Arbeitsmittel zum Modul Grundlagen der Stereostatik

Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Arbeitsmittel zum Modul
Grundlagen der Stereostatik
für Studierende im
Bachelor-Studiengang
Hydrowissenschaften
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Unterweisung zu Sicherheit und Brandschutz
Verhalten im Brandfall
Die im Folgenden aufgeführten Informationen sind z. T. Auszüge aus der Hausordnung und
der Brandschutzordnung der TU Dresden. Diese und weitere Vorschriften und Informationen finden sie auf der Homepage des Büros für Arbeitssicherheit.
Für eine wirksame Brandbekämpfung ist die schnelle und richtige Brandmeldung von entscheidender Bedeutung. Beim Bemerken eines Brands ist nach der allgemeinen Verhaltensregel Melden,
Retten, Löschen zu handeln.
Versicherungsschutz
• Melden (Feuermelder benutzen oder die Feuerwehr über Notruf 112 (ohne Amtsvorwahl von
jedem Telefon der Sammelnummer 463 erreichbar) benachrichtigen. Anschließend die Leitzentrale über +49351-463-34515 informieren. Wo? Wer? Was? Wie viele? Warten.)
Studierende stehen während der Aus- und Fortbildung an Hochschulen unter dem Schutz der gesetzlichen Unfallversicherung. Als Arbeitsunfälle gelten auch Unfälle auf einem mit der versicherten Tätigkeit zusammenhängenden Weg nach und von dem Ort der Tätigkeit. Personen, die
als Gasthörer oder Seniorenstudenten eingeschrieben sind, sind nicht gesetzlich unfallversichert.
Bei der Beurteilung des Versicherungsschutzes kommt es - ebenso wie im Schulbereich - darauf
an, ob die Tätigkeit dem organisatorischen Verantwortungsbereich der Hochschule zuzurechnen
ist. Zu dem Kreis dieser Tätigkeiten gehört neben der unmittelbaren Teilnahme an Hochschulveranstaltungen auch das Aufsuchen anderer Hochschuleinrichtungen, wie Universitätsbibliotheken,
Seminaren und Instituten für Studienzwecke, oder die Beteiligung an Exkursionen, Teilnahme am
allgemeinen Hochschulsport (ausgenommen Leistungssport oder Reisen); nicht jedoch Studien
oder Arbeiten in der privaten bzw. häuslichen Sphäre, auch wenn sie als Vorbereitung für das Examen erforderlich.
Unfallmeldungen
Grundsätzlich ist jeder Unfall meldepfichtig. Es ist notwendig, den behandelnden Arzt davon in
Kenntnis zu setzen, dass der Unfall im Zusammenhang mit dem Studium steht (Grund: Abrechnung erfolgt dann mit dem Träger der Unfallversicherung). Bei „größeren“ Unfällen ist ein Durchgangsarzt aufzusuchen. Eine Liste der Durchgangsärzte ist auf der Homepage des Büros für Arbeitssicherheit zu finden.
• Retten (Hilfe organisieren, Gefahrenbereich räumen, angegebene Fluchtwege benutzen, Aufzüge nicht benutzen, andere Personen warnen, Behinderten und Älteren helfen, Erste Hilfe leisten
- Bei Verbrennungen möglichst sofort mindestens 15 Min. mit kaltem Wasser kühlen, keinen
Wundverband anlegen, bei Bedarf medizinische Hilfe anfordern, Sammelstelle aufsuchen)
• Löschen (nur unter Beachtung des Selbstschutzes, Löschmitteleignung beachten, Feuerlöscher
erst am Brandherd entsichern, von unten nach oben und von vorn nach hinten löschen, Feuerlöscher gleichzeitig und nicht nacheinander einsetzen, Fenster und Türen schließen, Türen nicht
verschließen)
Verhaltensweisen für Ereignisse mit zu vermutendem terroristischen Hintergrund gegenüber Einrichtungen der TU Dresden (auch Bombendrohungen)
Bei einer Drohung oder dem Fund eines verdächtigen Gegenstands ist sofort die Polizei über Notruf 110 (ohne Amtsvorwahl) zu verständigen. Bei einer telefonischen Drohung sind Informationen
über Zeitpunkt, Inhalt, Merkmale wie Dialekt, Tonfall, Mann/Frau, Hintergrundgeräusche usw.
wesentlich.
Vorbeugender und abwehrender Brandschutz
• Einhalten der Vorschriften beim Umgang mit offenem Feuer oder Licht, beim Schweißen und
Löten, beim Umgang mit brennbaren Medien sowie das Einhalten des Rauchverbotes.
• Ordnung und Sauberkeit am Arbeitsplatz und in der gesamten TU dienen ebenfalls der Brandverhütung.
• Transportieren, Lagern und Verarbeiten brennbarer Stoffe darf nur unter Beachtung der dafür
geltenden Vorschriften geschehen. In Treppenhäusern, Durchgängen und Durchfahrtten sowie
in Fluren und auf Dachböden darf nicht gelagert werden.
• Brennbare Abfälle und Rückstände sind bis zur Entsorgung in vorschriftsmäßigen Behältern
aufzubewahren.
• Private elektrische Geräte dürfen nur mit Zustimmung des Vorgesetzten (Hochschullehrer, Assistenten oder sonstige Betreuer) betrieben werden.
• Flucht- und Rettungspläne hängen im Gebäude oder in Arbeitsstätten aus. Informieren Sie sich
anhand dieser über die Fluchtwege and Standorte von Löschmitteln.
• Brand- und Rauchschutztüren dürfen nicht durch Außerbetriebsetzen des Schließers oder durch
Hilfsmittel (z. B. Keile) offen gehalten werden.
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 1
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 2
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Allgemeine Informationen
zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“ (stereo: griechische Vorsilbe mit der Bedeutung: fest, hart) für Studierende der Vertiefungsrichtung Wasserwirtschaft und Stoffstrommanagement als Pflichtmodul in der fachspezifischen
Vertiefung sowie für Studierende der Vertiefungsrichtung Hydrologie als Wahlpflichtmodul im Bachelor-Studiengang Hydrowissenschaften.
• Personen:
– Prof. B. Zastrau (Modulverantwortlicher): BEY 112
– Dr. Rainer Schlebusch: BEY 89; Tel.: 463-35991
Sprechstunde/Konsultation: „immer“
E-Mail: [email protected]
– „alle anderen“ ⇒ BEY 87a & 116b & 116e
(Bitte Sprechstunden beachten!)
• Informationen:
– Aushang: gegenüber BEY 87a (Lösungsvorschläge zur Belegarbeit)
– imf.tu-dresden.de (Inst. f. Mechanik und Flächentragwerke)
– bildungsportal.sachsen.de (OPAL)
⇒ „Zum Login“ mit ZIH-Login anmelden
⇒ „Lehr- und Lernangebote der TU Dresden“
⇒ „Fakultät Bauingenieurwesen“
⇒ „Institut für Mechanik und Flächentragwerke“
⇒ „BHYWI34 ‚Grundlagen der Stereostatik‘“
⇒ Password:
⇒ Einschreibung in die Übungsgruppen (2016-1 oder 2016-2)
– Skripten zur Vorlesung: DIE KOPIE, George-Bähr-Straße 8
• Organisation und Ablauf:
– Vorlesung und integrierte Vorrechenübung: wöchentlich
Dienstag, 2. DS, BEY 118 & Donnerstag, 2. DS, POT 51
– Gruppenübung: gerade Kalenderwoche
Mittwoch, 3. DS, BEY 69 (2016-1) & Mittwoch, 3. DS, BEY 117 (2016-2)
– Fakultative Übung: ungerade Kalenderwoche
Montag, 4. DS, BEY 151 (2016-1) & Mittwoch, 4. DS, BEY 117 (2016-2)
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 3
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
• Abschluss der Lehrveranstaltung/ Prüfungsleistungen:
– 1. Prüfungsleistung: Klausurarbeit:
∗
∗
∗
∗
∗
∗
Wann: jährlich in der Prüfungszeit im Sommer
Dauer: 90 Minuten
Punkte: maximal 100-110 Punkte (100 Punkte entsprechen 100%)
Bestehen: mindestens 40 Punkte
Muster: Klausuren zu einem ähnlichen Modul im Netz (OPAL) verfügbar!
Zugelassene Hilfsmittel:
· Taschenrechner (nicht programmiert)
· 1 Seite DIN A4 handschriftliche Notizen (als Original)
– 2. Prüfungsleistung: Belegarbeit:
Die Belegarbeit ist eine unbenotete Prüfungsleistung, die aus mehreren Teilen besteht und Teilaufgaben enthalten, von denen 75% positiv bewertet sein
müssen, im Umfang von insgesamt 25 Stunden. Die Richtlinien für die Anfertigung der Prüfungsvorleistung sind einzuhalten!
Es sind alle Teilaufgaben vollständig zu lösen!
– Modulnote:
Ist die Belegarbeit mit „bestanden“ bewertet, ergibt sich die Modulnote aus
der Note der Klausurarbeit.
Wurde die Belegarbeit mit „nicht bestanden“ bewertet, ergibt sich die Modulnote aus dem gewichteten Mittel der Klausurarbeit (Faktor 2) und der Belegarbeit (Faktor 1).
Belegarbeit
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
nicht bestanden (5)
Klausurarbeit
1.0
1.3
1.7
2.0
2.3
2.7
3.0
3.3
3.7
4
Modulnote
2.3
2.5
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
5
5
– Einschreibung:
Für beide Prüfungsleistung ist eine Online-Einschreibung im HISQIS notwendig!
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 4
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
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Richtlinien für die Anfertigung der Prüfungsvorleistung
• die Aufgabenblätter, mit Namen, Vornamen und Studiengang
versehen, sind als Deckblatt für die Aufgabenlösungen
abzugeben
Gesamtgliederung zu den Modulen
„Grundlagen der Stereostatik“
und
„Grundlagen der Elastostatik“
• jede Aufgabe ist auf einem neuen DIN A4 Blatt zu beginnen
• beschreiben Sie die Blätter nur einseitig
1. Einführung
• jedes Blatt trägt Ihren Namen
2. Statik des starren Einzelkörpers
• grafische Lösungen gehören auf ein Blatt weißes Papier
3. Statik der Systeme starrer Körper
• die Aufgabenstellungen sind sehr kurz auf den Lösungsblättern zu vermerken
4. Schnittgrößen im Balken, Zustandslinien
5. Arbeit und Energie
• der Rechenweg muss vollständig nachvollziehbar und prüfbar
sein
• die Form ist neben der Richtigkeit der Lösungen ausschlaggebend für eine mögliche Anerkennung der Aufgaben
7. Spannungen und Verformungen stabartiger Bauteile
8. Verformung statisch bestimmter Stab- und Balkensysteme
• ein „ins Reine schreiben“ ist nicht immer erforderlich
9. Verformung statisch unbestimmter Stab- und Balkensysteme
• die Lösungen können mit Bleistift geschrieben werden
• der Beleg muss oben links fest geheftet (geklammert/getackert)
ohne Aktendully, Hefter oder Plastikhülle eingereicht werden
Ausschließlich in dieser Form wird der Beleg akzeptiert!
10. Stabilitätsprobleme der Elastostatik
(11.Einführung in die Plastizitätstheorie)
12. Haftung und Reibung
• Abgabe in der Lehrveranstaltung am angegebenen Tag —
später können aus organisatorischen Gründen keine Belege
mehr angenommen werden
Hinweis:
Die kursiv gedruckte Kapitel sind Inhalte des Wahlpflichtmoduls BHYWI63
„Grundlagen der Elastostatik“ und werden im Wintersemester angeboten.
• Es sind alle Teilaufgaben vollständig zu lösen!
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
6. Einführung in die Elastomechanik
Blatt 5
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 6
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
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Gliederung zum Modul
Literaturauswahl zur Lehrveranstaltung
„Grundlagen der Stereostatik“
1
Einführung
1.1
1.2
Begriffsbestimmung: Technische Mechanik
Physikalische Größen, Einheiten und Maßsysteme
Gross, Hauger,
Schnell, Schröder
Technische Mechanik, Bd. 1-4,
Springer, aktuelle Auflage
Gross, Ehlers,
Wriggers
Formeln und Aufgaben zur
Technischen Mechanik 1-3,
Springer, aktuelle Auflage
Romberg, Hinrichs
Keine Panik vor Mechanik,
Vieweg, Wiesbaden, 2009
2
Statik des starren Einzelkörpers
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Kräfte und Momente und ihre Eigenschaften
Schnitt-, Reaktions- und Erstarrungsprinzip
Auflagerreaktionen allgemeiner Bindungen
Kräftegleichgewicht – Zentrale Kräftesysteme
Momentengleichgewicht – Allgemeine Kräftesysteme
Schwerpunkt – Verteilte Kräfte
3
Statik der Systeme starrer Körper
Wunderlich, Kiener
3.1
3.2
3.3
Statische Bestimmtheit eines Körpers
Allgemeine Systeme starrer Körper
Schnittgrößen in (ebenen) Fachwerken
Statik der Stabtragwerke,
Teubner, Wiesbaden, 2004
Dankert, Dankert
Technische Mechanik. Statik,
Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik,
Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2010
4
Schnittgrößen im Balken – Zustandslinien
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Belastungsarten und räumliche Schnittgrößen
Schnittgrößen bei ebener Belastung aus Gleichgewichtsbedingungen
Differentialgleichungen der Schnittgrößen
Zustandslinien und ihre Eigenschaften
Zustandslinien von ebenen Balkensystemen
5
Arbeit und Energie
5.1
5.2
5.3
Arbeitsbegriff in der Mechanik
Prinzip der virtuellen Arbeiten
Stabilität des Gleichgewichts
Wriggers, Nackenhorst, Technische Mechanik kompakt
Bauermann, Spiess,
Teubner, Stuttgart,
Löhnert
1. Auflage, 2005
http://www.springerlink.com ⇒ Suchbegriff „Technische Mechanik“
12 Haftung und Reibung
12.1 Haftung und Reibung auf ebener Unterlage
12.2 Selbsthemmung und Selbstsperrung
12.3 Seilhaftung uns Seilreibung
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 7
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 8
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Einordnung der Stereostatik
Wissenschaften
Geisteswissenschaften
Naturwissenschaften
Physik
grundlegend
Mechanik
Mathematik
Chemie
Biologie
Ökologie
Medizin
Geologie
Mineralogie
Geographie
Meteorologie
Astronomie
u.s.w.
anwendungsbezogen
Wärmelehre
Akustik
Optik
Elektrizitätslehre
Atomphysik
u.s.w.
Theoretische
Mechanik
ohne Betrachtung
der Kräfte
Technische
Mechanik
mit Betrachtung
der Kräfte
Kinematik
Ruhe oder gleichförmige Bewegung
starre
Körper
StereoStatik
Statik
verformbare
Körper
Elasto - Statik
Plasto - Statik
Visko - Statik
Hydro - Statik
Aero - Statik
u.s.w.
Dynamik
beschleunigte
Bewegung
starre
Körper
StereoKinetik
Kinetik
verformbare
Körper
Elasto - Kinetik
Plasto - Kinetik
Visko - Kinetik
Hydro - Kinetik
Aero - Kinetik
u.s.w.
Quelle: Berger, J.: Technische Mechanik für Ingenieure. Friedrich Vieweg & Sohn, 1991.
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Blatt 9
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
1 Einführung und Allgemeines
⋆ Konzeption oder allg. Aufbau der Technischen Mechanik
1.1 Begriffsbestimmung: Technische Mechanik
• Beschränkung auf wenige anerkannte Axiome
⋆ Ziele der Mechanik und methodisches Vorgehen
Axiome sind hier als vielfach bestätigte allgemeine Naturgesetze
zu verstehen, die eine widerspruchsfreie und nicht weiter herleitbare Grundlage bilden.
• Teilgebiet der Physik mit dem Ziel:
– Beschreibung der Natur; hier insbesondere:
• Dies erfordert die „ingenieurmäßige“ Abbildung der Wirklichkeit
auf ein adäquates mechanisches Ersatzsystem.
Beschreibung der „Zustandsänderungen“ von Körpern
durch die Angabe von:
∗ Ort, Position, Lage
⇒ Idealisierung, d. h. Beschränkung auf das Wesentliche
⇒ iterativer Prozess, da das Wesentliche zunächst unbekannt ist
∗ Gestalt-, Volumenänderung
∗ Geschwindigkeit, Beschleunigung
∗ Temperatur
...
– Erklärung der natürlichen Vorgänge
– Anwendung auf technische Konstruktionen
• Einteilung nach der Methodik im Erkenntnisprozess
– induktives (verallgemeinerndes) Vorgehen (Induktion):
Ableitung von allgemeinen Aussagen, Regeln oder Zusammenhängen aus vielen experimentellen Einzelbeobachtungen
⇒ Formulierung physikalischer Gesetze/einer Theorie
– deduktives (spezialisierendes) Vorgehen (Deduktion):
Ableitung von speziellen Aussagen, Vorhersagen, Antworten
aus allgemeinen Gesetzmäßigkeiten
Anwendung einer Theorie auf konkrete Probleme und
Entwicklung von speziellen (Tragwerks-)Modellen
⇒ Überprüfung der allgemeinen Gesetzmäßigkeiten
⇒ Übergang zur technischen Nutzung
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Blatt 10
• Aufwand und Ergebnis müssen einem angemessenen Verhältnis
zueinander stehen!
Aber nie einen Kompromiss eingehen,
soweit Leben und Gesundheit von
Menschen (und . . . ) gefährdet sind!
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Blatt 11
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
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1.2 Physikalische Größen, Einheiten und Maßsysteme
Basisgrößen und Basiseinheiten in der Mechanik
⇒ Internationales Einheitensystem – SI-Basiseinheiten (Auswahl)
Physikalische Größen
• mathematische Wissenschaften
(Système international d’unités)
Basisgröße Basiseinheit
⇒ Relationen zwischen Mengen (Zahlen)
Beispiele: a2 + b2 = c2
Einheitenzeichen
32 + 42 = 52
Länge
Meter
m
1 Meter ist die Länge der Strecke,
die das Licht im Vakuum während
der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft (17. Generalkonferenz für Maß und Gewicht, 1983)
oder 5 Kilo(gramm) Äpfel
Masse
Kilogramm
kg
1 Kilogramm ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps
(1. Generalkonferenz für Maß und
Gewicht, 1889)
Zeit
Sekunde
s
1 Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem
Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung (13. Generalkonferenz für
Maß und Gewicht 1967)
K
1 Kelvin ist der 273, 16-te Teil
der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers
(13. Generalkonferenz für Maß und
Gewicht 1967)
f (x) = sin(x)
• täglicher Umgang
5 Äpfel
ein Kilo(gramm) Butter =
b
zwei Euro
• physikalische Wissenschaften — Technische Mechanik
⇒ strenge Trennung von bzw. Unterteilung in:
physikalische Größe = Maßzahl
. Maßeinheit
Beispiel: Entfernung = {Entfernung} . [Entfernung]
. [l]
l
= {l}
l
= 10, 0
. m
l
= 10, 0
. 103 mm
Temperatur Kelvin
Weitere Beispiele physikalischer Größen:
l := Entfernung = a Längeneinheiten
= c Zeiteinheiten
Abgeleitete Einheiten:
= 3, 0 m
V := Rauminhalt = b Volumeneinheiten = 91, 5 mm
∆t := Dauer
Definition
3
= 5, 2 h
Hinweis: Jede physikalische Größe hat auch eine Dimension (einen „Typ“), z. B. Länge, Zeit oder Masse.
Die Dimension einer physikalischen Größe kann u. a. zur Dimensionskontrolle herangezogen werden.
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Blatt 12
[Volumen] =: [V ] = [Länge.Breite.Höhe] = [Länge].[Breite].[Höhe]
= m.m.m = m3
[Gewichtskraft] =: [G] = [m.g] = [m].[g] = kg .m/s2 =: N := Newton
1 Newton = 1 N = 1
kg m
s2
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Blatt 13
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Gleichungen in der Mechanik
Gleichungen in der Mechanik sind immer Größengleichungen!
• Beispiele für Größengleichungen aus der Mechanik
p(x) = ̺ g x
s(t) =
1 2
gt
2
• empirische Größengleichungen
(13, 596 g/cm3 ist die Dichte von Quecksilber bei 0◦ C)
p(h) = 13, 596
Achtung:
g
gh
cm3
g = 9, 81 m/s2 ist die Fallbeschleunigung
• zugeschnittene Größengleichungen
v
v
s
=
+3
m 10 km/h 10 km/h
• Zahlenwertgleichungen
v v
s=
+3 ,
10 10
wobei v in km/h einzusetzen ist und sich s in m ergibt.
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Blatt 14
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2 Statik des starren Körpers
2.1 Kräfte und Momente und ihre Eigenschaften
2.1.1 Allgemeines zu Kräften
Die Messung einer Kraft ist nur indirekt durch Studium ihrer
Auswirkungen, d. h.
• Beschleunigung
• Deformation
• Arbeit und Leistung
möglich.
Kräfte lassen sich u. a. unterteilen in
Fernwirkungskräfte
und
Nahwirkungskräfte
Beispiele für Fernwirkungskräfte:
• Gravitationskraft
• magnetische Kraft
• Muskelkraft
• Federkraft
eingeprägte Kräfte
Beispiele für Nahwirkungskräfte:
(auch: Kontakt- oder Berührungskräfte)
• Haftkraft
• Stoßkraft
• Auflagerkräfte
• Gelenkkräfte
Reaktion- oder Zwangskräfte
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Blatt 15
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
2.1.2 Kräfte und ihre Darstellung
„Reale“ technische Kräfte sind keine Einzelkräfte; sie greifen an materiellen Körpern nicht punktförmig an. Die Idealisierung zur Einzelkraft ist aber für analytische und grafische Methoden zweckmäßig. Die Ergebnisse stimmen mit dem Experiment und der Erfahrung
überein, wenn man von der unmittelbaren Umgebung des Kraftangriffspunktes absieht.
⇒ Das Prinzip von de Saint-Venant über die Wirkung statisch
äquivalenter Kräftesystemen.
(Google-Suchbegriff: „Prinzip von Saint Venant“)
Beschreibungsgrößen:
• Richtung od. Wirkungslinie (WL)
• Richtungssinn od. Orientierung
• Angriffspunkt
• Betrag od. Größe
Gleichheit von Kräften:
Zwei Kräfte, die in ihrer Wirkung/Auswirkung gleich sind, d. h. das
„gleiche Ergebnis“ liefern, sind gleich.
Hier: Zwei Kräfte sind gleich, wenn alle Beschreibungsgrößen
übereinstimmen.
⇒ Kräfte können mathematisch wie (gebundene) Vektoren
behandelt werden.
Anmerkung: Für die Gleichheit von Kräften ist deren Ursache
ohne Bedeutung.
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Blatt 16
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2.1.3 Kräfte und zugehörige Axiome der Mechanik
Weiter Begriffe und Folgerungen aus den Axiomen
Die N EWTONschen Grundgesetze (1687)
Definition: Äquivalenz von Kräften oder Kräftesystemen
• lex prima (G ALILEI, N EWTON) → Trägheitsgesetz
Jeder starre Körper ohne Drehimpuls (insbesondere Massepunkt)
verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder in gleichförmig, geradliniger Bewegung, wenn er nicht durch äußeren Einfluss, d. h.
durch einwirkende Kräfte F~ , nach Maßgabe seiner geometrischen
Bewegungsmöglichkeiten gezwungen wird, seinen Zustand zu
ändern.
Zwei Kräftesysteme heißen einander äquivalent, wenn sie an einem
einzelnen starren Körper dieselben Beschleunigungen verursachen.
• lex secunda (N EWTON) → Grundgesetz der Dynamik
Die zeitliche Änderung der (vektoriellen, translatorischen) Bewegungsgröße eines Körpers der Masse m (Impuls I~ = m~v ) ist der
einwirkenden, bewegenden Kraft F~ gleich und geschieht auf deren
Wirkungslinie sowie mit deren Orientierung.
• lex tertia (N EWTON) → Gleichgewichts- oder Reaktionsaxiom
auch: Wechselwirkungsprinzip oder -axiom
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. (Wirkung = Kraft)
Eine alternative Formulierung lautet: Zu einer beliebigen Kraft F~
existiert stets eine gleich große, entgegengesetzt wirkende Kraft
−F~ auf der gleichen Wirkungslinie. (Definition der Gegenkraft)
Linienflüchtigkeit des Kraftvektors
Zwei Kräfte, die
– den gleichen Betrag,
– die gleiche Wirkungslinie und
– die gleiche Orientierung haben,
jedoch verschiedene Angriffspunkte
aufweisen, üben auf einen starren
Körper die gleiche Wirkung aus; sie
sind statisch äquivalent.
Dieser Zusatz zu den Grundaxiomen wird auch als Verschiebungsaxiom bezeichnet, obwohl es kein eigenständiges Axiom darstellt.
Schlussfolgerung: Eine Kraft kann auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung auf einen starren Körper
ändert.
Freie Verschiebbarkeit einer Kraft auf ihrer Wirkungslinie!
Beispiel zum Verschiebungsaxiom:
Das Axiom gilt sowohl für Kräfte aufgrund materiellen Kontakts
(Nahwirkungskräfte) als auch für fernwirkende Kräfte (Fernwirkungskräfte). Es gilt für starre und für nichtstarre (deformierbare)
Körper und sowohl in der Statik als auch in der Dynamik.
Anmerkung: Alle Kräfte treten ohne Ausnahme paarweise auf!
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Blatt 17
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Blatt 18
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
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Parallelogrammsatz
Gleichgewicht für zwei Kräfte am starren Körper
Zwei Kräfte F~1 und F~2 mit gemeinsamen Angriffspunkt sind statisch
äquivalent einer einzelnen Kraft F~ , deren Vektor sich als Diagonale
des von den Vektoren F~1 und F~2 gebildeten Parallelogramms (Kräfteparallelogramm) ergibt und denselben Angriffspunkt hat. Die so
beschriebene vektorielle Summe der beiden Kräfte heißt resultierende Kraft (oder kurz: Resultierende) und es gilt: F~ = F~1 + F~2.
Ein freier, starrer Körper K ist unter der Wirkung von zwei Kräften
F~1, F~2 genau dann und nur dann im Gleichgewicht, wenn sie in
die Verbindungslinie ihrer beiden Angriffspunkte A1 , A2 fallen,
entgegengesetzt orientiert und gleich groß sind.
Der Parallelogrammsatz wird auch als das Superpositionsprinzip
der Kräfte bezeichnet.
Beispiel zum Parallelogrammsatz:
Definition einer Gleichgewichtsgruppe oder eines Nullpaares.
Hinzufügen oder Wegnehmen einer Gleichgewichtsgruppe
Befindet sich ein freier, starrer Körper im Gleichgewicht, so bleibt
er im Gleichgewicht, wenn eine Gleichgewichtsgruppe hinzugefügt
oder weggenommen wird.
Übertragen einer Gleichgewichtsgruppe auf einen anderen Körper
Ist ein freier, starrer Körper K1 unter einer gegebenen Gruppe von
Kräften im Gleichgewicht, so ist auch der freie, starre Körper K2
unter der Wirkung dieser Kräfte (allein) im Gleichgewicht.
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Blatt 19
In Auszügen aus: Brommundt, Sachs: Technische Mechanik – Eine Einführung. Oldenbourg, 1998.
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Blatt 20
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2.1.4 Mathematische Modellierung von Kräften
F~ = F~x + F~y + F~z
= Fx~ex + Fy~ey + Fz~ez
Komponenten von F~ :
F~x = Fx~ex; F~y = Fy~ey ; F~z = Fz~ez
Koordinaten/Maßzahlen von F~ :
Fx = ~ex .F~ ; Fy = ~ey .F~ ; Fz = ~ez .F~
Alternative Schreibweise bei kartesischer Basis: F~ = (Fx Fy Fz )⊤
Achtung: Koordinaten und Betrag von F~ sind zu unterscheiden!
p
q
~
~
~
~
.
Betrag von F : |F | = F F =: F ≥ 0 ⇒ F := Fx2 + Fy2 + Fz2
Gegeben:
 
 
1
Fx
F~ = −2 kN = Fy 
2
Fz
Beispiel:
ez
ey
ex
Gesucht:
|F~ | =
Für die Komponente F~y gilt jedoch:
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Blatt 21
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2.1.5 Reduktion und Disduktion
⇒ Reduktion von zwei Kräften mit gemeinsamen Angriffspunkt
~ = F~1 + F~2
Analytisch: Vektorielle Summe: R
     
Rx = F1x + F2x
F2x
F1x
Rx
Ry  = F1y  + F2y  ⇔ Ry = F1y + F2y
Rz = F1z + F2z
F2z
F1z
Rz
Graphisch: Parallelogrammsatz (in der Ebene):
Kräfteplan (KP):
⇒ Disduktion oder Zerlegung einer Kraft in der Ebene
(Umkehrung der Addition)
Zerlegung einer Kraft in zwei (links) und drei (rechts) Richtungen:
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Blatt 22
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⇒ Zerlegung einer Kraft in drei Richtungen im Raum
z
Gegeben: R und ~eR durch a, b, c
Gesucht: F~1, F~2 und F~3
Es gilt (Äquivalenz):
b
~ = F~1 + F~2 + F~3
R
F1
und bei Verwendung normierter
Richtungen:
R
y
F2
a
®
R ~eR = α1 ~eF1 + α2 ~eF2 + α3 ~eF3 .
F3
c
x
Dies liefert im angegebenen Beispiel:
 
 
 


a
0
0
cos α
1
 c  = α1  0  + α2  1  + α3  sin α 
R√
2
2
2
a +c +b
b
1
0
0
⇒ Dies sind 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten α1, α2 und α3 .
⇒ Deren Bestimmung mittels der C RAMER schen Regel liefert:
h
i R
−1 ~
α1 = D
R, ~eF2 , ~eF3 = [~eR , ~eF2 , ~eF3 ]
D
h
i R
~ ~eF = [~eF , ~eR , ~eF ]
α2 = D −1 ~eF1 , R,
3
3
D 1
h
i R
−1
~ = [~eF , ~eF , ~eR ]
α3 = D
~eF1 , ~eF2 , R
2
D 1
mit der notwendigerweise von Null verschiedenen Determinante:
D = [~eF1 , ~eF2 , ~eF3 ] = (~eF1 × ~eF2 ).~eF3 6= 0 .
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Blatt 23
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2.1.6 Zentrale Kräftesysteme mit mehr als zwei Kräften
Zentrale, ebene oder räumliche Kräftesysteme:
⇒ Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich in einem Punkt.
• graphisch (eben):
Lageplan (LP):
Maßstab:
Kräfteplan (KP) im Punkt P:
Maßstab:
• analytisch oder rechnerisch (räumlich):
~ = F~1 + F~2 + F~3 = P F~i
Vektorielle Summe: R
3
i=1
Diese Vektorgleichung ist äquivalent zu den folgenden drei Koordinatengleichungen
Rx = F1x + F2x + F3x
Ry = F1y + F2y + F3y
Rz = F1z + F2z + F3z ,
die auch wie folgt geschrieben werden können:
Rx =
3
X
i=1
Hinweis:
Fix ;
Ry =
3
X
Fiy ;
i=1
Rz =
3
X
Fiz .
i=1
Diese Rechnung sagt allerdings nichts über die Lage der Wirkungs~ aus, die hier jedoch offenkundig ist. Um
linie der Resultierenden R
die Lage der Wirkungslinie im allgemeinen Fall zu ermitteln, muss
der Begriff „Moment einer Kraft“ herangezogen werden.
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Zur Addition von parallelen Kräften mit gleicher Orientierung:
Lageplan:
Kräfteplan:
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Zur Addition von parallelen Kräften mit entgegengesetzter
Orientierung:
Lageplan:
Kräfteplan:
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2.1.7 Kräftepaar und Moment
Definition: Wenn zwei Kräfte auf parallelen Wirkungslinien entgegengesetzt gleich groß sind, bilden sie ein Kräftepaar.
Lageplan:
WL1
F1 =5 kN
H =10 kN
WL1'
WL2
F2 =5 kN
F1' =10,8 kN
H =10 kN
WL 2'
WLH
F2 ' =10,8 kN
Kräfteplan:
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Zur Äquivalenz von Kräftepaaren im Raum:
a
F2
WL2
F1
WL1
WL2'
F2'
a'
F1'
WL1'
Kräftepaare sind aus der Erfahrung äquivalent (Induktion), wenn:
• die Ebenen der Kräftepaare parallel zueinander sind
• die Drehrichtung/Orientierung gleich ist
• das Produkt aus Abstand und Kraft gleich ist
Anmerkung: Das Produkt von Abstand und Betrag der Kraft erinnert an Momente. Wir werden sehen, dass sich jedem
Kräftepaar auf eindeutige Weise ein Moment zuordnen
lässt. Die Umkehrung gilt jedoch nicht.
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Konstruktion zur Äquivalenz von Kräftepaaren
Lageplan:
WL1'
WL1
a'
WL2
F1
H
WL2'
a
H
WLH
F2
F1'
F2'
a
Kräfteplan:
H
F1'
F1
F2'
F2
H
Mehrere Kräftepaare lassen sich zu einem einzigen, statisch äquivalenten Kräftepaar zusammenfassen!
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Definition: Moment einer Kraft:
~
F
~r
a
o
WLF
M (o)
a
~
F
~r
WLF
a
Anmerkung zum Kreuzprodukt:
~
M
= ~r × F~
 (o)    
Mx
Fx
rx
 (o)    
My  = ry × Fy
(o)
Fz
rz
Mz


ry Fz − rz Fy
= rz Fx − rx Fz 
rx Fy − ry Fx
y
Fy
(o)
~
F
ry
Fx
~r
z
rx'
rx
x
WLF
Im ebene Fall verbleibt nur das
Moment um die z-Achse
Mz(o) = rx Fy − ry Fx
|ry' |
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Moment eines Kräftepaares:
~A
F
B
A
~B
F
~rB
~rA
WLA
WLB
o
→
−→
~ =−
~ = F~ (A) + F~ (B) = ~0
Allg.: M
AB × F~ (B) = BA × F~ (A) und R
2.1.8 Reduktion eines allgemeinen Kräftesystems
Gegeben: F~ (B) und A.
WLF
WLF
B
B
~ (B)
F
~ (B)
F
´
A
´
A
A
Gesucht: statisch äquivalenter Versatz von F~ (B) nach A.
~ (A) =
R
~ (A) =
M
~ (A): Versatz- oder Versetzungsmoment; A: Reduktionspunkt
M
Wird eine Kraft quer zu ihrer Wirkungslinie versetzt, so muss das zugehörige Versatzmoment hinzugefügt werden, um eine statisch äquivalente Wirkung auf den starren Körper zu erhalten.
Reduktionspaar:
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Zerlegung einer Kraft in drei nicht zentrale Kräfte
Lageplan:
WLF
F
WL1
WL3
WL2
Kräfteplan:
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Lösung zur Aufgabe 2.1-41
Lageplan:
Längenmaßstab: 1, 0 cm =
b 0, 500 a
⇒
λ = 0, 500 a/cm
Kräfteplan:
Kräftemaßstab: 1, 0 cm =
b 0, 333 kN
⇒
κ = 0, 333 kN/cm
Abgelesen:
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2.2 Schnitt-, Reaktions- und Erstarrungsprinzip
2.2.2 Erstarrungsprinzip
2.2.1 Schnitt- und Reaktionsprinzip
Im Gleichgewichtszustand verhalten sich auch nichtstarre Systeme
wie starre Körper, z. B. ein biegeschlaffes Seil und eine stationär rotierende elastische Scheibe. Die Statik starrer Körper ist auch auf
derartige Zustände anwendbar.
E ULER sches Schnittprinzip
Um rechnen zu können, müssen wir die Kräfte sichtbar machen
und Namen vergeben. Dies gelingt durch Schneiden. Der betrachtete Körper wird in Gedanken durch Schnitte vom Rest des Systems
isoliert, womit die Systemgrenzen festgelegt sind. Welche Systemteile man freischneidet, hängt nur davon ab, welche Kräfte bestimmt
werden sollen.
Reaktions- oder Befreiungsprinzip von L AGRANGE
Das Gleichgewicht eines nicht freien, starren Körpers ändert sich
nicht, wenn man ihn von seinen Bindungen befreit (ihn freischneidet), falls man nur die Bindungen durch die von ihnen ausgeübten
Kräfte ersetzt.
An ihm und am abgetrennten Teil wirken im (gedanklichen) Schnitt
gleich große und entgegengesetzt orientierte Kräfte (actio = reactio).
Beispiel: Kräfte zwischen glatten Körpern
Berühren sich zwei glatte Körper, so steht die Reaktionskraft – die
Kontakt-(normal-)kraft – senkrecht auf der gemeinsamen Tangentialebene und ist ins Innere der Körper gerichtet.
Das Erstarrungsprinzip
Ein deformierbarer Körper kann nur im Gleichgewicht sein, wenn
ein Starrkörper der Gestalt des verformten Körpers ebenfalls im
Gleichgewicht ist.
Eine alternative Formulierung lautet:
Ein freier, nicht starrer Körper ist genau dann im Gleichgewicht,
wenn er als gedachter starrer Körper im Gleichgewicht ist.
Systeme von Körpern
Ein freigeschnittenes System ist genau dann im Gleichgewicht,
wenn alle Teilsystemen, die durch weiteres Freischneiden entstehen,
im Gleichgewicht sind.
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Blatt 34
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2.3 Auflagerreaktionen allgemeiner Bindungen
2.3.1 Allgemeines und Begriffe
Mechanisches System: Es besteht aus einer Anzahl starrer Körper,
die in vielfältiger Weise untereinander und mit der Umgebung verbunden sind.
Innere Bindungen: Innere Bindungen sind dort, wo verschiedene
Körper eines mechanischen Systems miteinander verbunden sind
(Gelenke).
Äußere Bindungen: Äußere Bindungen sind dort, wo ein Mechanisches System an Körper anschließt, die nicht zum System gehören
(Lager, Auflager).
Zwischenreaktionen: Kräfte und Momente, welche zwei miteinander verbundene Körper wechselseitig aufeinander ausüben.
(beachte: Reaktionsprinzip)
Lagerreaktionen: Kräfte und Momente, die von Auflagern ausgehend auf das mechanische System wirken.
2.3.2 Freiheitsgrade und starrer Körper
Freiheitsgrade sind die Bewegungsmöglichkeiten eines (i. A. deformierbaren) Körpers. Ihre Anzahl entspricht der minimalen Anzahl
von unabhängigen Koordinaten, die zu einer vollständigen Beschreibung der Bewegung (Lage) benötigt werden.
Ein starrer Körper ist ein (kontinuierliche) Anordnung von Massenpunkten (ein mechanisches System, ein materieller Körper), deren
(Relativ-)Abstände konstant sind, d. h. sich unter der Wirkung von
sowohl inneren als auch äußeren Kräften nicht ändern. Starre Körper
stellen eine Idealisierung dar, die aber für die statische Behandlung
keine Einschränkung bringt (vgl. Erstarrungsprinzip).
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2.3.3 Äußere Bindungen von Scheiben
Lagerskizze
mögliche Reaktionen
Wer- mögl.
Bewetigkeit gungen
Freiheitsgrade
Bezeichnung
Symbol
Rollenlager
Loslager
Normalkraft
1
Verschiebung
(längs)
Drehung
2
Festlager
Normalkraft
Tangentialkraft
2
Drehung
1
2
Verschiebung
(quer)
1
Pendelstütze
Kipplager
Schneidenlager
Gelenklager
Doppelstütze
Parallelstützen
Kraft
Moment
Kraft
Verschiebung
(längs)
Moment
Einspannung
Moment
3
keine
0
Längskraft
Querkraft
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2.3.4 Äußere Bindungen von Körpern
Verbindung
Wertigkeit
mögl. Bewegungen
Freiheitsgrade
3
3 Drehungen
3
2 Kräfte
2 Momente
4
1 Drehung
1 Verschiebung
2
3 Kräfte
3 Momente
6
keine
0
Bezeichnung
mögliche Reaktionen
räumliche
Lagerung
3 Kräfte
Schiebehülse
räumliche
Einspannung
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2.3.5 Innere Bindungen von Scheiben
Verbindung
mögl.
Bewegungen
Freiheitsgrade
mögl. Reaktionen
Wertigkeit
ideale
Berührung
(glatt)
Normalkraft
1
Verschiebung
(tangential)
Drehung
2
Seil
Seilkraft
reale
Berührung
(rauh)
Normalkraft
2
Drehung
1
2
Verschiebung
(quer)
1
Bezeichnung
Symbol
Haftkraft
Gelenk
Normalkraft
Querkraft
Parallelführung
Schiebehülse
Normalkraft
Biegemoment
Querkraft
Verschiebung
(längs)
Biegemoment
biegesteife
Ecke
Biegemoment
Normalkraft
3
keine
0
Querkraft
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Blatt 40
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2.4 Kräftegleichgewicht – Zentrale Kräftesysteme
⇒ zunächst nur zentrale Kräftesysteme
2.4.1 Kräftegleichgewicht als Folgerung aus dem zweiten
N EWTONschen Axiom (Dynamisches Grundgesetz)
Bedingung für Gleichgewicht (Wiederholung):
F~ = m~a = ~0
n
X
~ = ~0
F~i ≡ R
F~ =
i=1
⇒ Vektorgleichung: Kräftegleichgewicht muss in jeder
Koordinatenrichtung erfüllt sein!
Rx = 0;
Ry = 0;
Rz = 0
Achtung: Diese Kräftegleichgewichtsbedingung ist nur für
zentrale Kräftesysteme hinreichend!
2.4.2 Sonderfälle und Beispiele
Körper mit zwei Kräften
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Lösungsmöglichkeiten für die vier Bedingungen
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2.5 Momentengleichgewicht – Allgemeine Kräftesysteme
⇒ nun allgemeine Kräftesysteme
2.5.1 Forderungen für das räumliche Kräfte- und
Momentengleichgewicht von Körpern
ohne Kräftegleichgewicht (notwendige Bedingung)
n
X
i=1
~ = ~0
F~i ≡ R
kein Momentengleichgewicht (hinreichende Bedingung)
Die Wahl des Bezugspunktes (Reduktionspunktes) A ist beliebig!
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Blatt 43
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Skalare Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen
n
X
Fix = 0;
Fiy = 0;
Mx(A)
= 0;
X
n
X
Fiz = 0
i=1
i=1
i=1
X
n
X
My(A)
= 0;
X
Mz(A) = 0
Liegt ein ebenes allgemeines Kräftesystem vor, so verbleiben nur
drei unabhängige Gleichgewichtsbedingungen
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Lösung zur Aufgabe 2.5-9
-Momentengleichgewicht im Reduktionspunkt A:
Freikörperbild:
Gegeben: 



0
3/4
~



G = −1 G; ~rG = 1  l
0
0
 
0

~rS =
1  l; ~rAH = ~rAV = ~0
0

 
−1
1
~
~



S=
0 S; AH =
0 AH ;
0
0
 
0
~ V =  1 AV
A
0
!
!
AV + (−G) = 0
i=1
!
~ri × F~i = ~0
!
!
3
!
−l(−S) + l (−G) = 0
4
Aus den Gleichungen (3), (2) und (1) folgt:
3
3
G,
AV = G und AH = S = G.
4
4
• Skalare Lösung – Lösung in Komponenten:


-Kräftegleichgewicht in A :





!

→ : AH + (−S) = 0





!
↑ : AV + (−G) = 0
⇒ AV , AH , S



-Momentengleichgewicht in A : 





!
3


: S .l − G. 4 l = 0

P ~ (C) !
P (C)
• Kontrolle:
M = ~0 oder
M =0
(3)
S=
(1)
(2)
!
(0 = 0) X
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j=1
n
X
(0 = 0) X
~V + A
~H + S
~ +G
~ =! ~0
A
AH + (−S) = 0
~j +
M
!
-Kräftegleichgewicht im Reduktionspunkt A:
i=1      
  
0
AH
−S
0
0
AV  +  0  +  0  + −G =! 0
0
0
0
0
0
m
X
(0 = 0) X
• Vektorielle Lösung – Räumliche Lösung:
~ =! ~0 :
F~i = R
~ (A) =
M
~ V + ~rA × A
~ H + ~rS × S
~ + ~rG × G
~ = ~0
~rA × A
  V  H 
 
0
0
0
AH
0 l × AV  + 0 l ×  0 
0
0
0
0
 
   

  
0
−S
3/4
0
0
!









+ 1 l×
+
l × −G = 0
0
1
0
0
0
0
0
Gesucht: 
n
X
X
Gewählt: Ursprung ≡ Reduktionspunkt A
Blatt 45
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2.6 Schwerpunkt – Verteilte Kräfte
2.6.1 Zentrallinie oder -achse
~ |M
~ (o)}
Gegeben: Reduktionspaar in Punkt o: {o | R
Gesucht: Zentrallinie:
~z = ~a + t~eR
Kraftschraube:
~ |M
~ q(z)}
⇒ {z | R
~ (B) von B nach o
Äquivalenz: (Versatz von R
~ (B)
~ (o) = ~a × R
M
⊥
Es gilt:
⇒
~a (Hebelarm))
~ (B) = R
~ (z) = R
~ (o) = R~eR
R
~ (o) × M
~ (o)
~a k R
und
~ (o) × M
~ (o)| = M (o)R
|R
⊥
und damit
(o)
M⊥
= aR
mit
~a = a~a0 ,
worin
~ (o) × M
~ (o)
R
~a0 =
.
(o)
(o)
~
~
|R × M |
Die Gleichung der Zentrallinie oder -achse lautet somit:
~ (o) × M
~ (o)
~ (o)
R
R
~z =
+t
(o)
2
~
~ (o)|
|R |
|R
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Das Moment um die Zentralachse ist hierbei gegeben durch:
~ q(o) = Mq(o)~er
M
(o)
~ (o).~er
mit Mq = M
Hinweis: Für zentrale oder parallele räumliche Kräftesysteme oder
(o)
ebene Kräftesysteme gilt immer Mq = 0!
2.6.2 Volumenlasten – Spezialfall: Gewichtskraft
z
!
g
!
dm g
V, m
dm
!
r
o
y
x
Äquivalenz (Reduktionspaar in o):
~ (o) =
R
Z
̺ (~r) dV ~g
Z
~r × ̺ (~r) dV ~g
V
~ (o) =
M
V
=
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Gleichung der Zentrallinie (~z = ~a + t~eR ):




Z −y
0
m  0  ×  x  ̺ (~r) g dV
~ (o) × M
~ (o)
−g
0
R
V
~a =
=
~ (o)|2
(mg)2
|R
 
Z x
1
 y  ̺ (~r) dV
=
m
0
V
Es folgt somit für die Koordinaten des Hebelarms ~a
Z
Z
1
1
x ̺ (~r) dV ; ay =
y ̺ (~r) dV ;
ax =
m
m
V
az = 0 ,
V
(o)
wobei Mq = 0 und somit {(ax, ay , 0)) | m~g | ~0} das Reduktionspaar
ist.
Spezialfall: Volumen- oder geometrischer Schwerpunkt
homogener Körper ⇒ ̺(~r) = ̺o = konst. ⇒ m = ̺oV
Z
Z
1
1
x dV ; ay =
y dV ; az = 0
ax =
V
V
V
V
2.6.3 Einzelkräfte – paralleles Kräftesystem
z
WLZ
!
!
r1
!
!
!
r2
rj
a
!
x
F1
rN
!
!
!
F2
z
!
y
Fj
FN
R
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Blatt 49
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Es folgt für die Koordinaten des Hebelarms ~a
N
1X
xj Fj ;
ax =
R j=1
N
1X
ay =
yj Fj ;
R j=1
az = 0 ,
wobei die Resultierende und das Versatzmoment
N
X
(o)
Fj bzw. Mq = 0
R=
j=1
(o)
sind. Wegen des parallelen Kräftesystems gilt wieder Mq
für das Reduktionspaar folgt {(ax, ay , 0)) | − R~ez | ~0}.
= 0 und
2.6.4 Flächenlasten – paralleles Kräftesystem
z
y
! !
p (r )
dA
!
r
z
A
!
a
R
x
Für die Flächenlast gilt
Kraft
; p~ (~r) = −p (~r) ~ez .
Fläche
Mit der Resultierenden
und dem Versatzmoment
Z
Z
[~p (~r)] =
~ (o) =
R
~p (~r)dA
~ (o) =
bzw. M
A
~r × p~ (~r)dA
A
folgt für die Koordinaten des Hebelarms ~a
Z
Z
1
1
x p (x, y)dA ; ay =
y p (x, y)dA ;
ax =
R
R
A
az = 0 ,
A
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 50
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
wobei R =
Z
p (x, y)dA und ~eR = −~ez sind. Wegen des parallelen
A
(o)
Kräftesystems gilt wieder Mq = 0 und für das Reduktionspaar folgt
wieder {z | − R~ez | ~0}.
Spezialfall: geometrischer Schwerpunkt einer ebenen Fläche:
Aus eine konstanten Flächenlast p (x, y) = p0 folgt
Sx
Sy
und ay ≡ ys =
,
A
A
worin die statischen Momente der Fläche A um die y- und x-Achse
Z
Z
Sy : =
xdA bzw. Sx :=
ydA
ax ≡ xs =
A
A
definiert wurden.
2.6.5 Linien- oder Streckenlasten – paralleles Kräftesystem
z
y
!
!
q (r )
R
dx
!
a
l
x
Für die Linienlast gilt
[~q (~r)] =
Kraft
;
Länge
~q (~r) = −qz (x) ~ez .
Mit der Resultierenden und dem Versatzmoment
Z
Z
~ (o) = ~q (~r)dx bzw. M
~ (o) = ~r × ~q (~r)dx
R
l
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
l
Blatt 51
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
folgt für die Koordinaten des Hebelarms ~a
Z
1
ax =
x qz (x)dx ; ay = 0 ;
R
wobei R =
Z
az = 0 ,
l
~ q(o) = 0 sind.
qz (x)dx und M
l
Beispiele:
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 52
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2.6.6 Formelzusammenstellung zur Schwerpunktberechnung
inhomogener Körper:
Z
γ (x, y, z) dV
Z
1
xγ (x, y, z) dV
xs =
GZ
1
ys =
yγ (x, y, z) dV
GZ
1
zs =
zγ (x, y, z) dV
G
G=
„homogene“ Fläche:
Z
A = dA
Z
1
xs =
xdA
AZ
1
ydA
ys =
AZ
1
zs =
zdA
A
Linie:
S=
Z
ds
Z
1
xds
SZ
1
yds
ys =
SZ
1
zs =
zds
S
xs =
homogener Körper:
⇒ γ (x, y, z) = γ0 = konst.
Z
G = γ0 dV = γ0V
Z
1
xdV
xs =
V Z
1
ys =
ydV
V Z
1
zdV
zs =
V
speziell: z ≡ 0
Summenformeln:
X
G=
Gi
1X
xs =
(xsiGi )
G
1X
ys =
(ysi Gi)
G
1X
(zsi Gi)
zs =
G
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 53
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2.6.7 Auswahl geometrische Schwerpunkte
Volumen
Kegel(voll)
V =
1 2
πr h
3
x S = yS =0
zS =
Halbkugel(voll)
V =
2 3
πr
3
1
h
4
x S = yS =0
zS =
3
r
8
Flächen
A=
1
bh
2
Dreiecksfläche
A = αr
2
Kreissektor
Kegeloberfläche,
Mantelfläche
1
(b2 − b1)
3
1
yS = h
3
zS =0
xS =
x S = zS =0
yS =
2 sin α
r
3
α
x S = yS =0
A = πrl
√
l = r 2 + h2
zS =
A =2 πr 2
x S = yS =0
Halbkugeloberfläche
zS =
1
h
3
1
r
2
Linie
s =2 αr
Kreisbogen
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
x S = zS =0
yS = r
sin α
α
Blatt 54
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
3 Statik der Systeme starrer Körper
⇒ Balken, Rahmen, Stäbe ⇒ System
3.1 Statische Bestimmtheit eines Körpers
• der Körper ist verschieblich, und es existieren weniger Bindungen
(Lager, Gelenke) als der Körper Freiheitsgrade besitzt
⇒ statisch unterbestimmt
• der Körper ist unverschieblich, und es existieren
– genau so viele Bindungen wie der Körper Freiheitsgrade besitzt
⇒ statisch bestimmt
– mehr Bindungen als der Körper Freiheitsgrade besitzt
⇒ statisch unbestimmt (überbestimmt)
aber:
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 55
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Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
3.2 Allgemeine Systeme starrer Körper
3.2.1 Einführung und statische Bestimmtheit
Anzahl der
Freiheitsgrade:
S ist die Anzahl der Scheiben (2D) oder die Anzahl der Körper (3D)
a ist die Anzahl der Lagerreaktionen (äußere Bindungen)
z ist die Anzahl der Zwischenreaktionen (innere Bindungen)
⇒
notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit
n ist das Maß oder der Grad der statischen Unbestimmtheit
Aber:
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 56
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Untersuchung der statischen Bestimmtheit
1. Maß oder Grad der statischen Bestimmtheit:
n = a + z − 3.s
oder
nFW = a + s − 2.k
2. Fallunterscheidung:
• n < 0 ⇒ verschieblich
⇒ unbrauchbar
• n = 0 & verschieblich
⇒ unbrauchbar
• n=0 &
⇒
⇒
⇒
unverschieblich
brauchbar
statisch bestimmt
Gleichgewicht
ausreichend
• n > 0 & verschieblich
⇒ unbrauchbar
• n>0 &
⇒
⇒
⇒
unverschieblich
brauchbar
n-fach statisch unbestimmt
Gleichgewicht alleine
nicht ausreichend
⇒ Verträglichkeitsbedingungen
erforderlich
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 57
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3.2.2 Gelenkträger (G ERBER-Träger)
System aus Einfeldträger ohne, mit einseitigem oder beidseitigem Kragträger
Beispiel 1:
Beispiel 2:
1. Freikörperbilder:
2. Ermittlung der horizontalen Stütz- und Verbindungskräfte:
P
aus H = 0 in folgender Reihenfolge (Bed.: eine Unbekannte je Teilsystem):
Teilsystem
Teilsystem
Teilsystem
Teilsystem
Teilsystem
Teilsystem
3. Ermittlung der vertikalen Stütz- und Verbindungskräfte:
P
aus M = 0 um die „Angriffspunkte der Unbekannten“ in folgender
Reihenfolge (Bed.: zwei Unbekannte je Teilsystem):
Teilsystem
Teilsystem
Teilsystem
Teilsystem
Teilsystem
Teilsystem
4. Kontroll-Gleichgewicht am Gesamtsystem:
P
P
P
V = 0 oder
M =0
V =0
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
oder
P
M =0
Blatt 58
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3.2.3 Dreigelenkrahmen
Beispiel 1: Dreigelenkrahmen mit gleich hohen Auflagern
Freikörperbilder:
Ermittlung der Stütz- und Verbindungskräfte:
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 59
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3.2.3 Dreigelenkrahmen
Beispiel 2: Dreigelenkrahmen mit unterschiedlich hohen Auflagern
Freikörperbilder:
Ermittlung der Stütz- und Verbindungskräfte:
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 60
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3.3 Schnittgrößen in (ebene) Fachwerken
3.3.1 Annahmen und statische Bestimmtheit bei Fachwerken
Annahmen (Idealisierung)
• Stäbe sind gerade und „schlank“, d. h. Höhe und Breite sind klein
im Vergleich zur Länge
• Stäbe sind jeweils nur an zwei Punkten (Knoten) angeschlossen
• Stäbe sind durch reibungsfreie Gelenke in den Knoten (zentrisch)
miteinander verbunden
• Alle Kräfte greifen ausschließlich in den Knoten an
⇒ ein ideales Fachwerk besteht aus Pendelstäben
Realer Knoten:
Idealisierter Knoten:
Statische Bestimmtheit
• Ein Fachwerk ist äußerlich statisch bestimmt, wenn alle Auflagerreaktionen aus der Gleichgewichtsbedingung bestimmbar sind.
• Ein Fachwerk ist innerlich statisch bestimmt, wenn alle Stabkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmbar sind.
⇒ Notwendige Bedingungen für die statische Bestimmtheit
Abzählkriterium:
nFW = a + s − 2.k
a: Anzahl der Auflagerreaktionen
s: Anzahl der Stäbe (Stabkräfte)
k: Anzahl der Knoten
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 61
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Fachwerktypen
Einfache Fachwerke
einfaches Fachwerk
Parallelträger als
Strebenfachwerk
Trapezträger
Parabelträger
Streben - Pfosten - Fachwerk
mit geneigtem Obergurt
Statische Bestimmtheit und Unverschieblichkeit kann bei einfachen
Fachwerken anhand des Aufbaukriteriums beurteilt werden:
Mehrfache Fachwerke
Rautenfachwerk
K - Fachwerk
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 62
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3.3.2 Stabkraftermittlung mittels Knotenpunktverfahren
(häufig: Auflagerkräfte vorab berechnen)
AIV = F ;
AIH
a
= F;
b
AIII = −F ;
Stabkraftermittlung:
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
AVI
a
= 1+
F
b
Blatt 63
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3.3.3 Stabkraftermittlung mittels R ITTERschnittverfahren
1. System so in zwei Teile schneiden, dass maximal drei
Unbekannte Stabkräfte (frei)geschnitten werden
⇒ maximal drei unbekannte Stabkräfte sind mittels der
drei Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen
2. ggf. notwendige Auflagerreaktionen (vorab) ermitteln
3. Momentengleichgewicht um die minimal zwei oder maximal drei
verschiedenen Schnittpunkte je zweier Stabkraftwirkungslinien
Ausnahme bei parallelen Stabkraftwirkungslinien:
Kräftegleichgewicht senkrecht zu den parallelen Wirkungslinien
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 64
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4. Schnittgrößen in Balken – Zustandslinien
4.1 Belastungsarten und räumliche Schnittgrößen
Einführung innerer Kräfte und Momente mit Hilfe des Schnitt- und Reaktionsprinzips:
Das Gleichgewicht eines nicht freien, starren Körpers ändert sich nicht, wenn man
ihn von seinen Bindungen befreit (ihn freischneidet), falls man nur die Bindungen
durch die von ihnen ausgeübten Kräfte ersetzt.
An ihm und am abgetrennten Teil wirken im (gedanklichen) Schnitt gleich große
und entgegengesetzt orientierte Kräfte (actio = reactio).
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 65
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Definition des Balken bzw. Stabes
Zwei Abmessungen (Höhe & Breite) sind klein im Verhältnis zur
Länge.
⇒ „Grenzwert“:
Falls diese Bedingung nicht eingehalten ist, kann nicht mehr von einem eindimensionalen Tragverhalten ausgegangen werden, bei dem
ausschließlich Normalspannungen σx infolge Biegung in den Querschnitten vorausgesetzt werden. In diesem Fall muss eine verfeinerte Theorie, die zweidimensionales Tragverhalten berücksichtigen
kann, wie z. B. eine Scheibentheorie, zum Einsatz kommen.
Ergebnis:
• Darstellung des Stabes als (ggf. gekrümmte) Linie, der Stabachse
• Reduktion der Schnittspannungen auf den Schwerpunkt des Querschnitts in Schnittkräfte (Normal- und Querkräfte) und Schnittmomente (Biege- und Torsionsmomente)
• Einführung eines Koordinatensystems, so dass die x-Achse immer
entlang der Stabachse verläuft
3D:
2D:
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 66
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Definition der Schnittgrößen:
positives Schnittufer (x-Achse tritt aus)
negatives Schnittufer (x-Achse tritt ein)
Definition positiver Schnittgrößen
Am positiven (negativen) Schnittufer weisen die
positiven
positive
Schnittgrößen in
(negative)
Koordinatenrichtungen.
Bezeichnungen der Schnittgrößen:
N
oder Nx
Qz
und
Qy
Querkräfte (DIN: Vy und Vz )
My und
Mz
Biegemomente
Normalkraft, Längskraft, Stabkraft (Fachwerk)
Mx oder MT Torsionsmoment
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 67
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Beispiel:
räumlicher Kragträger mit allgemeiner Belastung
zuzüglich:
Einzelkräfte:
Fx , Fy , Fz
Einzelmomente M0x, M0y , M0z
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 68
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4.2 Schnittgrößen bei ebener Belastung aus Gleichgewichtsbedingungen
⇒ Reduktion der Anzahl der Schnittreaktionen von 6 auf 3:
1. Beispiel
Ermittlung der Schnittgrößen:
Fkb. (Auflagerreaktionen)
⇒ AH = F ; AV = B =
F
2
Freikörperbild (Schnittgrößen):
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 69
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4.3 Differentialgleichungen der Schnittgrößen
X
X
X
Fx = 0 :
Fz = 0 :
My(x) = 0 :
N (x) − N (x0) + Fx +
Z
Qz (x) − Qz (x0) + Fz +
x
qx (ξ) dξ = 0
x0
Z
x
qz (ξ) dξ = 0
x0
My (x) − My (x0) + M0 − Qz (x0 ) (x − x0)
+Fz (x − x1) +
N (x) = N (x0) − Fx −
Z
Qz (x) = Qz (x0) − Fz −
Z
x
x0
(x − ξ) qz (ξ) dξ = 0
x
qx (ξ) dξ
=⇒
dN (x)
= −qx (x)
dx
=⇒
dQz (x)
= −qz (x)
dx
x0
Z
x
qz (ξ) dξ
x0
My (x) = My (x0) − M0 + Qz (x0)(x − x0) − Fz (x − x1) −
Z
x
x0
(x − ξ)qz (ξ) dξ
Mit der L EIBNIZregel für Parameterintegrale folgt:
Z x
dMy (x)
qz (ξ) dξ − x qz (x) + x qz (x) = 0
= Qz (x0) − Fz −
dx
x0
=⇒
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
dMy (x)
= Qz (x)
dx
Blatt 70
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Anmerkungen zur Lösung durch unbestimmte Integration
Neuer Integrationsbereich erforderlich bei Unstetigkeiten in:
Aber:
Unbestimmte Integration:
Z
x
+ C1
Q(x) = − qdx = − q0 x + C1 = −2q0 l
2l
Z
Z h
x
i
x 2
x
2
M(x) = + Qdx = +
−2q0 l
+ C1 dx + C2 = −2q0 l
C1 + C2
+ 2l
2l
2l
2l
aus
M(x = 0) = 0
ergibt sich
C2 = 0
l2
q0 l
+ C1 l + C2 = 0 und damit
C1 =
2
2
Die Funktionen der Schnittgrößenverläufe lassen sich dann wie folgt angeben:
x x 2 l
1
2 x
Q(x) = −q0 x + q0 = q0 l
und
M(x) = q0 l
−2
−2
2
2
2l
2l
2l
aus
M(x = l) = 0
ergibt sich
−q0
Darstellung der Schnittgrößenverläufe
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 71
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4.4 Zustandslinien und ihre Eigenschaften
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 72
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Lösung zur Aufgabe 4.5-68
Bereich 1:
0 m < x1 < 4 m
sin(30◦) = 21 ; cos(30◦) =
qz (x1) = q0 = 1 kN/m
x1
+ C1
Q(x1) = −4 kN
4m
x 2
1
M(x1 ) = −8 kN m
+ C1 x 1 + C2
4m
Z
qx (x1) = 0
⇒
N (x1) = − qx (x1) dx1 + C3 = C3
1
2
√ 3
1m
Bereich 2: 0 m < x2 < 2 m = sin(30◦ )
x2 qz (x2) = 1 kN/m 1 −
2m
1 x2 2
x2
−
+ C4
Q(x2) = −2 kN
2m 2 2m
1 x2 2 1 x2 3
M(x2 ) = −4 kN m
−
+ C4 x 2 + C5
2 2m
6 2m
qx (x2) = 0
⇒
N (x2) = C6
Rand- und Übergangsbedingungen:
x1 = 0 m :
x1 = 4 m, x2 = 0 m :
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 73
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x2 = 2 m :
Auswertung:
⇒
aus (1):
0 = C2
aus (2):
C3 = C6 cos(30◦) + C4 sin(30◦)
aus (3):
−8 kN m + C1.4 m + C2 = C5
aus (4):
−
aus (5):
1
7 kN = −2 kN
2
aus (6):
5√
3 kN = C6
2
⇒
C6 = −
(2)′
(3)′
5√
3 kN
2
1
1−
+ C4 ⇒ C4 = 8, 5 kN
2
1 1
−9 kN m = −4 kN m
−
+ C4 .2 m + C5
2 6
1
2
2
C5 = −7 kN m − 8 kN .2 m = −24 kN m
3
2
3
⇒
′
C4 & C6 in (2) :
C5 in (3)′ :
C2 = 0
5√
C3 = − 3 kN . cos(30◦) + 8, 5 kN . sin(30◦)
2
1
⇒ C3 = kN
2
2
−8 kN m + C1.4 m = −24 kN m
3
⇒
−16 23 kN m
1
= −4 kN
C1 =
4m
6
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 74
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Zustandsfunktionen:
N (x1) =
1
kN
2
x1
1
− 4 kN
4m
6
x 2
2
x1
1
− 16 kN m
M(x1) = −8 kN m
4m
3
4m
5√
N (x2) = − 3 kN
2
1 x2 2
1
x2
−
+ 8 kN
Q(x2) = −2 kN
2m 2 2m
2
1 x2 2 1 x2 3
2
x2
M(x2) = −4 kN m
−
− 24 kN m
+ 17 kN m
2 2m
6 2m
2m
3
Q(x1) = −4 kN
Auflagerreaktionen:
Auswertung der noch nicht verwendeten Gleichgewichtsbedingungen an der Rändern und Übergängen.
aus (a):
1
AH = −N (0) = − kN
2
aus (b):
1
AV = Q(0) = −4 kN
6
aus (c):
B = −Q (x1 = 4m) + N (x2 = 0m) sin(30◦) + Q (x2 = 0m) cos(30◦)
=
1
1√
3 kN
8 +5
6
2
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 75
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
7 21 kN
1kN
m
5
2
3 kN
9kNm
1
2 kN
1kN
m
4 61 kN
4m
1
(8+5
6
2m
1
2
3 )kN
N in kN
Q in kN
M in kNm
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 76
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
„Praktische Ermittlung“ der Zustandslinien
Bei allen zukünftigen einfachen Aufgaben, in denen die Zustandslinien darzustellen sind und nicht speziell nach den analytischen Funktionen gefragt ist, sollten
diese Zustandslinien nach dem „praktischen Verfahren“, also aus der Kombination
der bisher vermittelten Möglichkeiten (Gleichgewichtsbedingungen, Integration)
bestimmt werden.
1. Zunächst sind die Stütz- und Verbindungskräfte zu ermitteln.
2. Die Ordinaten der Schnittgrößen sind nur an „charakteristischen Stellen“ dies
sind Angriffspunkte von Einzelkräften und Einzelmomenten, Anfangs- und
Endpunkte von Linienlasten, Rahmenecken, Verzweigungspunkte, zu berechnen. Dazu kann vorteilhaft das bestimmte Integral (=
b Flächeninhalt mit Vorzeichen!) genutzt werden, z. B. in der folgenden Form:
Qb = Qa −
Qa, Ma
Zb
a
p dx,
Zb
qz (x) dx
bzw.
Mb = Ma +
a
Zb
Q(x) dx
a
Anfangswert der Querkraft bzw. des Momentes
an der Stelle a
Zb
a
Q dx Flächeninhalt der p- bzw. Q-Funktion zwischen
den Stellen a und b
Bei horizontalen Trägersystemen kann auch günstig die „rekursive Methode“
angewendet werden, d. h., wie in der obigen Formel angegeben, können die
Schnittgrößen an der Stelle b aus den zuvor ermittelten Schnittgrößen an der
Stelle a bestimmt werden.
Nach Bestimmung der Schnittgrößen an der Stelle b wird diese zur Stelle a des
nächsten Abschnittes, usw. Die Schnittgrößen an der letzten Schnittstelle (am
Ende des Tragwerks, d. h. nach dem Ende der Streckenlast, nach der letzten
Einzellast oder nach dem letzten Einzelmoment) dienen der Kontrolle, da die
Schnittgrößen an dieser Stelle aus den Randbedingungen bekannt sind.
3. Die jetzt bekannten und bereits gezeichneten charakteristischen Ordinaten sind
mittels der Differentialbeziehungen zu verbinden.
4. Zum Schluss werden die Stellen eines Vorzeichenwechsels im Querkraftverlauf
bestimmt und dort das extremale Schnittmoment berechnet.
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 77
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Beispiele für einfache Schnittgrößenverläufe (Teil a)
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 78
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Beispiele für einfache Schnittgrößenverläufe (Teil b)
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
Blatt 79
Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke
Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke
Lösung zur Aufgabe 4.5-77
Arbeitsmittel zum Modul BHYWI34: „Grundlagen der Stereostatik“
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Lösung zur Aufgabe 4.5-74
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Lösung zur Aufgabe 4.5-75
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12. Haftung und Reibung
12.1 Haftung und Reibung auf ebener Unterlage
Neben der Haftung und Reibung auf ebener Unterlage existieren
weitere Haftung- und Reibungsphänomene.
• Seilhaftung und Seilreibung
(z. B. zwischen Spannglied und Spannkanal; s. Kap 12.3)
• Rollwiderstand oder Rollreibung
(z. B. rollende Reibung zwischen Rad und Schiene)
• Bewegungswiderstände fester Körper in flüssigen oder gasförmigen Medien (z. B. Luftwiderstand eines Straßenfahrzeuges)
Bei der Modellierung der Haftung und Reibung auf ebener Unterlage
wird oft das Modell von C OULOMB (trockene Reibung) herangezogen (C OULOMBsches Tribometer; Reibungsmesser):
I:
Haftphase:
II:
Beschleunigungsphase
III: Gleitphase:
µ0: Haftbeiwert
T ≤ Tmax, stat
T ≤ TGleit
µ: Reibbeiwert
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Versuch zum Einfluss der Größe der Berührungsfläche
Sowohl Haft- als auch Gleitreibungskraft sind unabhängig von der
Größe der Berührungsfläche!
Achtung: Das Kippen des Körpers ist zusätzlich zu untersuchen!
Berechnung bei Haftung (Haftreibung)
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Gleichgewicht ist nur mögliche, solange gilt:
T ≤ µ0 N
und
N ≥0.
Nur bei Erfüllung dieser Nebenbedingung können die Körper relativ
zueinander in Ruhe sein.
Maximale Haftkraft:
Überprüfung/Kontrolle:
Visualisierung durch den Haftreibungskegel (Haftkegel)
̺0
Öffnungswinkel
Berechnung bei Reibung (Gleitreibung)
Relativgeschwindigkeit:
vrel := v1 − v2 6= 0
vrel > 0 :
vrel < 0 :
R Reibkraft/Gleitreibungskraft (eingeprägte Kraft)
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Tabelle ausgewählter Haft- und Reibbeiwerte
Haftung µ0
Reibung µ
Material
trocken
geschmiert
trocken
geschmiert
Stahl auf Stahl
0,15
0,1
0,1
0,07
Stahl auf Gußeisen
0,25
0,1
0,2
0,08
Stahl auf Bremsbelag
----
----
0,5 - 0,6
0,2 - 0,5
Stahl auf Polyamid
----
----
0,32 - 0,45
0,1
Stahl auf Eis
0,027
----
0,014
----
Holz auf Holz
0,4 - 0,6
0,2
0,2 - 0,4
0,1
Holz auf Metall
0,6 - 0,7
0,1
0,4 - 0,5
0,1
----
0,5 - 0,6
----
0,7 - 1,0
Gummi auf Asphalt
auch > 1,0
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12.2 Selbsthemmung und Selbstsperrung
Die angreifende Kraft kann beliebig gesteigert werden, ohne dass das System
nachgibt (ohne dass die Haftgrenze überschritten wird).
Beispiele:
12.3 Seilhaftung und Seilreibung
Anwendung: z. B. beim nachträglichen
Vorspannen eines Trägers
Freikörperbild für einen kleinen Ausschnitt (∆ϕ → 0):
Seilhaftung nach E YTELWEIN:
S2 > S1 :
S2 ≤ S1 e+µ0 α
S2 < S1 :
S2 ≥ S1 e−µ0 α
µ0S = µ0
α
Haftbeiwert
Umschlingungswinkel im Bogenmaß
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