Quantenmechanik I Sommersemester 2013

Quantenmechanik I
Sommersemester 2013
QM Web–Page
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/
teaching/ss13/qm1.d.html
Hinweise
☞ Übung von Maxi Fischer (10:00–12:00) in C.3203 entfällt
heute (???)
Hinweise
☞ Übung von Maxi Fischer (10:00–12:00) in C.3203 entfällt
heute (???)
☞ Übungsblätter am Mittwoch (???)
Hinweise
☞ Übung von Maxi Fischer (10:00–12:00) in C.3203 entfällt
heute (???)
☞ Übungsblätter am Mittwoch (???)
☞ Am 26.6. um 1155 : Programmvorstellung Manage&More
Exkurs: Vielteilchensysteme
☞ Quantenmechanische Beschreibung mehrerer Teilchen
ψ(~r) → Ψ(~r1 ,~r2 , . . . )
Exkurs: Vielteilchensysteme
☞ Quantenmechanische Beschreibung mehrerer Teilchen
ψ(~r) → Ψ(~r1 ,~r2 , . . . )
☞ Interpretation von Ψ(~r1 ,~r2 , . . . ):
Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, das erste Teilchen bei
~r1 , das zweite bei ~r2 etc. zu finden
Exkurs: Vielteilchensysteme
☞ Quantenmechanische Beschreibung mehrerer Teilchen
ψ(~r) → Ψ(~r1 ,~r2 , . . . )
☞ Interpretation von Ψ(~r1 ,~r2 , . . . ):
Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, das erste Teilchen bei
~r1 , das zweite bei ~r2 etc. zu finden
☞ Detaillierte Diskussion y QM 2
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (I)
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2 ~ 2
~2 ~ 2
∇1 −
∇2 + V(|~r1 − ~r2 |)
2m1
2m2
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (I)
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2 ~ 2
~2 ~ 2
∇1 −
∇2 + V(|~r1 − ~r2 |)
2m1
2m2
☞ Relativ- und Schwerpunktskoordinaten
~r := ~r1 − ~r2
und
~ := m1 ~r1 + m2 ~r2
R
m1 + m2
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (I)
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2 ~ 2
~2 ~ 2
∇1 −
∇2 + V(|~r1 − ~r2 |)
2m1
2m2
☞ Relativ- und Schwerpunktskoordinaten
~r := ~r1 − ~r2
und
☞ Reduzierte Masse
m :=
m1 m2
m1 + m2
~ := m1 ~r1 + m2 ~r2
R
m1 + m2
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (I)
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2 ~ 2
~2 ~ 2
∇1 −
∇2 + V(|~r1 − ~r2 |)
2m1
2m2
☞ Relativ- und Schwerpunktskoordinaten
~r := ~r1 − ~r2
und
☞ Reduzierte Masse
m :=
m1 m2
m1 + m2
☞ Gesamtmasse
M := m1 + m2
~ := m1 ~r1 + m2 ~r2
R
m1 + m2
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Separationsansatz
~ r) = Φ(R)
~ · ψ(~r)
Ψ(R,~
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Separationsansatz
~ r) = Φ(R)
~ · ψ(~r)
Ψ(R,~
➥ Zwei Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
2M R
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Separationsansatz
~ r) = Φ(R)
~ · ψ(~r)
Ψ(R,~
➥ Zwei Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
2M R
Lösung
~ ∼ exp
Φ(R)
mit ER =
~2
P
2M
i ~ ~
P·R
~
~
und P
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Separationsansatz
~ r) = Φ(R)
~ · ψ(~r)
Ψ(R,~
➥ Zwei Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
2M R
−
~2 ~ 2
∇ ψ(~r) + V(|~r|) ψ(~r) = Er ψ(~r)
2m r
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Separationsansatz
~ r) = Φ(R)
~ · ψ(~r)
Ψ(R,~
➥ Zwei Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
2M R
−
~2 ~ 2
∇ ψ(~r) + V(|~r|) ψ(~r) = Er ψ(~r)
2m r
➥ Problem auf effektives Ein–Teilchen–Problem reduziert
Wasserstoffatom (I)
☞ Coulomb–Potential für Elektron
V(~r) = −
Z e2
r
Wasserstoffatom (I)
☞ Coulomb–Potential für Elektron
V(~r) = −
Z e2
r
☞ Reduzierte Masse
m =
me
m e ≈ me
1+ M
K
Wasserstoffatom (I)
☞ Coulomb–Potential für Elektron
V(~r) = −
Z e2
r
☞ Reduzierte Masse
m =
me
m e ≈ me
1+ M
K
☞ Zeitunabhängige Schrödinger–Gleichung
H ψ(~r) = E ψ(~r)
Wasserstoffatom (I)
☞ Coulomb–Potential für Elektron
V(~r) = −
Z e2
r
☞ Reduzierte Masse
m =
me
m e ≈ me
1+ M
K
☞ Zeitunabhängige Schrödinger–Gleichung
H ψ(~r) = E ψ(~r)
. . . in Kugelkoordinaten
"
#
~2 ∂
L2
Z e2
2 ∂
−
r
+
−
− E ψ(~r) = 0
2m r2 ∂r
∂r
2m r2
r
Wasserstoffatom (II)
☞ Ansatz
ψ(~r) = R(r) Yℓm(ϑ, ϕ) =
U(r)
Yℓm (ϑ, ϕ)
r
Wasserstoffatom (II)
☞ Ansatz
ψ(~r) = R(r) Yℓm(ϑ, ϕ) =
U(r)
Yℓm (ϑ, ϕ)
r
➥ Schrödinger–Gleichung für U
~ 2 d2
~2 ℓ (ℓ + 1)
−
+
+ V(r) −E U(r) = 0
2m dr2 | 2m r2{z
}
ℓ
= Veff
Wasserstoffatom (II)
☞ Ansatz
ψ(~r) = R(r) Yℓm(ϑ, ϕ) =
U(r)
Yℓm (ϑ, ϕ)
r
➥ Schrödinger–Gleichung für U
~ 2 d2
~2 ℓ (ℓ + 1)
−
+
+ V(r) −E U(r) = 0
2m dr2 | 2m r2{z
}
ℓ
= Veff
Verhalten für r → 0:
R(r) → A rℓ
für
r→0
Wasserstoffatom (II)
☞ Ansatz
ψ(~r) = R(r) Yℓm(ϑ, ϕ) =
U(r)
Yℓm (ϑ, ϕ)
r
➥ Schrödinger–Gleichung für U
~ 2 d2
~2 ℓ (ℓ + 1)
−
+
+ V(r) −E U(r) = 0
2m dr2 | 2m r2{z
}
ℓ
= Veff
Verhalten für r → 0:
R(r) → A rℓ für
Verhalten für r → ∞:
U(r) → r
D e−κ r
2m |E|
mit κ =
~2
r→0
Wasserstoffatom (III)
☞ Dimensionslose Variablen
ρ :=
ρ0
:=
κ·r =
r
2m |E|
·r
~2
Z e2 κ
e2 ~ c κ
= Z·
= Z ·α·
|E|
~ c |E|
|{z}
=α
s
Feinstruktur–Konstante
2m c2
|E|
Wasserstoffatom (III)
☞ Dimensionslose Variablen
ρ :=
ρ0
:=
κ·r =
r
2m |E|
·r
~2
Z e2 κ
e2 ~ c κ
= Z·
= Z ·α·
|E|
~ c |E|
|{z}
=α
☞ Radiale Schrödinger–Gleichung
2
d
1
ρ0
− ℓ (ℓ + 1) 2 +
− 1 U(ρ) = 0
dρ2
ρ
ρ
s
2m c2
|E|
Wasserstoffatom (IV)
☞ Ansatz
U(ρ) = ρℓ+1 e−ρ w(ρ)
Wasserstoffatom (IV)
☞ Ansatz
U(ρ) = ρℓ+1 e−ρ w(ρ)
➥ Radiale Schrödinger–Gleichung
ρ
dw(ρ)
d2 w(ρ)
+ 2 (ℓ + 1 − ρ)
+ (ρ0 − 2ℓ − 2) w(ρ) = 0
2
dρ
dρ
Wasserstoffatom (IV)
☞ Ansatz
U(ρ) = ρℓ+1 e−ρ w(ρ)
➥ Radiale Schrödinger–Gleichung
ρ
dw(ρ)
d2 w(ρ)
+ 2 (ℓ + 1 − ρ)
+ (ρ0 − 2ℓ − 2) w(ρ) = 0
2
dρ
dρ
☞ Potenzreihen–Ansatz für w
w(ρ) =
∞
X
k=0
ak ρk
Wasserstoffatom (IV)
☞ Ansatz
U(ρ) = ρℓ+1 e−ρ w(ρ)
➥ Radiale Schrödinger–Gleichung
ρ
dw(ρ)
d2 w(ρ)
+ 2 (ℓ + 1 − ρ)
+ (ρ0 − 2ℓ − 2) w(ρ) = 0
2
dρ
dρ
☞ Potenzreihen–Ansatz für w
w(ρ) =
∞
X
ak ρk
k=0
➥ Rekursionsformel für Koeffizienten
ak+1
2(k + ℓ + 1) − ρ0
=
ak
(k + 2ℓ + 2) (k + 1)
Wasserstoffatom (V)
☞ Asymptotik
ak+1
2
∼
ak
k
entspricht der der Exponentialfunktion
e2ρ =
∞
X
(2ρ)k
k=0
k!
Wasserstoffatom (V)
☞ Asymptotik
ak+1
2
∼
ak
k
entspricht der der Exponentialfunktion
e2ρ =
∞
X
(2ρ)k
k=0
k!
➥ Abbruchbedingung
2(k + ℓ + 1) − ρ0 !
ak+1
=
= 0
ak
(k + 2ℓ + 2) (k + 1)
: 2 N + ℓ + 1 = ρ0
⇔ ∃N∈
N
Wasserstoffatom (V)
☞ Asymptotik
ak+1
2
∼
ak
k
entspricht der der Exponentialfunktion
e2ρ =
∞
X
(2ρ)k
k=0
k!
➥ Abbruchbedingung
2(k + ℓ + 1) − ρ0 !
ak+1
=
= 0
ak
(k + 2ℓ + 2) (k + 1)
: 2 N + ℓ + 1 = ρ0
⇔ ∃N∈
N
➥ Hauptquantenzahl
n := N + ℓ + 1 ∈
N
Energie–Eigenwerte im H–Atom (I)
☞ Hauptquantenzahl n := N + ℓ + 1 ∈
N
Energie–Eigenwerte im H–Atom (I)
☞ Hauptquantenzahl n := N + ℓ + 1 ∈
➥ ℓ ≤n−1
N
Energie–Eigenwerte im H–Atom (I)
☞ Hauptquantenzahl n := N + ℓ + 1 ∈
➥ ℓ ≤n−1
ρ0 = 2n =
s
2m c2
·Z·α
|E|
➥ Diskrete Energieeigenwerte
En
m c2
= −
2
Zα
n
2
= −
m Z2 e4
2~2 n2
N
Energie–Eigenwerte im H–Atom (II)
☞ Bohr’scher Radius
a0 =
~2
= 0.529 · 10−10 m = 0.529 Å
m e e2
Energie–Eigenwerte im H–Atom (II)
☞ Bohr’scher Radius
a0 =
~2
= 0.529 · 10−10 m = 0.529 Å
m e e2
☞ Compton-Wellenlänge des Elektrons
λe =
~ 2 e2
~
=
= α · a0
me c
m e e2 ~ c
Energie–Eigenwerte im H–Atom (II)
☞ Bohr’scher Radius
a0 =
~2
= 0.529 · 10−10 m = 0.529 Å
m e e2
☞ Compton-Wellenlänge des Elektrons
λe =
~ 2 e2
~
=
= α · a0
me c
m e e2 ~ c
☞ Einheit „Rydberg“
1 Ry =
e2
= 13.6 eV
2a0
Energie–Eigenwerte im H–Atom (II)
☞ Bohr’scher Radius
a0 =
~2
= 0.529 · 10−10 m = 0.529 Å
m e e2
☞ Compton-Wellenlänge des Elektrons
λe =
~ 2 e2
~
=
= α · a0
me c
m e e2 ~ c
☞ Einheit „Rydberg“
1 Ry =
e2
= 13.6 eV
2a0
➥ Energie–Eigenwerte
En
1
= −
2a0
Ze
n
2
= − Ry ·
Z2
n2
Illustration
E
r
E3 , n = 3, ℓ = 0, 1, 2
E2 , n = 2, ℓ = 0, 1
E1 , n = 1, ℓ = 0
Illustration
E
r
E3 , n = 3, ℓ = 0, 1, 2
E2 , n = 2, ℓ = 0, 1
E1 , n = 1, ℓ = 0
☞ Entartung: ℓ ≤ n − 1 und −ℓ ≤ m ≤ ℓ
Illustration
E
r
E3 , n = 3, ℓ = 0, 1, 2
E2 , n = 2, ℓ = 0, 1
E1 , n = 1, ℓ = 0
☞ Entartung: ℓ ≤ n − 1 und −ℓ ≤ m ≤ ℓ
Entartung =
n−1
X
ℓ=0
(2ℓ + 1) = n (n − 1) + n = n2
Spektrum bei Übergängen zwischen E–Niveaus
En ′
En
Spektrum bei Übergängen zwischen E–Niveaus
En ′
~ω
En
Spektrum bei Übergängen zwischen E–Niveaus
En ′
~ω
En
Spektrum bei Übergängen zwischen E–Niveaus
En ′
~ω
En
☞ Balmer–Formel
∆Enn′ = En − En′
Z2 e2
= −
2a0
1
1
− ′2
2
n
n
Energie–Eigenfunktionen
☞ Aus dem Lösungs–Ansatz
ψnℓm (~r) = h~r|nℓmi = Rnℓ (r) · Yℓm (ϑ, ϕ)
Energie–Eigenfunktionen
☞ Aus dem Lösungs–Ansatz
ψnℓm (~r) = h~r|nℓmi = Rnℓ (r) · Yℓm (ϑ, ϕ)
☞ Orthogonalität
Z
d3 r ψ∗nℓm (r) ψn′ ℓ′ m′ (r)
=
Z∞
Z
∗
dr r2 Rnℓ (r) Rn′ ℓ′ (r) dΩ Yℓm
(ϑ, ϕ) Yℓ′ m′ (ϑ, ϕ)
=
δnn′ δℓℓ′ δmm′
0
bzw.
hnℓm|n′ ℓ′ m′ i = δnn′ δℓℓ′ δmm′
Zugeordnete Laguerre–Polynome
☞ Mögliche Definition
Lℓn (x) =
dℓ x dn −x n
e
e x
dxℓ dxn
Zugeordnete Laguerre–Polynome
☞ Mögliche Definition
Lℓn (x) =
dℓ x dn −x n
e
e x
dxℓ dxn
☞ Darstellung als Potenzreihe
Lℓn (x) =
n−ℓ
X
k=0
(−1)k+ℓ
(n!)2
xk
k! (k + ℓ)! (n − k − ℓ)!
Zugeordnete Laguerre–Polynome
☞ Mögliche Definition
Lℓn (x) =
dℓ x dn −x n
e
e x
dxℓ dxn
☞ Darstellung als Potenzreihe
Lℓn (x) =
n−ℓ
X
(−1)k+ℓ
k=0
(n!)2
xk
k! (k + ℓ)! (n − k − ℓ)!
➥ Radiale Lösungen
Rnℓ (r) = − e−κ r (2κ r)ℓ
(n − ℓ − 1)! (2κ)3
2n ((n + ℓ)!)3
−1/2
2ℓ+1
Ln+ℓ
(2κ r)
Beispiele für radiale Wellenfunktionen
r
R10 (r) = 2 a−3/2 e− a
r2 |R10 |2
r
Beispiele für radiale Wellenfunktionen
r −r
R20 (r) = 2 (2a)−3/2 1 −
e 2a
2a
r2 |R20 |2
r
Beispiele für radiale Wellenfunktionen
r
r
1
e− 2a
R21 (r) = √ (2a)−3/2
a
3
r2 |R21 |2
r
Beispiele für radiale Wellenfunktionen
R30 (r) = 2 (3a)
−3/2
r
2r
2r2
1−
e− 3a
+
3a 27a2
r2 |R30 |2
r
Beispiele für radiale Wellenfunktionen
√
r 4 2
r −r
R31 (r) =
1−
e 3a
(3a)−3/2
3
a
6a
r2 |R31 |2
r
Beispiele für radiale Wellenfunktionen
√
r 2
r
2 2
R32 (r) =
e− 3a
√ (3a)−3/2
a
27 5
r2 |R32 |2
r
Beispiele für radiale Wellenfunktionen
n=1
ℓ=0
n=2
ℓ=0
ℓ=1
n=3
ℓ=0
ℓ=1
ℓ=2
r
: R10 (r) = 2 a−3/2 e− a
r −r
: R20 (r) = 2 (2a)−3/2 1 −
e 2a
2a
r
r
1
: R21 (r) = √ (2a)−3/2
e− 2a
3
a
r
2r
2r2
−3/2
e− 3a
1−
+
: R30 (r) = 2 (3a)
2
3a 27a
√
r 4 2
r −r
(3a)−3/2
1−
e 3a
: R31 (r) =
3√
a
6a
r 2
r
2 2
√ (3a)−3/2
e− 3a
: R32 (r) =
a
27 5
Radiale Lokalisierung
☞ Erwartungswert von r
hrinℓ
=
Z∞
dr r2 r R2nℓ (r)
0
Radiale Lokalisierung
☞ Erwartungswert von r
hrinℓ
=
Z∞
dr r2 r R2nℓ (r)
0
=

3 a0


 hri10 = 2 Z
1
 a0 

n n+
Z
2
n = 1 und ℓ = 0
für ℓ = n − 1
Radiale Lokalisierung
☞ Erwartungswert von r
hrinℓ
Z∞
dr r2 r R2nℓ (r)
=
0

3 a0


 hri10 = 2 Z
1
 a0 

n n+
Z
2
=
☞ Mittlerer quadratischer Radius
2
r nℓ
=
Z∞
dr r2 r2 R2nℓ (r)
0
n = 1 und ℓ = 0
für ℓ = n − 1
Radiale Lokalisierung
☞ Erwartungswert von r
hrinℓ
Z∞
dr r2 r R2nℓ (r)
=
0

3 a0


 hri10 = 2 Z
1
 a0 

n n+
Z
2
=
n = 1 und ℓ = 0
für ℓ = n − 1
☞ Mittlerer quadratischer Radius
2
r nℓ
=
Z∞
dr r2 r2 R2nℓ (r)
=
a 2
2
1
0
2
(n + 1)
n+
n
r n,n−1 =
Z
2
0
für ℓ = n − 1
Radiale Lokalisierung
☞ Abstandszentrum
q
a0
r2 n,n−1 − hri2n,n−1 =
∆r :=
n
Z
s 1
1
n+
.
2
2
Radiale Lokalisierung
☞ Abstandszentrum
s q
a
1
1
0
2
r2 n,n−1 − hrin,n−1 =
∆r :=
n+
.
n
Z
2
2
r2 |ψ(r)|2
r
V(r)
Radiale Lokalisierung
☞ Abstandszentrum
s q
a
1
1
0
2
r2 n,n−1 − hrin,n−1 =
∆r :=
n+
.
n
Z
2
2
r2 |ψ(r)|2
r
V(r)
1
∆r
= √
hrin,n−1
2n + 1
y gute Lokalisierung für große n
Freie Bewegung in kartesischen Koordinaten
☞ Schrödinger–Gleichung
~2 ~ 2
−
∇ − E ψ(~r) = 0
2m
Freie Bewegung in kartesischen Koordinaten
☞ Schrödinger–Gleichung
~2 ~ 2
−
∇ − E ψ(~r) = 0
2m
☞ Lösungen: ebene Wellen
~
ψ~k (r) = C ei k·~r
Freie Bewegung in kartesischen Koordinaten
☞ Schrödinger–Gleichung
~2 ~ 2
−
∇ − E ψ(~r) = 0
2m
☞ Lösungen: ebene Wellen
~
ψ~k (r) = C ei k·~r
☞ Wellenvektor bzw. Impuls
~k =
kx , ky , kz
bzw. ~p = ~ ~k
Freie Bewegung in kartesischen Koordinaten
☞ Schrödinger–Gleichung
~2 ~ 2
−
∇ − E ψ(~r) = 0
2m
☞ Lösungen: ebene Wellen
~
ψ~k (r) = C ei k·~r
☞ Wellenvektor bzw. Impuls
~k =
kx , ky , kz
☞ Energie
E =
~p2
2m
bzw. ~p = ~ ~k
Freie Bewegung in Kugelkoordinaten
☞ Schrödinger–Gleichung
"
#
~2 1 ∂
L2
~2 k2
2 ∂
−
ψ(r, ϑ, ϕ)
r
+
ψ(r,
ϑ,
ϕ)
=
2m r2 ∂r
∂r
2m r2
2m
Freie Bewegung in Kugelkoordinaten
☞ Schrödinger–Gleichung
"
#
~2 1 ∂
L2
~2 k2
2 ∂
−
ψ(r, ϑ, ϕ)
r
+
ψ(r,
ϑ,
ϕ)
=
2m r2 ∂r
∂r
2m r2
2m
☞ Separationsansatz
ψk,ℓ,m (~r) = Rℓ (k, r) · Yℓm (ϑ, ϕ)
Freie Bewegung in Kugelkoordinaten
☞ Schrödinger–Gleichung
"
#
~2 1 ∂
L2
~2 k2
2 ∂
−
ψ(r, ϑ, ϕ)
r
+
ψ(r,
ϑ,
ϕ)
=
2m r2 ∂r
∂r
2m r2
2m
☞ Separationsansatz
ψk,ℓ,m (~r) = Rℓ (k, r) · Yℓm (ϑ, ϕ)
➥ DGL für Rℓ
ℓ (ℓ + 1) ~ 2
1 d 2 d
Rℓ (k, r) = 0
+
k
r
−
r2 dr dr
r2
Freie Bewegung in Kugelkoordinaten
☞ Schrödinger–Gleichung
"
#
~2 1 ∂
L2
~2 k2
2 ∂
−
ψ(r, ϑ, ϕ)
r
+
ψ(r,
ϑ,
ϕ)
=
2m r2 ∂r
∂r
2m r2
2m
☞ Separationsansatz
ψk,ℓ,m (~r) = Rℓ (k, r) · Yℓm (ϑ, ϕ)
➥ DGL für Rℓ
ℓ (ℓ + 1) ~ 2
1 d 2 d
Rℓ (k, r) = 0
+
k
r
−
r2 dr dr
r2
. . . kann umgeformt werden in
ℓ (ℓ + 1)
d2
2
~
(r · Rℓ ) + k −
(r · Rℓ ) = 0
dr2
r2
Lösung für ℓ = 0
☞ Radiale DGL für ℓ = 0
d2
(r · R0 ) + ~k 2 (r · R0 ) = 0
dr2
Lösung für ℓ = 0
☞ Radiale DGL für ℓ = 0
d2
(r · R0 ) + ~k 2 (r · R0 ) = 0
dr2
☞ Lösung
R0 (r) =
=
cos(k r)
sin(k r)
+B
r
r
A k · j0 (k r) − B k · n0 (k r) ,
A
mit
j0 (k r)
n0 (k r)
sin(k r)
kr
cos(k r)
= −
kr
=
(sphärische Bessel–Funktion)
(Neumann–Funktion)
Lösung für ℓ = 0
☞ Radiale DGL für ℓ = 0
d2
(r · R0 ) + ~k 2 (r · R0 ) = 0
dr2
☞ Lösung
R0 (r) =
=
cos(k r)
sin(k r)
+B
r
r
A k · j0 (k r) − B k · n0 (k r) ,
A
mit
j0 (k r)
n0 (k r)
sin(k r)
kr
cos(k r)
= −
kr
=
(sphärische Bessel–Funktion)
(Neumann–Funktion)
☞ Lösung soll regulär sein y B = 0
Sphärische Besselfunktion j0 (Kugelwelle)
j0 (k r) =
sin(k r)
kr
Sphärische Besselfunktionen
☞ Berechnung aus j0
jℓ (z) := zℓ
ℓ
1 d
j0 (z)
−
z dz
Sphärische Besselfunktionen
☞ Berechnung aus j0
jℓ (z) := zℓ
ℓ
1 d
j0 (z)
−
z dz
☞ Beispiel: j1
j1 (z)
sin(z)
sin(z) cos(z)
1 d
−
=
= z −
z dz
z
z2
z
Sphärische Besselfunktionen
☞ Berechnung aus j0
ℓ
1 d
j0 (z)
−
z dz
jℓ (z) := zℓ
☞ Beispiel: j1
j1 (z)
sin(z)
sin(z) cos(z)
1 d
−
=
= z −
z dz
z
z2
z
☞ jℓ sind regulär, z.B.
lim j1 (z)
z→0
= lim
z→0
= 0
sin(z) cos(z)
−
z2
z