Uebungsblatt 4

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
FS 2008
Übungsblatt 4
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabetermin: Mittwoch, 2. April 08, bzw. Freitag, 4. April 08, bei der Semesterassistentin
oder beim Semesterassistenten in der jeweiligen Übungsstunde.
Wegen den Osterferien wird diese Serie eine Woche verspätet abgegeben. Studentinnen und Studenten, die am Mittwoch Uebungsstunde haben können
allerdings ihre Serie auch schon am 19. März abgeben.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 35 (3 Punkte):
In einer Schachtel hat es 400 gemischte Büroklammern, davon sind 250 gross (G) und 150
klein (K). Von den grossen sind 100 rot (R) und 50 blau (B), von den kleinen sind 60
rot und 40 blau, der Rest ist jeweils orange (O). Das Zufallsexperiment besteht in der
zufälligen Auswahl einer Büroklammer. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten
und überlegen Sie sich dabei ihre konkrete Bedeutung:
a) P[R], b) P[G ∩ B], c) P[G ∪ B], d) P[G|B], e) P[B|G], f) P[G|O].
Aufgabe 36 (3 Punkte):
Ein roter und ein blauer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Das Ereignis E besteht
darin, dass die Augensumme ≥ 10 ist. Wie gross ist die bedingte Wahrscheinlichkeit pk
dafür, dass E eintritt, falls der rote Würfel die Augenzahl k zeigt? Behandeln Sie alle
möglichen Fälle, also k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Aufgabe 37 (4 Punkte):
Aus der Menge der Zahlen {18, 19, . . . , 50} wird eine Zahl zufällig ausgewählt. Wir betrachten die folgenden Ereignisse: A: die Zahl ist ungerade“, B: die Zahl ist durch 9
”
”
teilbar“, C; die Zahl ist eine Primzahl“. Berechnen Sie die folgenden bedingten Wahr”
scheinlichkeiten:
a) P[A|B], b) P[B|A], c) P[C|A], d) P[A|C].
Eines der Ergebnisse ist in einem gewissen Sinn speziell. Geben Sie eine Erklärung.
Aufgabe 38 ◦ :
Xaver hat von Yvonne über eBay einen MP3-Player ersteigert. Die beiden wollen sich am
Tag nach dem Auktionsende am eBay Xchange-Point“ am Hauptbahnhof Zürich treffen
”
um den Handel abzuschliessen. Dabei haben sie den Zeitpunkt des Treffens dummerweise
nur ungenau vereinbart:
Xaver trifft an einem zufälligen Zeitpunkt zwischen 12 Uhr und 13 Uhr ein und wartet
20 Minuten auf Yvonne. Falls sie innerhalb dieser Zeitspanne nicht auftaucht, geht Xaver
wieder nach Hause. Genau dieselbe Strategie verfolgt Yvonne.
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a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A: Xaver trifft vor 12.30 und
”
Yvonne nach 12.30 ein“?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Treffens unter der Bedingung, dass A eingetroffen ist?
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Treffens unter der Bedingung, dass beide
nach 12.45 eintreffen?
Baumdiagramme
Aufgabe 39 (4 Punkte):
In einem Korb hat es zehn Äpfel, sechs Birnen und fünf Orangen. Es werden Ihnen zufällig
zwei Früchte ausgehändigt. Zeichnen Sie das zugehörige Baumdiagramm. Bestimmen Sie
dann die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Sie erhalten zwei Früchte derselben Sorte. b) Sie erhalten genau eine Orange. c) Sie erhalten mindestens eine Birne.
Aufgabe 40 (3 Punkte):
In einem Dorf sind 20% der Frauen Mitglied des Trachtenvereins. Von den Vereinsmitgliedern tragen am Sonntag 80% ihre Tracht, aber auch 20% der Nichtmitglieder tun dies.
Sie kommen an einem Sonntag in das Dorf und treffen eine Trachtenfrau an. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist sie Vereinsmitglied?
Aufgabe 41 (4 Punkte):
Bele und Lokai spielen gegeneinander. Sie ziehen abwechslungsweise und ohne Zurücklegen
eine Kugel aus einem Gefäss, das anfänglich drei schwarze und drei weisse Kugeln enthält.
Bele beginnt das Spiel. Er gewinnt, sobald er eine schwarze Kugel zieht. Lokai andrerseits
gewinnt dann, wenn er eine weisse Kugel zieht. Sobald der Sieger feststeht, wird das Spiel
abgebrochen. a) Berechnen Sie die Siegeschancen der beiden. b) Wie ist es möglich, dass
das Spiel unentschieden endet? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
Aufgabe 42 (2 Punkte):
Xaver und Yvonne haben sich am Hauptbahnhof tatsächlich getroffen (vgl. Aufgabe 45),
und Xaver hat den MP3-Player, einen iPod shuffle“, von Yvonne erhalten. Auf diesem
”
Player lassen sich die Musikstücke in einer zufälligen Reihenfolge abspielen. Zu Hause
kopiert Xaver 8 Lieder von U2, 7 Lieder von Ladytron und 5 von Moby auf seinen iPod
und lässt sie in einer zufälligen Reihenfolge abspielen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein erstes Lied von Moby spätestens an vierter Stelle auftaucht?
Aufgabe 43 (4 Punkte):
Wir würfeln solange mit zwei Würfeln, bis erstmals die Augensumme 8 auftritt. Wie gross
ist die Wahrscheinlichkeit pk dafür, dass dies im k-ten Wurf passiert (k ∈ N)?
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Unabhängigkeit
Aufgabe 44 (2 Punkte):
Von den 300 HörerInnen einer Vorlesung studieren 150 Biologie, 100 Geographie und
50 andere Fächer. Eine Person wird zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
studiert diese Biologie und ist an einem Sonntag geboren? (Welche plausiblen Annahmen
müssen Sie treffen?)
Aufgabe 45 ◦ :
Wir würfeln einmal mehr mit zwei Würfeln und betrachten die folgenden Ereignisse:
E: Augensumme ≤ 3”, F : Augensumme eine gerade Zahl ≤ 6“, G: Augensumme durch
”
”
”
3 teilbar“. Welche der Paare (E, F ), (E, G) und (F, G) sind unabhängig, welche nicht?
Aufgabe 46 (4 Punkte):
Gehen wir zurück zu Xaver und Yvonne (Aufgabe 45) und untersuchen die folgenden
Ereignisse: T : Die zwei treffen sich“, E: Yvonne kommt vor 12.30 Uhr“, F : Yvonne
”
”
”
kommt vor 12.30 Uhr und Xaver kommt nach 12.30 Uhr“. Untersuchen Sie die drei Paare
(T, E), (T, F ) und (E, F ) auf Unabhängigkeit.
Aufgabe 47 (4 Punkte):
In einem Gefäss befinden sich 12 Kugeln, die von 1 bis 12 nummeriert sind. Das Zufallsexperiment besteht im Ziehen einer Kugel (wobei alle Kugeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit
gezogen werden können). Ferner sei E = {1, 2, 3, 4}, und F sei stets ein Ereignis mit der
Wahrscheinlichkeit 1/4.
a) Geben Sie ein F an, derart, dass E und F abhängig sind.
b) Geben Sie ein F an, derart, dass E und F unabhängig sind.
c) Wieviele Ereignisse F (nach wie vor mit P[F ] = 1/4) gibt es derart, dass E und F
unabhängig sind?
d) Gibt es ein Ereignis G mit der Wahrscheinlichkeit 1/5 derart, dass E und G unabhängig
sind? Wenn ja, so geben Sie ein Beispiel, wenn nicht so begründen Sie warum!
Aufgabe 48 (5 Punkte):
Ein wenig Theorie zum Ende dieses Übungsblatts:
a) Weisen Sie nach, dass zwei unvereinbare Ereignisse (i.e. zwei Ereignisse A und B, so
dass A ∩ B = ∅), welche beide eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben,
stets voneinander abhängig (d.h., nicht unabhängig) sind. Merke: Unvereinbarkeit und
Unabhängigkeit sind verschiedene Dinge, die Sie nicht verwechseln dürfen!
b) Für die Ereignisse E und F gelte E ⊂ F . Sind E und F abhängig oder unabhängig?
Diskutieren Sie mögliche Fälle!
3. März 2008
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