ersatzwiderstand
Stromstärke
U : Spannung
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
U = U1 + U 2 + U 3
1.12
Parallelschaltungen von Widerständen
1
1
1
1
=
+
+
R ers
R1 R2 R3
R ers =
Rers :
I:
Ersatzwiderstand
Stromstärke
U : Spannung
R1 ⋅ R2
R1 + R2
I = I1 + I 2 + I 3
U = U1 = U 2 = U 3
1.13
Knotenregel ( 1. Kirchhoffsches Gesetz )
∑ I zu = ∑ I ab
1.14
Σ Iab:
Summe der abfließenden Ströme
ΣUerz :
Summe der Erzeugerspannungen
ΣUverb :
Summe der Verbraucherspannungen
Meßbereichserweiterung von Spannungsmessern
R V = R M ⋅ (n − 1)
1.16
Summe der zufließenden Ströme
Maschenregel ( 2. Kirchhoffsches Gesetz )
∑ Uerz = ∑ Uverb
1.15
Σ Izu:
RV : Vorschaltwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
Rm : Meßwerkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
n:
z.B. n = 250 V / 10 V = 25
Erweiterungszahl des Meßbereichs
Meßbereichserweiterung von Strommessern
Rm
n−1
Rn =
n=
I
Im
I n = I − Im
Rn : Nebenwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
Rm : Meßwerkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
n:
Faktor Meßbereichserweiterung
I:
zu messende Stromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
Im : Meßwerkstrom
[A=V/Ω]
A : Ampere
In : Strom im Nebenwiderstand
[A=V/Ω]
A : Ampere
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7
1.17
Reihenschaltung von gleichen Spannungsquellen
I=
1.18
n⋅E
R a + n ⋅ Ri
E : Urspannung
n:
Anzahl gleicher Spannungsquellen
I:
Stromstärke im Stromkreis
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
[A=V/Ω]
A : Ampere
Parallelschaltung von gleichen Spannungsquellen
R = Ra +
I=
Ri
n
E
R
Ra + i
n
Ri : innere Widerstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
Ra : äußere Widerstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
E : Urspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
n:
Anzahl der gleichen Spannungsquellen
I:
Gesamtstrom
[A=V/Ω]
A : Ampere
Ersatzschaltung für Spannungsquellen besteht aus E und Ri
1.19
Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes für Teile eines Stromkreises
U = U1 + U 2 + U 3
U : Gesamtspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
UV : Spannungsverlust
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
= IR 1 + IR 2 + IR 3
= IR ers
1.20
Spannungsabfall und Spannungsverlust
UV = I ⋅ R L
UV = I ⋅ ρ ⋅
2⋅L
A
Un = U − U V
1.21
Un : Nutzspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
U : Klemmspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
I:
Stromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
L:
Länge der Leitung
[m]
m : Meter
RL : Leitungswiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
ρ:
[Ω∙m ]
Einheitswiderstand
Innerer Spannungsabfall in Spannungsquellen
U = E − I ⋅ Ri
I=
E
Ra + Ri
E = I ⋅ Ra + I ⋅ Ri
UV : Spannungsverlust
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Un : Nutzspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
U : Klemmspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
I:
Stromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
L:
Länge der Leitung
[m]
m : Meter
RL : Leitungswiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
ρ:
[Ω∙m ]
Einheitswiderstand
Leerlauf der Spannungsquelle Ra → ∞ ; I = 0
Kurzschluß der Spannungsquelle RA = 0 ; P = 0
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8
1.22
Leistungsanpassung, Maximum wenn Ra = Ri
P = U ⋅ I = U0 2 ⋅
1.23
(R a
Ra
U0 : Urspannung
+ Ri )
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
2
Berechnung der Urspannung und des inneren Widerstandes einer Stromquelle
E = I ⋅ Ra + I ⋅ Ri
E : Urspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
E = I'⋅R' a +I'⋅R i
Ri =
1.24
Vorschaltwiderstand eines Verbrauchers
RV =
1.25
I'⋅R' a −I ⋅ R a
I − I'
U − Un
I
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Un : Nennspannung des Verbrauchers
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Spannungsteiler
R 1 = (1 − k )⋅ R
R1 : oberer Teil des Spannungsteilers
R2 = k ⋅ R
R3 : Verbraucherwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
R : Schiebewiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
U : Gesamtspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
U3
k
=
R
U
1+
⋅ k ⋅ (1 − k )
R3
1.26
RV : Vorschaltwiderstand
U : verfügbare Netzspannung
R2 : unterer Teil des Spannungsteilers
k:
k = 0 ⇒ keine Spannung, k = 1 ⇒ volle Spannung
Wheatstonesche Meßbrücke
R X R 1 L1
=
=
R N R 2 L2
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
RN : Normalwiderstand, Vergleichswiderstand [ Ω = V / A ]
Ω : Ohm
RX : unbekannter Widerstand
R1 : erster Teil des Widerstandes vom Spannungsteiler
R2 : zweiter Teil des Widerstandes vom Spannungsteiler
L1 : erster Teil des Drahtes vom Spannungsteiler
L2 : zweiter Teil des Drahtes vom Spannungsteiler
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9
2.
Elektrisches Feld, Kondensatoren
2.1
Coulomb’sches Gesetz
F=
Q1 ⋅ Q 2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r 2
F:
Anziehungs- bzw. Abstoßkraft
[N]
Q1, Q2 : Punktladungen
[As=C]
r:
Abstand zwischen den Ladungen
[m]
Influenzkonstante des Vakuums
[ A s / Vm ]
ε0 :
C : Coulomb
ε0 = 8,854 ∙ 10-12
2.2
Elektrische Feldstärke
E=
E=
2.3
F
Q
U
d
F:
Anziehungs- bzw. Abstoßkraft
[N]
Q:
elektr. Ladung
[As=C]
E:
elektr. Feldstärke
[N/As=V/m]
U:
Spannung
[V]
d:
Feldlinienlänge / Abstand zwischen Kondensatorplatten
C : Coulomb
[ m]
Elektrische Verschiebungsdichte
D=
Q
A
D = ε ⋅E
ε = ε 0 − εr
D:
Verschiebungsdichte
[ As / m² ]
Q:
elektr. Ladung
[As=C]
A:
Feldquerschnitt / Fläche Kondensatorplatten
C : Coulomb
[ m² ]
E:
elektr. Feldstärke
[N/As=V/m]
ε:
Dielektrizitätskonstante
[ As / Vm ]
ε0 :
Influenzkonstante des Vakuums
[ A s / Vm ]
-12
ε0 = 8,854 ∙ 10
εr :
2.4
( Luft = 1, Hartpapier = 3, Glimmer = 7 )
Ladung des Kondensators
Q = D⋅ A
D:
Verschiebungsdichte
[ As / m² ]
Q = ε ⋅E ⋅ A
Q:
elektr. Ladung
[As=C]
A:
Feldquerschnitt / Fläche Kondensatorplatten
ε⋅A
Q=
⋅U
d
Q = C⋅U
2.5
relative Dielektrizitätskonstante
C : Coulomb
[ m² ]
E:
elektr. Feldstärke
[N/As=V/m]
ε:
Dielektrizitätskonstante
[ As / Vm ]
C:
Kapazität des Kondensators
[ F = As / V ] F : Farad
Kapazität des Kondensators
C=
C=
Q
U
C:
Kapazität des Kondensators
[ F = As / V ] F : Farad
Q:
elektr. Ladung
[As=C]
ε ⋅ A ε 0 ⋅ εr ⋅ A
=
d
d
U:
Spannung
[V]
C : Coulomb
A:
Feldquerschnitt / Fläche Kondensatorplatten
ε:
Dielektrizitätskonstante
d:
Feldlinienlänge / Abstand zwischen Kondensatorplatten
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[ m² ]
[ As / Vm ]
[ m]
10
2.6
Reihenschaltung von Kondensatoren
1
1
1
1
+
=
+
Cers C1 C2 C3
Cers =
2.7
Ersatzkapazität
[ F = As / V ] F : Farad
C1 ⋅ C2
C1 + C2
Parallelschaltung von Kondensatoren
Cers = C1 + C2 + C3
2.8
Cers:
Cers:
Ersatzkapazität
[ F = As / V ] F : Farad
Energieinhalt von Kondensatoren
Welektr . =
1
⋅ C ⋅ U0 2
2
Welektr. :
Energieinhalt von Kondensatoren
[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]
C:
Kapazität des Kondensators
[ F = As / V ] F : Farad
U:
Urspannung
[V]
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11
3.
Magnetisches Feld
Indifferenzzone
⇒
magnetisch unwirksame Stelle in der Mitte zwischen den beiden Polen
magnetische Influenz
⇒
Weicheisen wird in der Nähe eines Magnets selbst magnetisch
Permeabilität
⇒
Durchlässigkeit von Feldlinie durch einen Stoff
Uhrzeigerregel
⇒
Für einen in Richtung des Stromes blickender Beobachter verlaufen die Feldlinie im Uhrzeigersinn.
⇒
Ein auf eine Spulenöffnung blickender Beobachter steht vor einem Südpol, wenn der Strom die
Spule im Uhrzeigersinn umfließt.
3.1
Magnetischer Fluß (Magnetischer Strom)
Φ = B⋅A
Φ=
I⋅N
Rm
Φ : Magnetfluß
[ Wb = Vs ]
Wb: Weber
B : magnetische Induktion / Flußdichte
[ T = Wb / m² ]
T : Tesla
A : Querschnittsfläche
[ m² ]
Rm : Magnetischer Widerstand
[ A / Wb ]
I:
[A=V/Ω]
Stromstärke
A : Ampere
N : Windungszahl
3.2
Magnetische Induktion / Flußdichte
B=
Φ
A
B = µ ⋅H
B : Magnetische Induktion / Flußdichte
[ T = Wb / m² ]
T : Tesla
Φ : Magnetfluß
[ Wb = Vs ]
Wb: Weber
A : Querschnittsfläche
[ m² ]
µ:
[ Vs / Am = Wb / Am ]
Permeabilität
H : Magnetische Feldstärke
3.3
[A/m]
Magnetische Durchflutung (Magnetische Spannung)
Θ = I⋅N
Θ : Magnetische Durchflutung
[A]
AW: Amperewindungen
I:
[A=V/Ω]
A : Ampere
Stromstärke
N : Windungszahl
3.4
Magnetische Feldstärke
H=
3.5
Θ
s
H : Magnetische Feldstärke
[A/m]
Θ : Magnetische Durchflutung
[A]
s:
[m]
mittlere Feldlinienlänge
AW: Amperewindungen
Magnetischer Widerstand
Rm =
Rm =
I⋅N
Φ
1 s
⋅
µ A
µ = µ 0 ⋅ µr
Rm : Magnetischer Widerstand
[ A / Wb ]
I:
[A=V/Ω]
Stromstärke
A : Ampere
N : Windungszahl
Φ : Magnetfluß
[ Wb = Vs ]
s:
Länge des Leiters
[m]
µ:
Permeabilität
[ Vs / Am = Wb / Am ]
µ0 : Induktionskonstante
µr : relative Permeabilität
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[ Wb / Am ]
Wb: Weber
µ0 = 1,257 ⋅ 10-6 = 4π ⋅10-7
Luft = 1
12
3.6
Magnetischer Leitwert
1
Φ
=
Rm I ⋅ N
Λ=
Λ = µ⋅
3.7
A
s
[ H = Wb / A ]
Rm : Magnetischer Widerstand
[ A / Wb ]
I:
[A=V/Ω]
A : Ampere
Φ : Magnetfluß
[ Wb = Vs ]
Wb: Weber
s:
[m]
Stromstärke
H:
Henry
N : Windungszahl
Länge des Leiters
A : Querschnittsfläche
[ m² ]
µ:
[ Vs / Am = Wb / Am ]
Permeabilität
Eisen im Magnetfeld
µ 0 = tan ϕ =
µr =
3.8
Λ : Magnetischer Leitwert
B
H
B
µ0 ⋅ H
µ0 : Induktionskonstante
[ Wb / Am ]
µ0 = 1,257 ⋅ 10-6 = 4π ⋅10-7
µr : relative Permeabilität
Luft = 1
B : Magnetische Induktion / Flußdichte
[ T = Wb / m² ]
H : Magnetische Feldstärke
[A/m]
T : Tesla
Der magnetische Kreis mit Eisenkern und Luftspalt
Θ = HE ⋅ sE + HL ⋅ sL
B = µ 0 ⋅ µr ⋅ H
=
=
BE ⋅ sE BL ⋅ sL
+
µ0
µ 0 ⋅ µr
B
µ0

s 
⋅  sL + E 
µ0 

µ0 : Induktionskonstante
[ Wb / Am ]
µr : relative Permeabilität
Luft = 1
µ0 = 1,257 ⋅ 10-6 = 4π ⋅10-7
B : Magnetische Induktion / Flußdichte
[ T = Wb / m² ]
H : Magnetische Feldstärke
[A/m]
HE : Feldstärke im Eisen
[A/m]
HL : Feldstärke im Luftspalt
[A/m]
sE : mittlere Feldlinienlänge im Eisen
[m]
sL : mittlere Feldlinienlänge im Luftspalt
[m]
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T : Tesla
13
3.9
Allgemeines Induktionsgesetz
E=−
∆Φ
⋅N
∆t
E : Urspannung
[V]
∆Φ : Flußänderung
[ Wb = Vs ]
∆t : Zeit der Flußänderung
[s]
Wb: Weber
N : Windungszahl
∆Φ / ∆t : Änderungsgeschwindigkeit des Magnetflusses
3.10
Anwendung Induktionsgesetz – Bewegung eines Leiters im Magnetfeld
E = B⋅ s ⋅ v ⋅N
∆Φ
= B⋅ s⋅ v
∆t
E : Urspannung
[V]
B : Magnetische Induktion / Flußdichte
[ T = Wb / m² ]
s:
[m]
wirksame Leiterlänge
T : Tesla
V : Geschwindigkeit der Bewegung
N : Windungszahl
3.11
Selbstinduktion
Selbstinduktion
⇒
In den Windungen der Spule tritt eine Induktionsspannung durch Öffnen oder Schließen
des Stromkreises oder durch Verstärken oder Schwächen des Stromes hervor.
L = N2 ⋅ Λ
L = N2 ⋅ µ ⋅
A
s
N⋅ Φ
L=
I
∆I
E = −L ⋅
∆t
3.12
[H = Vs / A]
H:
Henry
Λ : Magnetischer Leitwert
[ H = Wb / A ]
H:
Henry
µ:
[ Vs / Am = Wb / Am ]
Induktivität der Spule
N : Windungszahl
Permeabilität
A : Querschnittsfläche
[ m² ]
s:
[m]
wirksame Leiterlänge
Φ : Magnetfluß
[ Wb = Vs ]
Wb: Weber
I:
[A=V/Ω]
A : Ampere
Stromstärke
∆I : Stromänderung
[A]
∆t : Zeitdauer der Änderung
[s]
Lers:
Ersatzinduktivität der Spule
[H = Vs / A]
H:
Henry
Ersatzinduktivität der Spule
[H = Vs / A]
H:
Henry
Parallelschaltung von Spulen
1
1
1
1
=
+
+
L ers L1 L2 L3
L ers =
3.14
[V]
L:
Reihenschaltung von Spulen
L ers = L1 + L2 + L3
3.13
E : Selbstinduktionsspannung
Lers:
L1 ⋅ L 2
L1 + L 2
Energieinhalt des magnetischen Feldes einer Spule
Wmagn. =
1
⋅ L ⋅ I2
2
Wmagn. : Energie
[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]
L:
[ Vs / A = H ]
Induktivität der Spule
I:
Stromstärke
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[A=V/Ω]
A : Ampere
14
4.
Wechselstrom
⇒
Wechselstrom
4.1
Wird durch Drehen einer Spule im ruhenden Magnetfeld erzeugt.
Funktionsgleichungen des Wechselstroms
u = û ⋅ sin ωt
u:
i = î ⋅ sin ωt
i:
Augenblickswert der Stromstärke
[A]
û:
Scheitelwert der Wechselspannung
[ m² ]
u= û
î:
Scheitelwert der Stromstärke
α : Drehwinkel
[°]
RAD
ω : Winkelgeschwindigkeit
[1/s]
t:
Zeit
[s]
f:
Frequenz
[ Hz = 1 / s ] Hz : Hertz
( 50 Hz )
[s]
(1 / 50 s )
α = ωt
4.2
1
T
T : Periode
60 ⋅ f
p
n:
Drehzahl pro Minute
[ 1 / min ]
f:
Frequenz
[ Hz = 1 / s ] Hz : Hertz
p:
Anzahl der Polpaare
Kreisfrequenz
ω = 2⋅π⋅f
ω=
4.5
bei α = 90°
Drehzahl
n=
4.4
[V]
Frequenz
f=
4.3
Augenblickswert der Spannung
2⋅π
T
ω : Kreisfrequenz / Winkelgeschw.
[1/s]
f:
[ Hz = 1 / s ]
Frequenz
T : Periode
[s]
Effektivwerte der Spannung und der Stromstärke
Die Stromstärke und Spannung des Gleichstromes, der die gleiche Wirkung wie der Wechselstrom hat,
nennt man die effektive Stromstärke ( I ) bzw. effektive Spannung ( U ) des Wechselstromes.
I=
U=
î
I:
2
U : Effektivwert der Spannung
û
2
Effektivwert der Stromstärke
î:
Scheitelwert der Stromstärke
û:
Scheitelwert der Wechselspannung
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[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
[ m² ]
15
4.6
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Z=R=
4.7
U
I
I:
Effektivwert der Stromstärke
U : Effektivwert der Spannung
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Z : Scheinwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
R : Wirkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis
Die Selbstinduktion ist die Ursache der Phasenverschiebung ( ϕ = 90° ) zwischen Stromstärke und Spannung.
Die Spannung eilt der Stromstärke voraus.
XL = ω ⋅ L
BL =
1
ω⋅L
XL : induktiver Blindwiderstand
BL : induktiver Blindleitwert
[ S = 1 / Ω = As / Wb ] S : Siemens
L:
[ Vs / A = H ]
Induktivität der Spule
ω : Kreisfrequenz / Winkelgeschw.
4.8
[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm
[1/s]
Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis
Bei rein kapazitiver Belastung des Wechselstromkreises ist die Phasenverschiebung ϕ = 90° zwischen Strom- und
Spannungswelle, wobei der Strom der Spannung vorauseilt.
BC = ω ⋅ C
XC =
4.9
1
ω⋅C
XC : kapazitiver Blindwiderstand
[ Ω = Vs / As = V / A ]
Ω : Ohm
BC : kapazitiver Blindleitwert
[ S = 1 / Ω = As / Vs ]
S : Siemens
C:
[ F = As / V ] F : Farad
Kapazität des Kondensators
ω : Kreisfrequenz / Winkelgeschw.
[1/s]
Reihenschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand ( R, L ) - Drossel
U = I ⋅ R 2 + X L2
Z = R 2 + X L2
R U
cos ϕ = = R
Z
U
tan ϕ =
I:
Stromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
U : Spannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Z : Scheinwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
R : Wirkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
XL : induktiver Blindwiderstand
[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
XL UL
=
R
UR
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16
4.10
Reihenschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand ( R, C )
U = I ⋅ R 2 + X 2C
I:
Stromstärke
U : Spannung
Z= R +
2
X 2C
R
U
= R
− Z −U
cos ϕ =
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Z : Scheinwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
R : Wirkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
XC : kapazitiver Blindwiderstand
[ Ω = Vs / As = V / A ]
Ω : Ohm
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
− X C −UC
tan ϕ =
=
R
UR
4.11
Parallelschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand ( R, L )
I = IR 2 + IL2
I:
Gesamtstromstärke
Z : Scheinwiderstand
Y= G
IR Z
=
I
R
cos ϕ =
sin ϕ =
Y=
IL
Z
=
I
XL
A : Ampere
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
Y : Scheinleitwert
[S=1/Ω]
S : Siemens
R : Wirkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
XL : induktiver Blindwiderstand
[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
IR : Wirkstromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
IL : induktive Blindstromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
1
Z
1
Z=
1
R
4.12
+ BL2
2
[A=V/Ω]
2
+
1
XL2
Parallelschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand ( R, C )
I = IR 2 + I2C
I:
Y = G2 + B2C
cos ϕ =
IR Z
=
I
R
sin ϕ =
IC
Z
=
I
XC
Y=
Z=
Gesamtstromstärke
Z : Scheinwiderstand
[A=V/Ω]
A : Ampere
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
Y : Scheinleitwert
[S=1/Ω]
S : Siemens
R : Wirkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
XC : kapazitiver Blindwiderstand
[ Ω = Vs / As = V / A ]
Ω : Ohm
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
IR : Wirkstromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
IC : kapazitive Blindstromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
1
Z
1
1
R
2
+
1
X 2C
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4.13
Reihenschaltung Schwingkreis ( R, L, C )
U = I ⋅ R 2 + (X L − X C )2
I:
Stromstärke
U : Spannung
Z = R + (XL − X C )
2
2
U
I=
R + (X L − X C )2
2
cos ϕ =
R
Z
tan ϕ =
XL − X C
R
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Z : Scheinwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
R : Wirkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
XL : induktiver Blindwiderstand
[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm
XC : kapazitiver Blindwiderstand
[ Ω = Vs / As = V / A ]
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
XL > XC
⇒
indukativen Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und L
XC > XL
⇒
kapazitiven Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und C
XL = XC
⇒
Resonanzfall, Phasenverschiebungswinkel ϕ = 0°, X = XL + XC = 0, Z = R
f0 =
1
2⋅π⋅ L⋅C
1
ω0 =
L⋅C
Ω : Ohm
f0 : Resonanzfrequenz
[ Hz = 1 / s ] Hz : Hertz
ω0 : Resonanzwinkelgeschwindigkeit
[1/s]
L:
Induktivität der Spule
[ Vs / A = H ] H : Henry
C:
Kapazität des Kondensators
[ F = As / V ] F : Farad
Güte:
Q=
UL XL ⋅ I
=
U
R ⋅I
Q=
L
ω0 ⋅ L 1
= ⋅
R
R C
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4.14
Parallelschaltung Schwingkreis ( R, L, C )
I = IR2 + (IL − IC )2
I:
Stromstärke
U : Spannung
Y = G + (BL − BC )
2
2
1
Z=
 1
1 

+ 
−

X
X
R
C
 L
1
2
2
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
Z : Scheinwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
R : Wirkwiderstand
[Ω=V/A]
Ω : Ohm
XL : induktiver Blindwiderstand
[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm
XC : kapazitiver Blindwiderstand
[ Ω = Vs / As = V / A ]
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
I
U=
 1
1 

+ 
−
2

R
 XL X C 
1
sin ϕ =
2
IR G
=
I
Y
cos ϕ =
IL − IC BL − BC
=
I
Y
XL > XC
⇒
kapazitiven Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und C
XC > XL
⇒
indukativen Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und L
XL = XC
⇒
Resonanzfall, Phasenverschiebungswinkel ϕ = 0°, X = XL + XC = 0, Z = R
f0 =
Ω : Ohm
1
2⋅π⋅ L⋅C
ω0 =
1
L⋅C
f0 : Resonanzfrequenz
[ Hz = 1 / s ] Hz : Hertz
ω0 : Resonanzwinkelgeschwindigkeit
[1/s]
L:
Induktivität der Spule
[ Vs / A = H ] H : Henry
C:
Kapazität des Kondensators
[ F = As / V ] F : Farad
Güte:
Q=
4.15
IL
1
L
= ⋅
I
R C
Energieinhalt von Schwingkreisen
E el =
1
⋅ C ⋅ U2
2
Emagn =
1
⋅ L ⋅ I2
2
Emagn = E el
[A=V/Ω]
A : Ampere
U : Spannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
L:
Induktivität der Spule
[ Vs / A = H ] H : Henry
C:
Kapazität des Kondensators
[ F = As / V ] F : Farad
Eel:
elektrische Energie
[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]
Emagn:
magnetische Energie
[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]
I:
Stromstärke
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19
4.16
Leistung bei Phasengleichheit
Phasengleichheit ist gegeben, wenn der Wechselstromkreis nur mit einem Wirkwiderstand belastet ist.
4.17
V : Volt
P : Wirkleistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ
I:
Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ
U : Effektivspannung
S2 = P2 + Q 2
Effektivstromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
P : Wirkleistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
S : Scheinleistung
[ V∙A ]
VA : Voltampere
Q : Blindleistung
[ var ]
var : Voltampere reaktiv
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
cos ϕ :
Leistungsfaktor
[°]
P:
Wirkleistung
[W]
W : Watt
S:
Scheinleistung
[ V∙A ]
VA : Voltampere
Leistungsfaktor
P
S
cos ϕ =
4.19
A : Ampere
[ V = A∙Ω ]
Effektivstromstärke
Leistung bei Phasenverschiebung
S = U⋅I
4.18
[A=V/Ω]
U : Effektivspannung
I:
P = U⋅I
cos ϕ = 1
ϕ = 0°
P=S
cos ϕ < 1
0° < ϕ < 90°
P<S
cos ϕ = 0
ϕ = 90°
P=0
Verbesserung des Leistungsfaktor
Zur Verbesserung des Leistungsfaktors wird parallel (Reihe ) zum Verbraucher ein Kondensator als
Phasenschieber geschaltet.
Q C = P ⋅ (tan ϕ1 − tan ϕ2 )
U2
Q C = U ⋅ IC =
= I2C ⋅ X C
XC
CPara =
QC
2 ⋅ π ⋅ f ⋅ U2
CRe ihe =
QC :
Blindleistung Kondensator
[ var ]
var : Voltampere reaktiv
P:
Wirkleistung
[W]
W : Watt
ϕ1 :
Phasenverschiebungswinkel vor der Kompensation
[°]
ϕ2 :
Phasenverschiebungswinkel nach der Kompensation
[°]
CPara :
Kapazität Parallelkompensation [ F = As / V ] F : Farad
CReihe :
Kapazität Reihenkompensation
[ F = As / V ] F : Farad
I2C
2 ⋅ π ⋅ f ⋅ QC
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20
5.
Drehstrom
Drehstrom
⇒
Dreiphasiger Wechselstrom entsteht, wenn man je um 120° gegeneinander versetzte Spulen in einem
homogenen Magnetfeld dreht. Dadurch entstehen drei gleich große sinusförmige Spannungen ( u, v, w ).
Die Summe der drei Augenblicksspannungen ist zu jedem Zeitpunkt gleich Null, daher kann man die drei
Induktionsspulen zusammenschließen, ohne daß ein Kurzschluß entsteht.
5.1
Sternschaltung
U = USt ⋅ 3
I = ISt
U : Leiterspannung
[V]
( 380 V )
USt : Strangspannung
[V]
( 220 V )
I:
[A]
Leiterstrom
ISt : Strangstrom
5.2
[A]
Dreieckschaltung
I = ISt ⋅ 3
U = USt
U : Leiterspannung
[V]
USt : Strangspannung
[V]
I:
[A]
Leiterstrom
ISt : Strangstrom
5.3
[A]
Leistung des Dreiphasen Stromes
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ
S = 3 ⋅U⋅I
Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ
P = 3 ⋅ PSt
S = 3 ⋅ SSt
Q = 3 ⋅ Q St
PSt = USt ⋅ ISt ⋅ cos ϕ
SSt = USt ⋅ ISt
Q St = USt ⋅ ISt ⋅ sin ϕ
PSt =
SSt =
Q St =
U ⋅ I ⋅ cos ϕ
3
U⋅I
3
U ⋅ I ⋅ sin ϕ
3
S2 = P2 + Q 2
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21
6.
Transformator
Indizes
6.1
p:
primär Seite des Transformators
S:
sekundär Seite des Transformators
1:
niedrigere Spannung (Unterspannung), weniger Windungen
2:
höhere Spannung (Oberspannung), mehr Windungen
ges :
Gesamt
Transformator Wechselstrom
Θ ges
Φ : Magnetfluß
[ Wb = Vs ]
Wb: Weber
Θ : Magnetische Durchflutung
[A]
AW: Amperewindungen
Φ ges = Φ p − Φ s
Rm : Magnetischer Widerstand
[ A / Wb ]
Θ ges = Θ p − Θ s
U : Spannung
Φ ges =
Rm
Θ p = Np − I p
I:
Stromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = ΩA ]
V : Volt
N : Windungszahl
ü:
Übersetzungsverhältnis
Θ s = Ns − Is
Up
=
Us
ü=
6.2
Np
Ns
U2 N2 I1
=
=
U1 N1 I2
Unbelasteter Fall, Leerlauf - Transformator Wechselstrom
Sekundärkreis des Transformators offen, d.h. nicht durch einen Widerstand belastet
6.3
Is = 0
I0 : Leerlaufstromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
Ip = I0 = Imagn + IFe + ICu
IFe : Eisenverluststromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
ICu : Kupferverluststromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
Imagn :Magnetisierungsstromstärke
[A=V/Ω]
A : Ampere
Φ : Magnetfluß
[ Wb = Vs ]
Wb: Weber
Θ : Magnetische Durchflutung
[A]
I:
[A=V/Ω]
A : Ampere
[ V = ΩA ]
V : Volt
Belasteter Fall, ideal - Transformator Wechselstrom
Θp = Θ s
Ip
Is
=
ü=
Ns Us
=
Np Up
Z 2 U2 ⋅ I2 N22
=
=
Z 1 U1 ⋅ I1 N12
Stromstärke
U : Spannung
AW: Amperewindungen
N : Windungszahl
ü:
Übersetzungsverhältnis
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22
6.4
Leistung - Transformator Wechselstrom
P = Up ⋅ Ip ⋅ cos ϕp = Us ⋅ Is ⋅ cos ϕ s + PV
Q = Up ⋅ Ip ⋅ sin ϕp = Us ⋅ Is ⋅ sin ϕ s + PV
S = Up ⋅ Ip = Us ⋅ Is + PV
I:
Effektivstromstärke
U : Effektivspannung
6.5
6.6
A : Ampere
V : Volt
P : Wirkleistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
S : Scheinleistung
[ V∙A ]
VA : Voltampere
Q : Blindleistung
[ var ]
var : Voltampere reaktiv
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
Wirkungsgrad - Transformator Wechselstrom
η=
Ps
Ps
=
Pp Ps + PV
η=
Ps
Ps + PCu + PFe
Ps : abgegebene Leistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
Pp : zugeführte Leistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
PV : Verlustleistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
η : Wirkungsgrad
Kurzschlußspannung - Transformator Wechselstrom
uK =
6.7
[A=V/Ω]
[ V = A∙Ω ]
UK
⋅ 100 %
UN
uK : relative Kurzschlußspannung
[%]
UK : gemessene Kurzschlußspannung
[V]
UN : Nennspannung
[V]
Transformator Drehstrom
Übersetzungsverhältnisse wie Transformator Wechselstrom, jedoch Leistung:
P = 3 ⋅ Up ⋅ Ip ⋅ cos ϕp = 3 ⋅ Us ⋅ Is ⋅ cos ϕ s + PV
Q = 3 ⋅ Up ⋅ Ip ⋅ sin ϕp = 3 ⋅ Us ⋅ Is ⋅ sin ϕs + PV
S = 3 ⋅ Up ⋅ Ip = 3 ⋅ Us ⋅ Is + PV
[A=V/Ω]
A : Ampere
U : Effektivspannung
[ V = A∙Ω ]
V : Volt
P : Wirkleistung
[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt
I:
Effektivstromstärke
S : Scheinleistung
[ V∙A ]
VA : Voltampere
Q : Blindleistung
[ var ]
var : Voltampere reaktiv
ϕ : Phasenverschiebungswinkel
[°]
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7.
Sonstiges
7.1
Wärmeenergie, -arbeit
Q = m ⋅ c ⋅ (t 2 − t1 )
Q = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ
Q : Wärmeemergie
[J]
m : Masse
[m]
c:
spezifische Wärmekapazität
∆ϑ : Temperaturdifferenz
7.2
[ kJ / kgK ]
[ ° oder K ]
Winkelfunktionen
sin α =
GK
Hyp
cos α =
AK
Hyp
tan ∂ =
GK :
Gegenkathete
AK :
Ankathete
Hyp :
Hypotenuse
GK
AK
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