Aufgabe 1: Resonanzabsorption (3 P.) Ein zunächst ruhender

Atom-, Molekül- und Laserphysik – Physik IV/VI – SoSe 2017
Übungsblatt 6
Aufgabe 1: Strahlungsdruck (3 P.)
Nehmen Sie an, ein Atom emittiere spontan Photonen mit einer Rate ρee Γ mit der
Spontanemissionsrate Γ und der Anregungswahrscheinlichkeit ρee . Bei jeder Emission eines
"
Photons werde ein Impuls !k auf das Atom übertragen mit einer zufälligen Richtung
! !
!
kˆ ≡ k / k und dem Betrag k = ω 0 / c mit der Bohr-Frequenz ω 0 des Übergangs.
Bestimmen Sie die mittlere kinetische Energie des Atoms zur Zeit t, unter der Annahme, dass
das Atom zur Zeit t=0 ruht und daraus die Rate, mit der die kinetische Energie zunimmt in
! 2k 2
Einheiten der Energie Erec ≡
. Was ist die Bedeutung der Energie Erec ?
2m
Aufgabe 2: Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur (5 P.)
Analysieren Sie den Zeeman-Effekt aller Komponenten des 3D-Niveaus von Deuterium
(Kernspin i = 1). Vernachlässigen Sie dabei Terme proportional zu µK / µB mit µK = KernMagneton und µB = Bohr-Magneton.
Aufgabe 3: Dirac-Gleichung (8 P.)
Die Dirac-Gleichung für ein freies Teilchen lautet
""
⎛ mc 2 ⋅1
−i!c
σ
∇
∂
2
i! ψ(r,t) = ⎜
"
"
∂t
⎜⎝ −i!c σ ∇ −mc 2 ⋅12
⎞
⎟ ψ(r,t)
⎟⎠
und dient zur relativistischen Beschreibung von Spin ½ Teilchen. Die Wellenfunktion ist ein
!
vierkomponentiger Vektor, 12 ist die 2x2 Einheitsmatrix und σ ist ein dreikomponentiger Vektor aus
den Pauli-Matrizen.
a) Zeigen Sie, dass sich der zeitabhängige Anteil der Gleichung (für positive Energien) durch
ψ + (r,t) = ψ + (r ) e
E
−i t
!
lösen lässt.
(1 P.)
b) Lösen Sie die Dirac-Gleichung für positive Energien mit Hilfe des Ansatzes
ψ + (r,t) = N e
⎛ !! E ⎞
i ⎜ pr − t ⎟
" ⎠
⎝
⎛ φ ⎞
⎜
⎟ , wobei N eine Normierungskonstante ist und φ, χ
⎜⎝ χ ⎟⎠
zweikomponentige Vektoren sind. Bestimmen Sie die Eigenwerte Ep unter Verwendung der
!!
( )
Beziehung σ p
2
!
= p2
(4 P.)
!
c) Bestimmen Sie für p =(0,0,p) die vierkomponentigen Eigenvektoren mit den oberen
⎛ 1 ⎞
⎛
⎞
⎟⎟ sowie φ↓ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ .
⎝ 0 ⎠
⎝ 0 ⎠
Komponenten φ↑ = ⎜⎜
(2 P.)
d) Berechnen Sie das Verhältnis zwischen großen und kleinen Komponenten aus c) für den nicht2
relativistischen Grenzfall mit c p ≪mc .
Abgabe in der Vorlesung am 23.05.2017
(1 P.)
Anwesenheitsübung Mo 22. Mai / Di 23. Mai:
Magnetische Falle für Rubidium
ist ein Alkaliatom und hat einen Kernspin von
. Im Grundzustand ist L = 0 und
somit J = 1/ 2 . Somit gibt es zwei Hyperfein-Niveaus mit F=2 bzw. F=3 mit
. (µ B ≈ h ⋅1.4 MHz / G, k B = h ⋅ 20 GHz / K ) . Für Atome im
!
Hyperfeinzustand f ,m f ergibt sich in einem ortsabhängigem Magnetfeld B die Zeeman! !
Energie W = − M B = mF g F µ B B unter der Annahme, dass die Quantisierungsachse an
jedem Ort parallel zum Magnetfeld gewählt ist.
a) Skizzieren Sie das Funktionsprinzip einer magnetischen Falle.
b) Welche magnetischen Hyperfeinzustände
der Grundzustände in
lassen sich
magnetisch speichern?
c) Die
Atome befinden sich im am stärksten vom Magnetfeld beeinflussten
∂B
= 100G / cm .
∂z
Schätzen Sie die Temperatur einer gespeicherten Atomwolke ab die sich auf einem
Raumbereich von ±1mm konzentriert? Was ist in diesem Zusammenhang unter
„Temperatur“ zu verstehen?
d) Überlegen Sie sich Methoden um ein gefangenes Ensemble zu kühlen.
Unterzustand von
. Der Gradient des Magnetfeldes beträgt