Blatt12
Werbung
Übungen zur Quantenmechanik II
Theoretische Physik V im WS 2005/2006 — Dr. M. Kastner
Abgabe: 27. Januar
Blatt 12
vor Zimmer 01.504
Aufgabe 36: Dirac-Teilchen im Stufenpotenzial
Betrachten Sie die Dirac-Gleichung eines Spin- 12 -Teilchens (Masse m0 > 0 und Energie E > m0 ) in
einer Raumdimension im Stufenpotential
0
für z ≤ 0 ,
V (z) =
V0 für z > 0 .
a) Bestimmen Sie die Lösungen der Dirac-Gleichung durch den Ansatz
ψe + ψr für z ≤ 0 ,
ψ=
ψt
für z > 0
und unter Verwendung der Stetigkeitsbedingung bei z = 0, wobei ψe die einlaufende, ψr die
reflektierte und ψt die transmittierte Welle in z-Richtung beschreibt.
Hinweis: Die Lösungen ψα , α ∈ {e, r, t} erhält man direkt aus
den in
der Vorlesung behandelten
1
0 ip z
α .
allgemeinen freien Lösungen. Sie sind von der Form ψα = Aα
κα e
0
b) Berechnen Sie die Beträge der Wahrscheinlichkeitsstromdichten
†
0 σz
jα = ψα
ψα σz 0
für α ∈ {e, r, t}.
c) Bestimmen Sie den Reflexionskoeffizienten R =
tion der Teilchenenergien.
jr
je
und den Transmissionskoeffizienten als Funk-
Aufgabe 37: Symmetrie der freien Dirac-Gleichung
Berechnen Sie die Kommutatoren des freien Dirac-Hamilton-Operators eines Spin- 21 -Teilchens,
0
0 ~σ
12
~
H=α
~ · P + βm0 ,
α
~=
, β=
0 − 12
~σ 0
mit folgendenden Observablen:
a) P~ ,
~ =X
~ × P~ ,
b) L
~σ 0
~=1
c) S
,
2
0 ~σ
~ +S
~ ,
d) J~ = L
~ ,
e) P~ · S
f ) Parität Up , wobei Up ψ(~r) = ψ(−~r)
g) Up = βUp .
Interpretieren Sie die Ergebnisse.
Aufgabe 38: Symmetrie der Dirac-Gleichung im Zentralpotential
Betrachten Sie die Dirac-Gleichung in der aus der Vorlesung bekannten Form
∂
1 1
Hz = −i(~
α · ~er )
+ − βK + βm0 + V (r)
∂r
r
r
~ ·L
~ + 1). Zeigen Sie,
mit dem skalaren Zentralpotential V (r) und dem Spin-Bahn-Operator K = β(2S
dass {Hz , K, J3 } einen Satz kommutierender Observablen bilden, d.h.
[Hz , K] = 0 ,
[J3 , K] = 0 ,
[J3 , Hz ] = 0 ,
~ +S
~ ist.
wobei J3 die 3-Komponente des Gesamtdrehimpulsoperators J~ = L
Aufgabe 39: Das freie Neutrino
Betrachten Sie die (darstellungsfreie) Dirac-Gleichung eines masselosen Teilchens.
a) Im Gegensatz zur Dirac-Gleichung eines Teilchens mit nicht-verschwindender Ruhemasse können
die hierbei noch auftretenden γ k bzw. αk durch 2 × 2-Matrizen dargestellt werden. Geben Sie
diese an.
b) Geben Sie die freien Lösungen der resultierenden Gleichung an.
c) Welche Helizität haben diese Lösungen? Was folgt daraus für die Paritätserhaltung?
