Quantenoptik und Atomoptik – WS2002

Physik VI - Atom-, Molekül- und Laserphysik – SS2014
Übungsblatt 2
Anwesenheitsübungen
1.
Nicht-entartete, zeitunabhängige Störungstheorie
Diskutieren sie die wesentliche Idee und den grundsätzlichen Ansatz der zeitunabhängigen
Störungsrechnung. Der Hamilton-Operator H bestehe aus zwei Anteilen
Der Störterm
sei ein kleiner Zusatzterm im Vergleich zu
Operators H0 seien exakt bekannt und nicht entartet, d.h.
|
⟩
|
. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen des
⟩.
Gesucht sind die diskreten stationären Zustände | ⟩ und Eigenwerte En von H.
a) Nehmen Sie an, dass sich Eigenwerte und Funktionen entwickeln lassen als
| ⟩
|
⟩
|
⟩
⟩
|
von ,
und | ⟩ in die stationäre Schrödingergleichung ein und
führen Sie einen Koeffizientenvergleich zu den Potenzen , und durch.
b) Wählen Sie die Normierung ⟨
Energiekorrektur 1. Ordnung
| ⟩
, so dass ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩
gilt. Berechnen Sie die
durch Multiplikation der Koeffizientengleichung zu mit ⟨ |.
c) Multiplizieren Sie die Koeffizientengleichung zu mit ⟨ | (verschieden von ⟨
Zustandskorrektur über die Entwicklung | ⟩ ∑
| ⟩⟨ | ⟩ (wegen ⟨ |
d) Berechnen Sie die Energiekorrektur 1. Ordnung
Sie dazu das Ergebnis aus c).
|). Finden Sie die
⟩
).
aus der Koeffizientengleichung zu
. Benutzen
Übungsaufgaben
1.
Radiale Wellenfunktion (6p)
Die radiale Wellenfunktion des Wasserstoffatoms hängt von den Quantenzahlen
(
mit
)
(
und ab über
)
. Beachten Sie, dass die zugeordneten Laguerre Polynome
den gewöhnlichen Laguerre Polynomen
hervorgehen, d.h.
an, dass alle Nullstellen der Polynome auf der positiv reellen Achse liegen).
durch k-fache Ableitung aus
für
(nehmen Sie
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Knoten der radialen Wellenfunktion in Abhängigkeit von
b) Wie viele Maxima hat die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit
und . (3p)
? (1p)
c) Zeigen Sie, dass es bei maximaler Drehimpulsquantenzahl genau ein Maximum in der radialen
Aufenthaltswahrscheinlichkeit gibt. Zeigen Sie ferner, dass für diesen Fall der Abstand des Maximums
zum Kern quadratisch mit der Hauptquantenzahl wächst. (2p)
2.
Orbitale Kopplung (8p)
Wir betrachten ein reduziertes Wasserstoffatom. Die Eigenvektoren sind die Wasserstoff-Wellenfunktionen
(ohne Fein oder Hyperfeinstruktur – siehe Vorlesung). Wir begrenzen das Problem auf die drei ersten
Orbitale 1S, 2S, 2P:
T
  ( 1S , 2 S , 2 P )T , Hˆ 0    E1 , E2 , E3   .
Vˆ ist ein weiterer Kopplungsoperator, der nur die 1S und 2P Orbitale miteinander koppelt.
a) Exakte Lösung: Bestimmen Sie die Eigenwerte ( E1 , E2 , E3 ) des gesamten Hamilton-Operators
Hˆ  Hˆ 0  Vˆ durch Diagonalisierung der Matrix. (3p)
(Hinweis: Schrödingergleichung im Matrixform aufschreiben.)
b) Nähern Sie den Ausdruck für die neuen Energieeigenwerte ( E1 , E2 , E3 ) für
|
|
|
|
und stellen
Sie das Ergebnis in einem Energieniveauschema dar. (2p)
c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Störungsrechnung zweiter Ordnung (siehe Anwesenheitsübung).
(3p)
3.
Dirac-Gleichung (10p)
Die Dirac-Gleichung für ein freies Teilchen lautet
⃗
(
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
)
⃗
und dient zur relativistischen Beschreibung von Spin ½ Teilchen. Die Wellenfunktion ist ein
vierkomponentiger Vektor, ist die 2x2 Einheitsmatrix und sind die Pauli-Matrizen.
a) Zeigen Sie, dass sich der zeitabhängige Anteil der Gleichung (für positive Energien) durch
⃗
⃗
lösen lässt. (2p)
b) Lösen Sie die Dirac-Gleichung für positive Energien mit Hilfe des Ansatzes
⃗
⃗⃗
( ),
wobei eine Normierungskonstante ist und , Zweiervektoren sind. Bestimmen Sie die Eigenwerte
der Dirac-Gleichung. Benutzen Sie die Relation ⃗ ⃗
⃗ . (4p)
c) Bestimmen Sie für ⃗
zu
die vierkomponentigen Eigenvektoren zu
( ) sowie
( ). (3p)
d) Berechnen Sie das Verhältnis zwischen großen und kleinen Komponenten aus c) für den nichtrelativistischen Grenzfall mit
. (1p)
Abgabe am 28. bzw. 29.04.2014